Ahora echemos un vistazo al límite de una función con valores vectoriales. Esto es importante de entender para estudiar el cálculo de funciones vectoriales.
Definición. Sea una función vectorial definida para todos los valores de en alguna vecindad de un punto , excepto quiza en . Entonces se dice que el límite de la función f cuando se acerca a es y se expresa como si y solo si tal que , siempre que
Teorema. Si es una función vectorial, entonces Donde
Demostración. Si entonces tal que si , entonces . Pero como se tiene que Por lo tanto dado existe tal que por lo tanto Reciprocamente supongamos ahora que Esto quiere decir que tal que .
Sea y sea tomamos .
Para esta se tiene que si , entonces Por lo tanto
Ejemplo. Se sabe que Dado , determine que verifique la validez del límite.
Tenemos que
Según la definición podemos definir a .
Ejemplo. Se sabe que Dado , determine que verifique la validez del límite.
Tenemos que Ahora bien para se tiene
y para se tiene Por lo tanto si consideramos se tiene
Continuidad de Funciones Vectoriales
Ahora que sabemos cómo calcular el límite de una función vectorial, podemos definir la continuidad en un punto para tal función.
Definición. Sea una función vectorial. Se dice que es continua en si y solo si se cumple que
Teorema. La función vectorial es continua en si y solo si son continuas en .
Demostración. Como es continua en , tenemos que se cumple Por otro lado se tiene que y como entonces son continuas en .
Ejemplo. Definir la función en de manera que sea continua en .
Tenemos que Por lo tanto si definimos , entonces
Teorema. Si f es continua en entonces para toda sucesión en A tal que se tiene que
Demostración. Supongamos que para mostar que sea como f es continua en se tiene que elegimos entonces tal que
Supongamos que para cada tal que se tiene que y queremos demostrar que f es continua en . Si entonces si tomemos y tenemos que
Más adelante
Ya que se definieron las funciones vectoriales y se abordó el tema límites y continuidad en estas, a continuación veremos el cálculo subyacente a este tipo de funciones como lo son la derivabilidad y la integrabilidad.
Tarea Moral
1.- Determina el siguiente límite:
2.- Analiza la continuidad de la siguiente función
Una función vectorial es una función ó de la forma donde las funciones componentes , y son funciones de valor real del parámetro t. Las funciones con valores vectoriales son también escritas en forma En ambos casos, la primera forma de la función define una función vectorial bidimensional; la segunda forma describe una función vectorial tridimensional.
En el siguiente applet desarrollado en Geogebra, podrás manipular un parametro d, dentro de un intervalo , de tal manera que podrás observar como se va dibujando una curva en el plano.
De acuerdo al applet, el parámetro puede estar entre dos números reales: . Otra posibilidad es que el valor de d tome todos los numeros reales. Las funciones de los componentes en sí mismas pueden tener restricciones de dominio que imponen restricciones en el valor de t. A menudo usamos como parámetro porque puede representar el tiempo.
Las rectas en el plano, las podemos pensar como un conjunto definido de la siguiente forma: Si entonces para cualquier se tiene Por tanto, a la pareja la podemos escribir como es decir, la podemos escribir en términos de una sola variable. Por lo que si consideramos la función dada por se cumple que , es decir, que la imagen de la función es toda la recta.
En efecto, para cualquier elemento en se cumple con lo cual concluimos . Por otra parte, si , basta tomar para que se cumpla con lo que concluimos que y por lo tanto .
Con un razonamiento similar se puede probar que la circunferencia con centro en el origen y radio , se puede describir como el conjunto y dicho conjunto se puede obtener como la imagen de la función dada por
Con un razonamiento similar se puede probar que la elipse, se puede describir como el conjunto y dicho conjunto se puede obtener como la imagen de la función dada por
En general si un subconjunto es tal que coincide con la imagen de una función , diremos que dicha función es una parametrización de C.
Definición. Sea . Si existe tal que decimos que es una parametrización de C. En tal caso diremos que las ecuaciones
son unas ecuaciones paramétricas de C.
Ejemplo. Si es la función vectorial por con , tenemos entonces que asocia a cada número real en el intervalo , un par ordenado con y , que son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia de radio 2 y centro en el origen. Asi pues la gráfica de es una circunferencia.
Cada una de las funciones vectoriales que se dan a continuación, define el mismo lugar geométrico o una parte de éste; sin embargo, el sentido, el punto de partida y la rapidez de recorrido así como la porción de la curva que se considera en cada caso varia.
Para una función vectorial en decimos que: Si es un conjunto de , entonces es una función vectorial con dominio si y sólo si, para todo donde y son funciones escalares con dominio .
Ejemplo. Que representa la función vectorial cuyas ecuaciones parametricas son:
En este caso haciendo la sustitución se tiene que
donde . Al ser se trata de una circunferencia de radio 1 con centro en el origen.
Ejemplo.Parametrización de la curva Cicloide.
Supongamos que un círculo de radio a rueda sin deslizarse a lo largo de una línea recta horizontal. Encuentre la curva descrita por un punto fijo P de su circunferencia.
Sea t el ángulo en radianes, que forma (la línea que contiene) el radio CP con la línea CR.
Nótese que es justamente la longitud de arco RP que es igual a , de modo que el punto C tiene coordenadas . Si denotan las coordenadas del punto p, se tiene
Por lo que la cicloide se puede representar por la función dada por Si se despeja la variable t en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana: . Ejemplo. Parametrización de la curva Epicicloide. Supongamos que un círculo de radio a rueda sin deslizarse sobre una circunferencia. Encuentre la curva descrita por un punto fijo de su circunferencia.
De acuerdo a la siguiente figura
También se tiene que el arco de circulo es igual al arco de circulo esto es Ahora de acuerdo a la figura
Por lo que usando que es par Utilizando todo lo anterior Como tenemos Por lo que la Epicicloide se puede representar por la función dada por Ejemplo. Parametrización de la curva Hipocicloide. Una curva hipocicloide es la trayectoria descrita por un punto P situado sobre una circunferencia que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia.
De acuerdo a la siguiente figura se tiene
También se tiene que el arco de circulo es igual al arco de circulo esto es Ahora de acuerdo a la figura
Utilizando todo lo anterior Como tenemos Por lo que la Epicicloide se puede representar por la función dada por .
Funciones vectoriales
Supongamos el espacio tridimensional dotado del sistema de coordenadas . Una curva C parametrizada en este espacio es la representación gráfica de una función vectorial: donde t se denomina el parámetro de una curva, . La estructura de la curva dependerá de las funciones . Ejemplo. Describa la curva definida por la función vectorial .
En este caso las ecuaciones paramétricas correspondiente son, , , o sea se trata de una recta que pasa por y es paralela a .
Ejemplo. Dibuje la curva cuya ecuación vectorial es . En este caso, las ecuaciones paramétricas para esta curva son, , , , por lo que la curva se encuentra en el cilindro elíptico . Ya que la curva forma una espiral ascendente alrededor del cilindro conforme se incrementa
Ejemplo. Halle una función vectorial que represente la curva de la intersección del cilindro y el plano . En este caso la figura muestra la forma en que se cruzan, el plano y el cilindro, así mismo la figura ilustra la curva de intersección.
La proyección sobre el plano es el circulo , , que podemos parametrizar como , , , con base en la ecuacion del plano, tenemos que la ecuación vectorial correspondiente es
Dominio de la Función Vectorial
El dominio de una función vectorial es el conjunto de valores permitidos de . Si se define en términos de las funciones de las componentes y no se especifica explícitamente el dominio, entonces se sobreentiende que el dominio es la intersección de los dominios naturales de las funciones de las componentes, por lo que éste recibe el nombre de dominio natural de . Sea entonces el
Ejemplo. Halle el dominio de la función vectorial
tenemos que Por lo tanto .
Halle el dominio de la función vectorial
tenemos que Por lo tanto .
Graficar funciones con valores vectoriales
Recuerda que un vector plano consta de dos cantidades: dirección y magnitud. Dado cualquier punto en el plano (el punto inicial), si nos movemos en una dirección específica por una distancia específica, llegamos a un segundo punto. Esto representa el punto final de el vector. Calculamos las componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial a las coordenadas del punto terminal. Se considera que un vector está en posición estándar si el punto inicial se encuentra en el origen. Al graficar un valor vectorial, por lo general, representamos gráficamente los vectores en el dominio de la función en la posición estándar, porque hacerlo garantiza la unicidad de la gráfica. Esta convención se aplica también a las gráficas de funciones vectoriales tridimensionales. La gráfica de una función vectorial de la forma consiste en el conjunto de todos , y la ruta que traza se llama curva plana.
La gráfica de una función vectorial de la forma consiste en el conjunto de todos , y el camino que traza se llama curva espacial.
Cualquier representación de una curva plana o una curva espacial utilizando un valor vectorial se denomina parametrización vectorial de la curva.
Ejemplo. Cree una gráfica de la siguiente funcion con valores vectoriales:
Como con cualquier gráfico, comenzamos con una tabla de valores. Luego graficamos cada uno de los vectores en la segunda columna en posición estándar y conectamos los puntos terminales de cada vector para formar una curva. Esta curva resulta ser una elipse centrada en el origen.
Ejemplo. Cree una gráfica de la siguiente funcion con valores vectoriales:
Realizamos el mismo procedimiento para una función vectorial tridimensional.
Los valores luego se repiten, excepto por el hecho de que el coeficiente de k siempre es creciente. Esta curva se llama hélice. Observe que si se elimina la componente k, entonces la función se convierte en , que es un círculo unitario centrado en el origen.
Operaciones con Funciones Vectoriales
Las operaciones usuales del algebra vectorial pueden aplicarse para combinar 2 funciones o una función vectorial con una función real.
Si y son funciones vectoriales y si es una función real, teniendo todas un dominio común, definimos nuevas funciones , y mediante
Más adelante
Una vez definido el concepto de función vectorial vamos a aprender a calcular el límite de estas funciones. Cuando calculamos el límite de una sola variable basta que coincidan los límites laterales para saber que existe, pero cuando lo hacemos en más dimensiones tenemos más direcciones de aproximación.
Tarea moral
1.- Sobre la parte exterior de una circunferencia fija de radio a rueda (sin resbalar) otra circunferencia de radio b. Encuentre una función de en que describa el movimiento de un punto que se encuentre en la cicunferencia exterior.
2.- Sea la recta cuya ecuación cartesiana es (con ). Muestra que si y son dos puntos diferentes que pertenecen a entonces la función 𝟚 dada por es una parametrización de
3.- Halla el dominio de la siguiente función vectorial 𝟛 donde
4.- Dadas las funciones vectoriales , halla
5.- Crea la gráfica de la siguiente función vectorial ,
Enlaces
En el siguiente enlace podrás conocer algunas curvas paramétricas famosas
En esta entrada probaremos que dados dos conjuntos y , tales que y , entonces . Si bien este resultado es muy intuitivo, matemáticamente hay algunas complicaciones. Las hipótesis nos dan funciones inyectivas de en y de en . Pero necesitamos una única función de en que sea biyectiva. ¿Cómo garantizamos la existencia de la segunda a partir de las primeras?
Lema del punto fijo
Primero demostraremos un lema sobre la existencia de un punto fijo, el cual será de utilidad en la demostración del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Este lema nos dice que dada una función de en sí mismo con cierta propiedad de monotonía, ésta cumple que debe fijar a algún elemento de . Veamos la definición de monotonía que necesitamos.
Definición. Sea . Diremos que es una función monótona si siempre que , se cumple que . Es decir, se preserva la contención bajo .
Ejemplo.
Sea y sea . Consideremos y . Tenemos que y , de modo que . Para cualquier otra elección de y con también se puede verificar que . Por ello, decimos que es monótona.
Lema. Sea función monótona. Entonces existe tal que , es decir, deja fijo a algún elemento de .
Demostración:
Sea función monótona y sea .
Veremos que . Para ello, probaremos que . Para empezar, pues para cualquier conjunto , . Además, se tiene que , por lo que .
Como no es vacío, podemos considerar . Veremos que , lo cual mostaremos viendo la doble contención.
) Sea . Tenemos que . Como es monotona, entonces . Además, como se tiene que y por transitividad de la contención se tiene que . Como esto sucede para cualquier , se cumple entonces .
) Dado que y es monótona se tiene que . Por ello, y por lo tanto, .
Antes de demostrar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, enunciemos los siguientes recordatorios que usaremos en la demostración:
Recordatorio 1. Si es una función y se tiene , entonces .
Recordatorio 2. Sean . Si , entonces .
Teorema (Cantor-Schröder-Bernstein). Si y , entonces .
Demostración:
Supongamos que y , esto es, existe inyectiva y existe inyectiva.
Sea dada por . Veamos que es monótona.
Sean tales que , por el recordatorio , tenemos que , luego por el recordatorio 2 tenemos que . Luego, por el recordatorio 1 . Finalmente, por el recordatorio se tiene que . Por lo tanto, y así, es monótona.
Luego, por el lema del punto fijo tenemos que existe tal que . De este modo:
Consideremos . Dado que es inyectiva, entonces es biyectiva y por lo tanto, es función.
Definimos como:
Veamos que es biyectiva.
Primero veamos que es inyectiva. Sean tales que , veamos que .
Caso 1: Si , entonces pues es inyectiva.
Caso 2: Si , entonces pues es inyectiva.
Caso 3: Si y , entonces y , por lo que .
Por lo tanto, es inyectiva.
Ahora, veamos que es suprayectiva. Consideremos como .
Sea , entonces o .
Caso 1: Si , entonces , por lo que .
Caso 2: Si existe tal que . Así, .
Por lo tanto, es suprayectiva.
Concluimos que es biyectiva y así, .
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada:
Definamos al conjunto de números pares como . En la entrada anterior ya vimos que . Da una demostración alternativa a esto usando el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein.
Resuelve los siguientes incisos.
Muestra la función dada por es inyectiva, pero no suprayectiva.
Muestra que la función dada por es inyectiva, pero no suprayectiva.
¿Qué dice entonces el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein sobre y ?
¿Es sencillo dar una función biyectiva explícita ?
Más adelante…
En la siguiente entrada definiremos qué es un conjunto finito y hablaremos un poco acerca de lo que entenderemos por cardinal de un conjunto. Daremos los primeros pasos para hablar de conjuntos infinitos. Ya platicamos un poco que intuitivamente debe serlo, pero tenemos que probarlo formalmente. Un poco más adelante, veremos que hay conjuntos infinitos que no tienen la misma cardinalidad. Así, nos interesará ver que pasa con las cardinalidades de estos conjuntos.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Puedes consultar una demostración diferente del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein en el siguiente libro: K. Hrbacek, T. Jech, Introduction to Set Theory, Third Edition, Marcel Dekker Inc., 1999, pp. 66-68. Y una segunda demostración diferente en: J.A. Amor Montaño, Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias, Segunda edición, Coordinación de Servicios Editoriales, Facultad de Ciencias UNAM, 2005, pp. 79-80 ↩︎
Gracias a la relación de polos y polares con respecto a una circunferencia, se tenían correspondencias entre todos los puntos y todas las rectas del plano. Por lo cual nace el Principio de dualidad. Así mismo analizaremos el Triángulo Autopolar junto con algunas propiedades.
Principio de Dualidad
El principio de Dualidad, donde la propiedad que nos dé como resultado de intercambiar las palabras de recta y punto resulta verdadera, además de que guarda sus propiedades.
Por ejemplo, se tiene la siguiente dualidad del teorema con respecto a su corolario.
Teorema. Dada una circunferencia, la polar de pasa por , entonces la polar de pasa por .
Corolario. Dada una circunferencia, sean y rectas tales que, el polo de está en , entonces el polo de está en .
Se puede ver que ambos son duales, se puede dar un ejemplo más sencillo.
Ejemplo. La unión de dos puntos es una recta, entonces la intersección de dos rectas es un punto.
Triángulo Autopolar
Definición. Se define como triángulo autopolar a aquel que, con respecto a una circunferencia, se tiene que cada vértice es el polo del lado opuesto, de tal modo que cada lado es polar del vértice opuesto.
Construcción. Se tiene una circunferencia , tomemos un punto dentro de la circunferencia y tracemos su inverso y su polar. Ahora tomemos un punto en tal que y trazamos su polar, y por el Teorema Fundamental de Polos y Polares se tiene que pasa por . Además, a la intersección de y la llamaremos , y su polar de pasa por y puntos.
De esta forma tenemos el es autopolar con respecto a .
Propiedades
Se tienen varias propiedades del triángulo autopolar.
1.- El ortocentro del triángulo autopolar es el centro de la circunferencia.
Demostración. De la figura anterior se tiene que:
La polar de es que es el lado del y por inverso de .
La polar de es que es el lado del y por inverso de .
La polar de es que es el lado del y por inverso de .
Por lo cual , y son las alturas del y estas se intersecan en .
Por lo tanto, es el ortocentro del .
2.- Uno de sus vértices está dentro de la circunferencia y los otros dos fuera de esta.
3.- El ángulo del triángulo cuyo vértice está en la circunferencia es obtuso.
Más adelante…
Se abordará el tema de circunferencia Polar, en el cual veremos su relación con polos y polares.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la nota anterior comenzamos el estudio de los sistemas de ecuaciones, ahora veremos cómo determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución. y cómo encontrar sus soluciones en caso de que existan.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es un problema fundamental en matemáticas y en diversas áreas de la ingeniería y las ciencias aplicadas. Una técnica comúnmente utilizada para resolver estos sistemas es la eliminación de Gauss-Jordan, que consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada asociada al sistema, que como vimos en la nota anterior no modifica las soluciones del sistema, para obtener una matriz equivalente que sea escalonada reducida por renglones. En esta nueva matriz la solución del sistema asociado se puede obtener fácilmente. En esta nota se explicará paso a paso cómo realizar este proceso, a partir de ejemplos concretos.
Ejemplos
Expresión
Explicación
Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales:
Efectúa las operaciones elementales:
El sistema se reduce a la ecuación y dos ecuaciones iguales a , pero esto último se cumple para todas , así que debemos analizar sólo qué valores y cumplen la ecuación .
Observemos que si y sólo si . En este caso podemos dar a cualquier valor real y entonces queda determinado por el valor que dimos a . Decimos entonces que está funcionando como un parámetro.
Las soluciones son:
con
El conjunto de soluciones es :
Expresión
Explicación
Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales:
Efectúa las operaciones elementales:
Efectúa las operaciones elementales:
Efectúa la operación elemental:
Efectúa las operaciones elementales:
Este sistema es equivalente al sistema con el que empezamos, por lo tanto sus soluciones son las mismas.
El sistema se puede simplificar omitiendo los términos con coeficiente cero.
Observemos que en el sistema anterior, debido a la forma que tiene, es muy sencillo despejar a , a y a , y al hacerlo quedan en términos de y de (las indeterminadas que no tienen como coeficiente al primer elemento no nulo de algún renglón en la matriz escalonada reducida por renglones). Éstas nos servirán entonces como parámetros, ya que eligiendo y como cualesquiera números reales, , y quedan determinados por ellos.
Sean entonces , si y , tenemos que:
Así, el conjunto solución es:
Expresión
Explicación
Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales:
Efectúa la operación elemental:
Efectúa las operaciones elementales:
Efectúa las operaciones elementales:
Efectúa las operaciones elementales:
Este sistema es equivalente al inicial, por tanto su solución es la misma. Hay una única solución:
Expresión
Explicación
Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa la operación elemental:
Efectúa la operaciones elementales:
Efectúa la operación elemental:
La última ecuación es: que no tiene solución. Por lo tanto el sistema no tiene solución.
Definición
Decimos que un sistema es incompatible si no tiene solución. Decimos que un sistema es compatible si tiene solución; en este caso decimos que es compatible determinado si tiene una única solución, si hay más de una solución decimos que es compatible indeterminado.
Como se comentó en la nota anterior, el rango de una matriz es la dimensión del espacio generado por sus renglones, pero también coincide con la dimensión del espacio generado por sus columnas. No probaremos este resultado porque va más allá de los objetivos de este curso pero lo enunciaremos y usaremos:
Nota
Sean y naturales positivos y con sus columnas. Tenemos que
Teorema
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz aumentada.
Demostración
Sean y naturales positivos, y .
tiene solución tal que
El rango de la matriz aumentada es igual al rango de la matriz de coeficientes.
Tarea Moral
En cada inciso encuentra el conjunto solución del sistema
¿Qué ocurre con la última columna de la matriz aumentada de un sistema homogéneo al escalonar la matriz? ¿Es necesario escribir esa última columna al realizar el procedimiento que estudiamos para resolver un sistema homogéneo?
En una tienda se venden baterías eléctricas por un total de . Si el tipo cuesta el tipo y el tipo por pieza. ¿Cuántas baterías de cada tipo se vendieron?
Más adelante
En la siguiente nota definiremos lo que es el determinante de una matriz.