Archivo de la categoría: Matemáticas

Posts de matemáticas, la ciencia más cercana a las artes.

Geometría Moderna I: Circunferencias homotéticas

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Deja un comentario

Introducción

Esta es la segunda parte de la entrada anterior, donde presentamos el concepto de homotecia, en esta entrada nos enfocaremos en circunferencias homotéticas.

Homotecia de una circunferencia

Teorema 1. La homotecia de una circunferencia es una circunferencia.

Demostración. Sea $(O, r)$ una circunferencia y consideremos una homotecia con centro en $H$ y razón $k$. Tomemos $P \in (O, r)$, y sean $P’$ y $O’$ los puntos homólogos de $P$ y $O$ respectivamente.

Como $P’O’ \parallel PO$ entonces $\triangle HO’P’ \sim \triangle HOP$
$\Rightarrow \dfrac{O’P’}{OP} = \dfrac{HP’}{HP} = k$
$\Rightarrow O’P’ = k \times OP = kr$

Figura 1

Por lo tanto, si $P$ describe una circunferencia, su punto homologo $P’$, se mueve a una distancia fija $kr$ de un punto fijo $O’$, esto es una circunferencia con centro en $O’$ y radio $r’ = kr$, $(O’, r’)$.

$\blacksquare$

Observaciones. Notemos que los respectivos centros $O$ y $O’$ son puntos homólogos y que la razón entre los radios de las circunferencias homotéticas es la razón de homotecia.

Recordemos que por convención, el punto homólogo del centro de homotecia es el mismo y como el centro de homotecia es colineal con los centros de las circunferencias homotéticas, si una de las circunferencias pasa por el centro de homotecia $H$, entonces la otra circunferencia también pasara por $H$ y ambas serán tangentes en $H$.

Figura 2

Si tomamos como centro de una circunferencia el centro de homotecia entonces las circunferencias homotéticas serán concéntricas.

Un triangulo variable

Teorema 2. Si un vértice de un triángulo variable esta sobre un punto fijo, un segundo vértice esta sobre una circunferencia dada y el triángulo variable siempre es semejante a un triángulo dado, entonces el tercer vértice del triángulo describe una circunferencia.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ una de las posiciones del triángulo variable, donde $B$ es el punto fijo y $C$ está en $(O, r)$, la circunferencia dada.

Figura 3

Sea $C’ \in AB$ tal que $BC’ = BC$, sobre $BC’$ construimos un triángulo $\triangle BO’C’$ congruente a $\triangle BOC$, de tal manera que sea posible a través de una rotación con centro en $B$ superponer $\triangle BOC$ con $\triangle BO’C’$.

Como $\angle OBC = \angle O’BC’$ entonces $\angle OBO’ = \angle CBC’ = \angle CBA$, este último ángulo es fijo por lo que la dirección de la recta $BO’$ es fija.

$BO’ = BO$ entonces $O’$ es un punto fijo para cualquier otra posición del triángulo variable $\triangle ABC$.

Como $CO’ = CO = r$, entonces todos los puntos $C’$ se mueven a una distancia fija $r$ de un punto fijo $O’$, por lo tanto, $C’$ describe una circunferencia.

Ya que $\dfrac{BA}{BC’} = \dfrac{BA}{BC}$ y esta última razón es fija, pues todos los triángulos $\triangle ABC$ son semejantes entre sí, $A$ y $C’$ son puntos homólogos de una homotecia con centro en $B$ y razón $\dfrac{BA}{BC}$, y como $C’$ describe una circunferencia, entonces por el teorema 1, $A$ también describe una circunferencia.

$\blacksquare$

Observación. Notemos que en el punto fijo se puede construir cualquiera de los tres ángulos dados, así, en el vértice que esta en el circulo dado tenemos otras dos elecciones, y el tercer vértice lo podemos construir a ambos lados del segmento $BC$, con lo que en total existen $12$ circunferencias diferentes que puede describir el tercer vértice.   

Homotecia entre dos circunferencias dadas

Teorema 3. Dadas dos circunferencias de centros o radios distintos, siempre es posible encontrar una homotecia entre las dos.

Demostración. Sean $(O, r)$ y $(O’, r’)$ tal que $O \neq O’$ y $r \neq r’$, tomemos $P \in (O, r)$ y tracemos por $O’$ un radio $O’P’$ paralelo a $OP$, sea $H = OO’ \cap PP’$.

Entonces $\triangle HO’P’ \sim \triangle HOP$ 
$\Rightarrow \dfrac{HP’}{HP} = \dfrac{HO’}{HO} = \dfrac{O’P’}{OP} = \dfrac{r’}{r}$.

Figura 4

En consecuencia, la homotecia con centro en $H$ y razón $k = \dfrac{r’}{r}$ lleva a $(O, r)$ en $(O’, r’)$.

Ahora consideremos $P’’$ el punto diametralmente opuesto a $P’$ en $(O’, r’)$, sea $H’ = OO’ \cap PP’’$, entonces $\triangle H’O’P’’ \sim \triangle H’OP$
$\Rightarrow \dfrac{H’P’’}{H’P} = \dfrac{H’O’}{H’O} = \dfrac{O’P’’}{OP} = \dfrac{r’}{r} = k$.

Así, hemos encontrado dos homotecias entre $(O, r)$ y $(O’, r’)$.

$\blacksquare$

Observación. Si las circunferencias son concéntricas entonces solo hay una homotecia entre ellas, la que tiene como centro el centro de las circunferencias.

Si las circunferencias tienen el mismo radio entonces la única homotecia entre ellas es la que tiene como centro el punto medio del segmento que une los radios.

Corolario 1. Rectas tangentes comunes a dos circunferencias pasan por un centro de homotecia.

Demostración. Supongamos que $TT’$ es una recta tangente exterior (es decir, la recta $TT’$ corta al segmento $OO’$ exteriormente) a dos circunferencias $(O, r)$ y $(O’, r’)$, donde $T \in (O, r)$ y $T’ \in (O’, r’)$.

Sea $H = OO’ \cap TT’$, como $O’T’ \parallel OT$ entonces $\triangle HO’T’ \sim \triangle HOT$
$\Rightarrow \dfrac{HT’}{HT} = \dfrac{HO’}{HO} = \dfrac{O’T’}{OT} = \dfrac{r’}{r}$.

Figura 5

Como el punto que divide externamente al segmento $OO’$ en la razón $\dfrac{r’}{r}$ es único, entonces $H$ es un centro de homotecia de $(O, r)$ y $(O’, r’)$.

Es análogo ver que las tangentes internas de dos circunferencias pasan por un centro de homotecia.

$\blacksquare$

Incírculo y exírculo en homotecia

Teorema 3. Sea $\triangle ABC$, considera $(I, r)$ y $(I_b, r_b)$ su incírculo y $B$-excírculo respectivamente, sean $D$ el punto de tangencia de $AC$ con $(I, r)$ y $D’$ el punto diametralmente opuesto a $D$ en $(I, r)$, sea $E = BD’ \cap AC$, entonces $E$ es el punto de tangencia de $AC$ con $(I_b, r_b)$ y el punto medio de $AC$ es el punto medio de $DE$.

Demostración. Por el corolario 1, existe una homotecia con centro en $B$ y razón $\dfrac{r_b}{r}$ que lleva a $(I, r)$ en $(I_b, r_b)$, sea $X \in (I_b, r_b) $ el punto correspondiente a $D’ \in (I, r)$ bajo esta transformación.

Figura 6

Entonces $ID’ \parallel I_bX$, pero $ID’ \perp AC$ $\Rightarrow I_bX \perp AC$ y como $AC$ es tangente a $(I_b, r_b)$ entonces $X \in AC$.

Como $X \in AC$ y $X$ es colineal con $B$ y $D’$ entonces $X = E$, así, $AC$ es tangente a $(I_b, r_b)$ en $E$.

Por otro, lado sean $P$, $Q$ los puntos de tangencia de $BC$ con $(I, r)$ y $(I_b, r_b)$ respectivamente y sean $R$, $S$ los puntos de tangencia de $AB$ con $(I, r)$ y $(I_b, r_b)$ respectivamente.

Recordemos que las tangentes desde un punto externo a una circunferencia son iguales.

$BP + PC + CQ = BQ = BS = BR + RA + AS \Rightarrow PC + CQ = RA + AS$
$\Rightarrow CD + CE = AD + AE \Rightarrow 2CE + DE = 2AD + DE$
$\Rightarrow CE = AD$

Por lo tanto, el punto medio de $AC$ es el punto medio de $DE$.

$\blacksquare$

Concurrencia de rectas

Corolario 2. Con las mismas condiciones y notación del teorema anterior, sea $H \in AC$ el pie de la altura por $B$, y sea $M$ el punto medio de $BH$, entonces $EI$ y $I_bD$ concurren en $M$ (figura 6).

Demostración. Ya que $D’D \parallel BH$ entonces $\triangle EBH \sim \triangle ED’D$,
$\Rightarrow \dfrac{EB}{ED’} = \dfrac{EH}{ED}$.

Es decir, hay una homotecia con centro en $E$ que lleva a los puntos $D’$ y $D$ a los puntos $B$ y $H$ respectivamente, esto implica que el punto medio de $D’D$ es homólogo del punto medio de $BH$.

Por lo tanto, $E$, $I$ y $M$ son colineales.

Por otra parte, consideremos la homotecia con centro en $B$ que lleva a $(I, r)$ en $(I_b, r_b)$ y sea $E’ \in (I_b, r_b)$ el punto homólogo de $D \in (I, r)$.

Como $(D, E’)$ y $(D’, E)$ son pares de puntos homólogos bajo la misma homotecia, entonces $DD’ \parallel E’E$ pero $DD’ \parallel HB$ $\Rightarrow E’E \parallel HB$.

Entonces $\triangle DEE’ \sim \triangle DHB$.
$\Rightarrow \dfrac{DB}{DE’} = \dfrac{DH}{DE}$.

En consecuencia, existe una homotecia con centro en $D$, y $(E, H)$, $(E’, B)$ son pares de puntos homólogos, de esto de sigue que el punto medio de $EE’$ y el punto medio de $BH$ son puntos homólogos.

Ya que $E’E \perp AC$, entonces es diámetro de $(I_b, r_b)$, por lo que $I_b$ es el punto medio de $E’E$ y así, $I_b$, $D$ y $M$ son colineales.

Por lo tanto, $EI$ y $I_bD$ concurren en $M$.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre la potencia de un punto con respecto a una circunferencia, es una herramienta útil que relaciona cualesquiera dos secantes a una circunferencia desde un punto en el plano, incluyendo el caso cuando una secante se vuelve tangente.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Un triángulo variable tiene un vértice sobre un punto fijo, un vértice sobre una recta fija y el triangulo permanece semejante a un triángulo dado, muestra que el tercer vértice describe una línea recta.
  2. Considera dos circunferencias que se intersecan, por uno de los puntos de intersección traza una recta que forme una cuerda en cada circunferencia y tal que la razón entre sus longitudes sea igual a una razón dada.
  3. Construye un triángulo semejante a un triángulo dado, de tal forma que un vértice sea un punto dado y los otros dos vértices estén sobre dos circunferencias dadas.
  4. Construye un triangulo $\triangle ABC$ dado su incentro, el punto medio del lado $BC$ y el pie de la altura por $A$.
  5. Lema de Arquímedes. Sea $\Gamma_2$ una circunferencia internamente tangente a una circunferencia $\Gamma_1$ en un punto $H$, considera $AB$, una cuerda de $\Gamma_1$ que es tangente a $\Gamma_2$ en $P$, sea $Q$ el punto medio del arco $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$ (figura 7), muestra que:
    $i)$ $Q$, $P$ y $H$ son colineales,
    $ii)$ $QP \times QH = QB^2$.
Figura 7
  1. Sea $\Gamma_2$ una circunferencia internamente tangente a una circunferencia $\Gamma_1$ en un punto $H$, considera una secante a ambas circunferencias en $A$, $B$, $C$ y $D$ (figura 8), prueba que $\angle AHC = \angle BHD$.
Figura 8

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 46-51.
  • Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 199-208.
  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 109-114.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Analítica I: Las cónicas que existen

Por Paola Lizeth Rojas Salazar

Deja un comentario

Introducción

Anteriormente, ya vimos la definición de «clasificación», ahora, usaremos esta definición para clasificar a las cónicas.

Para realizar esta clasificación, lo primero que debemos observar es que podemos hablar de las curvas asociadas a los polinomios de la siguiente manera:

Considera a un polinomio cuadrático como una función $P: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ que a cada punto $x \in \mathbb R^2$, le asigna el número $P(x)$. Entonces, la curva asociada al polinomio P, o los ceros del polinomio P, son el siguiente subconjunto de $\mathbb R^2$:

\begin{equation} C(P)=\{x \in \mathbb R^2| P(x)=0\} \end{equation}

Además, vamos a decir que un subconjunto $C\subset \mathbb R^2$ es una curva cuadrática si, para algún polinomio cuadrático $P$, se tiene que $C=C(P)$

En conclusión, cualquier curva cuadrática, será equivalente a alguna de las cónicas que se muestran a continuación.

Las cónicas canónicas

  • El círculo unitario

El polinomio $x^2+y^2-1$, tiene como ceros el círculo unitario.

  • La hipérbola unitaria

El polinomio $x^2-y^2-1$, tiene como ceros a la hipérbola unitaria.

  • La parábola canónica

El polinomio $x^2-y$, tiene como ceros a una parábola.

Estas transformaciones afines, pueden mandar a muchas otras, por ejemplo, las elipses se pueden obtener del círculo unitario.

Conjuntos formados por polinomios cuadráticos

  • El círculo imaginario

El polinomio $x^2+y^2+1$, no tiene ningún cero en los reales, pero sí tiene solución en los números complejos, por lo que, a su curva cuadrática, la llamaremos «círculo imaginario».

  • Par de rectas

El polinomio $x^2-y^2$ tiene como conjunto de ceros a la unión de las dos rectas $x+y=0$ y $x-y=0$

  • El círculo de radio cero

El polinomio $x^2+y^2$ es el caso límite de círculos cuyos radios se hacen $0$. También las podemos llamar par rectas imaginarias, porque al factorizar el polinomio, resulta en valores complejos.

  • Rectas paralelas

El polinomio $x^2-1$ da dos rectas paralelas en $x=1$ y $x=-1$

  • Rectas paralelas imaginarias

El polinomio $x^2+1$ define dos rectas paralelas imaginarias en $x=i$ y $x=-i$

  • Recta doble

El polinomio dado por $x^2$, aunque solo consiste de una recta en $x=0$, se le llama doble por el polinomio que la define.

Tarea moral

  1. Realiza un dibujo en el plano euclidiano (si es posible), para cada una de las cónicas canónicas y curvas que se obtienen con los polinomios cuadráticos que mencionamos en esta entrada.
  2. Muestra que, efectivamente, los ceros de cada uno de los polinomios mostrados en la entrada, son los que mencionamos.

Más adelante…

En las siguientes entradas, estudiaremos la equivalencia y reducción de polinomios para después continuar con el análisis de las cónicas.

Cálculo Diferencial e Integral I: Derivabilidad y continuidad

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Deja un comentario

Introducción

En esta sección ligaremos el concepto de continuidad con el de derivabilidad; tal relación no presentará ninguna sorpresa considerando el ejemplo de la función valor absoluto revisada en la entrada anterior. Adicionalmente, nos enfocaremos en la demostración de algunas propiedades básicas de la derivada.

Relación entre derivabilidad y continuidad

Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$ y $x_0 \in A$, si $f$ es derivable en $x_0$, entonces $f$ es continua en $x_0$.

Demostración.

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0} f(x) & = \lim_{x \to x_0} \left( f(x) – f(x_0) + f(x_0) \right) \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left[ \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \right) (x-x_0)+f(x_0) \right] \\ \\
& = f'(x_0) \cdot 0+f(x_0) \text{, pues }f \text{ es derivable}\\ \\
& = f(x_0).
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

Por tanto, $f$ es continua en $x_0$.

$\square$

Veremos que el regreso no es cierto, es decir, si $f$ es continua en $x_0$ no necesariamente es derivable en $x_0$.

Ejemplo 1. Consideremos $f: \RR \to \RR$, $f(x) = |x|.$

Primero probaremos que $f$ es continua en $x_0 = 0$.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Consideremos $\delta = \varepsilon$.

Si $|x-0| < \delta$, entonces

\begin{align*}
|f(x)-0| & = |f(x)| \\
& = ||x|| \\
& = |x| \\
& < \delta \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |f(x)-0| < \varepsilon.$$

Con esto, hemos probado que $f$ es continua en $x_0 = 0$, sin embargo, en la entrada anterior vimos que no era derivable en tal punto.

$\square$

Para continuar, revisaremos algunas propiedades básicas de la derivada, tal como qué sucede con la derivada de la suma o producto de funciones, y sus demostraciones se obtienen directamente de la definición, razón por la cual será conveniente tenerla presente.

Derivada de la suma de funciones

Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f+g$ es derivable en $x_0$, además $$(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).$$
  2. Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0).$$
  3. $f-g$ es derivable en $x_0$, además $$(f-g)'(x_0) = f'(x_0) – g'(x_0).$$

Demostración.

$(1)$

\begin{align*}
(f+g)'(x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x)+g(x))-(f(x_0)+g(x_0))}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{ ( f(x)-f(x_0) ) + ( g(x)-g(x_0) )}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \text{, pues $f$ y $g$ son derivables en $x_0$}. \\ \\
& = f'(x_0) + g'(x_0)
\end{align*}

$$\therefore (f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).$$

$(2) \text{ y } (3)$ quedarán como tarea moral.

$\square$

Derivada del producto de funciones

Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f \cdot g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0).$$
  2. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{1}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right).$$
  3. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$

Demostración.

$(1)$

\begin{align*}
(f\cdot g)’ (x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot g(x) + f(x_0) \cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \\ \\
& = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0).
\end{align*}

Notemos que en el último paso se utiliza que $f$ y $g$ son derivables, y eso en particular implica que $g$ es continua por lo cual podemos aplicar el límite.

$$\therefore (f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0).$$

$(2)$

\begin{align*}
\left(\frac{1}{g}\right)’ (x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{ \left( \frac{1}{g} \right) (x) – \left( \frac{1}{g} \right) (x_0) }{x- x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{g(x_0)-g(x)}{g(x) \cdot g(x_0)}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( -\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \cdot \left( \frac{1}{g(x) \cdot g(x_0)} \right) \\ \\
& = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right) \text{, pues $g$ es derivable (y continua).}
\end{align*}

$$\therefore \left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right).$$

$(3)$

\begin{align*}
\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) & = \left( f \cdot \left( \frac{1}{g} \right) \right)’ (x_0) \\ \\
& = f(x_0) \left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) + f'(x_0) \left( \frac{1}{g} \right) (x_0) \text{, por (1)}\\ \\
& = f(x_0) \left( \frac{-g'(x_0)}{(g(x_0))^2} \right) + \frac{f'(x_0)}{g(x_0)} \text{, por (2)} \\ \\
& = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.
\end{align*}

$$\therefore \left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$

$\square$

Un par de ejemplos

Lo siguiente será revisar un par de ejemplos para aplicar las propiedades revisadas. Recordemos que gracias a la entrada anterior ya conocemos la derivada de algunas funciones:

\begin{gather*}
f_1(x) = ax+b, &\qquad f’_1(x) = a.\\
f_2(x) = x^2, & \qquad f’_2(x) = 2x. \\
f_3(x) = c, & \qquad f’_3(x) = 0. \\
f_4(x) = \sqrt{x}, & \qquad f’_4(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
\end{gather*}

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de la función $f(x)=\sqrt{x}+x^2-10$.

Notemos que $f(x) = f_4(x) + f_2(x) – f_3(x)$. Sabemos que la derivada de una suma (resta) de funciones es la suma (resta) de sus respectivas derivadas, así tenemos que

\begin{align*}
f'(x) & = f’_4(x) + f’_2(x) – f’_3(x) \\
& = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x.
\end{align*}

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de la función $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{5x+30}$.

Notemos que $f(x)=\frac{f_4(x)}{f_1(x)}$. Usando la propiedad de la derivada del cociente de funciones, tenemos que

\begin{align*}
f'(x) & = \frac{-f_4(x_0)f’_1(x_0) + f_1(x_0)f’_4(x_0)}{(f_1(x_0))^2} \\ \\
& = \frac{-\sqrt{x} \cdot 5 + (5x+30) (\frac{1}{2\sqrt{x}})}{ (5x+30)^2} \\
& = \frac{- 5 \sqrt{x} + (\frac{5x+30}{2\sqrt{x}})}{ (5x+30)^2} \\ \\
& = \frac{ \frac{-10x+ 5x+30}{2 \sqrt{x}} }{ 25\cdot (x+6)^2} \\ \\
& = \frac{5(6-x)}{50 \sqrt{x} (x+6)^2} \\ \\
& = \frac{6-x}{10 \sqrt{x} (x+6)^2}.
\end{align*}

Más adelante…

Después de haber revisado qué sucede cuando se deriva la suma, el producto y el cociente de funciones surge una pregunta natural en términos de las operaciones disponibles para las funciones: ¿qué pasa con la composición de funciones?

En la siguiente entrada responderemos esta pregunta y estudiaremos la famosa Regla de la Cadena.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Prueba que:
    • Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0).$$
    • $f-g$ es derivable en $x_0$, además $$(f-g)'(x_0) = f'(x_0) – g'(x_0).$$
  • Prueba que si $f_1$, $f_2$, $\ldots$, $f_n$ son funciones derivables en $x_0 \in A \subset \RR$, entonces
    • La función $f_1+f_2+\ldots+f_n$ es derivable en $x_0$ y $(f_1+f_2+\ldots+f_n)'(x_0) = f’_1(x_0)+f_2′(x_0)+\ldots+f_n'(x_0).$
    • La función $f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n$ es derivable en $x_0$ y
      \begin{align*}
      (f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n)'(x_0) = & f_1′(x_0) \cdot f_2(x_0) \cdot \ldots \cdot f_n(x_0)+f_1(x_0) \cdot f_2′(x_0) \cdot \ldots \cdot f_n(x_0) \\
      & + \ldots + f_1(x_0) \cdot f_2(x_0) \cdot \ldots \cdot f_n'(x_0).
      \end{align*}
  • Empleando las propiedades revisadas en esta entrada, encuentra la derivada de las siguientes funciones:
    • $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}.$
    • $g(x) = \frac{x-1}{5-2x+x^2}.$

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Analítica I: ¿Qué es clasificar?

Por Paola Lizeth Rojas Salazar

Deja un comentario

Introducción

En entradas anteriores, ya hemos hablado las cónicas que son lugares geométricos de puntos en el plano euclidiano que cumplen cierta propiedad dada en términos de distancias. En esta ocasión, nos interesa clasificar a las cónicas, por lo que comenzaremos respondiendo la siguiente pregunta: ¿qué es clasificar?

Definición

«Clasificar» es describir o enumerar las clases de equivalencia de un conjunto de objetos geométricos que cumplen ciertos «criterios».

Por lo anterior, lo primero que debemos hacer es establecer una noción de equivalencia, que es con lo que vamos a definir las condiciones que vamos a aceptar para decir que dos objetos son equivalentes.

Objetos equivalentes

Formalicemos lo anterior.

Recuerda que una figura plana es cualquier subconjunto $F\subset \mathbb R^2$. Considera a $G$ un grupo de transformaciones de $\mathbb R^2$.

Decimos que dos figuras $F_1, F_2 \subset \mathbb R^2$ son $G$-equivalentes ($F_1 \sim^GF_2$), si existe $g \in G$ tal que $g(F_1)=F_2$.

Veamos que $\sim^G$ es una relación de equivalencia.

Demostración

  • P.D. $\sim^G$ es reflexiva ($F\sim^GF)

Como $id(F)=F$ e $id$ está en $G$, entonces $\sim^G$ es reflexiva.

  • P.D. $\sim^G$ es simétrica (Si $F_1\sim^G F_2 \Rightarrow F_2\sim^G F_1$)

Si existe $g\in G$ tal que $g(F_1)=F_2$, entonces existe $g^{-1}\in G$ tal que $g^{-1}(F_2)=F_1$. Lo que implica que $\sim^G$ es simétrica.

  • P.D. $\sim^G$ es transitiva (Si $F_1\sim^G F_2 y F_2\sim^G F_3 \Rightarrow F_1\sim^G F_3$)

Si $g_1(F_1)=F_2$ y $g_2(F_2)=F_3$ con $g_1,g_2\in G$, entonces, $(g_2 \circ g_1)\in G$ y, además, $(g_2 \circ g_1)(F_1)=F_3. Entonces, $\sim^G$ es transitiva.

Por lo tanto, $\sim^G$ es una relación de equivalencia

Finalmente, observa que estas relaciones de «anidan» siguiendo la contención de grupos, esto quiere decir que, si $H\subset G$, entonces $F_1\sim^H F_2 \Rightarrow F_1\sim^G F_2$.

Tarea moral

  1. Describe, de forma matemática, la clasificación de triángulos.

Más adelante

A continuación, como ya sabemos a qué nos referimos con clasificar, vamos a ver los diferentes tipos de cónicas que existen.

Geometría Analítica I: Homotecias y semejanzas

Por Paola Lizeth Rojas Salazar

Deja un comentario

Introducción

En esta ocasión, vamos a estudiar dos transformaciones importantes en las matemáticas, que ya hemos mencionado en entradas anteriores, pero que no hemos definido. Estas transformaciones son las semejanzas y las homotecias.

Homotecias

Las homotecias son las transformaciones que hacen que una figura aumente o disminuya de tamaño (como si aplicáramos un «zoom» a la figura). El cuánto aumenta o disminuye esta figura, es lo que llamaremos «factor de expansión», que tendrá un centro que se va a mantener mientras la figura aumenta o disminuye de tamaño, a este centro lo llamaremos «centro de expansión».

Cuando el centro de expansión es el origen, tenemos una transformación lineal con la siguiente matriz asociada:

\begin{equation}kI=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}\end{equation}

Con $k>0$.

Si $k>1$, tenemos un aumento y, si $k<1$, tenemos una disminución.

Si ahora componemos esta matriz con una traslación por $b \in \mathbb R^2$, obtenemos una homotecia de factor $k$ con centro de expansión $c$ que es el punto fijo que se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

\begin{equation}kx+b=x \end{equation}

Semejanzas

Las semejanzas son transformaciones que preservan ángulos.

Observa que las homotecias y las isometrías son semejanzas. Lo anterior muestra que las tres transformaciones están relacionadas, a continuación hablaremos más a fondo de esta relación.

Teorema 3.25: Si $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es una semejanza, entonces existen $k>0$, $A\in O(2)$ y $b \in \mathbb R^2$ tales que:

\begin{equation} f(x)=kAx+b \end{equation}

Demostración

Considera la transformación lineal $g(x)=f(x)-b$, con $b:=f(0)$. Esta transformación es una traslación, por lo que preserva ángulos.

También considera a $B=(u,v)$, la matriz asociada a $g$, donde $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma $(*)$.

Finalmente, sean $k=|u|=|v|$ y $A=\frac{B}{k}$.

Observa que $A\in O(2)$ porque sus columnas son ortonormales y que, además:

\begin{equation} f(x)=g(x)+b=Bx+b=k Ax+b\end{equation}

Lo que concluye la demostración.

Tarea moral

  1. Demuestra, en $(*)$, que $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma.
  2. Encuentra la expresión de la homotecia de factor de expansión $k$ y centro $c$.
  3. Demuestra que una transformación $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es una semejanza si y solo si, existe $k>0$ tal que $d(f(x),f(y))=kd(x,y)$ para todo $x,y \in \mathbb R^2$.

Más adelante…

No te pierdas la siguiente entrada en la que hablaremos de un nuevo tema, la clasificación.