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Álgebra Moderna I: Guía de Notación

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En los libros de matemáticas es muy común dedicar algunas páginas a un glosario de notación, que resulta muy útil para recordar la notación del libro o, si sólo estás consultando un capítulo, entenderlo sin que la notación sea un impedimento.

Inspirados por estos libros, se recopiló todos los signos que usamos a lo largo del curso y lo dividimos en distintas secciones que pueden ayudarte a encontrarlos.

Si en algún momento se te olvida lo que significa la notación puedes regresar aquí para refrescar tu memoria y hasta para encontrar la entrada en donde se define el concepto.

Álgebra general: Aquí están los símbolos de conceptos algebraicos que son explicados en algún otro curso. Cabe aclarar que a lo mejor no se usa el mismo símbolo o notación que en otros textos, pero los conceptos son los mismos.

Conjuntos generales: Aquí se enlistan todos los conjuntos que probablemente ya conoces, podemos decir que son los conjuntos básicos como el de los reales, enteros, racionales, etc. Con seguridad, estos conjuntos se definen en algún curso introductorio al Álgebra, como Álgebra Superior I.

Conjuntos especiales y grupos nuevos: Aquí están los conjuntos algebraicos que usamos en este curso y que a lo mejor se mencionan en otros cursos más avanzados. Son conjuntos que definimos o describimos para usarlos y que probablemente no conocías hasta ahora.

Teoría de grupos: Aquí están todos los símbolos y notaciones propias del curso, es decir, las que vamos definiendo formalmente y forman parte del contenido de Álgebra Moderna I. Se encuentran en orden de aparición. Observarás que hay algunos grupos y conjuntos. A diferencia de los conjuntos especiales, estos conjuntos nacen de la teoría de grupos. Es decir, suelen ser subconjuntos o subgrupos que dependen de un grupo $G$ . Aquí encontrarás los enlaces a las entradas en donde dicho concepto se define.

Álgebra general

Símbolo	Significado
$(n; m)$	Máximo común divisor
$(n; m) = 1$	$n$ y $m$ son primos relativos
$a \sim b$	$a$ está relacionado con $b$
$φ (d)$	Phi de Euler
$∴$	Por lo tanto
$A \dot{\cup} B$	Unión disjunta de $A$ y $B$
$A ∖ B$	Diferencia de conjutos. Los elementos de $A$ que no pertenecen a $B$
$m!$	Factorial de $m$
$\ln$	Logaritmo natural

Conjuntos generales

Símbolo	Significado
$\emptyset$	Conjunto vacío
$R$	Números Reales
$Z$	Números Enteros
$Q$	Números Racionales
$N$	Números Naturales
$C$	Números Complejos
$C^{*}$	Números Complejos sin el cero
$R^{+}$	Números Reales positivos
$Z^{+}$	Números Enteros positivos
$Z^{+} \cup {0}$	Enteros positivos con el 0
$Z_{m}$	Enteros módulo $m$
$Z_{p}$	Enteros módulo $p$ , con $p$ primo
$M_{2 \times 2} (Z)$	Matrices $2 \times 2$ con coeficientes enteros
$M_{n \times n} (R)$	Matrices $n \times n$ con coeficientes reales
$P (X)$	Conjunto potencia del conjunto $X$

Conjuntos especiales y grupos nuevos

Símbolo	Significado	Definición en…
$S_{3}$	Funciones biyectivas de $1, 2, 3$ en sí mismo	Operación binaria
$S_{n}$	Grupo simétrico de $n$ símbolos	Permutaciones y Grupo Simétrico
$G L (n, R)$	Grupo lineal general	Definición de Grupos
$S L (n, R)$	Grupo lineal especial	Definición de Grupos
$S O (n, R)$	Grupo ortogonal especial	Definición de Grupos
$O (n, R)$	Grupo ortogonal	Definición de Grupos
$D_{2 (n)}$	Grupo diédrico, $2 n$ simetrías de un polígono de $n$ lados	Dihedral Group de Socratica
$V$	Grupo de Klein	Orden de un elemento y Grupo cíclico
$U (Z_{m})$	Conjunto de unidades de $Z_{m}$	Orden de un elemento y Grupo cíclico
$Q$ , $Q_{8}$	Grupo de los cuaternios	Palabras
$A_{n}$	Grupo alternante	Paridad de una permutación

Teoría de grupos

Símbolo	Significado	Aparece en…
$*$	Operación binaria	Operación binaria
$(G, *)$	Grupo $G$	Definición de Grupos
$\bar{a}, a^{- 1}$	Elemento inverso de $a$ , bajo $*$	Definición de Grupos
$e$	Elemento neutro del grupo $G$	Definición de Grupos
$\circ$	Composición de funciones, $f \circ g (x) = f (g (x))$	Definición de Grupos
${id}_{R}$	Función identidad de $R$ en $R$	Definición de Grupos
$H \leq G$	$H$ es subgrupo de $G$	Subgrupos
$o (a)$	Orden de un elemento $a$ de un grupo finito	Orden de un elemento y Grupo cíclico
$⟨ a ⟩$	Subgrupo cíclico de $G$ generado por $a$	Orden de un elemento y Grupo cíclico
$\| G \|$	Orden de $G$ , con $G$ grupo	Orden de un grupo
$# A$	Orden o cardinalidad de un conjunto $A$	Paridad de una permutación
$⟨ X ⟩$	Subgrupo de $G$ generado por $X$	Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por $X$
$W_{X}$	Conjunto de todas las palabras de $X$	Palabras
$sop α$	Soporte de $α$	Permutaciones y Grupo Simétrico
$long α$	Longitud de un ciclo $α$	Permutaciones y Grupo simétrico
$σ_{α, i}$	Ciclo definido por $α$ y por $i$	Permutaciones disjuntas
$V (x_{1}, \dots, x_{n})$	Polonomio de Vandermonde	Misma Estructura Cíclica, Permutación Conjugada y Polinomio de Vandermonde
$s g n α$	Función signo de $α$	Paridad de una permutación
$a H$ , $H a$	Clase lateral izquierda/derecha de $H$ en $G$ con representante $a$ .	Producto de subconjuntos y Clases Laterales
$[G : H]$	Índice de $H$ en $G$	Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de $H$ en $G$
$gen C$	Conjunto de generadores del grupo cíclico $C$	Caracterización de grupos cíclicos
$a H a^{- 1}$	Conjugado de $H$ por el elemento $a$	Subgrupo Conjugado, Subgrupo Normal y Conmutatividad Parcial
$N ⊴ G$ , $G ⊵ N$	$N$ es subconjunto normal de $G$	Subgrupo Conjugado, Subgrupo Normal y Conmutatividad Parcial
$G / N$	Grupo cociente de $G$ módulo $N$	Grupo Cociente
$[a, b]$	El conmutador de $a$ y $b$	Subgrupo Conmutador
$G^{'}$	Subgrupo conmutador de $G$	Subgrupo Conmutador
$G ≅ \bar{G}$	$G$ es isomorfo a $\bar{G}$	Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo
$Núc φ$ , $Ker φ$	Núcleo de $φ$ , Kernel de $φ$	Núcleo e Imagen de un Homomorfismo
$Im φ$	Imagen de $φ$	Núcleo e Imagen de un Homomorfismo
${Sub}_{N}^{G}$	Conjunto de subgrupos de $G$ que contienen a $N$ como subgrupo	Cuarto Teorema de Isomorfía
${Sub}_{G / N}$	Conjunto de subgrupos de $G / N$	Cuarto Teorema de Isomorfía
$O (x)$	Órbita de $x$	Órbita de $x$ y tipos de acciones
$G_{x}$	Estabilizador de $x$	Órbita de $x$ y tipos de acciones
$x^{G}$	Clase de conjugación de $x$	Clase de Conjugación, Centro de $G$ , Ecuación de Clase y $p -$ Grupo
$C_{G} (x)$	Centralizador de $x$ en $G$	Clase de Conjugación, Centro de $G$ , Ecuación de Clase y $p -$ Grupo
$Z (G)$	Centro de $G$	Clase de Conjugación, Centro de $G$ , Ecuación de Clase y $p -$ Grupo
$X_{G}$	El conjunto de elementos de $X$ que quedan fijos sin importar qué elemento de $G$ actúe sobre ellos	Clase de Conjugación, Centro de $G$ , Ecuación de Clase y $p -$ Grupo
$N_{G} (H)$	Normalizador de $H$ en $G$	$p -$ Subgrupo de Sylow y el Normalizador de $H$ en $G$
$r_{p}$ , $r_{p} (G)$	Número de $p -$ subgrupos de Sylow de $G$	Teoremas de Sylow
${inc}_{i}$	Inclusión natural del elemento en la $i -$ ésima posición	Producto directo externo
$π_{i}$	Proyección natural del $i -$ ésimo elemento	Producto directo externo

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Álgebra Moderna I: Teorema de Jordan-Hölder

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Éste es un momento emotivo. Hemos llegado a la última entrada del curso. Así que sin mucho preámbulo comencemos a hablar del tema que nos compete.

El Teorema de Jordan-Hölder nos dice que cada par de series de composición de un grupo $G$ siempre son del mismo tamaño y con factores de composición isomoforfos entre sí. De nuevo, es un teorema que nos describe cómo es un grupo y los subgrupos que lo conforman.

Debido a que los factores de composición son grupos simples, obtenemos una descomposición del grupo $G$ en elementos mínimos (en el sentido de que no tienen una subestructura del mismo tipo) y de nuevo, podemos hacer una analogía con el Teorema fundamental de la aritmética, aunque esto se ve mejor cuando $G = Z_{n} .$

Por último, así como el Cuarto teorema de isomorfía justifica que los factores de composición son simples, en la demostración del Teorema de Jordan-Hölder usamos mucho el Segundo teorema de isomorfía para justificar la isomorfía que existe entre los factores de composición, así que es recomendable repasarlo. La demostración que se presenta a continuación sigue el desarrollo del libro de Harvey E. Rose que se encuentra en la bibliografía, específicamente en el Teorema 9.5 de la página 191.

El último teorema del curso

Teorema. (de Jordan – Hölder) Sean $G$ un grupo finito y
$\begin{aligned} G & = G_{1} ⊵ G_{2} ⊵ \dots ⊵ G_{s + 1} = {e} \\ G & = H_{1} ⊵ H_{2} ⊵ \dots ⊵ H_{t + 1} = {e} \end{aligned}$
dos series de composición de $G$ . Entonces $s = t$ y existe una permutación $σ \in S_{t}$ tal que para toda $i \in {1, 2, \dots, s}$
$\begin{array}{r} G_{i} / G_{i + 1} ≅ H_{σ (i)} / H_{σ (i) + 1} . \end{array}$

Demostración.

Sea $G$ un grupo finito.
Por inducción sobre $| G |$ .

H.I. Supongamos que el resultado se cumple si el orden del grupo es menor que $| G | .$

Sean
$\begin{aligned} G & = G_{1} ⊵ G_{2} ⊵ \dots ⊵ G_{s + 1} = {e} \\ G & = H_{1} ⊵ H_{2} ⊵ \dots ⊵ H_{t + 1} = {e} \end{aligned}$
dos series de composición de $G$ .

Caso 1. $G_{2} = H_{2}$ , entonces
$\begin{array}{r} G_{2} ⊵ \dots ⊵ G_{s + 1} = {e} \\ H_{2} ⊵ \dots ⊵ H_{t + 1} = {e} \end{array}$
son series de composición de $G_{2}$ .

Dado que $G_{1} / G_{2}$ es simple, en particular $G_{1} / G_{2} \neq {e_{G_{1} / G_{2}}}$ y así $G = G_{1} \neq G_{2}$ . En consecuencia $G_{2} \leq G$ y $| G_{2} | < | G |$ y por H.I. $s - 1 = t - 1$ y existe $σ \in S_{t - 1}$ tal que
$\begin{array}{r} G_{i} / G_{i + 1} ≅ H_{σ (i)} / H_{σ (i) + 1} \forall i \in {2, \dots, t} . \end{array}$

Como $G_{1} = G = H_{1}$ y $G_{2} = H_{2}$ , entonces $G_{1} / G_{2} = H_{1} / H_{2}$ .

Así, $s = t$ y $α \in S_{t}$ con $α (1) = 1$ , $α (i) = σ (i)$ para $i \in {2, \dots, t}$ cumple que
$\begin{array}{r} G_{i} / G_{i + 1} ≅ H_{α (i)} / H_{α (i) + 1} \forall i \in {1, \dots, t} . \end{array}$

Caso 2. $G_{2} \neq H_{2}$

Como $G_{2} ⊴ G$ y $H_{2} ⊴ G$ se tiene que $G_{2} H_{2} ⊴ G$ .

Además
$\begin{aligned} G_{2} & \leq G_{2} H_{2} ⊴ G \\ H_{2} & \leq G_{2} H_{2} ⊴ G . \end{aligned}$

Como $G / G_{2}$ es simple, por el ejercicio 2 de Grupos simples y series de grupos se tiene que $G_{2}$ es un subgrupo normal de $G$ máximo. Así, $G_{2} H_{2} = G$ ó $G_{2} H_{2} = G_{2}$ . Análogamente $G_{2} H_{2} = G$ ó $G_{2} H_{2} = H_{2}$ . Pero si $G_{2} H_{2} = G_{2}$ y $G_{2} H_{2} = H_{2}$ tendríamos que $G_{2} = H_{2}$ , lo que es una contradicción. Por lo tanto $\begin{matrix} (1) & G_{2} H_{2} = G . \end{matrix}$

Como $G_{2} ⊴ G$ entonces usamos el 2do Teorema de Isomorfía y nos dice que $G_{2} \cap H_{2} ⊴ H_{2}$ y

$\begin{array}{r} G_{2} H_{2} / G_{2} ≅ H_{2} / (G_{2} \cap H_{2}) . \end{array}$

Pero, como también $H_{2} ⊴ G$ , el 2do teorema de isomorfía también nos dice que $G_{2} \cap H_{2} ⊴ G_{2}$ y
$\begin{array}{r} G_{2} H_{2} / H_{2} ≅ G_{2} / (G_{2} \cap H_{2}) . \end{array}$

Por ( $1$ ) tenemos que $G = G_{2} H_{2}$ obteniendo así que

$\begin{aligned} G / G_{2} & ≅ H_{2} / (G_{2} \cap H_{2}) \\ G / H_{2} & ≅ G_{2} / (G_{2} \cap H_{2}) . \end{aligned}$

Diagrama de retícula para el Segundo Teorema de Isomorfía.

Como $G / G_{2}$ es simple, $H_{2} / (G_{2} \cap H_{2})$ también lo es. Así, $G_{2} \cap H_{2}$ es un subgrupo normal máximo de $H_{2}$ .

Análogamente como $G / H_{2}$ es simple, $G_{2} / (G_{2} \cap H_{2})$ también lo es. Así, $G_{2} \cap H_{2}$ es un subgrupo normal máximo de $G_{2}$ .

Sea $K_{3} = G_{2} \cap H_{2}$ . Consideremos una serie de composición para $K_{3}$
$\begin{array}{r} K_{3} ⊵ K_{4} ⊵ \dots ⊵ K_{r + 1} = {e} . \end{array}$

Tenemos las siguientes series de composición
$\begin{aligned} (2) & G & = G_{1} ⊵ G_{2} ⊵ \dots ⊵ G_{s + 1} = {e} \\ (3) & G & = G_{1} ⊵ G_{2} ⊵ K_{3} ⊵ K_{4} ⊵ \dots ⊵ K_{r + 1} = {e} \\ (4) & G & = H_{1} ⊵ H_{2} ⊵ K_{3} ⊵ K_{4} ⊵ \dots ⊵ K_{r + 1} = {e} \\ (5) & G & = H_{1} ⊵ H_{2} ⊵ \dots ⊵ H_{t + 1} = {e} \end{aligned}$

Por el caso 1 aplicado a $(2)$ y $(3)$ , $s = r$ y los factores de composición de
$\begin{aligned} G_{2} & ⊵ \dots ⊵ G_{s + 1} = {e} \\ G_{2} & ⊵ K_{3} ⊵ K_{4} ⊵ \dots ⊵ K_{r + 1} = {e} \end{aligned}$
son isomorfos salvo por el orden en el que están colocados.

Por el caso 1 aplicado a $(4)$ y $(5)$ , $r = t$ y los factores de composición de
$\begin{aligned} H_{2} & ⊵ K_{3} ⊵ K_{4} ⊵ \dots ⊵ K_{r + 1} = {e} \\ H_{2} & ⊵ \dots ⊵ H_{t + 1} = {e} \end{aligned}$
son isomorfos salvo por el orden en el que están colocados.
Tenemos entonces que $s = t$ .

Consideremos $G_{i} / G_{i + 1}$ con $i \in {2, \dots, t}$ :

Si $G_{i} / G_{i + 1} ≅ K_{j} / K_{j + 1}$ con $j \in {3, \dots, t}$ , entonces sabemos que existe $l \in {2, \dots, t}$ tal que $K_{j} / K_{j + 1} ≅ H_{l} / H_{l + 1} .$

Por otro lado si $G_{i} / G_{i + 1} ≅ G_{2} / K_{3}$ , entonces $G_{2} / K_{3} = G_{2} / (G_{2} \cap H_{2}) ≅ G / H_{2} = H_{1} / H_{2} .$

Entonces, para $i \in {2, \dots, t}$ se tiene que $G_{i} / G_{i + 1}$ es isomorfo a $H_{l} / H_{l + 1}$ para alguna $l \in {1, 2, \dots, t}$ .

Finalmente consideremos el cociente $G / G_{2}$ . Tenemos que $G / G_{2} ≅ H_{2} / (G_{2} \cap H_{2}) = H_{2} / K_{3} ≅ H_{m} / H_{m + 1}$ , para alguna $m \in {2, \dots, t}$ .

Por lo tanto para $i \in {1, 2, \dots, t}$ se tiene que $G_{i} / G_{i + 1}$ es isomorfo a $H_{l} / H_{l + 1}$ para alguna $l \in {1, 2, \dots, t}$ .

Así, los factores de composición de las series $(1)$ y $(4)$ son isomorfos salvo por el orden en que aparecen.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Demuestra que el Teorema de Jordan-Hölder induce el Teorema fundamental de la aritmética.
1. Toma el grupo cíclico $Z_{n}$ con $n \in Z$ no necesariamente primo.
2. Encuentra el orden de un subgrupo máximo de $Z_{n}$ .
3. Observa la forma de las series de composición de $Z_{n}$ .
4. Usa el teorema de Jordan-Hölder para concluir el Teorema fundamental de la aritmética.

Más adelante…

Nuestro curso abarca hasta este teorema, pero el estudio del álgebra continúa en un curso de Álgebra Moderna II donde se estudia la Teoría de anillos y la Teoría de Galois. Estas dos teorías son igualmente interesantes y apasionantes y tienen muchas aplicaciones.

Entradas relacionadas

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Álgebra Moderna I: Producto directo interno

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Continuamos con el estudio del producto de grupos siguiendo el desarrollo de la sección 4.3 del libro de Grupos I de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto que se encuentra en la bibliografía del curso. En la entrada anterior definimos el producto directo externo de grupos, luego vimos unas funciones naturales y definimos los subgrupos $G_{i}^{*}$ . Demostramos que para un grupo $G = G_{1} \times \dots \times G_{n}$ se cumple que:

$G_{i}^{*} ⊴ G \forall i \in {1, \dots, n}$ .
$G_{i}^{*} \cap (\prod_{j \neq i} G_{j}^{*}) = {e_{G}} para toda i \in {1, \dots, n}$ .
$G = \prod_{i = 1}^{n} G_{i}^{*}$ .

En resumen, esta proposición nos dice que si $G$ es el producto directo externo de varios grupos, también lo podemos ver como producto de subgrupos normales que cumplen el inciso 2.

En esta entrada queremos generalizar esta idea: ahora $G$ será un grupo cualquiera, tomaremos subgrupos normales $H_{i}$ , con $i \in {1, \dots, n}$ de $G$ que cumplan estas propiedades y probaremos que $G$ se puede ver como el producto directo externo de estos subgrupos.

En el producto directo externo, construíamos $G$ a partir de otros grupos que pudieran incluso no estar relacionados entre sí. Ahora intentaremos describir a un grupo $G$ como producto de algunos de sus subgrupos normales, por eso llamaremos a este concepto el producto directo interno.

Producto directo interno de subgrupos

Comencemos definiendo nuestro nuevo producto entre subgrupos normales de $G$ .

Definición. Sean $G$ un grupo, $H_{1}, \dots, H_{n}$ subgrupos de $G$ . Decimos que $G$ es el producto directo interno de $H_{1}, \dots, H_{n}$ si

$H_{i} ⊴ G$ para toda $i \in {1, \dots, n}$ .
$H_{i} \cap (\prod_{j \neq i} H_{j}) = {e}$ para toda $i \in {1, \dots, n}$ .
$G = \prod_{i = 1}^{n} H_{i}$ .

Observación 5. $G_{1} \times \dots \times G_{n}$ es el producto directo interno de los $G_{i}^{*}$ .

Observación 6. Si $G$ es el producto directo interno de $H_{1}, \dots, H_{n}$ , entonces $x y = y x$ para toda $x \in H_{i}, y \in H_{j}$ con $i \neq j$ .

Demostración.
Sea $G$ producto directo de $H_{1}, \dots, H_{n}$ , sean $x \in H_{i}, y \in H_{j}$ , con $j \neq i$ , entonces
$\begin{array}{r} x y x^{- 1} y^{- 1} = x (y x^{- 1} y^{- 1}) \in H_{i}, \end{array}$
porque $x \in H_{i}$ y $y x^{- 1} y^{- 1} \in H_{i}$ pues $H_{i} ⊴ G$ .

Por otro lado,
$\begin{array}{r} x y x^{- 1} y^{- 1} = (x y x^{- 1}) y^{- 1} \in H_{j}, \end{array}$
ya que, análogamente, $x y x^{- 1} \in H_{j}$ debido a que $H_{j} ⊴ G$ y $y^{- 1} \in H_{j} .$

Así, $x y x^{- 1} y^{- 1} \in H_{i} \cap H_{j} \subseteq H_{i} \cap \prod_{k \neq i} H_{k} = {e}$ . Entonces $x y x^{- 1} y^{- 1} = e$ .

Por lo tanto $x y = y x$ .

Ejemplo. Sea $G = ⟨ a ⟩$ con $o (a) = 12$ . Busquemos subgrupos $H_{1}, \dots, H_{n}$ para alguna $n \in N$ tales que $G$ sea el producto directo interno de estos subgrupos.

Sean $H_{1} = ⟨ a^{3} ⟩, H_{2} = ⟨ a^{4} ⟩$ . Como $G$ es abeliano, $H_{1} ⊴ G, H_{2} ⊴ G$ . Además
$\begin{array}{r} H_{1} \cap H_{2} = {e, a^{3}, a^{6}, a^{9}} \cap {e, a^{4}, a^{8}} = {e} . \end{array}$

Como
$\begin{array}{r} a = a e = a a^{12} = a^{13} = a^{9} a^{4} \in H_{1} H_{2} \end{array}$
tenemos que $G = ⟨ a ⟩ \subseteq H_{1} H_{2}$ . Por la cerradura del producto en $G$ se tiene además que $H_{1} H_{2} \subseteq G$ , entonces $G = H_{1} H_{2}$ .

Por lo tanto $G$ es el producto directo interno de $H_{1}$ y $H_{2}$ .

Observación 7. Sean $G$ un grupo, $H_{1}, \dots, H_{n}$ subgrupos de $G$ . Si $G$ es el producto directo interno de $H_{1}, \dots, H_{n}$ , entonces
$\begin{array}{r} φ : H_{1} \times \dots \times H_{n} \to G \end{array}$
con $φ (h_{1}, \dots, h_{n}) = h_{1} \dots h_{n}$ para toda $(h_{1}, \dots, h_{n}) \in H_{1} \times \dots \times H_{n}$ es un isomorfismo.

Es consecuencia, si $G$ es finito tenemos que $| G | = | H_{1} | \dots | H_{n} |$ .

Descomposición de $G$ en $p$ -subgrupos

Algunos subgrupos importantes que vimos son los $p$ -subgrupos de Sylow, para $p$ primo. Ahora los usaremos junto con el producto directo interno para describir a $G$ como el producto de sus $p$ -subgrupos de Sylow, esto nos recuerda mucho al Teorema Fundamental de la Aritmética. Siguiendo el desarrollo de la página 193 del libro de Dummit, D. S. y Foote R. M. que aparece en la bibliografía tenemos:

Teorema. Sea $G$ un grupo finito con $p_{1}, \dots, p_{t}$ los distintos factores primos del orden de $G$ y $P_{1}, \dots, P_{t}$ subgrupos de Sylow de $G$ asociados a $p_{1}, \dots, p_{t}$ respectivamente. Si $P_{i} ⊴ G$ para toda $i \in {1, \dots, t}$ , entonces $G$ es el producto directo interno de $P_{1}, \dots, P_{t}$ .

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito de orden $n$ . Sean $p_{1}, \dots, p_{t}$ los distintos factores primos de $n$ con $n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{t}^{α_{t}}$ . Sean $P_{1}, \dots, P_{t}$ subgrupos de $G$ con $P_{i}$ un $p_{i}$ -subgrupo de Sylow de $G$ y $P_{i} ⊴ G$ para toda $i \in {1, \dots, t}$ .

Veamos que para todo $S \subseteq {1, \dots, t}$ , $\prod_{j \in S} P_{j}$ es un producto directo interno por inducción sobre $# S$ .

Caso Base. Supongamos que $# S = 1$ ,
$S = {i} \subseteq {1, \dots, t}$ y $P_{i}$ es el producto directo interno de $P_{i}$ .

H.I. Supongamos que si $T \subseteq {1, \dots, t}$ con $# T < # S$ , entonces $\prod_{j \in T} P_{j}$ es un producto directo interno.

Sea $H = \prod_{j \in S} P_{j}$ . Veamos que $H$ es el producto directo interno de los $P_{j}$ con $j \in S$ .

Por hipótesis se cumplen las condiciones $1$ y $3$ de la definición de producto directo interno. Veamos que se cumple $2$ .

Sean $i \in S$ , $x \in P_{i} \cap \prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} P_{j}$ .

Como $x \in P_{i}$ , entonces $o (x)$ divide a $| P_{i} |$ .

Como $x \in \prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} P_{j}$ , entonces el orden de $x$ divide al orden del producto: $o (x) | | \prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} P_{j} | = \prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} | P_{j} |$ donde la última igualdad se debe a que $\prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} P_{j}$ es un producto directo interno por H.I. y por la observación 7.

Pero $| P_{i} | = p_{i}^{α_{i}}$ y $\prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} | P_{j} | = \prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} p_{j}^{α_{j}}$ con $α_{j} \in N^{+}$ para toda $j \in S$ , entonces $| P_{i} |$ y $\prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} | P_{j} |$ son primos relativos. Así, $o (x) = 1$ . Por lo que $P_{i} \cap \prod_{\begin{matrix} j \in S \\ j \neq i \end{matrix}} P_{j} = {e}$ .

Hemos probado entonces que $\prod_{\begin{matrix} j \in S \end{matrix}} P_{j}$ es un producto directo interno para toda $S \subseteq {1, \dots, t}$ . En particular para $S = {1, \dots, t}$ tenemos que $\prod_{j = 1}^{t} P_{j}$ es un producto directo interno. Por la observación 7,
$\begin{array}{r} | \prod_{j = 1}^{t} P_{j} | = \prod_{j = 1}^{t} | P_{j} | = n = | G | \end{array}$
ya que $P_{1}, \dots, P_{t}$ son subgrupos de Sylow asociados a los distintos factores primos de $G$ .

Como $\prod_{j = 1}^{t} P_{j}$ es un subgrupo de $G$ de orden $| G |$ tenemos que $G = \prod_{j = 1}^{t} P_{j}$ .

Por lo tanto $G$ es el producto directo interno de $P_{1}, \dots, P_{t}$ .

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Demuestra las observaciones 5 y 7.
- $G_{1} \times \dots \times G_{n}$ es el producto directo interno de los $G_{i}^{*}$ .
- Sean $G$ un grupo, $H_{1}, \dots, H_{n}$ subgrupos de $G$ . Si $G$ es el producto directo interno de $H_{1}, \dots, H_{n}$ , entonces
  $\begin{array}{r} φ : H_{1} \times \dots \times H_{n} \to G \end{array}$
  con $φ (h_{1}, \dots, h_{n}) = h_{1} \dots h_{n}$ para toda $(h_{1}, \dots, h_{n}) \in H_{1} \times \dots \times H_{n}$ es un isomorfismo.
Regresa a la entrada de Ejemplo de Sylow y considera $S_{4}$ .
- De existir, busca $H_{1}, \dots, H_{n}$ tal que $S_{4}$ sea producto directo de $H_{1}, \dots, H_{n} .$
- Usando los $p$ -subgrupos de Sylow que encontramos, describe a $S_{4}$ como producto directo interno de ellos. Aplica el último teorema visto.
Aplica el último teorema visto a los grupos $Z_{6}$ y $T = S_{3} \times Z_{4}$ . Para cada uno encuentra los primos $p_{1}, \dots, p_{n}$ que conforman al orden del grupo y los $P_{1}, \dots, P_{n}$ subgrupos de Sylow que corresponden a estos primos. Al final, representa a cada grupo como producto directo interno de estos $p$ -subgrupos de Sylow.

Más adelante…

La descomposición de un grupo en $p$ -subgrupos que vimos es una probada de lo que veremos en el Teorema fundamental de grupos abelianos finitos, la relación de los primos que componen al orden del grupo con los $p$ -subgrupos del mismo grupo. Pero antes de poder enunciarlo, necesitamos enunciar algunos teoremas que nos ayudarán y que se sirven de los productos directos interno y externo que hemos estado viendo.

Entradas relacionadas

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Álgebra Moderna I: Producto directo externo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Esta entrada es el inicio de la última unidad del curso de Álgebra Moderna I, uno de los temas centrales que estudiaremos en esta unidad es el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos. Como es costumbre, para poder sumergirnos en el teorema, primero tenemos que construir algunos cimientos.

Seguramente a lo largo de tu estudio de las matemáticas te has encontrado con la notación $R^{2} = R \times R$ y otras similares. $R^{2}$ se usa para denotar al plano cartesiano y rápidamente entendemos que sus elementos tienen la forma de pares ordenados $(x, y)$ donde $x, y \in R$ . Esto mismo sucede con potencias mayores, como por ejemplo $(x, y, z) \in R^{3} = R \times R \times R$ y $(x_{1}, \dots, x_{n}) \in R^{n} = R \times \dots \times R$ ( $n$ veces).

De la misma manera, podríamos hacer $Z \times R$ y obtener objetos de la forma $(z, r)$ donde $z$ es un entero y $r$ un real. Es decir, podemos usar a la operación $\times$ entre dos grupos completamente distintos. Pero más allá de poder, ¿esto es algo que podamos estudiar? En pocas palabras, sí, resulta que la operación $\times$ es una manera práctica de construir grupos más grandes a partir de otros grupos.

En esta entrada y la próxima seguiremos el desarrollo de la sección 4.3 del libro de Grupos I de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto que se encuentra en la bibliografía del curso.

Hablemos del producto de grupos

Comencemos definiendo formalmente al producto de grupos.

Definición. Sean $(G_{1}, *_{1}), \dots, (G_{n}, *_{n})$ grupos. El producto directo externo de $G_{1}, \dots, G_{n}$ es
$\begin{array}{r} G_{1} \times \dots \times G_{n} = {(g_{1}, \dots, g_{n}) | g_{i} \in G \forall i \in {1, \dots, n}} \end{array}$
con la operación
$\begin{array}{r} (g_{1}, \dots, g_{n}) * (h_{1}, \dots, h_{n}) = (g_{1} *_{1} h_{1}, \dots, g_{n} *_{n} h_{n}) . \end{array}$

Observación. $G_{1} \times \dots \times G_{n}$ es un grupo con neutro $(e_{G_{1}}, \dots, e_{G_{n}})$ y $(g_{1}^{- 1}, \dots, g_{n}^{- 1})$ es el inverso de cada $(g_{1}, \dots, g_{n}) \in G_{1} \times \dots \times G_{n}$ .

Ejemplo 1. Consideremos $G = S_{3} \times Z_{2} \times D_{2 (4)} .$
Un elemento es $((1 2 3), \bar{1}, a^{2} b)$ .
Dados $(α, \bar{a}, f), (β, \bar{b}, g) \in G$ se tiene que
$\begin{array}{r} (α, \bar{a}, f) * (β, \bar{b}, g) = (α \circ β, \bar{a} + \bar{b}, f \circ g) . \end{array}$

Ejemplo 2. Tomemos el producto $Z_{2} \times Z_{2} = {(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{0}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1})}$ .
Observemos que $o (\bar{0}, \bar{0}) = 1$ , $o (\bar{0}, \bar{1}) = o (\bar{1}, \bar{0}) = o (\bar{1}, \bar{1}) = 2.$
La suma de dos elementos en ${(\bar{0}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1})}$ nos da el tercero. Entonces, $Z_{2} \times Z_{2}$ es isomorfo al grupo de Klein.

Ejemplo 3. Por último, tomemos $Z_{2} \times Z_{3} = {(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{0}, \bar{1}), (\bar{0}, \bar{2}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{2})}$ .
Observemos que $o (\bar{1}, \bar{1}) = 6.$
Tenemos que $Z_{2} \times Z_{3} = ⟨ (\bar{1}, \bar{1}) ⟩$ y así $Z_{2} \times Z_{3} ≅ Z_{6}$ .

Dos funciones naturales

Definición. Sean $G_{1}, \dots, G_{n}$ grupos, $G = G_{1} \times \dots \times G_{n}$ . Para cada $i \in {1, \dots, n}$ definimos la inclusión natural
$\begin{array}{r} {inc}_{i} : G_{i} \to G como {inc}_{i} (g_{i}) = (e_{G_{1}}, \dots, g_{i}, \dots, e_{G_{n}}), \end{array}$
donde $g_{i}$ está en la $i$ -ésima posición.

Definición. Sean $G_{1}, \dots, G_{n}$ grupos, $G = G_{1} \times \dots \times G_{n}$ . Para cada $i \in {1, \dots, n}$ definimos la proyección natural
$\begin{array}{r} π_{i} : G \to G_{i} con π_{i} (g_{1}, \dots, g_{n}) = g_{i} . \end{array}$

Observación 1 . ${inc}_{i}$ es un monomorfismo.

Observación 2 . $π_{i}$ es un epimorfismo.

Notación. $G_{i}^{*} = {inc}_{i} ⌈ G_{i} ⌉ = {e_{G_{1}}} \times \dots \times G_{i} \times \dots {e_{G_{n}}} .$

Observación 3. Para $G = G_{1} \times \dots \times G_{n}$ , los siguientes incisos son ciertos:

$G_{i} ≅ G_{i}^{*}$ ,
$G_{i}^{*} ⊴ G$ y
$G / G_{i}^{*} ≅ G_{1} \times \dots \times G_{i - 1} \times G_{i + 1} \times \dots G_{n} .$

Demostración.
${inc}_{i}$ es un monomorfismo y si restringimos a su imagen $G_{i}^{*}$ obtenemos un epimorfismo, dando un isomorfismo de $G_{i}$ a $G_{i}^{*}$ .

Ahora $φ : G \to G_{1} \times \dots \times G_{i - 1} \times G_{i + 1} \times \dots \times G_{n}$ con $φ (g_{1}, \dots, g_{n}) = (g_{1}, \dots, g_{i - 1}, g_{i + 1}, \dots, g_{n})$ es un epimorfismo y $Núc φ = G_{i}^{*}$ , probando con ello que $G_{i}^{*} ⊴ G$ . Además, por el 1er teorema de isomorfía
$\begin{array}{r} G / G_{i}^{*} ≅ G_{1} \times \dots \times G_{i - 1} \times G_{i + 1} \times \dots G_{n} . \end{array}$

Observación 4. Sean $i \neq j$ , $x \in G_{i}^{*}$ , $y \in G_{j}^{*}$ . Entonces $x *_{n} y = y *_{n} x$ .

¿Y si ahora recuperamos $G$ a partir de los $G_{i}^{*}$ ?

En la entrada Producto de subgrupos y clases laterales, definimos el producto de dos subgrupos. Generalicemos esta idea para una cantidad finita de subgrupos:

Definición. Sea $G$ un grupo. Dados $H_{1}, \dots, H_{n}$ subgrupos de $G$ , el producto de $H_{1}, \dots, H_{n}$ es
$\begin{array}{r} \prod_{i = i}^{n} H_{i} = H_{1} \dots H_{n} = {h_{1} h_{2} \dots h_{n} | h_{i} \in H_{i}; \forall i \in {1, \dots, n}} . \end{array}$

Observemos que para realizar el producto de $h_{1} h_{2} \dots h_{n}$ sólo usamos la operación del grupo $G$ porque todas las $H_{i}$ son subgrupos de $G$ . Sin embargo, como estudiamos en la entrada Producto de subgrupos y clases laterales, el conjunto $H_{1} \dots H_{n}$ no necesariamente es un subgrupo ya que la operación no siempre es cerrada. En la siguiente entrada agregaremos condiciones a los subgrupos $H_{i}$ para que $H_{1} \dots H_{n}$ sí sea un subgrupo de $G$ .

Relacionemos ahora el producto directo externo con el producto de los subgrupos $G_{i}^{*}$ antes definidos:

Proposición. Sean $G_{1}, \dots, G_{n}$ grupos, $G = G_{1} \times \dots \times G_{n} .$

$G_{i}^{*} ⊴ G \forall i \in {1, \dots, n}$ .
$G_{i}^{*} \cap (\prod_{j \neq i} G_{j}^{*}) = {e_{G}} para toda i \in {1, \dots, n}$ .
$G = \prod_{i = 1}^{n} G_{i}^{*}$ .

Demostración.
Sean $G_{1}, \dots, G_{n}$ grupos, $G = G_{1} \times \dots \times G_{n}$ .

Por la observación 3: $G_{i}^{*} ⊴ G$ , para toda $i \in {1, \dots, n}$ .
La contención ${e_{G}} \subseteq G_{i}^{*} \cap (\prod_{j \neq i} G_{j}^{*})$ , donde $e_{G} = (e_{G_{1}}, \dots, e_{G_{n}})$ , es clara. Así que probaremos la otra.
Sea $g = (g_{1}, \dots, g_{n}) \in G_{i}^{*} \cap (\prod_{j \neq i} G_{j}^{*})$ .
Como $g \in G_{i}^{*} = {e_{G_{1}}} \times \dots \times G_{i} \times \dots \times {e_{G_{n}}}$ , entonces la $j$ -ésima entrada de $g$ es $g_{j} = e_{G_{j}}$ para toda $j \neq i$ .
Como $g \in \prod_{j \neq i} G_{j}^{*}$ , $g = h_{1} \dots h_{i - 1} h_{i + 1} \dots h_{n}$ con $h_{j} \in G_{j}^{*}$ para toda $j \neq i$ .
Dado que cada $h_{j} \in G_{j}^{*}$ y $j \neq i$ , la entrada $i$ de cada $h_{j}$ es $e_{G_{i}}$ , por lo tanto la entrada $i$ de $g$ es $e_{G_{i}}$ .
Por lo tanto $g = (e_{G_{1}}, \dots, e_{G_{n}}) = e_{G}$ .
Como $G_{i}^{*} \subseteq G$ para toda $i \in {1, \dots, n}$ , entonces $\prod_{i = 1}^{n} G_{i} \subseteq G .$
Ahora, si $g \in G$ ,
$\begin{array}{r} g = (g_{1}, \dots, g_{n}) = (g_{1}, e_{G_{2}}, \dots, e_{G_{n}}) (e_{G_{1}}, g_{2}, e_{G_{3}}, \dots, e_{G_{n}}) \dots (e_{G 1}, \dots, e_{G_{n - 1}}, g_{n}) . \end{array}$
Entonces $g \in \prod_{i = 1}^{n} G_{i}^{*} .$
Por lo tanto $G = \prod_{i = 1}^{n} G_{i}^{*}$ .

Lo anterior muestra que un producto directo externo es un producto de subgrupos normales que cumple el inciso 2 de la proposición.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Demuestra las observaciones 1, 2 y 4:
- ${inc}_{i}$ es un monomorfismo.
- $π_{i}$ es un epimorfismo.
- Sean $i \neq j$ , $x \in G_{i}^{*}$ , $y \in G_{j}^{*}$ . Entonces $x *_{n} y = y *_{n} x$ .
Sean $G_{1}, \dots, G_{n}$ grupos finitos, demuestra que el orden de su producto directo externo es $| G_{1} | | G_{2} | \dots | G_{n} | .$
Prueba que el centro de un producto externo es el producto externo de los centros, esto es: $Z (G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n}) = Z (G_{1}) \times Z (G_{2}) \times \dots \times Z (G_{n}) .$ Deduce que el producto directo externo de grupos abelianos es abeliano.
Sea $G = A_{1} \times A_{2} \dots \times A_{n}$ y para cada $i \in {1, \dots, n}$ sea $B_{i} ⊴ A_{i}$ . Prueba que $B_{1} \times B_{2} \times \dots \times B_{n} ⊴ G$ y que $(A_{1} \times A_{2} \dots \times A_{n}) / (B_{1} \times B_{2} \times \dots \times B_{n}) ≅ (A_{1} / B_{1}) \times (A_{2} / B_{2}) \times \dots \times (A_{n} / B_{n}) .$
Sean $A$ y $B$ dos grupos finitos y sea $p$ un primo.
- Prueba que cualquier $p$ -subgrupo de Sylow de $A \times B$ es de la forma $P \times Q$ , donde $P$ es un $p$ -subgrupo de Sylow de $A$ y $Q$ es un $p$ -subgrupo de Sylow de $B$ .
- Prueba que además, la cantidad de $p$ -subgrupos de Sylow de $A \times B$ es igual a la cantidad de $p$ -subgrupos de Sylow de $A$ por la cantidad de $p$ -subgrupos de Sylow de $B$ , es decir: $r_{p} (A \times B) = r_{p} (A) r_{p} (B) .$
- Generaliza este resultado para el producto directo externo de una cantidad finita de grupos, es decir, para $A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n}$ determina que sus $p$ -subgrupos de Sylow son el producto directo externo de $p$ -subgrupos de Sylow de sus factores.

Más adelante…

La última proposición es prácticamente la conclusión de esta entrada, porque iniciamos definiendo a $G$ como el producto de grupos externos a él y terminamos describiendo a $G$ como producto de subgrupos específicos de él mismo. ¿Habrá alguna manera de generalizar esto, es decir, cuándo un grupo $G$ se podrá expresar como un producto de subgrupos específicos de él mismo? Esta pregunta nos lleva a la definición del producto directo interno que se dará en la siguiente entrada.

Entradas relacionadas

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Álgebra Moderna I: Cuarto Teorema de Isomorfía

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía, para entenderlo mejor es necesario ilustrarlo con diagramas de retícula.

Sean $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$ . Recordemos que podemos escribir todos los subgrupos de $G$ en una retícula. Como estamos considerando a todos los subgruposde $G$ , el subgrupo más pequeño es el conjunto que contiene sólo al neutro ${e_{G}}$ . Así, $G$ va hasta arriba del diagrama y ${e_{G}}$ al final.

Por otro lado, como $H ⊴ G$ , tiene sentido considerar otro diagrama, el del grupo $G / N$ . De la misma manera que en el anterior, hasta abajo colocaríamos ${e_{G / N}}$ que es el conjunto unitario de ${N}$ .

Diagramas de retícula de $G$ y de $G / N$ .

Luego, como $N ⊴ G$ . Podemos tomar un subgrupo $H$ de $G$ que contenga $N$ y colocarlos en el diagrama. Además, esto nos daría la existencia de $H / N \leq G / N$ , entonces podríamos dar una correspondencia de $H \mapsto H / N$ . Esto nos da una relación entre ambas retículas (la de $G$ y la de $G / N$ ):

$\begin{aligned} G & ⟼ G / N \\ H & ⟼ H / N \\ N & ⟼ {e_{G}} = {N} . \end{aligned}$

La relación que existe entre la retícula desde $N$ a $G$ y la retícula de $G / N$ además de ser biyectica tiene otras propiedades, por ejemplo, si existe $N \leq K ⊴ H$ , entonces $K / N ⊴ H / N$ . Estas propiedades son las que veremos en el teorema que nos compete.

Diagramas de retícula de $G$ y de $G / N$ con correspondencia.

Enunciado y demostración del Teorema

A continuación veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía (CTI), también conocido como Teorema de la Correspondencia.

Teorema. (Cuarto Teorema de Isomorfía)
Sea $G$ un grupo, $N$ subgrupo normal de $G$ , $π : G \to G / N$ con $π (a) = a N$ (la proyección canónica) para toda $a \in G$ . Consideremos

$\begin{aligned} {Sub}_{N}^{G} & = {H | N \leq H \leq G}, \\ {Sub}_{G / N} & = {H | H \leq G / N} . \end{aligned}$

Entonces $π$ define una correspondencia biyectiva
$\begin{array}{r} F : {Sub}_{N}^{G} \to {Sub}_{G / N} \end{array}$
con $F (H) = π [H] = H / N$ para todo $H \in {Sub}_{H}^{G}$ .

Además, si $H, K \in {Sub}_{N}^{G}$ :

$K \leq H$ si y sólo si $K / N \leq H / N$ y en este caso $[H : K] = [H / N : K / N]$ .
$K ⊴ H$ si y sólo si $K / N ⊴ H / N$ .
$⟨ H \cup K ⟩ / N = ⟨ H / N \cup K / N ⟩$ .
$(H \cap K) / N = (H / N) \cap (K / N)$ .

Demostración.

Sean $G$ un grupo, $N ⊴ G$ , $π : G \to G / N$ con $π (a) = a N$ para toda $a \in G$ .
Sean
$\begin{aligned} {Sub}_{N}^{G} & = {H | N \leq H \leq G}, {Sub}_{G / N} = {H | H \leq G / N} . \end{aligned}$

Definimos
$\begin{array}{r} F : {Sub}_{N}^{G} \to {Sub}_{G / N} \end{array}$
con $F (H) = π [H] = H / N$ para todo $H \in {Sub}_{H}^{G}$ . Donde $π [H]$ es la imagen directa de $H$ bajo $π$ .

Como $π$ es un homomorfismo y $H \leq G$ entonces $π [H] \leq π [G]$ , es decir $H / N \leq G / N$ , entonces $F$ está bien definida.

Veamos que $G$ es inyectiva, para ello probemos la primera parte del inciso 1.
Sean $H, K \in {Sub}_{N}^{G}$ .
P.D. $K \leq H \Leftrightarrow K / N \leq H / N$ .

$| \Rightarrow]$ Supongamos que $K \leq H$ . Sea $x \in K / N, x = k N$ con $k \in K .$

Como $K \subseteq H$ , $k \in H$ y así $x = k N \in H / N$ . Por lo tanto $K / N \leq H / N$ .

$[\Leftarrow |$ Supongamos que $K / N \leq H / N .$ Sea $k \in K$ , tenemos las siguientes implicaciones:
$\begin{aligned} k N \in K / N & \Rightarrow k N \in H / N & pues K / N \leq H / N \\ \Rightarrow k N = h N con h \in H \\ \Rightarrow k = h n con h \in H, n \in N & por k \in k N = h N \\ \Rightarrow k \in H & ya que N \subseteq H . \end{aligned}$

Por lo tanto $K \leq H$ .

De este modo, si $H, K \in {Sub}_{N}^{G}$ son tales que $F (H) = F (K)$ , entonces $H / N = K / N$ , así
$\begin{aligned} H / N \leq K / N & \Rightarrow H \leq K \\ K / N \leq H / N & \Rightarrow K \leq H, \end{aligned}$

ambas implicaciones son consecuencia de lo que acabamos de probar del inciso 1 de CTI. Así, $H = K$ .

Veamos que $F$ es suprayectiva. Se $H \in {Sub}_{G / N}$ , es decir $H \leq G / N$ . Como $π : G \to G / N$ es un homomorfismo y ${N} \leq H \leq G / N$ , entonces $N \leq π^{- 1} [H] \leq G$ .

Diagrama de la imagen inversa de $H = π^{- 1} [H]$ .

Nos vamos a fijar en el subgrupo $π^{- 1} [H]$ , porque nos va a servir para probar la suprayectividad que buscamos.
Entonces apliquemos $F$ : $F (π^{- 1} [H]) = π [π^{- 1} [H]] = H$ pues $π$ es suprayectiva. Así, $F$ es suprayectiva.

Probaremos ahora la segunda parte del inciso 1).
Sean $H, K \in {Sub}_{N}^{G}$ , con $K \leq H$ .
P.D. $[H : K] = [H / N : K / N]$ .

Recordemos que $[H / N : K / N]$ es la cardinalidad de ${(h N) K / N | h N \in H / N}$ .

Para simplificar, denotaremos a $K / N$ por $K^{*}$ y como $π (h) = h N$ , entonces $[H / N : K / N]$ es la cardinalidad de ${π (h) K^{*} | h \in H} .$

P.D. ${h K | h \in H}$ y ${π (h) K^{*} | h \in H}$ tienen la misma cardinalidad.

Sea $f : {h K | h \in H} \to {π (h) K^{*} | h \in H}$ definida por $f (h K) = π (h) K^{*}$ para toda $h \in H$ . Demostraremos que es una función biyectiva.
Primero, veamos que $f$ está bien definida. Tomemos $h, \tilde{h} \in H$ . Tenemos las siguientes implicaciones:

$\begin{aligned} h K = \tilde{h} K & \Rightarrow h^{- 1} \tilde{h} \in K \\ \Rightarrow h^{- 1} \tilde{h} N \in K / N = K^{*} \\ \Rightarrow π (h^{- 1} \tilde{h}) \in K^{*} & definición de π \\ \Rightarrow π (h)^{- 1} π (\tilde{h}) \in K^{*} & π es homomorfismo \\ \Rightarrow π (h) K^{*} = π (\tilde{h}) K^{*} . \end{aligned}$
Por lo tanto, $f$ está bien definida.

Ahora veamos que $f$ es inyectiva. Sean $h K, \tilde{h} K$ con $h, \tilde{h} \in H$ , tales que $f (h K) = f (\tilde{h} K)$ . Seguiremos las siguientes implicaciones,

$\begin{aligned} f (h k) = f (\tilde{h} K) & \Rightarrow π (h) K^{*} = π (\tilde{h}) K^{*} & definición de f \\ \Rightarrow π (h)^{- 1} π (\tilde{h}) \in K^{*} \\ \Rightarrow π (h^{- 1} \tilde{h}) \in K^{*} & π es homomorfismo \\ \Rightarrow h^{- 1} \tilde{h} N \in K^{*} & definición de π \\ \Rightarrow h^{- 1} \tilde{h} N = k N con k \in K & porque K^{*} = K / N \\ \Rightarrow h^{- 1} \tilde{h} = k n, k \in K, n \in N & porque h^{- 1} \tilde{h} \in h^{- 1} \tilde{h} N \\ \Rightarrow h^{- 1} \tilde{h} \in K & pues N \subseteq K \\ \Rightarrow h K = \tilde{h} K . \end{aligned}$
Por lo tanto $f$ es inyectiva.

Además, si tenemos $π (h) K^{*}$ con $h \in H$ , entonces $π (h) K^{*} = f (h K) \in Im f$ . Por lo tanto $f$ es suprayectiva.

Así,
$\begin{aligned} [H : K] & = # {h K | h \in H} \\ = # {π (h) K^{*} | h \in H} = [H / N : K / N] . \end{aligned}$

Ahora, demostraremos el inciso 2.

Sean $H, K \in {Sub}_{N}^{G}$ .
P.D. $K ⊴ H \Leftrightarrow K / N ⊴ H / N .$

El inciso 1 (que acabamos de probar) ya nos da que $K \leq H \Leftrightarrow K / N \leq H / N .$ Entonces lo que nos resta probar es que son subgrupos normales.

$| \Rightarrow]$ Supongamos que $K ⊴ H$ . Sean $x \in H / N, y \in K / N$ , entonces $x = h N, y = k N$ con $h \in H, k \in K$ .

Lo que queremos es considerar el conjugado $x y x^{- 1}$ , es decir, ver que si tomamos un elemento de $K$ módulo $N$ (al que llamamos $y$ ) y lo conjugamos con cualquier elemento de $H$ módulo $N$ (en este caso $x$ ), vuelvo a tener un elemento en $K$ módulo $N$ . Esto se ve de la siguiente manera:
$\begin{array}{r} x y x^{- 1} = (h N) (k N) (h N)^{- 1} = (h N) (k N) (h^{- 1} N) = h k h^{- 1} N . \end{array}$

Como $k \in K, h \in H$ y $K ⊴ H$ , se tiene que $h k h^{- 1} \in K$ .

Así, $x y x^{- 1} = h k h^{- 1} N \in K / N$ . Por lo que $K / N ⊴ H / N$ .

$[\Leftarrow |$ Supongamos que $K / N ⊴ H / N$ . Sean $k \in K, h \in H$ .

Veamos qué sucede con la clase $h k h^{- 1} N$ :
$\begin{array}{r} h k h^{- 1} N = (h N) (k N) (h^{- 1} N) = (h N) (k N) (h N)^{- 1} \end{array}$

Es otras palabras, estamos conjugando un elemento de $k N \in K / N$ con un elemento de $k N \in K / N$ . Luego, como sabemos que $K / N ⊴ H / N$ obtenemos que esta conjugación sigue estando en $K / N$ . Es decir, $h k n^{- 1} N \in K / N$ .

Podríamos reescribir $h k h^{- 1} N = \tilde{k} N$ con $\tilde{k} \in K$ . Así,

$\begin{aligned} h k h^{- 1} N & = \tilde{k} N & con \tilde{k} \in K \\ \Rightarrow h k h^{- 1} & = \tilde{k} n, \tilde{k} \in K, n \in N & por h k h^{- 1} \in h k h^{- 1} N = \tilde{k} N \\ \Rightarrow h k h^{- 1} & \in K & pues N \subseteq K . \end{aligned}$

Por lo tanto $K ⊴ H$ .

Ejemplo de CTI

Ejemplo. Tomemos el grupo diédrico (todas las simetrías de un cuadrado) $D_{2 (4)} = ⟨ a, b ⟩$ , donde $a$ la rotación de $\frac{π}{2}$ y $b$ es la reflexión respecto al eje $x$ .

Construyamos la retícula de $D_{2 (4)}$ : comenzamos con $D_{2 (4)}$ hasta arriba, este tiene orden de 8. En el siguiente nivel colocamos los subgrupos:
$\begin{aligned} ⟨ a^{2}, b ⟩ & = {id, a^{2}, b, a^{2} b} \\ ⟨ a ⟩ & = {id, a, a^{2}, a^{3}} \\ ⟨ a^{2}, a b ⟩ & = {id, a^{2}, a b, a^{3} b} . \end{aligned}$

Cada uno de esos subgrupos tiene orden 4, en realidad esos son los únicos subgrupos de $D_{2 (4)}$ que tienen orden 4. Siéntete libre de confirmar las cuentas.

Luego podemos colocar en el tercer nivel los subgrupos de orden 2:
$\begin{aligned} ⟨ b ⟩ & = {id, b} \\ ⟨ a^{2} b ⟩ & = {id, a^{2} b} \\ ⟨ a^{2} ⟩ & = {id, a^{2}} \\ ⟨ a b ⟩ & = {id, a b} \\ ⟨ a^{3} b ⟩ & = {id, a^{3} b} . \end{aligned}$

Por último, hasta abajo tenemos al unitario de la identidad ${id}$ . Si verificamos las operaciones, nos daremos cuenta que hemos construido todo el diagrama de retícula de $D_{2 (4)}$ .

Para poder usar el CTI, consideremos $⟨ a^{2} ⟩ ⊴ D_{2 (4)}$ y concentremos nuestra atención en la parte de la retícula que se encuentra entre esos dos (marcada con rojo en la imagen).

Ahora, dibujaremos el diagrama de retícula de $D_{2 (4)} / ⟨ a^{2} ⟩$ , éste va hasta arriba. Colocamos los cocientes respectivos en el siguiente nivel, siguiendo esta correspondencia:

$\begin{aligned} ⟨ a^{2}, b ⟩ & ⟼ ⟨ a^{2}, b ⟩ / ⟨ a^{2} ⟩ \\ ⟨ a ⟩ & ⟼ ⟨ a ⟩ / ⟨ a^{2} ⟩ \\ ⟨ a^{2}, a b ⟩ & ⟼ ⟨ a^{2}, a b ⟩ / ⟨ a^{2} ⟩ . \end{aligned}$

Haciendo las cuentas veremos que:
$\begin{array}{r} ⟨ a^{2}, b ⟩ / ⟨ a^{2} ⟩ = ⟨ b ⟨ a^{2} ⟩ ⟩ \\ ⟨ a ⟩ / ⟨ a^{2} ⟩ = ⟨ a ⟨ a^{2} ⟩ ⟩ \\ ⟨ a^{2}, a b ⟩ / ⟨ a^{2} ⟩ = ⟨ a b ⟨ a^{2} ⟩ ⟩ . \end{array}$

Construcción de los diagramas de retícula

Por último, haremos una observación. Si tomamos el subgrupos $⟨ a^{3} b ⟩$ de orden 2 igual podríamos aplicarle la regla de correspondencia de $F$ y seguirían cayendo en elementos de la retícula de $D_{2 (4)} / ⟨ a^{2} ⟩$ es decir:
$\begin{array}{r} F (⟨ a^{3} b ⟩) = π [⟨ a^{3} b ⟩] = {id ⟨ a^{2} ⟩, a^{3} b ⟨ a^{2} ⟩} = ⟨ a b ⟨ a^{2} ⟩ ⟩ . \end{array}$

En ese contexto la función con la regla de correspondencia de $F$ no sería biyectiva ya que $F (⟨ a^{3} b ⟩) = F (⟨ a b ⟩)$ , pero esto no contradice el Teorema de la Correspondencia porque en realidad $⟨ a^{3} b ⟩$ ni siquiera está contemplado en el dominio de $F$ porque no forma parte de la retícula entre $D_{2 (4)}$ y $⟨ a^{2} ⟩$ .

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Prueba los incisos 3 y 4 del Teorema de la correspondencia (Cuarto Teorema de Isomorfía).
Encuentra la retícula de sugrupos de $Z$ que contienen a $24 Z$ .
- Encuentra la retícula de subgrupos de $Z / 24 Z$ .
- Compara ambas retículas.
Usando el diagrama reticular de subgrupos de $Z_{36}$ encuentra el de $Z_{36} / N$ donde $N = {\bar{0}, \overset{―}{12}, \overset{―}{24}}$ .

Más adelante…

Con esta entrada concluimos la Unidad 3. En la siguiente unidad comenzaremos a ver cómo es posible ver a cualquier grupo como un subgrupo de permutaciones. ¿Puedes imaginártelo?

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