Geometría Analítica I: Homotecias y semejanzas

Introducción

En esta ocasión, vamos a estudiar dos transformaciones importantes en las matemáticas, que ya hemos mencionado en entradas anteriores, pero que no hemos definido. Estas transformaciones son las semejanzas y las homotecias.

Homotecias

Las homotecias son las transformaciones que hacen que una figura aumente o disminuya de tamaño (como si aplicáramos un «zoom» a la figura). El cuánto aumenta o disminuye esta figura, es lo que llamaremos «factor de expansión», que tendrá un centro que se va a mantener mientras la figura aumenta o disminuye de tamaño, a este centro lo llamaremos «centro de expansión».

Cuando el centro de expansión es el origen, tenemos una transformación lineal con la siguiente matriz asociada:

\begin{equation}kI=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}\end{equation}

Con $k>0$.

Si $k>1$, tenemos un aumento y, si $k<1$, tenemos una disminución.

Si ahora componemos esta matriz con una traslación por $b \in \mathbb R^2$, obtenemos una homotecia de factor $k$ con centro de expansión $c$ que es el punto fijo que se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

\begin{equation}kx+b=x \end{equation}

Semejanzas

Las semejanzas son transformaciones que preservan ángulos.

Observa que las homotecias y las isometrías son semejanzas. Lo anterior muestra que las tres transformaciones están relacionadas, a continuación hablaremos más a fondo de esta relación.

Teorema 3.25: Si $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es una semejanza, entonces existen $k>0$, $A\in O(2)$ y $b \in \mathbb R^2$ tales que:

\begin{equation} f(x)=kAx+b \end{equation}

Demostración

Considera la transformación lineal $g(x)=f(x)-b$, con $b:=f(0)$. Esta transformación es una traslación, por lo que preserva ángulos.

También considera a $B=(u,v)$, la matriz asociada a $g$, donde $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma $(*)$.

Finalmente, sean $k=|u|=|v|$ y $A=\frac{B}{k}$.

Observa que $A\in O(2)$ porque sus columnas son ortonormales y que, además:

\begin{equation} f(x)=g(x)+b=Bx+b=k Ax+b\end{equation}

Lo que concluye la demostración.

Tarea moral

  1. Demuestra, en $(*)$, que $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma.
  2. Encuentra la expresión de la homotecia de factor de expansión $k$ y centro $c$.
  3. Demuestra que una transformación $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es una semejanza si y solo si, existe $k>0$ tal que $d(f(x),f(y))=kd(x,y)$ para todo $x,y \in \mathbb R^2$.

Más adelante…

No te pierdas la siguiente entrada en la que hablaremos de un nuevo tema, la clasificación.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.