Ahora echemos un vistazo al límite de una función con valores vectoriales. Esto es importante de entender para estudiar el cálculo de funciones vectoriales.

$\textcolor{blue}{Definición}$

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una función vectorial definida para todos los valores de
$t$ en alguna vecindad de un punto $t_0$, excepto quiza en $t_0$.
Entonces se dice que el límite de la función f cuando $t$ se acerca a $t_0$ es $L\in\mathbb{R}^{n}$ y se expresa como
\[
\lim_{t\rightarrow t_0} f(t)=L
\]
si y solo si $\forall$ $\epsilon>0$ $\exists ~\delta~>~0$ tal que $|f(t)-L|~<~\epsilon$, siempre que $|t-t_0|<\delta$

$\fbox{Teorema}$

Si $f:I\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n$ es una función vectorial, entonces
\[
\lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=L=(l_1,\cdots,l_n)\in \mathbb{R}^n\ \ \
\Leftrightarrow\ \ \ \lim_{t\rightarrow t_0}x_i(t)=l_i~~\forall~i=1,…,n
\]
Donde $f(t)=(x_1(t),\cdots,x_n(t))$

$\fbox{Demostración}$
Si
\[
\lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=L
\]
entonces $\forall$ $\epsilon>0$ $\exists$ $\delta>0$ tal que si
$0<|t-t_0|<\delta$, entonces $|f(t)-L|<\epsilon$. Pero como \[ |f(t)-L|=|x_1(t)-l_1,\cdots,x_n(t)-l_n|= \left(\sum_{i=1}^n(x_i(t)-l_i)^2\right)^{\frac{1}{2}}<\epsilon \] se tiene que \[ |x_i(t)-l_i|\leq\left(\sum_{i=1}^n(x_i(t)-l_i)^2\right)^{\frac{1}{2}}<\epsilon \] Por lo tanto dado $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que
$0<|t-t_0|<\delta\Rightarrow|x_i(t)-l_i|<\epsilon$ por lo tanto
\[
\lim_{t\rightarrow t_0}x_i(t)=l_i
\]
Reciprocamente supongamos ahora que
\[
\lim_{t\rightarrow t_0}x_i(t)=l_i\ \ \ \ \ i=1,\cdots,n.
\]
Esto quiere decir que $\forall$ $\epsilon_i>0$ $\exists$ $\delta_i>0$ tal que $0<|t-t_0|<\delta_i\Rightarrow|x_i(t)-l_i|<\epsilon_i$.

Sea $\epsilon>0$ y sea $\displaystyle{\epsilon_i=\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}}$ tomamos $\delta=\textbf{min}(\delta_1,\cdots,\delta_n)$.

Para esta $\delta$ se tiene que si $0<|t-t_0|<\delta\Rightarrow|x_i(t)-l_i|<\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}$ $\forall$ $i=1,\cdots,n$, entonces
\[
|f(t)-L|=\left(\sum_{i=1}^n(x_i(t)-l_i)^2\right)^\frac{1}{2}<
\left(\sum_{i=1}^n\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right)^2\right)^\frac{1}{2}=\epsilon
\]
Por lo tanto
\[
\lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=L~~\textcolor{orange}{\blacksquare}
\]

$$\textcolor{orange}{Ejemplo}$$

Se sabe que
\[
\lim_{t\rightarrow 2} (t,t)=(2,2)
\]
Dado $\epsilon>0$, determine $\delta>0$ que verifique la
validez del límite.

Tenemos que
\[
\lim_{t\rightarrow 2}(t,t)=\left(\lim_{t\rightarrow 2}t,
\lim_{t\rightarrow 2}t\right)=(2,2)
\]

$\therefore$ Según la definición
$$|(t,t)-(2,2)|=\sqrt{(t-2)^2+(t-2)^2}=\sqrt{2(t-2)^2}=\sqrt{2}|t-2|$$
$$\therefore \quad si\quad \sqrt{2}|t-2|<\epsilon$$ podemos definir a $\displaystyle{\delta=\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}}$.$~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$

$\textcolor{orange}{Ejemplo}$

Se sabe que
\[
\lim_{t\rightarrow 2} (t,t^{3})=(2,8)
\]
Dado $\epsilon>0$, determine $\delta>0$ que verifique la
validez del límite.

Tenemos que
\[
\lim_{t\rightarrow 2}(t,t^{3})=\left(\lim_{t\rightarrow 2}t,
\lim_{t\rightarrow 2}t^{3}\right)=(2,8)
\]
Ahora bien para $\displaystyle{\delta_{1}=\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}}$ se tiene
$$0<|t-2|<\delta_{1}~\Rightarrow~|t-2|<\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$$

y para $\displaystyle{\delta_{2}=\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}}$ se tiene
$$0<|t-2|<\delta_{2}~\Rightarrow~|t^{3}-8|<\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$$
Por lo tanto si consideramos $\delta=min{\delta_{1},\delta_{2}}$ se tiene
$$|(t,t^{3})-(2,8)|=\sqrt{(t-2)^2+(t^{3}-8)^2}<\sqrt{\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{2\frac{\epsilon^{2}}{2}}=\epsilon$$
$$\therefore \lim_{t\rightarrow 2} (t,t^{3})=(2,8).~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$$

$\textcolor{blue}{Continuidad~ de~ Funciones~ Vectoriales}$

Ahora que sabemos cómo calcular el límite de una función vectorial, podemos definir la continuidad en un punto para tal función.

$\textcolor{blue}{Definición}$

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n$ una función vectorial. Se dice que $f$ es continua en $t_0$ si y solo si se cumple que
\[
\lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=f(t_0)
\]

$\fbox{Teorema}$

La función vectorial
$f(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),…,x_{n}(t))$ es continua en $t_0$ si y
solo si $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ son continuas en $t_0$.

$\fbox{Demostración}$

Como $f(t)$ es continua en $t=t_{0}$, tenemos que se cumple $$\lim_{t\rightarrow t_{0}}f(t)=f(t_{0})$$
Por otro lado se tiene que $$\lim_{t\rightarrow t_{0}}f(t)=\lim_{t\rightarrow t_{0}}\left(x_{1}(t),x_{2}(t),…,x_{n}(t)\right)=\left(\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t),\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{2}(t),…,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t)\right)$$
y como $f(t_{0})=(x_{1}(t_{0}),x_{2}(t_{0}),…,x_{n}(t_{0}))$ entonces
$$\left(\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t),\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{2}(t),…,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t)\right)=(x_{1}(t_{0}),x_{2}(t_{0}),…,x_{n}(t_{0}))$$
$$\therefore \quad \lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t)=x_{1}(t_{0})\quad , \quad \lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{2}(t)=x_{2}(t_{0}),…,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t)=x_{n}(t_{0})$$
$\therefore$ $x_{1}(t),x_{2}(t),…x_{n}(t)$ son continuas en $t=t_{0}$.$~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$

$\textcolor{orange}{Ejemplo}$

Definir la función
\[
f(t)=\frac{\sin t}{t}\hat{i}+\cos (t) \hat{j}
\]
en $t=0$ de manera que $f(t)$ sea continua en $t=0$.

Tenemos que
\[
\lim_{t\rightarrow 0}f(t)=
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}\hat{i}+\cos t \hat{j}=
\hat{i}+\hat{j}
\]
Por lo tanto si definimos $f(0)=\hat{i}+\hat{j}$, entonces
\[
\lim_{t\rightarrow t_0} f(t)=f(t_0).~~\textcolor{orange}{\blacksquare}
\]

$$\fbox{Teorema}$$

Si f es continua en $A\subset \mathbb{R}$ entonces para toda sucesión $x_{k}$ en A tal que $x_{k}\rightarrow x_{0}$ se tiene que $f(x_{k})\rightarrow f(x_{0})$

$$\fbox{Demostración}$$

$\left(\textcolor{red}{\Rightarrow}\right)$ Supongamos que $x_{k}\rightarrow x$ para mostar que $f(x_{k})\rightarrow f(x)$ sea $\epsilon>0$ como f es continua en $x_{0}\in A$ se tiene que $$0<|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$$ elegimos entonces $k>N$ tal que

$$|x_{k}-x_{0}|<\delta\Rightarrow |f(x_{k})-f(x_{0})|<\epsilon$$

$\left(\textcolor{red}{\Leftarrow}\right)$ Supongamos que para cada $x_{k}\in A$ tal que $x_{k}\rightarrow x$ se tiene que $|f(x_{k})-f(x)|<\epsilon$ y queremos demostrar que f es continua en $x_{0}$. Si $x_{k}\rightarrow x_{0}$ entonces $|x_{k}-x_{0}|<\epsilon$ si $k>N_{0}$ tomemos $\delta=\epsilon_{1}$ y tenemos que $$|x_{k}-x_{0}|<\epsilon_{1}\Rightarrow|x_{k}-x_{0}|<\delta\Rightarrow|f(x_{k})-f(x_{0})|<\epsilon~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$$