En las entradas anteriores, estuvimos hablando de la clasificación de las curvas cuadráticas módulo transformaciones afines (las $G$-equivalencias), en esta entrada, vamos a responder preguntas para saber cuándo tienen sentido estas clasificaciones. Estas preguntas, principalmente derivan en la equivalencia de polinomios y la reducción de polinomios cuadráticos.
Equivalencia de polinomios
Antes de definir la equivalencia de polinomios, es importante preguntarnos si las imágenes afínes de curvas cuadráticas son de nuevo curvas cuadráticas.
Para responder la pregunta anterior, considera una curva cuadrática $C$ y una transformación afín $g \in Af(2)$. Entonces, existe un polinomio $P$ que define a $C$, es decir, que se cumple la siguiente igualdad:
Observa que en la demostración anterior, solo se usó que $C$ estuviera definida como los ceros de una función y que $g$ fuera invertible, pero, ¿$g(C)$ es una curva cuadrática? Sí, lo anterior lo vemos en el siguiente lema:
Lema 4.1: Sea $C$ una curva cuadrática y $g\in Af(2)$, entonces $g(C)$ también es una curva cuadrática. Además, si $C=C(P)$, entonces $g(C)=C(P\circ g^{-1})$
Demostración
Si $P$ es un polinomio cuadrático y $g$ una transformación afín, entonces, $(P\circ g):\mathbb R^2 \to \mathbb R$ también es un polinomio cuadrático.
Y como las dos coordenadas de $g$ son polinomios lineales y $P\circ g$ es cuadrático, al sustituir ambos polinomios, obtendremos un polinomio con monomios de grado a lo más $2$.
Entonces $g(C)$ también es una curva cuadrática.
Con lo que termina la demostración.
Definición: Sea $G$ un subgrupo de $Af(2)$.
Decimos que dos polinomios cuadráticos $P_1$ y $P_2$ son $G-equivalentes$ o equivalentes módulo $G$ ($P_1\sim^G P_2$), si existen $g\in G$ y $k\in \mathbb R$, con $k\neq 0$, tales que $kP_1=P_2\circ g$. $(*)$
Finalmente, tenemos el siguiente teorema que relaciona esta entrada con la entrada anterior en la que se clasificó a las curvas cuadráticas:
Teorema 4.2: Sea $P$ un polinomio cuadrático en dos variables $x, y$. Entonces $P$ es afinmente equivalente a uno y solo uno de los polinomios que clasificamos en la entrada anterior.
Reducción de polinomios cuadráticos
Ahora veremos cómo reducir o simplificar un polinomio cuadrático, usando coordenadas afines. Para esto, vamos a simplificar los polinomios con matrices y vectores.
Recordemos que el polinomio general de segundo grado se puede escribir como:
Ahora considera un vector variable $x^T=(x,y)$ y a la matriz $A$ y un vector $k$ definidos de la siguiente forma:
\begin{equation}A:=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}, \hspace{1cm} k=\begin{pmatrix} d \\ e\end{pmatrix}\end{equation}
Con estos datos, podemos escribir $P$ como:
\begin{equation} P(x)=x*Ax+k*x+f\end{equation}
Con $A=A^T\neq 0$.
A esta expresión se le conoce como la expresión vectorial del P.
Tarea moral
Demuestra que, la relación definida en $(*)$ es de equivalencia.
Demuestra el Teorema 4.2.
Muestra que, la expresión en $(8)$, es cierta.
Demuestra que, para un subgrupo $G$ de $Af(2)$, la relación de ser $G$-equivalentes, es una relación de equivalencia en los polinomios cuadráticos de dos variables.
Da una expresión general para un polinomio cuadrático en tres variables $x,y,z$ y luego define una expresión vectorial para él.
Encuentra la matriz simétrica $A$ y el vector constante $k$ que dan la expresión vectorial de los siguientes polinomios cuadráticos:
$x^2+2y^2-6x+4y+3$
$2xy-6x-4y-4$
Más adelante
En la siguiente entrada, vamos a usar los conocimientos adquiridos de esta entrada, para encontrar el centro y los ejes de las cónicas.
Esta es la segunda parte de la entrada anterior, donde presentamos el concepto de homotecia, en esta entrada nos enfocaremos en circunferencias homotéticas.
Homotecia de una circunferencia
Teorema 1. La homotecia de una circunferencia es una circunferencia.
Demostración. Sea $(O, r)$ una circunferencia y consideremos una homotecia con centro en $H$ y razón $k$. Tomemos $P \in (O, r)$, y sean $P’$ y $O’$ los puntos homólogos de $P$ y $O$ respectivamente.
Como $P’O’ \parallel PO$ entonces $\triangle HO’P’ \sim \triangle HOP$ $\Rightarrow \dfrac{O’P’}{OP} = \dfrac{HP’}{HP} = k$ $\Rightarrow O’P’ = k \times OP = kr$
Figura 1
Por lo tanto, si $P$ describe una circunferencia, su punto homologo $P’$, se mueve a una distancia fija $kr$ de un punto fijo $O’$, esto es una circunferencia con centro en $O’$ y radio $r’ = kr$, $(O’, r’)$.
$\blacksquare$
Observaciones. Notemos que los respectivos centros $O$ y $O’$ son puntos homólogos y que la razón entre los radios de las circunferencias homotéticas es la razón de homotecia.
Recordemos que por convención, el punto homólogo del centro de homotecia es el mismo y como el centro de homotecia es colineal con los centros de las circunferencias homotéticas, si una de las circunferencias pasa por el centro de homotecia $H$, entonces la otra circunferencia también pasara por $H$ y ambas serán tangentes en $H$.
Figura 2
Si tomamos como centro de una circunferencia el centro de homotecia entonces las circunferencias homotéticas serán concéntricas.
Un triangulo variable
Teorema 2. Si un vértice de un triángulo variable esta sobre un punto fijo, un segundo vértice esta sobre una circunferencia dada y el triángulo variable siempre es semejante a un triángulo dado, entonces el tercer vértice del triángulo describe una circunferencia.
Demostración. Sea $\triangle ABC$ una de las posiciones del triángulo variable, donde $B$ es el punto fijo y $C$ está en $(O, r)$, la circunferencia dada.
Figura 3
Sea $C’ \in AB$ tal que $BC’ = BC$, sobre $BC’$ construimos un triángulo $\triangle BO’C’$ congruente a $\triangle BOC$, de tal manera que sea posible a través de una rotación con centro en $B$ superponer $\triangle BOC$ con $\triangle BO’C’$.
Como $\angle OBC = \angle O’BC’$ entonces $\angle OBO’ = \angle CBC’ = \angle CBA$, este último ángulo es fijo por lo que la dirección de la recta $BO’$ es fija.
$BO’ = BO$ entonces $O’$ es un punto fijo para cualquier otra posición del triángulo variable $\triangle ABC$.
Como $CO’ = CO = r$, entonces todos los puntos $C’$ se mueven a una distancia fija $r$ de un punto fijo $O’$, por lo tanto, $C’$ describe una circunferencia.
Ya que $\dfrac{BA}{BC’} = \dfrac{BA}{BC}$ y esta última razón es fija, pues todos los triángulos $\triangle ABC$ son semejantes entre sí, $A$ y $C’$ son puntos homólogos de una homotecia con centro en $B$ y razón $\dfrac{BA}{BC}$, y como $C’$ describe una circunferencia, entonces por el teorema 1, $A$ también describe una circunferencia.
$\blacksquare$
Observación. Notemos que en el punto fijo se puede construir cualquiera de los tres ángulos dados, así, en el vértice que esta en el circulo dado tenemos otras dos elecciones, y el tercer vértice lo podemos construir a ambos lados del segmento $BC$, con lo que en total existen $12$ circunferencias diferentes que puede describir el tercer vértice.
Homotecia entre dos circunferencias dadas
Teorema 3. Dadas dos circunferencias de centros o radios distintos, siempre es posible encontrar una homotecia entre las dos.
Demostración. Sean $(O, r)$ y $(O’, r’)$ tal que $O \neq O’$ y $r \neq r’$, tomemos $P \in (O, r)$ y tracemos por $O’$ un radio $O’P’$ paralelo a $OP$, sea $H = OO’ \cap PP’$.
En consecuencia, la homotecia con centro en $H$ y razón $k = \dfrac{r’}{r}$ lleva a $(O, r)$ en $(O’, r’)$.
Ahora consideremos $P’’$ el punto diametralmente opuesto a $P’$ en $(O’, r’)$, sea $H’ = OO’ \cap PP’’$, entonces $\triangle H’O’P’’ \sim \triangle H’OP$ $\Rightarrow \dfrac{H’P’’}{H’P} = \dfrac{H’O’}{H’O} = \dfrac{O’P’’}{OP} = \dfrac{r’}{r} = k$.
Así, hemos encontrado dos homotecias entre $(O, r)$ y $(O’, r’)$.
$\blacksquare$
Observación. Si las circunferencias son concéntricas entonces solo hay una homotecia entre ellas, la que tiene como centro el centro de las circunferencias.
Si las circunferencias tienen el mismo radio entonces la única homotecia entre ellas es la que tiene como centro el punto medio del segmento que une los radios.
Corolario 1. Rectas tangentes comunes a dos circunferencias pasan por un centro de homotecia.
Demostración. Supongamos que $TT’$ es una recta tangente exterior (es decir, la recta $TT’$ corta al segmento $OO’$ exteriormente) a dos circunferencias $(O, r)$ y $(O’, r’)$, donde $T \in (O, r)$ y $T’ \in (O’, r’)$.
Como el punto que divide externamente al segmento $OO’$ en la razón $\dfrac{r’}{r}$ es único, entonces $H$ es un centro de homotecia de $(O, r)$ y $(O’, r’)$.
Es análogo ver que las tangentes internas de dos circunferencias pasan por un centro de homotecia.
$\blacksquare$
Incírculo y exírculo en homotecia
Teorema 3. Sea $\triangle ABC$, considera $(I, r)$ y $(I_b, r_b)$ su incírculo y $B$-excírculo respectivamente, sean $D$ el punto de tangencia de $AC$ con $(I, r)$ y $D’$ el punto diametralmente opuesto a $D$ en $(I, r)$, sea $E = BD’ \cap AC$, entonces $E$ es el punto de tangencia de $AC$ con $(I_b, r_b)$ y el punto medio de $AC$ es el punto medio de $DE$.
Demostración. Por el corolario 1, existe una homotecia con centro en $B$ y razón $\dfrac{r_b}{r}$ que lleva a $(I, r)$ en $(I_b, r_b)$, sea $X \in (I_b, r_b) $ el punto correspondiente a $D’ \in (I, r)$ bajo esta transformación.
Figura 6
Entonces $ID’ \parallel I_bX$, pero $ID’ \perp AC$ $\Rightarrow I_bX \perp AC$ y como $AC$ es tangente a $(I_b, r_b)$ entonces $X \in AC$.
Como $X \in AC$ y $X$ es colineal con $B$ y $D’$ entonces $X = E$, así, $AC$ es tangente a $(I_b, r_b)$ en $E$.
Por otro, lado sean $P$, $Q$ los puntos de tangencia de $BC$ con $(I, r)$ y $(I_b, r_b)$ respectivamente y sean $R$, $S$ los puntos de tangencia de $AB$ con $(I, r)$ y $(I_b, r_b)$ respectivamente.
$BP + PC + CQ = BQ = BS = BR + RA + AS \Rightarrow PC + CQ = RA + AS$ $\Rightarrow CD + CE = AD + AE \Rightarrow 2CE + DE = 2AD + DE$ $\Rightarrow CE = AD$
Por lo tanto, el punto medio de $AC$ es el punto medio de $DE$.
$\blacksquare$
Concurrencia de rectas
Corolario 2. Con las mismas condiciones y notación del teorema anterior, sea $H \in AC$ el pie de la altura por $B$, y sea $M$ el punto medio de $BH$, entonces $EI$ y $I_bD$ concurren en $M$ (figura 6).
Demostración. Ya que $D’D \parallel BH$ entonces $\triangle EBH \sim \triangle ED’D$, $\Rightarrow \dfrac{EB}{ED’} = \dfrac{EH}{ED}$.
Es decir, hay una homotecia con centro en $E$ que lleva a los puntos $D’$ y $D$ a los puntos $B$ y $H$ respectivamente, esto implica que el punto medio de $D’D$ es homólogo del punto medio de $BH$.
Por lo tanto, $E$, $I$ y $M$ son colineales.
Por otra parte, consideremos la homotecia con centro en $B$ que lleva a $(I, r)$ en $(I_b, r_b)$ y sea $E’ \in (I_b, r_b)$ el punto homólogo de $D \in (I, r)$.
Como $(D, E’)$ y $(D’, E)$ son pares de puntos homólogos bajo la misma homotecia, entonces $DD’ \parallel E’E$ pero $DD’ \parallel HB$ $\Rightarrow E’E \parallel HB$.
Entonces $\triangle DEE’ \sim \triangle DHB$. $\Rightarrow \dfrac{DB}{DE’} = \dfrac{DH}{DE}$.
En consecuencia, existe una homotecia con centro en $D$, y $(E, H)$, $(E’, B)$ son pares de puntos homólogos, de esto de sigue que el punto medio de $EE’$ y el punto medio de $BH$ son puntos homólogos.
Ya que $E’E \perp AC$, entonces es diámetro de $(I_b, r_b)$, por lo que $I_b$ es el punto medio de $E’E$ y así, $I_b$, $D$ y $M$ son colineales.
Por lo tanto, $EI$ y $I_bD$ concurren en $M$.
$\blacksquare$
Más adelante…
En la siguiente entrada hablaremos sobre la potencia de un punto con respecto a una circunferencia, es una herramienta útil que relaciona cualesquiera dos secantes a una circunferencia desde un punto en el plano, incluyendo el caso cuando una secante se vuelve tangente.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Un triángulo variable tiene un vértice sobre un punto fijo, un vértice sobre una recta fija y el triangulo permanece semejante a un triángulo dado, muestra que el tercer vértice describe una línea recta.
Considera dos circunferencias que se intersecan, por uno de los puntos de intersección traza una recta que forme una cuerda en cada circunferencia y tal que la razón entre sus longitudes sea igual a una razón dada.
Construye un triángulo semejante a un triángulo dado, de tal forma que un vértice sea un punto dado y los otros dos vértices estén sobre dos circunferencias dadas.
Construye un triangulo $\triangle ABC$ dado su incentro, el punto medio del lado $BC$ y el pie de la altura por $A$.
Lema de Arquímedes. Sea $\Gamma_2$ una circunferencia internamente tangente a una circunferencia $\Gamma_1$ en un punto $H$, considera $AB$, una cuerda de $\Gamma_1$ que es tangente a $\Gamma_2$ en $P$, sea $Q$ el punto medio del arco $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$ (figura 7), muestra que: $i)$ $Q$, $P$ y $H$ son colineales, $ii)$ $QP \times QH = QB^2$.
Figura 7
Sea $\Gamma_2$ una circunferencia internamente tangente a una circunferencia $\Gamma_1$ en un punto $H$, considera una secante a ambas circunferencias en $A$, $B$, $C$ y $D$ (figura 8), prueba que $\angle AHC = \angle BHD$.
Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 46-51.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 199-208.
Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 109-114.
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Anteriormente, ya vimos la definición de «clasificación», ahora, usaremos esta definición para clasificar a las cónicas.
Para realizar esta clasificación, lo primero que debemos observar es que podemos hablar de las curvas asociadas a los polinomios de la siguiente manera:
Considera a un polinomio cuadrático como una función $P: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ que a cada punto $x \in \mathbb R^2$, le asigna el número $P(x)$. Entonces, la curva asociada al polinomio P, o los ceros del polinomio P, son el siguiente subconjunto de $\mathbb R^2$:
Además, vamos a decir que un subconjunto $C\subset \mathbb R^2$ es una curva cuadrática si, para algún polinomio cuadrático $P$, se tiene que $C=C(P)$
En conclusión, cualquier curva cuadrática, será equivalente a alguna de las cónicas que se muestran a continuación.
Las cónicas canónicas
El círculo unitario
El polinomio $x^2+y^2-1$, tiene como ceros el círculo unitario.
La hipérbola unitaria
El polinomio $x^2-y^2-1$, tiene como ceros a la hipérbola unitaria.
La parábola canónica
El polinomio $x^2-y$, tiene como ceros a una parábola.
Estas transformaciones afines, pueden mandar a muchas otras, por ejemplo, las elipses se pueden obtener del círculo unitario.
Conjuntos formados por polinomios cuadráticos
El círculo imaginario
El polinomio $x^2+y^2+1$, no tiene ningún cero en los reales, pero sí tiene solución en los números complejos, por lo que, a su curva cuadrática, la llamaremos «círculo imaginario».
Par de rectas
El polinomio $x^2-y^2$ tiene como conjunto de ceros a la unión de las dos rectas $x+y=0$ y $x-y=0$
El círculo de radio cero
El polinomio $x^2+y^2$ es el caso límite de círculos cuyos radios se hacen $0$. También las podemos llamar par rectas imaginarias, porque al factorizar el polinomio, resulta en valores complejos.
Rectas paralelas
El polinomio $x^2-1$ da dos rectas paralelas en $x=1$ y $x=-1$
Rectas paralelas imaginarias
El polinomio $x^2+1$ define dos rectas paralelas imaginarias en $x=i$ y $x=-i$
Recta doble
El polinomio dado por $x^2$, aunque solo consiste de una recta en $x=0$, se le llama doble por el polinomio que la define.
Tarea moral
Realiza un dibujo en el plano euclidiano (si es posible), para cada una de las cónicas canónicas y curvas que se obtienen con los polinomios cuadráticos que mencionamos en esta entrada.
Muestra que, efectivamente, los ceros de cada uno de los polinomios mostrados en la entrada, son los que mencionamos.
Más adelante…
En las siguientes entradas, estudiaremos la equivalencia y reducción de polinomios para después continuar con el análisis de las cónicas.
En esta sección ligaremos el concepto de continuidad con el de derivabilidad; tal relación no presentará ninguna sorpresa considerando el ejemplo de la función valor absoluto revisada en la entrada anterior. Adicionalmente, nos enfocaremos en la demostración de algunas propiedades básicas de la derivada.
Relación entre derivabilidad y continuidad
Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$ y $x_0 \in A$, si $f$ es derivable en $x_0$, entonces $f$ es continua en $x_0$.
Con esto, hemos probado que $f$ es continua en $x_0 = 0$, sin embargo, en la entrada anterior vimos que no era derivable en tal punto.
$\square$
Para continuar, revisaremos algunas propiedades básicas de la derivada, tal como qué sucede con la derivada de la suma o producto de funciones, y sus demostraciones se obtienen directamente de la definición, razón por la cual será conveniente tenerla presente.
Derivada de la suma de funciones
Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces
$f+g$ es derivable en $x_0$, además $$(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).$$
Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0).$$
$f-g$ es derivable en $x_0$, además $$(f-g)'(x_0) = f'(x_0) – g'(x_0).$$
Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces
$f \cdot g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0).$$
Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{1}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right).$$
Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$
Notemos que en el último paso se utiliza que $f$ y $g$ son derivables, y eso en particular implica que $g$ es continua por lo cual podemos aplicar el límite.
Lo siguiente será revisar un par de ejemplos para aplicar las propiedades revisadas. Recordemos que gracias a la entrada anterior ya conocemos la derivada de algunas funciones:
Ejemplo 2. Encuentra la derivada de la función $f(x)=\sqrt{x}+x^2-10$.
Notemos que $f(x) = f_4(x) + f_2(x) – f_3(x)$. Sabemos que la derivada de una suma (resta) de funciones es la suma (resta) de sus respectivas derivadas, así tenemos que
Después de haber revisado qué sucede cuando se deriva la suma, el producto y el cociente de funciones surge una pregunta natural en términos de las operaciones disponibles para las funciones: ¿qué pasa con la composición de funciones?
En la siguiente entrada responderemos esta pregunta y estudiaremos la famosa Regla de la Cadena.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Prueba que:
Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0).$$
$f-g$ es derivable en $x_0$, además $$(f-g)'(x_0) = f'(x_0) – g'(x_0).$$
Prueba que si $f_1$, $f_2$, $\ldots$, $f_n$ son funciones derivables en $x_0 \in A \subset \RR$, entonces
La función $f_1+f_2+\ldots+f_n$ es derivable en $x_0$ y $(f_1+f_2+\ldots+f_n)'(x_0) = f’_1(x_0)+f_2′(x_0)+\ldots+f_n'(x_0).$
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En entradas anteriores, ya hemos hablado las cónicas que son lugares geométricos de puntos en el plano euclidiano que cumplen cierta propiedad dada en términos de distancias. En esta ocasión, nos interesa clasificar a las cónicas, por lo que comenzaremos respondiendo la siguiente pregunta: ¿qué es clasificar?
Definición
«Clasificar» es describir o enumerar las clases de equivalencia de un conjunto de objetos geométricos que cumplen ciertos «criterios».
Por lo anterior, lo primero que debemos hacer es establecer una noción de equivalencia, que es con lo que vamos a definir las condiciones que vamos a aceptar para decir que dos objetos son equivalentes.
Objetos equivalentes
Formalicemos lo anterior.
Recuerda que una figura plana es cualquier subconjunto $F\subset \mathbb R^2$. Considera a $G$ un grupo de transformaciones de $\mathbb R^2$.
Decimos que dos figuras $F_1, F_2 \subset \mathbb R^2$ son $G$-equivalentes ($F_1 \sim^GF_2$), si existe $g \in G$ tal que $g(F_1)=F_2$.
Veamos que $\sim^G$ es una relación de equivalencia.
Demostración
P.D. $\sim^G$ es reflexiva ($F\sim^GF)
Como $id(F)=F$ e $id$ está en $G$, entonces $\sim^G$ es reflexiva.
P.D. $\sim^G$ es simétrica (Si $F_1\sim^G F_2 \Rightarrow F_2\sim^G F_1$)
Si existe $g\in G$ tal que $g(F_1)=F_2$, entonces existe $g^{-1}\in G$ tal que $g^{-1}(F_2)=F_1$. Lo que implica que $\sim^G$ es simétrica.
P.D. $\sim^G$ es transitiva (Si $F_1\sim^G F_2 y F_2\sim^G F_3 \Rightarrow F_1\sim^G F_3$)
Si $g_1(F_1)=F_2$ y $g_2(F_2)=F_3$ con $g_1,g_2\in G$, entonces, $(g_2 \circ g_1)\in G$ y, además, $(g_2 \circ g_1)(F_1)=F_3. Entonces, $\sim^G$ es transitiva.
Por lo tanto, $\sim^G$ es una relación de equivalencia
Finalmente, observa que estas relaciones de «anidan» siguiendo la contención de grupos, esto quiere decir que, si $H\subset G$, entonces $F_1\sim^H F_2 \Rightarrow F_1\sim^G F_2$.
Tarea moral
Describe, de forma matemática, la clasificación de triángulos.
Más adelante
A continuación, como ya sabemos a qué nos referimos con clasificar, vamos a ver los diferentes tipos de cónicas que existen.
