Geometría Analítica I: ¿Qué es clasificar?

Introducción

En entradas anteriores, ya hemos hablado las cónicas que son lugares geométricos de puntos en el plano euclidiano que cumplen cierta propiedad dada en términos de distancias. En esta ocasión, nos interesa clasificar a las cónicas, por lo que comenzaremos respondiendo la siguiente pregunta: ¿qué es clasificar?

Definición

«Clasificar» es describir o enumerar las clases de equivalencia de un conjunto de objetos geométricos que cumplen ciertos «criterios».

Por lo anterior, lo primero que debemos hacer es establecer una noción de equivalencia, que es con lo que vamos a definir las condiciones que vamos a aceptar para decir que dos objetos son equivalentes.

Objetos equivalentes

Formalicemos lo anterior.

Recuerda que una figura plana es cualquier subconjunto $F\subset \mathbb R^2$. Considera a $G$ un grupo de transformaciones de $\mathbb R^2$.

Decimos que dos figuras $F_1, F_2 \subset \mathbb R^2$ son $G$-equivalentes ($F_1 \sim^GF_2$), si existe $g \in G$ tal que $g(F_1)=F_2$.

Veamos que $\sim^G$ es una relación de equivalencia.

Demostración

  • P.D. $\sim^G$ es reflexiva ($F\sim^GF)

Como $id(F)=F$ e $id$ está en $G$, entonces $\sim^G$ es reflexiva.

  • P.D. $\sim^G$ es simétrica (Si $F_1\sim^G F_2 \Rightarrow F_2\sim^G F_1$)

Si existe $g\in G$ tal que $g(F_1)=F_2$, entonces existe $g^{-1}\in G$ tal que $g^{-1}(F_2)=F_1$. Lo que implica que $\sim^G$ es simétrica.

  • P.D. $\sim^G$ es transitiva (Si $F_1\sim^G F_2 y F_2\sim^G F_3 \Rightarrow F_1\sim^G F_3$)

Si $g_1(F_1)=F_2$ y $g_2(F_2)=F_3$ con $g_1,g_2\in G$, entonces, $(g_2 \circ g_1)\in G$ y, además, $(g_2 \circ g_1)(F_1)=F_3. Entonces, $\sim^G$ es transitiva.

Por lo tanto, $\sim^G$ es una relación de equivalencia

Finalmente, observa que estas relaciones de «anidan» siguiendo la contención de grupos, esto quiere decir que, si $H\subset G$, entonces $F_1\sim^H F_2 \Rightarrow F_1\sim^G F_2$.

Tarea moral

  1. Describe, de forma matemática, la clasificación de triángulos.

Más adelante

A continuación, como ya sabemos a qué nos referimos con clasificar, vamos a ver los diferentes tipos de cónicas que existen.

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