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1.2. ESPACIOS VECTORIALES: definición y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

2 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

A partir del interés de establecer métodos para resolver ecuaciones de tercer grado por medio de radicales, los matemáticos se encuentran con las raíces negativas e imaginarias. El concepto de número imaginario logra superponerse al paradigma y encuentra su lugar a través de su representación geométrica.

El físico William Rowan Hamilton se interesó por establecer propiedades de las operaciones entre números complejos y sostuvo que el álgebra tenía una relación muy estrecha con la física. Motivado con esta idea, establece conjuntos de números dotados de una estructura algebraica con una representación espacial muy útil para los trabajos en física. Sus propiedades resultan similares a las que actualmente se tienen para el producto escalar y vectorial.

Los cuaterniones de Hamilton son números de la forma: $P=a+bi+cj+dk$.
Donde $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $k=ij=-ji$ es una unidad imaginaria.

En el álgebra lineal el concepto de «vector» adquiere su significado más general.

ESPACIO VECTORIAL

Definición: Sean $V$ un conjunto y sea $K$ un campo (con las operaciones $+_K$ y $\cdot_K$). Sean $+_V: V \times V \longrightarrow V$ y $\cdot_V: K \times V \longrightarrow V$ operaciones. Decimos que $V,+_V,\cdot_V$ es un espacio vectorial sobre el campo $K$, o bien un $K$ – espacio vectorial (y a los elementos de $K$ les llamamos vectores), si $+_V$ y $\cdot_V$ cumplen lo siguiente:

  1. $+_V$ es asociativa
    $\forall u,v,w \in V:$
    $(\,u+_V(v+_V w)=(u+_V v)+_V w\,)$
  2. $+_V$ es conmutativa
    $\forall u,v \in V:$
    $(\,u+_V v=v+_V u\,)$
  3. Existe neutro aditivo
    $\exists \theta_V \in V:$
    $\forall u \in V (\,\theta_V +_V u = u +_V \theta_V = u\,)$
  4. Todo elemento $u \in V$ tiene inverso aditivo
    $\forall u \in V:$
    $\exists \tilde {u} \in V (\,u+_V \tilde {u} = \tilde {u} +_V u = \theta_V\,)$
  1. $\forall u \in V:$
    $1_K \cdot_V u = u$
  2. $\forall \lambda,\mu \in K \forall u \in V:$
    $\lambda\cdot_K(\mu\cdot_K u)=(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V u$
  3. $\cdot_V$ es distributiva
    7.1 $\forall \lambda,\mu \in K \forall u \in V:$
    $(\lambda+_K\mu)\cdot_V u = (\lambda\cdot_V u)+(\mu\cdot_V u)$
    7.2 $\forall \lambda \in K \forall u,v \in K:$
    $\lambda\cdot_V(u+v)=\lambda\cdot_V u+\lambda\cdot_V v$

Nota: Es común encontrar la expresión «$V$ es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones $+, \cdot$» en lugar de «$V,+,\cdot$ es un $K$ – espacio vectorial», al igual que «$V$ es un $K$ – espacio vectorial» sin la referencia a las operaciones cuando se trata de las usuales (se suponen por obviedad).

Nota: Para evitar confusiones, en caso de ser necesario, denotaremos por $u+_V v$ a la suma de los vectores $u$ y $v$, y por $\lambda\cdot_V v$ al producto del escalar $\lambda$ por el vector $v$, pero una vez que nos habituemos a ellas las denotaremos simplemente por $u+v$ y $\lambda v$.

Ejemplos:

  • $\mathbb{R}^n$ es un $\mathbb{R}$ – espacio vectorial con la suma y el producto por escalar usuales.
  • $<(1,1,1)> = \{\lambda(1,1,1):\lambda \in \mathbb{R} \}$ es un $\mathbb{R}^n$ – espacio vectorial.
  • Sea $K$ campo. $\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ (las matrices con $m$ renglones y $n$ columnas, con entradas en $K$) es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y producto por escalar.
  • Sea $K$ campo. $K[x]$ (los polinomios en $x$ con coeficientes en $K$) es un $K$ – espacio vectorial con la suma y el producto por escalar usuales.
  • Sea $K$ campo. $K^{n} = \{(x_{1}, x_{2},…,x_{n}) : x_{1},x_{2},…,x_{n} \in K \}$ es un $K$ – espacio vectorial con la suma entrada a entrada y el producto definido como sigue:
    Sean $(x_{1},x_{2},…,x_{n}) \in K^{n}$, $\lambda \in K$. $\lambda \cdot (x_{1},x_{2},…,x_{n})=(\lambda x_{1}, \lambda x_{2},…,\lambda x_{n})$
  • Sea $K$ campo. $K^{\infty} = \{(x_{1}, x_{2},…) : x_{1},x_{2},… \in K \}$ es un $K$ – espacio vectorial con la suma entrada a entrada y el producto definido como sigue:
    Sean $(x_{1},x_{2},…) \in K^{n}$, $\lambda \in K$. $\lambda \cdot (x_{1},x_{2},…)=(\lambda x_{1}, \lambda x_{2},…)$

EJEMPLO FUNCIONES

Sea $K$ campo. $V=\{f|f:K \longrightarrow K\}$ es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones $+_V$ y $\cdot_V$ definidas como sigue:

Sean $f,g \in V$, $\lambda \in K$.
$f +_V g : K \longrightarrow K$
$(f +_V g )(x) = f(x) +_K g(x)$ para todo $x\in K$ donde $+_K$ es la suma en $K$.

Sean $f \in V$, $\lambda \in K$.
$\lambda \cdot_V f : K \longrightarrow K$
$(\lambda \cdot_V f )(x) =\lambda \cdot_K f(x)$ para todo $x\in K$
donde $\cdot_K$ es el producto en $K$.

DEMOSTRACIÓN

Vamos a ver que las operaciones $+_V$, $\cdot_V$ cumplen las ocho condiciones suficientes y necesarias (por definición) para que $V$ sea espacio vectorial:

Sean $f,g,h \in V$, $\lambda, \mu \in K$.
Sea $x \in K$ arbitrario.

  1. P.D. $+_V$ es asociativa
    $i. e.$ $(f +_V g) +_V h = f +_V (g +_V h)$

Obs. 1 Tenemos que $f +_V g, g +_V h \in V$. Así, $(f +_V g) +_V h, f +_V (g +_V h) \in V$. Así que sólo falta ver que $(f +_V g) +_V h$ y $f +_V (g +_V h)$ tienen la misma regla de correspondencia.

$\begin{align*}
((f +_V g) +_V h)(x) &= (f +_V g)(x) +_K h(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= (f(x) +_K g(x)) +_K h(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= f(x) +_K (g(x) +_K h(x))\tag{asociat. $+_K$}\\
&= f(x) +_K (g +_V h)(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= (f +_V (g +_V h))(x)\tag{def. $+_V$}\\
\therefore (f +_V g) +_V h &= f +_V (g +_V h)
\end{align*}$

  1. P.D. $+_V$ es conmutativa
    $i.e.$ $f +_V g = g +_V f$

Obs. 2 Tenemos que $f +_V g, g +_V f \in V$. Así que sólo falta ver que $f +_V g$ y $g +_V f$ tienen la misma regla de correspondencia.

$\begin{align*}
(f +_V g)(x) &= f(x) +_K g(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= g(x) +_K f(x)\tag{conmutat. $+_K$}\\
&= (g +_V f)(x)\tag{def. $+_V$}\\
\therefore f +_V g &= g +_V f
\end{align*}$

  1. P.D. Existe neutro aditivo
    $i.e.$ $\exists \theta_V \in V:$
    $\theta_V +_V f = f +_V \theta_V = f$

Proponemos:
$\theta_V : K \longrightarrow K$ con
$\theta_V(x) = 0_K$ para todo $x\in K$
donde $0_K$ es neutro aditivo de $K$.

Obs. 3 Por construcción $\theta_V \in V$. Así, $f +_V \theta_V, \theta_V +_V f \in V$. Además, por $2$, se cumple que $\forall f \in V (\theta_V +_V f = f +_V \theta_V)$. Entonces sólo falta ver que $f +_V \theta_V$ y $f$ tienen la misma regla de correspondencia.

$\begin{align*}
(f +_V \theta_V)(x) &= f(x) +_K \theta_V(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= f(x) +_K 0_K\tag{def. $\theta_V$}\\
&= f(x)\tag{neutro ad.}\\
\therefore \theta_V +_V f = f +_V \theta_V
\end{align*}$

  1. P.D. Todo elemento $f \in V$ tiene inverso aditivo
    $i.e.$ $\exists \tilde{f} \in V:$
    $f+ \tilde{f} = \tilde{f} + f = \theta_V$

Proponemos:
$\tilde{f} : K \longrightarrow K$ con
$\tilde{f}(x)=(-f(x))$ para todo $x\in K$
donde $(-f(x))$ es el inverso aditivo de $f(x) \in K$.

Obs. 4 Por construcción $\tilde{f} \in V$. Así, $f +_V \tilde{f}, \tilde{f} +_V f \in V$. Además, por $2$, se cumple que $\forall f \in V (f +_V \tilde{f} = \tilde{f} +_V f \in V)$. Entonces sólo falta ver que $f +_V \tilde{f}$ y $\theta_V$ tienen la misma regla de correspondencia.

$\begin{align*}
(f +_V \tilde{f})(x) &= f(x) +_K \tilde{f}(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= f(x) +_K (-f(x)) \tag{def. $\tilde{f}$}\\
&= 0_K\tag{inv. ad.}\\
&= \theta_V (x)\tag{def. $\theta_V$}\\
\therefore f +_V \tilde{f} = \tilde{f} +_V f = \theta_V
\end{align*}$

  1. P.D. $1_K \cdot_V f = f$

Sea $1_K$ el neutro multiplicativo en $K$.

Obs. 5 Por construcción $1_K \in K$. Así, $1_K \cdot_V f \in V$. Así que sólo falta ver que $1_K \cdot_V f$ y $f$ tienen la misma regla de correspondencia.

$\begin{align*}
(1_K \cdot_V f)(x) &= 1_K \cdot_K f(x)\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= f(x)\tag{neut. mult.}\\
\therefore 1_V \cdot_V f = f
\end{align*}$

  1. P.D. $\lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f)=(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f$

Obs. 6 Por construcción $\mu\cdot_V f \in V$. Así, $\lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f) \in V$. También tenemos que $\lambda\cdot_K\mu\in K,$ por lo cual $(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f\in V$ Entonces sólo falta ver que $\lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f)$ y $(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f$ tienen la misma regla de correspondencia.

$\begin{align*}
(\lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f))(x) &= \lambda \cdot_K (\mu\cdot_V f)(x)\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= \lambda\cdot_K(\mu\cdot_K f(x))\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= (\lambda\cdot_K\mu)\cdot_K f(x)\tag{asociat. $\cdot_K$}\\
&= ((\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f)(x)\tag{def. $\cdot_V$}\\
\therefore \lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f)=(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f
\end{align*}$

  1. P.D. Se cumple la distributividad (7.1)
    $i.e.$ $(\lambda +_K \mu)\cdot_V f=(\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f)$

Obs. 7 Tenemos que $\lambda,\mu,\lambda +_K \mu \in K$. Así, $(\lambda +_K \mu)\cdot_V f, (\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f) \in V$. Así que solo falta ver que $(\lambda +_K \mu)\cdot_V f$ y $(\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f)$ tienen la misma regla de correspondencia.

$\begin{align*}
((\lambda +_K \mu)\cdot_V f)(x) &= (\lambda +_K \mu)\cdot_K f(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= (\lambda\cdot_K f(x)) +_K (\mu\cdot_K f(x))\tag{distrib.}\\
&= ((\lambda\cdot_V f)(x)) +_K ((\mu\cdot_V f)(x))\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= ((\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f))(x))\tag{def. $\cdot_V$}\\
\therefore (\lambda +_K \mu)\cdot_V f=(\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f)
\end{align*}$

  1. P.D. Se cumple la distributividad (7.2)
    $i.e.$ $\lambda \cdot_V (f +_V g)= (\lambda \cdot_V f) +_V(\lambda \cdot_V g)$

Obs. 8 Tenemos que $\lambda \cdot_V (f +_V g), \lambda \cdot_V f, \lambda \cdot_V g \in V$. Así, $(\lambda \cdot_V f) +_V(\lambda \cdot_V g) \in V$. Entonces sólo falta ver que $\lambda \cdot_V (f +_V g)$ y $(\lambda \cdot_V f) +_V(\lambda \cdot_V g)$ tienen la misma regla de correspondencia.

$\begin{align*}
(\lambda \cdot_V (f +_V g))(x) &= \lambda \cdot_K (f +_V g)(x)\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= \lambda \cdot_K (f(x) +_K g(x))\tag{def. $+_V$}\\
&= (\lambda \cdot_K f(x)) +_K (\lambda \cdot_K g(x))\tag{distrib.}\\
&= ((\lambda \cdot_V f)(x)) +_K ((\lambda \cdot_V g)(x))\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= ((\lambda \cdot_V f) +_V (\lambda \cdot_V g))(x)\tag{def. $+_V$}\\
\therefore \lambda \cdot_V (f +_V g)= (\lambda \cdot_V f) +_V(\lambda \cdot_V g)
\end{align*}$

Por lo tanto $V=\{f|f:K \longrightarrow K\}$ es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones $+_V$ y $\cdot_V$ trabajadas.

TAREA MORAL

  1. Encuentra un $K$ campo dentro de los ejemplos de la entrada anterior con el cual $\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ sea un $K$ – espacio vectorial con una cantidad finita de elementos. Si $K$ no es concreto, exhibe un caso particular de ese campo y una vez que lo hagas, muestra todos los elementos del espacio vectorial obtenido.
  1. Demuestra que el neutro aditivo de $V$, un $K$ – espacio vectorial, es único.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sabemos por la definición de espacio vectorial, que existe $\theta_V$ neutro.
    • Primero sup. que existe ${\theta_V}’ \in V$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $\theta_V = {\theta_V}’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $\theta_V = \theta_V +_V {\theta_V}’ = {\theta_V}’$
  1. Demuestra que los inversos aditivos en $V$ son únicos.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sea $u \in V$. Sabemos por la definición de campo, que existe $\tilde{u} \in V$ inverso aditivo de $u$.
    • Primero sup. que existe $\tilde{u}’ \in V$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $\tilde{u} = \tilde{u}’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $\tilde{u} = \tilde{u} +_V \theta_V = \tilde{u} + (u + \tilde{u}’) = (\tilde{u} + u) + \tilde{u}’$
    • Completa la demostración con las igualdades necesarias y justifícalas.

MÁS ADELANTE…

Ahora analizaremos algunas propiedades de los espacios vectoriales, una de ellas nos dice quién es el elemento neutro dado el espacio vectorial. Además de dos identidades del elemento neutro.

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1.1. CAMPO Y SUBCAMPO: definiciones y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

2 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

El ser humano ha hecho un fascinante trabajo construyendo modelos para facilitar la resolución de problemas concretos. Muchos de estos problemas tienen un carácter lineal, es decir, pueden plantearse mediante ecuaciones lineales con coeficientes en algún «conjunto especial» de números y con unas cuantas variables.

El Papiro Rhind considera ecuaciones de primer grado y es el documento matemático más antiguo hallado.

Así es, nos facilitamos la vida reduciendo casi todo a «talachita»: operaciones. Y como buena rama de las matemáticas, esto de «operar» vamos a abstraerlo. Ya no sólo se tratará de números, si no de conjuntos (de «lo que sea») y operaciones («las que sean») que cumplan ciertas condiciones.

CAMPO

Definición: Sea $K$ un conjunto con dos operaciones binarias $+: K \times K \longrightarrow K$ y $\cdot: K \times K \longrightarrow K$. Decimos que $K$ es un campo (y a sus elementos los llamamos escalares) si se cumplen las siguientes propiedades:

  • $+$ es asociativa
    $\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in K:$
    $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$
  • $+$ es conmutativa
    $\forall \alpha,\beta \in K:$
    $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
  • Existe un neutro aditivo
    $\exists 0_K \in K:$
    $\forall \alpha \in K (0_K + \alpha = \alpha + 0_K = \alpha)$
  • Todo elemento $\alpha \in K$ tiene un inverso aditivo
    $\forall \alpha \in K:$
    $\exists (-\alpha) \in K (\alpha+ (-\alpha) = (-\alpha)+\alpha = 0_K)$
  • $\cdot$ distribuye a $+$
    $\forall \alpha,\beta,\gamma \in K:$
    $\alpha\cdot(\beta + \gamma)=\alpha\cdot\beta + \alpha\cdot\gamma$
  • $\cdot$ es asociativa
    $\forall \alpha,\beta,\gamma \in K:$
    $\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)=(\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma$
  • $\cdot$ es conmutativa
    $\forall \alpha,\beta \in K:$
    $\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$
  • Existe un neutro multiplicativo
    $\exists 1_K \not= 0_K \in K:$
    $\forall \alpha \in K (1_K \cdot \alpha = \alpha \cdot 1_K = \alpha)$
  • Todo elemento $\alpha \not= 0_K \in K$ tiene un inverso multiplicativo
    $\forall \alpha \not= 0_K \in K:$
    $\exists \alpha^{-1} \in K (\alpha \cdot \alpha^{-1} = \alpha^{-1} \cdot \alpha = 1_K)$

Nota: En un campo vectorial: los neutros (aditivo y multiplicativo) y los inversos (aditivos y multiplicativos) son únicos. Por ello, desde la definición se han denotado de esa manera. Como parte de la tarea moral al final de esta entrada encontrarás ideas para realizar las demostraciones de estas unicidades.

Nota: Para simplificar notación, el producto $\alpha\cdot\beta$ se suele denotar como $\alpha\beta$.

Nota: Si es necesario aclarar que las operaciones con las que se está trabajando están definidas en el campo $K$, se suelen denotar como $+_K$ y $\cdot_K$.

Ejemplos:

  • $\mathbb{R} , \mathbb{Q} , \mathbb{C}$
    con la suma y producto usual respectivamente
  • $\{y+y\sqrt{2} : x,y \in \mathbb{Q}\}$
    con la suma y el producto usual
  • $\mathbb{Z}_p = \{\overline {0},\overline {1},…,\overline {p-1}\}$
    donde $p$ es primo y $\forall \overline {x}, \overline {y} \in \mathbb{Z}_p$ las operaciones son
    $\overline {x} + \overline {y} = \overline {x+y}$
    $\overline {x} \cdot \overline{y} = \overline {x \cdot y}$
    con $x+y$ la suma usual en $\mathbb{Z}$, $x \cdot y$ el producto usual en $\mathbb{Z}$

¿Cómo funciona $\mathbb{Z}_n$ con $n \in \mathbb{N}$?

$\mathbb{Z}_n$ con $n\in\mathbb{N}^+$ es el conjunto llamado enteros módulo $n$ cuyos $n$ elementos son de la forma $\overline {k}$ $= \{a \in \mathbb{Z} | a \equiv k (mód\, n) \} = \{a \in \mathbb{Z} | a – k = mn, m \in \mathbb{Z} \}$. Es decir, la clase de $k$, con $k \in \mathbb{Z}$ es el conjunto de los números enteros $a$ tales que $a-k$ es múltiplo de $n$.

Obs *. $\overline {k} = \overline {l}$ para toda $l \equiv k$ $(mód\, n)$ pues los elementos de $\overline {k}$ son aquellos congruentes entre sí, módulo $n$.

Ejemplo concreto: $\mathbb{Z}_3$

Tenemos que $\mathbb{Z}_3 = \{ \overline {0}, \overline {1}, \overline {2} \} = \{ \{…, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, … \}, $$\{…, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, …\}, $$\{…, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, … \} \}$

Comprobemos que $\mathbb{Z}_3$ es un campo con las operaciones definidas anteriormente.

Tabla de Cayley de $\mathbb{Z}_3$:

$+$$\overline {0}$$\overline {1}$$\overline {2}$
$\overline {0}$$\overline {0+0} = \overline {0}$$\overline {0+1} = \overline {1}$$\overline {0+2} = \overline {2}$
$\overline {1}$$\overline {1+0} = \overline {1}$$\overline {1+1} = \overline {2}$ $\overline {1+2} = \overline {3} = \overline {0}$
$\overline {2}$$\overline {2+0} = \overline {2}$$\overline {2+1} = \overline {3} = \overline {0}$$\overline {2+2} = \overline {4} = \overline {1}$
$\cdot$$\overline {0}$$\overline {1}$$\overline {2}$
$\overline {0}$$\overline {0 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {0 \cdot 1} = \overline {0}$$\overline {0 \cdot 2} = \overline {0}$
$\overline {1}$$\overline {1 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {1 \cdot 1} = \overline {1}$ $\overline {1 \cdot 2} = \overline {2} = \overline {2}$
$\overline {2}$$\overline {2 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {2 \cdot 1} = \overline {2}$$\overline {2 \cdot 2} = \overline {4} = \overline {1}$

Así, es fácil ver que:

  • $+$ y $\cdot$ son asociativas y conmutativas.
  • El único neutro aditivo es $\overline {0}$.
  • El único neutro multiplicativo es $\overline {1}$.
  • Dado $\overline {k} \in \mathbb{Z}_3$ su único inverso aditivo es $\overline {-k}$.
  • Dado $\overline {k} \not= \overline {0} \in \mathbb{Z}_3$ su único inverso multiplicativo es $\overline {k}$

Existencia y exhibición de inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_p$

Ahora veamos un resultado que será muy útil para entender por qué $\mathbb{Z}_n$ con $n \in \mathbb{N}^+$ es un campo si y sólo si $n$ es un primo y para saber cómo obtener el inverso multiplicativo de un elemento dado.

Sea $K=\mathbb{Z}_n$.
Sea $\overline{k}\not= 0_K\in K$. Con el fin de simplificar la demostración, tomaremos $k\in\{0,1,…,n-1\}$ recordando que, de este modo, estamos considerando cualquier posible elemento de $\mathbb{Z}_n$.
$\overline{k}$ tiene inverso $\overline{j}\in K$ si y sólo si

$\begin{align*}
&\overline{k}\cdot\overline{j}=\overline{1}\\
\Leftrightarrow &\overline{k\cdot j}=\overline{1}\tag{def. $\cdot_K$}\\
\Leftrightarrow &k\cdot j\,\equiv 1 (mód\, n)\tag{Obs *}\\
\Leftrightarrow &k\cdot j \,-\, 1 = qn, q \in \mathbb{Z}\tag{def. $a \equiv b (mód\, n)$}\\
\Leftrightarrow &k \cdot j + (-q) \cdot n = 1, (-q) \in \mathbb{Z}\\
\Leftrightarrow &(k,n)\text{ divide a } 1\tag{Prop.del máximo común divisor}\\
\therefore (k,n) = 1
\end{align*}$

Para que $K = \mathbb{Z}_n$ sea un campo, necesitamos que cada $\overline {k} \not= 0_K \in K$ tenga inverso multiplicativo. Por lo tanto se debe cumplir que $(k,n) = 1$ para toda $k \in \{ 0, 1, …, n-1 \}$. Notamos que si $n$ no fuera primo, entonces $n = ab$ con $2 \le a,b \le n-1$. De modo que existe $a \in \{ 1, …, n-1 \}$ tal que $(a,n) = a \not= 1$ y entonces en este caso $K = \mathbb{Z}_n$ no es un campo. A la inversa, si $K = \mathbb{Z}_p$ con $p$ un primo, entonces para cada $a \in \{1, …, n-1 \}$ tenemos que $(a,p)=1$, y por lo anterior $\overline {a}$ tiene un inverso multiplicativo. Así, $K = \mathbb{Z}_p$ es un campo.

Además, dado $\overline {k} \not= \overline {0} \in \mathbb{Z}_p$ con $p$ primo, sabemos, por ser $\mathbb{Z}_p$ un campo, que existe su inverso multiplicativo $\overline {j} \in \mathbb{Z}_p$ y se cumple que $(k,n) = 1$. Para encontrar el inverso multiplicativo de $\overline {k}$ bastaría encontrar $l,m \in \mathbb{Z}$ tales que $k \cdot l + m \cdot n = 1$, para lo cual podemos usar el algorimo de Euclides, y así obtendremos que si tomamos $j=l$, entonces $\overline {j}$ es el elemento que queríamos.

SUBCAMPO

Definición: Sean $K$ un campo y $\tilde {K} \subseteq K$. Decimos que $\tilde {K}$ es un subcampo de $K$ si $\tilde {K}$ con las operaciones restringidas de $K$ es por sí mismo un campo.

Ejemplos:

  • $\mathbb{Q}$ es un subcampo de $\mathbb{R}$
  • $\mathbb{R}$ es un subcampo de $\mathbb{C}$

Propiedad

  • Si $K$ es un campo, entonces cualquiera de sus elementos $\alpha$ cumple que
    $\alpha \cdot 0_K = 0_K$.

Demostración: Sea $\alpha \in K$.
Sea $(-\alpha) \in K$ su inverso aditivo.
Como $0_K$ es el neutro aditivo, $0_K + 0_K = 0_K$.
De donde,

$\begin{align*}
&\alpha \cdot (0_K + 0_K) = \alpha \cdot 0_K\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + \alpha \cdot 0_K = \alpha \cdot 0_K\tag{distrib.}\\
\Rightarrow &(\alpha \cdot 0_K + \alpha \cdot 0_K) + (-(\alpha \cdot 0_K)) = \alpha \cdot 0_K + (-(\alpha \cdot 0_K))\tag{inv. ad.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + (\alpha \cdot 0_K +( -(\alpha \cdot 0_K))) = \alpha \cdot 0_K + (-(\alpha \cdot 0_K))\tag{asociat.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + 0_K = 0_K\tag{inv. ad.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K = 0_K\tag{neutro ad.}\\
\end{align*}$

Nota: Es por esta afirmación que se definen los inversos multiplicativos para los elementos distintos de $0_K$.

Característica de un campo

Definición: Sea $K$ un campo. Se le llama característica de $K$, y se denota como $car(K)$ al menor número natural $n$ tal que $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} = 0_K$ si acaso existe.
En caso contrario, decimos que $car(K)$ es cero.

Obs. La característica de un campo no puede ser 1 (es decir, si no es cero, entonces es mayor o igual a 2) pues por definición $1_K \not= 0_K$. Y más que eso, resulta que si no es cero, entonces es un número primo.

Ejemplos:

  • $car(\mathbb{Z}_p) = p$
    donde $p$ es primo.

Justificación:
Sea $K = \mathbb{Z}_p = \{\overline {0},\overline {1},…,\overline {p-1}\}$ con cada uno de esos elementos distintos entre sí.
De modo que $p$ es el mínimo natural tal que $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{p} = \underbrace{\overline{1} + … + \overline{1}}_{p}$
$= \overline {\underbrace{1 + … + 1}_{p}} = \overline{p} = \overline{0}$

  • $car(\mathbb{Q}) = car(\mathbb{R}) = car(\mathbb{C}) = 0$

Justificación:
Sea $K\in \{\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C} \}$.
$\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} = n \cdot (1_K) = n \not= 0_K$ $\forall n \in \mathbb{N}, n \not=0$

Propiedades

  • Si $K$ es un campo tal que $car(K) = 0$, entonces $K$ no tiene cardinalidad finita.

Demostración: Como $car(K) = 0$, entonces $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} \not= 0_K \in K$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
Así, $\{ 1_K, 1_K + 1_K, …, \underbrace{1_K + … + 1_K}_{n}, … \} \subseteq K$ y no es difícil concluir que cada uno de los elementos de este subconjunto son distintos, de modo que tiene cardinalidad no finita.

  • Si $K$ es un campo tal que $car(K) = 2$, entonces $\alpha + \alpha = 0_K$ para cualquier $\alpha \in K$.

Demostración: Por ser $1_K \in K$ el neutro aditivo de $K$ y por las propiedades de campo obtenemos que
$\alpha + \alpha = 1_K \cdot (\alpha + \alpha) = 1_K \cdot \alpha + 1_K \cdot \alpha =$$\alpha \cdot 1_K + \alpha \cdot 1_K = \alpha \cdot (1_K + 1_K)$
Como $car(K) = 2$, entonces $1_K + 1_K = 0_K$, por lo cual $\alpha \cdot (1_K + 1_K) = \alpha \cdot 0_K = 0_K$

  • En general, si $K$ es un campo tal que $car(K) = n \not= 0_K$, entonces $\underbrace{\alpha +…+ \alpha}_{n} = 0_K$ para cualquier $\alpha \in K$.

Demostración: Por ser $1_K \in K$ el neutro aditivo de $K$ y por las propiedades de campo obtenemos que
$\underbrace{ \alpha + … + \alpha }_{n} = 1_K \cdot (\underbrace{ \alpha + … + \alpha }_{n}) =$$\underbrace{ 1_K \cdot \alpha +…+ 1_K \cdot \alpha}_{n}= \underbrace{ \alpha \cdot 1_K +…+ \alpha \cdot 1_K}_{n} =$$\alpha \cdot ( \underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n})$.
Como $car(K) = n$, entonces $\underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n} = 0_K$, por lo cual $\alpha \cdot ( \underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n}) = \alpha \cdot 0_K = 0_K$

Tarea Moral

Sea $K$ un campo. Demuestra la unicidad de:

  1. El neutro aditivo en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sabemos por la definición de campo, que existe $0_K$ neutro aditivo.
    • Primero sup. que existe ${0_K}’ \in K$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $0_K = {0_K}’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $0_K = 0_K + {0_K}’ = {0_K}’$
  1. Los inversos aditivos en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sea $\alpha \in K$. Sabemos por la definición de campo, que existe $(-\alpha) \in K$ inverso aditivo de $\alpha$.
    • Primero sup. que existe $(-\alpha)’ \in K$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $(-\alpha) = (-\alpha)’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $(-\alpha) = (-\alpha) + 0_K = (-\alpha) + (\alpha + (-\alpha)’)$$= ((-\alpha) + (\alpha)) + (-\alpha)’$
    • Completa la demostración con las igualdades necesarias y justifícalas.
  1. El neutro multiplicativo en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar igualdades análogas al neutro aditivo y justificar cada una.
  1. Los inversos multiplicativos en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar igualdades análogas a los inversos aditivos y justificar cada una.

Más adelante…

Ahora el concepto de campo vamos a usarlo para obtener un nuevo concepto básico y central en este curso: espacio vectorial.

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Álgebra Lineal II: Otras aplicaciones de formas canónicas de Jordan

Por Elizabeth Chalnique Ríos Alvarado

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Introducción

En las notas anteriores desarrollamos teoría interesante acerca de las formas canónicas de Jordan, ahora vamos a ver algunos ejemplos de todo eso.

Ejemplo 1

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$

Calculamos $\chi_{A}(X)$ expandiendo $det(XI_{5} – A)$ con respecto a la tercera fila y obtenemos (usando de nuevo la expansión respecto a la segunda fila en el nuevo determinante) \begin{align*} \chi_{A}(X) &= X \begin{vmatrix} X-1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & X & 0 \\ 1 & 0 & 0 & X+2 \end{vmatrix} \\ &= X^{2} \begin{vmatrix} X-1 & 0 & 2 \\ 0 & X & 0 \\ 1 & 0 & X+2 \end{vmatrix} \\ &= X^{3} \begin{vmatrix} X-1 & -2 \\ 1 & X+2 \end{vmatrix} \\ &= X^{4} (X+1) \end{align*}

El eigenvalor $-1$ tiene multiplicidad algebraica 1, por lo que hay un solo bloque de Jordan asociado con este eigenvalor, de tamaño 1. Ahora, veamos qué pasa con el eigenvalor 0 que tiene multiplicidad algebraica 4. Sea $N_{m}$ el número de bloques de Jordan de tamaño $m$ asociados con ese eigenvalor. Por el Teorema visto en la nota anterior tenemos que $$N_{1} = rango(A^{2}) – 2rango(A) + 5,$$ $$N_{2} = rango(A^{3}) – 2rango(A^{2}) + rango(A)$$ etcétera. Puedes checar fácilmente que $A$ tiene rango 3.

Luego, calculemos $A^{2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, $A^{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$.

Nota que $A^{2}$ tiene rango 2 (pues una base del generado por sus filas está dada por la primera y cuarta fila) y $A^{3}$ tiene rango 1. De donde, $$N_{1} = 2-2 \cdot 3 + 5 = 1,$$ por lo que hay un bloque de Jordan de tamaño 1 y $$N_{2} = 1-2 \cdot 2 + 3 = 0,$$ entonces no hay un bloque de Jordan de tamaño 2. Dado que la suma de los tamaños de los bloques de Jordan asociados con el eigenvalor 0 es 4, y como ya sabemos que hay un bloque de tamaño 1 y no hay de tamaño 2, deducimos que hay un bloque de tamaño 3 y que la forma canónica de Jordan de $A$ es $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$

Ejemplo 2

Más adelante…

Con esto finalizamos el curso de Álgebra Lineal II, lo que sigue es el maravilloso mundo del Álgebra Moderna.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Usa el Teorema de Jordan para probar que cualquier matriz $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ es similar a su transpuesta.
  2. Prueba que si $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ es similar a $2A$, entonces $A$ es nilpotente.
  3. Usa el teorema de Jordan para probar que si $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ es nilpotente, entonces $A$ es similar a $2A$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Clasificación de matrices por similaridad

Por Elizabeth Chalnique Ríos Alvarado

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Introducción

En las notas anteriores hemos desarrollado el Teorema de Jordan, y ahora veremos cómo podemos clasificar matrices por similaridad.

Sección

Supongamos que $A$ es una matriz similar a $$\begin{pmatrix} J_{k_{1}}(\lambda_{1}) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{k_{2}}(\lambda_{2}) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k_{d}}(\lambda_{d}) \end{pmatrix}$$

Entonces el polinomio característico de $A$ es $$\chi_{A}(X) = \prod_{i=1}^{d}\chi_{J_{k_{i}}} (\lambda_{i})(X).$$

Ahora, dado que $J_{n}$ es nilpotente tenemos $\chi_{J_{k_{i}}}(X) = X^{n}$ y así $$\chi_{J_{n}(\lambda)}(X) = (X – \lambda)^{n}.$$

Se sigue que $$\chi_{A}(X) = \prod_{i=1}^{d} (X – \lambda_{i})^{k_{i}}$$ y así necesariamente $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{d}$ son todos eigenvalores de $A$. Nota que no asumimos que $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{d}$ sean distintos a pares, por lo que no podemos concluir de la igualdad anterior que $k_{1}, \ldots, k_{d}$ sean las multiplicidades algebráicas de los eigenvalores de $A$. Esto no es verdad en general: varios bloques de Jordan correspondientes a un dado eigenvalor pueden aparecer. El problema de la unicidad se resuelve completamente por el siguiente:

Teorema: Supongamos que una matriz $A \in M_{n}(F)$ es similar a $$\begin{pmatrix} J_{k_{1}}(\lambda_{1}) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{k_{2}}(\lambda_{2}) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k_{d}}(\lambda_{d}) \end{pmatrix}$$ para algunos enteros positivos $k_{1}, \ldots, k_{d}$ que suman $n$ y algunas $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{d} \in F$. Entonces

  1. Cada $\lambda_{i}$ es un eigenvalor de $A$.
  2. Para cada eigenvalor $\lambda$ de $A$ y cada entero positivo $m$, el número de bloques de Jordan $J_{m}(\lambda)$ entre $J_{k_{1}}(\lambda_{1}), \ldots, J_{k_{d}}(\lambda_{d})$ is $$N_{m}(\lambda) = rango(A – \lambda I_{n})^{m+1} – 2 rango(A – \lambda I_{n})^{m} + rango(A – \lambda I_{n})^{m-1}$$ y depende sólo en la clase de similaridad de $A$.

Demostración. Ya vimos el inciso 1. La prueba del inciso 2 es muy similar a la solución del Problema __. Más precisamente, sea $B = A – \lambda I_{n}$ y observa que $B^{m}$ es similar a $\begin{pmatrix} (J_{k_{1}}(\lambda_{1}) – \lambda I_{k_{1}})^{m} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (J_{k_{2}}(\lambda_{2}) – \lambda I_{k_{2}})^{m} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & (J_{k_{d}}(\lambda_{d}) – \lambda I_{k_{d}})^{m}\end{pmatrix}$, por lo que $\displaystyle rango(B^{m}) = \sum_{i=1}^{d} rango(J_{k_{i}} (\lambda_{i}) – \lambda I_{k_{i}})^{m}$.

Ahora, el rango de $(J_{n}(\lambda) – \mu I_{n})^{m}$ es

  • $n$ si $\lambda \neq \mu$, como en este caso $$J_{n}(\lambda) – \mu I_{n} = J_{n} + (\lambda – \mu) I_{n}$$ es invertible,
  • $n-m$ para $\lambda = \mu$ y $m \leq n$, como se sigue del Problema __.
  • 0 para $\lambda = \mu$ y $m > n$, dado que $J^{n}_{n} = O_{n}$.

De ahí, si $N_{m}(\lambda)$ es el número de bloques de Jordan $J_{m}(\lambda)$ entre $J_{k_{1}}(\lambda_{1}), \ldots, J_{k_{d}}(\lambda_{d})$, entonces $$rango(B^{m}) = \sum_{\substack{\lambda_{i} = \lambda \\ k_{i} \geq m}} (k_{i} – m) + \sum_{\lambda_{i} \neq \lambda} k_{i},$$ luego sustrayendo esas igualdades para $m-1$ y $m$ se tiene que $$rango(B^{m-1}) – rango(B^{m}) = \sum_{\substack{\lambda_{i} = \lambda \\ k_{i} \geq m}} 1$$ y finalmente \begin{align*} rango(B^{m-1}) – 2rango(B^{m}) + rango(B^{m+1}) = \\ (rango(B^{m-1}) – rango(B^{m})) – (rango(B^{m}) – rango(B^{m+1})) = \\ \sum_{\substack{\lambda_{i} = \lambda \\ k_{i} = m}} 1 = N_{m}(\lambda) \end{align*} como queríamos.

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. ¿Cuáles son las posibles formas canónicas de Jordan de una matriz cuyo polinomio característico es $(X-1)(X-2)^{2}$?
  2. Considera una matriz $A \in M_{6}(\mathbb{C}) de rango 4 cuyo polinomio mínimo es $X(X-1)(X-2)^{2}$.
    1. ¿Cuáles son los eigenvalores de $A$?
    2. ¿$A$ es diagonalizable?
    3. ¿Cuáles son las posibles formas canónicas de Jordan de $A$?

Más adelante…

En la siguiente nota veremos algunos ejemplos de cómo funciona todo esto.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Existencia de la forma canónica de Jordan para nilpotentes

Por Elizabeth Chalnique Ríos Alvarado

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Introducción

En la entrada anterior estudiamos de manera un poco más sistemática las matrices y transformaciones lineales nilpotentes. Lo que haremos ahora es enunciar el teorema de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes. Este es un teorema de existencia y unicidad. En esta entrada demostraremos la parte de la existencia. En la siguiente entrada hablaremos de la unicidad y de cómo encontrar la forma canónica de Jordan de matrices nilpotentes de manera práctica.

El teorema de Jordan para nilpotentes

El teorema que queremos demostrar tiene dos versiones: la de transformaciones y la matricial. La versión en transformaciones dice lo siguiente.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $T:V\to V$ una transformación lineal nilpotente. Entonces existen únicos enteros $k_1,\ldots,k_d$ tales que \begin{align*} &k_1+k_2+\ldots+k_d = n,\\ &k_1\leq k_2 \leq \ldots \leq k_d,\end{align*} y para los cuales existe una base de $V$ en la cual $T$ tiene como forma matricial a la siguiente matriz de bloques:

$$\begin{pmatrix} J_{0,k_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{0,k_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{0,k_d}\end{pmatrix}.$$

La versión en forma matricial dice lo siguiente.

Teorema. Sea $A$ una matriz nilpotente en $M_n(F)$. Entonces existen únicos enteros $k_1,\ldots,k_d$ tales que \begin{align*} &k_1+k_2+\ldots+k_d = n,\\ &k_1\leq k_2 \leq \ldots \leq k_d,\end{align*} y para los cuales $A$ es similar a la siguiente matriz de bloques: $$\begin{pmatrix} J_{0,k_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{0,k_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{0,k_d}\end{pmatrix}.$$

A esta matriz de bloques (ya sea para una transformación, o para una matriz) le llamamos la forma canónica de Jordan de $A$.

En vista de que dos matrices son similares si y sólo si representan a la misma transformación lineal en distintas bases, entonces ambos teoremas son totalmente equivalentes. Así, basta enfocarnos en demostrar una de las versiones. Haremos esto con la versión para transformaciones lineales.

Trasnformaciones nilpotentes y unos vectores linealmente independientes

En esta sección enunciaremos un primer resultado auxiliar para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan. Veremos que a partir de una transformación lineal nilpotente podemos obtener algunos vectores linealmente independientes.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $T:V\to V$ una transformación lineal de índice $k$. Sea $v$ un vector tal que $T^{k-1}(v)\neq 0$, el cual existe ya que $T^{k-1}$ no es la transformación lineal cero. Entonces:

  1. Los vectores $v$, $T(v)$, $\ldots$, $T^{k-1}(v)$ son linealmente independientes.
  2. El subespacio $W$ que generan es de dimensión $k$ y es estable bajo $T$.
  3. La transformación $T$ restringida a $W$ en la base $T^{k-1}(v)$, $T^{k-2}(v)$, $\ldots$, $T(v)$, $v$ tiene como matriz al bloque de Jordan $J_{0,k}$. Ojo. Aquí los vectores los escribimos en orden contrario, empezando con la mayor potencia de $T$ aplicada.

Demostración. Probemos las afirmaciones una por una. Para empezar, supongamos que para ciertos escalares $\alpha_0,\ldots,\alpha_{k-1}$ tenemos que $$\alpha_0v+\alpha_1T(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v)=0.$$

Vamos a probar inductivamente de $0$ a $k-1$ que $\alpha_k=0$. Para mostrar que $\alpha_0=0$, aplicamos $T^{k-1}$ a la combinación lineal anterior para obtener:

\begin{align*}
0&=\alpha_0T^{k-1}(v)+\alpha_1T^k(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{2k-2}(v)\\
&=\alpha_0T^{k-1}(v).
\end{align*}

Aquí estamos usando en todos los sumandos, excepto el primero, que $T^k=0$. Como $T^{k-1}(v)\neq 0$, concluimos que $\alpha_0=0$. Suponiendo que ya hemos mostrado $\alpha_0=\ldots=\alpha_l=0$, la combinación lineal con la que empezamos queda como $$\alpha_{l+1}T^{l+1}(v)+\alpha_{l+2}T^{l+2}(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v)=0.$$ Aplicando $T^{k-l-2}$ y usando un argumento similar al anterior se llega a que $\alpha_{l+1}=0$. Esto muestra que la única combinación lineal de los vectores que da cero es la combinación lineal trivial, así que son linealmente independientes.

De manera inmediata obtenemos entonces que esos $k$ vectores generan un subespacio $W$ de dimensión $k$. Para ver que $W$ es $T$ estable, tomemos un elemento $w$ en $W$, es decir $$w=\alpha_0v+\alpha_1T(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v)$$ para algunos escalares $\alpha_0,\ldots,\alpha_{k-1}$. Debemos ver que $T(w)$ está nuevamente en $W$. Haciendo las cuentas y usando nuevamente que $T^k=0$ obtenemos:

\begin{align*}
T(w)&=T(\alpha_0v+\alpha_1T(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v))\\
&= \alpha_0T(v)+\alpha_1T^2(v)+\ldots+\alpha_{k-2}T^{k-1}(v)+\alpha_{k-1}T(v)\\
&= \alpha_0T(v)+\alpha_1T^2(v)+\ldots+\alpha_{k-2}T^{k-1}(v)\\
\end{align*}

Este vector de nuevo es combinación lineal de los vectores que nos interesan, así que $T(w)$ está en $W$, como queríamos.

La afirmación de la forma matricial es inmediata pues precisamente

$$T(T^{j}(v))=0\cdot T^{n-1}(V)+\ldots+1\cdot T^{j+1}(v)+\ldots+0\cdot T(v) + 0\cdot v,$$ de donde se lee que las columnas de dicha forma matricial justo son las del bloque de Jordan $J_{0,k}$.

$\square$

El teorema anterior da otra demostración de algo que ya habíamos mostrado en la entada anterior: el índice de una matriz en $M_n(F)$ (o de una transformación nilpotente en un espacio vectorial de dimensión $n$) no puede exceder $n$.

Encontrar un subespacio complementario y estable

Ahora veremos otro resultado auxiliar que necesitaremos para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan. A partir de él podemos conseguirnos un «subespacio complementario y estable» que en la prueba de la existencia nos ayudará a proceder inductivamente. Este truco ya lo hemos visto antes en la clasificación de matrices ortogonales y el la demostración del teorema espectral.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $T:V\to V$ una transformación lineal nilpotente de índice $k$. Tomemos $v$ un vector tal que $T^{k-1}(v)\neq 0$. Sea $W$ el subespacio generado por $v,T(v),\ldots,T^{k-1}(v)$. Entonces, existe un subespacio $W’$ estable bajo $T$ y tal que $T=W\oplus W’$.

La principal dificultad para probar esta proposición es una cuestión creativa: debemos saber de dónde sacar el espacio $W’$. Para ello, haremos uso de la transformación transpuesta y de un espacio ortogonal por dualidad. Como recordatorio, si $T:V\to V$ es una transformación lineal, entonces su transformación transpuesta es una transformación lineal $^tT:V^\ast \to V^\ast$ para la cual $^tT(\ell)(u)=\ell(T(u))$ para cualquier forma lineal $\ell$ y cualquier vector $u$ en $V$.

Demostración. Primero, nos enfocamos en construir $W’$. Para ello procedemos como sigue. Como $T^{k-1}(v)\neq 0$, entonces existe una forma lineal $\ell$ tal que $\ell(T^{k-1}(v))\neq 0$. Se puede mostrar que $S:=\text{ }^t T$ también es nilpotente de índice $k$. Por la proposición de la sección anterior, tenemos entonces que $\ell, S(\ell),\ldots,S^{k-1}(\ell)$ son $k$ vectores linealmente independientes en $V^\ast$ y por lo tanto que generan un subespacio $Z$ de dimensión $k$. El espacio $W’$ que propondremos será $Z^\bot$.

Debemos mostrar que:

  1. En efecto $V=W\oplus W’$.
  2. En efecto $W’$ es $T$ estable.

Para la primer parte, usando teoría de espacios ortogonales tenemos que $$\dim(W’)=\dim(Z^\bot)=n-\dim(Z)=n-k,$$ así que los subespacios tienen la dimensión correcta para ser complementarios. Además, si $u\in W\cap W’$, entonces $u$ es combinación lineal de $v, T(v),\ldots, T^{k-1}(v),$ digamos $$u=\alpha_0v+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v)$$ y se anula por $\ell, S(\ell),\ldots,S^{k-1}(\ell)$, lo que quiere decir que se anula por $\ell, \ell\circ T, \ldots, \ell \circ T^{k-1}$. Esto permite probar iterativamente que $\alpha_0=\ldots=\alpha_{k-1}=0$, de modo que $u=0$. Con esto, $W$ y $W’$ son de intersección trivial y dimensiones complementarias, lo cual basta para que $V=W\oplus W’$.

Para terminar, debemos ver que $W’$ es $T$ estable. Tomemos un $u$ en $W’$, es decir, tal que se anula por $\ell, \ell\circ T, \ldots, \ell \circ T^{k-1}$. Al aplicar $T$, tenemos que $T(u)$ también se anula por todas estas transformaciones. Esto se debe a que para $\ell \circ T^j$ con $j\leq k-2$ se anula ya que $\ell\circ T^j(T(u))=\ell\circ T^{j+1}(u)=0$ por cómo tomamos $u$ y para $\ell \circ T^{k-1}$ se anula pues $T$ es nilpotente de índice $k$.

$\square$

Existencia de forma canónica de Jordan para nilpotentes

La idea para encontrar la forma canónica de Jordan debe ser clara a estas alturas: se procederá por inducción, el caso base será sencillo, asumiremos la hipótesis inductiva y para hacer el paso inductivo descomponeremos al espacio $V$ mediante la proposición de la sección anterior. Veamos los detalles.

Demostración (existencia de forma canónica de Jordan para nilpotentes). Estamos listos para probar la existencia de la forma canónica de Jordan para una transformación lineal nilpotente $T:V\to V$ con $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. Procederemos por inducción en la dimensión. Si $n=1$, entonces $V$ es generado por un vector $v$ y la transformación lineal $T$ debe mandarlo al vector $0$ para ser nilpotente. En esta base, $T(v)=0$ y la matriz que representa a $T$ es entonces $(0)=J_{0,1}$.

Supongamos que existe la forma canónica de Jordan para cuando $V$ es de cualquier dimensión menor a un entero positivo dado $n$. Tomemos $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ y $T:V\to V$ una transformación lineal nilpontente. Si $T$ es de índice $n$, entonces $T^{n-1}(v),\ldots,T(v),v$ son linealmente independientes y por lo tanto son una base de $V$. La forma matricial de $T$ en esta base es el bloque de Jordan $J_{0,n}$, en cuyo caso terminamos.

De otra forma, el índice es un número $k<n$. Entonces, $T^{k-1}(v),\ldots,T(v),v$ generan un subespacio estable $W$ de dimensión $k$. Por la proposición de la sección anterior, podemos encontrar un subespacio complementario $W’$ de dimensión $n-k<n$ y estable bajo $T$. Como la restricción de $T$ a $W’$ tiene codominio $W’$, es nilpotente y $\dim(W)<\dim(V)$, entonces por hipótesis inductiva $W’$ tiene una base $\beta$ bajo la cual la restricción de $T$ a $W’$ tiene como forma matricial una matriz diagonal por bloques con puros bloques de Jordan del estilo $J_{0,k_j}$. Al completar $\beta$ con $T^{k-1}(v),\ldots,T(v),v$ , obtenemos una base de $V$ en la cual $T$ tiene como forma matricial una matriz diagonal por bloques con puros bloques de Jordan del estilo $J_{0,k_j}$ (que vienen de la hipótesis inductiva) y un bloque de Jordan $J_{0,k}$. Salvo quizás un reordenamiento de la base para ordenar los $k_j$ y $k$, obtenemos exactamente lo buscado.

$\square$

Más adelante…

Ya demostramos una parte fundamental del teorema que nos interesa: la existencia de la forma canónica de Jordan para transformaciones (y matrices) nilpotentes. Nos falta otra parte muy importante: la de la unicidad. Las demostraciones de unicidad típicamente son sencillas, pero en este caso no es así. Para decir de manera explícita cuál es la forma canónica de Jordan de una transformación (o matriz) nilpotente, deberemos hacer un análisis cuidadoso del rango de las potencias de la transformación (o matriz). Veremos esto en las siguientes entradas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Verifica que la siguiente matriz es nilpotente: $$\begin{pmatrix}13 & 6 & -14 & -5\\ 2 & 0 & -4 & -2 \\ 29 & 12 & -34 & -13 \\ -45 & -18 & 54 & 21\end{pmatrix}.$$
    Siguiendo las ideas de la demostración de existencia de esta entrada, ¿cómo podrías dar la forma canónica de Jordan de esta matriz? Intenta hacerlo.
  2. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $T:V\to V$ una transformación lineal nilpotente de índice $k$. Demuestra que $^tT$ también es una transformación lineal nilpotente de índice $k$. ¿Cuál sería el resultado análogo para matrices?
  3. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $T:V \to V$ una transformación lineal tal que para cualquier $v$ en $V$ existe algún entero $n$ tal que $T^n(v)=0$. Estos $n$ pueden ser distintos para distintos $v$. Muestra que $T$ es nilpotente.
  4. Considera el subespacio $V$ de polinomios reales con grado a lo más $4$ y $D:V\to V$ la transformación lineal derivar. Da, de manera explícita, espacios $W$ y $W’$ como en las proposición de encontrar el subespacio complementario estable.
  5. Hay varios detalles que quedaron pendientes en las demostraciones de esta entrada. Revisa la entrada para encontrarlos y da las demostraciones correspondientes.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»