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Álgebra Lineal II: Adjunta de una transformación lineal

Introducción

La adjunta de una transformación lineal

Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita. Sea $T:V \to V$ una transformación lineal.
Para cada $y\in V$, la transformación $x\mapsto \langle T(x),y\rangle\in V^*$. Del teorema de representación de Riesz se sigue que existe un único vector $T^*(y)\in V$ tal que
$$\langle T(x),y\rangle=\langle T^*(y),x\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle \hspace{2mm} \forall x\in V.$$

De esta manera obtenemos una transformación $T^*:V\to V$ caracterizada de manera única por la siguiente condición:
$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle \hspace{2mm} \forall x,y\in V.$$

Resulta que la transformación $T^*$ es lineal y la llamaremos la adjunta de $T$. Ahora sí, ya estamos listos para enunciar el siguiente teorema.

Teorema. Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita. Para cada transformación lineal $T:V\to V$ existe una única transformación $T^*:V\to V$, llamada la adjunta de $T$, tal que para cualesquiera $x,y\in V$ se tiene que
$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle.$$

Notemos que para cualesquiera $x,y\in V$ tenemos que
$$\langle y,T(x)\rangle=\langle T(x),y\rangle=\langle x,T^* (y)\rangle=\langle T^*(y),x\rangle =\langle y, (T^*)^*(x)\rangle.$$

Restando el último término del primero, se sigue que $T(x)-(T^*)^*(x)=0$, de manera que $$(T^*)^*=T,$$ por lo cual simplemente escribiremos $$T^{**}=T.$$

Por lo tanto, la función $T\to T^*$ es una transformación auto-inversa sobre $V$.

$\square$

La matriz de la transformación adjunta

Proposición. Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita y sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Sea $\mathcal{B}=(e_1,\dots, e_n)$ una base otronormal de $V$ y $A$ la matriz asociada $T$ con respecto a $\mathcal{B}$. Se tiene que la matriz asociada a $T^*$ con respecto a $\mathcal{B}$ es $^tA$.

Solución. Sea $B=[B_{ij}]$ la matriz asociada a $T^*$ con respecto a $\mathcal{B}$, por lo que para cada $i\in[1,n]$ se tiene
$$T^*(e_i)=\displaystyle\sum_{k=1}^n b_{ki}e_k.$$

En vista de que $$\langle T(e_i),e_j\rangle=\langle e_i,T^*(e_j) \rangle $$ y $T(e_i)=\displaystyle\sum _{k=1}^n a_{ki}e_k$, y como la base $\mathcal{B}$ es ortonormal, entonces $$\langle T(e_i),e_j\rangle=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ki}\langle e_k,e_j\rangle=a_{ji}$$ y
$$\langle e_i,T^*(e_j)\rangle=\displaystyle\sum_{k=1}^n b_kj\langle e_i,e_k \rangle.$$

Como, por definición de transformación adjunta, se tiene que
$$\langle T(e_i),e_j\rangle =\langle e_i, T^*(e_j)\rangle,$$ entonces $b_{ij}=a_{ji}$, o bien $B= {}^tA$.


$\square$

Ejemplo de encontrar una adjunción

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  1. Demuestra que si $T$ es una transformación lineal, entonces $T^*$ también lo es.
  2. Demuestra que si $T$ es una transformación lineal sobre un espacio euclidiano de dimensión finita, entonces $$\det T= \det T^*.$$
  3. Considera la transformación lineal $T:\mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$ cuya matriz asociada es
    $$\begin{pmatrix}
    1 & i & 0\\
    0 & 1+i & 3\end{pmatrix}.$$ Encuentra la matriz asociada a $T^*$.

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