Introducción
En esta ocasión, vamos a estudiar dos transformaciones importantes en las matemáticas, que ya hemos mencionado en entradas anteriores, pero que no hemos definido. Estas transformaciones son las semejanzas y las homotecias.
Homotecias
Las homotecias son las transformaciones que hacen que una figura aumente o disminuya de tamaño (como si aplicáramos un «zoom» a la figura). El cuánto aumenta o disminuye esta figura, es lo que llamaremos «factor de expansión», que tendrá un centro que se va a mantener mientras la figura aumenta o disminuye de tamaño, a este centro lo llamaremos «centro de expansión».
Cuando el centro de expansión es el origen, tenemos una transformación lineal con la siguiente matriz asociada:
\begin{equation}kI=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}\end{equation}
Con $k>0$.
Si $k>1$, tenemos un aumento y, si $k<1$, tenemos una disminución.
Si ahora componemos esta matriz con una traslación por $b \in \mathbb R^2$, obtenemos una homotecia de factor $k$ con centro de expansión $c$ que es el punto fijo que se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:
\begin{equation}kx+b=x \end{equation}
Semejanzas
Las semejanzas son transformaciones que preservan ángulos.
Observa que las homotecias y las isometrías son semejanzas. Lo anterior muestra que las tres transformaciones están relacionadas, a continuación hablaremos más a fondo de esta relación.
Teorema 3.25: Si $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es una semejanza, entonces existen $k>0$, $A\in O(2)$ y $b \in \mathbb R^2$ tales que:
\begin{equation} f(x)=kAx+b \end{equation}
Demostración
Considera la transformación lineal $g(x)=f(x)-b$, con $b:=f(0)$. Esta transformación es una traslación, por lo que preserva ángulos.
También considera a $B=(u,v)$, la matriz asociada a $g$, donde $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma $(*)$.
Finalmente, sean $k=|u|=|v|$ y $A=\frac{B}{k}$.
Observa que $A\in O(2)$ porque sus columnas son ortonormales y que, además:
\begin{equation} f(x)=g(x)+b=Bx+b=k Ax+b\end{equation}
Lo que concluye la demostración.
Tarea moral
- Demuestra, en $(*)$, que $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma.
- Encuentra la expresión de la homotecia de factor de expansión $k$ y centro $c$.
- Demuestra que una transformación $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es una semejanza si y solo si, existe $k>0$ tal que $d(f(x),f(y))=kd(x,y)$ para todo $x,y \in \mathbb R^2$.
Más adelante…
No te pierdas la siguiente entrada en la que hablaremos de un nuevo tema, la clasificación.