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Ecuaciones Diferenciales I: Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano

Por Omar González Franco

4 respuestas

Una de las cosas más impresionantes sobre las matemáticas es que la gente que
la practica no están normalmente interesadas en su aplicación, porque
las matemáticas en si mismas son una forma de hermoso arte.
– Danica McKellar

Introducción

¡Hemos llegado a la última entrada del curso!

Concluiremos esta unidad con la introducción a un importante teorema de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales. El teorema de Poincaré – Bendixson.

La demostración a este teorema suele ser compleja y requiere de definiciones y resultados previos, algunos de ellos sobre topología elemental. En este curso sólo enunciaremos este teorema en una versión simplificada de manera que podamos aplicarlo a los sistemas no lineales de dos ecuaciones diferénciales, por esta razón es que este teorema también se conoce como teorema de Poincaré – Bendixson en el plano.

En la entrada sobre linearización visualizamos el plano fase del sistema

\begin{align*}
x^{\prime} &= y \\
y^{\prime} &= -x + \mu(1 -x^{2})y \label{1} \tag{1}
\end{align*}

Para el caso en el que $\mu = 1$. Dicho plano fase fue el siguiente.

Plano fase del sistema.

El sistema (\ref{1}) en realidad se deduce de la ecuación diferencial de segundo orden

$$\dfrac{d^{2}y}{dt^2} + \mu(y^{2} -1) \dfrac{dy}{dt}+ y = 0 \label{2} \tag{2}$$

la cual lleva por nombre ecuación de Van der Pol y representa el movimiento de un oscilador con amortiguamiento no lineal.

Lo que podemos observar del plano fase es que existe una trayectoria límite (resaltada en rojo) que de alguna manera divide al plano fase en secciones. Si nos concentramos en la trayectoria periódica formada, entonces podemos hablar de la zona interior y la zona exterior a dicha trayectoria y lo que observamos es que por fuera de ella todas las trayectorias tienden a la trayectoria periódica, mientras que dentro de ella todas se alejan del origen para aproximarse, de igual manera, a la trayectoria límite.

Esto es lo que se conoce como un ciclo límite y lo presentan algunos sistemas no lineales. El teorema de Poincaré – Bendixson nos dará las condiciones necesarias para asegurar que un sistema no lineal presenta ciclos límites.

Antes de continuar haremos un breve paréntesis para recordar un par de resultados importantes de las coordenadas polares que nos servirán para hacer más sencillos los cálculos de los ejemplos que realicemos más adelante.

Coordenadas polares

Las coordenadas cartesianas se relacionan con las polares a través de las siguientes relaciones.

\begin{align*}
x &= r \cos(\theta) \\
y &= r \sin(\theta) \label{3} \tag{3}
\end{align*}

Es claro que

\begin{align*}
r^{2} &= x^{2} + y^{2} \\
\theta &= \arctan \left( \dfrac{y}{x} \right) \label{4} \tag{4}
\end{align*}

Derivemos explícitamente cada una de estas ecuaciones. Por un lado, derivando la ecuación de $r$, se tiene

$$2r \dfrac{dr}{dt} = 2x \dfrac{dx}{dt} + 2y \dfrac{dy}{dt}$$

o bien,

$$r \dfrac{dr}{dt} = x \dfrac{dx}{dt} + y \dfrac{dy}{dt}$$

Utilizando la notación prima, el primer resultado que nos interesa es el siguiente.

$$r r^{\prime} = x x^{\prime} + y y^{\prime} \label{5} \tag{5}$$

Por otro lado, para la ecuación de $\theta$ se tiene

$$\dfrac{d \theta}{dt} = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right)} \left( \dfrac{x \dfrac{dy}{dt} -y \dfrac{dx}{dt}}{x^{2}} \right) = \dfrac{x \dfrac{dy}{dt} -y \dfrac{dx}{dt}}{x^{2} + y^{2}}$$

Nuevamente usando la notación prima, el segundo resultado que nos interesa es el siguiente.

$$r^{2} \theta^{\prime} = x x^{\prime} -y y^{\prime} \label{6} \tag{6}$$

Las ecuaciones (\ref{5}) y (\ref{6}) nos serán de utilidad a continuación.

Un ciclo límite

Antes de revisar algunos conceptos y de presentar el teorema de Poincaré – Bendixson, consideremos el siguiente sistema no lineal.

\begin{align*}
x^{\prime} &= -y + x(1 -x^{2} -y^{2}) \\
y^{\prime} &= x + y(1 -x^{2} -y^{2}) \label{7} \tag{7}
\end{align*}

Es sencillo hacer notar que el único punto de equilibrio del sistema es el origen $Y_{0} = (0, 0)$.

Utilizando las relaciones (\ref{5}) y (\ref{6}) podemos transformar el sistema en coordenadas polares. Comencemos por obtener la ecuación diferencial para $r$, para ello sustituyamos $x^{\prime}$ y $y^{\prime}$ del sistema (\ref{7}) en la ecuación (\ref{5}).

$$rr^{\prime} = x [-y + x(1 -x^{2} -y^{2})] + y[x + y(1 -x^{2} -y^{2})]$$

Desarrollando, obtenemos

$$r r^{\prime} = r^{2}(1 -r^{2}) \label{8} \tag{8}$$

Para el caso de $\theta$ sustituimos (\ref{7}) en (\ref{6}).

$$r^{2} \theta^{\prime} = x[-y + x(1 -x^{2} -y^{2})] -y[x + y(1 -x^{2} -y^{2})]$$

Desarrollando, obtenemos

$$r^{2} \theta^{\prime} = r^{2} \label{9} \tag{9}$$

Por lo tanto, el sistema no lineal (\ref{7}) en coordenadas polares es el siguiente.

\begin{align*}
r^{\prime} &= r(1 -r^{2}) \\
\theta^{\prime} &= 1 \label{10} \tag{10}
\end{align*}

Este sistema esta desacoplado, de manera que podemos resolver cada ecuación por separado para obtener las funciones $r(t)$ y $\theta(t)$ explícitamente.

Comencemos con la ecuación de $r^{\prime}$. Dicha ecuación es separable.

\begin{align*}
\dfrac{dr}{dt} &= r(1 -r^{2}) \\
dr &= r(1 -r^{2}) dt \\
\int{\dfrac{dr}{r(1 -r^{2})}} &= \int{dt} \\
\end{align*}

Por un lado, tomando fracciones parciales, se tiene

\begin{align*}
\int{\dfrac{dr}{r(1 -r^{2})}} &= \int{ \left( \dfrac{1}{r} -\dfrac{1}{2(r + 1)} -\dfrac{1}{2(r -1)} \right) dr} \\
&= \int{\dfrac{dr}{r}} -\int{\dfrac{dr}{2(r + 1)}} -\int{\dfrac{dr}{2(r -1)}} \\
&= \ln|r|-\dfrac{1}{2} \ln|r + 1| -\dfrac{1}{2} \ln|r -1| + c_{1}\\
\end{align*}

y por otro lado,

$$\int{dt} = t + c_{2}$$

De ambos resultados se tiene que

$$\ln|r|-\dfrac{1}{2} \ln|r + 1| -\dfrac{1}{2} \ln|r -1| = t + c_{3}$$

Multipliquemos ambos lados de la igualdad por $-2$.

$$-2 \ln|r| + \ln|r + 1| + \ln|r -1| = -2t -2c_{3}$$

Ahora tomemos exponencial en ambos lados,

\begin{align*}
r^{-2}(r + 1)(r -1) &= e^{-2t -2c_{3}} \\
1 -r^{-2} &= e^{-2t} e^{-2c_{3}} \\
r^{-2} &= 1 -ce^{-2t}
\end{align*}

Por lo tanto,

$$r^{2} = \dfrac{1}{1 + ce^{-2t}} \label{11} \tag{11}$$

Como $r \geq 0$, entonces

$$r(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1+ ce^{ -2t}}} \label{12} \tag{12}$$

Para el caso de la ecuación de $\theta^{\prime}$ es inmediato que

$$\theta(t) = t + t_{0} \label{13} \tag{13}$$

Por lo tanto, la solución general de (\ref{10}) es

\begin{align*}
r(t) &= \dfrac{1}{\sqrt{1+ ce^{ -2t}}} \\
\theta(t) &= t + t_{0} \label{14} \tag{14}
\end{align*}

De manera que la correspondiente solución del sistema no lineal (\ref{7}) es

\begin{align*}
x(t) &= \dfrac{\cos (t + t_{0})}{\sqrt{1 + ce^{ -2t}}} \\
y(t) &= \dfrac{\sin (t + t_{0})}{\sqrt{1+ ce^{ -2t}}} \label{15} \tag{15}
\end{align*}

Analizando el resultado (\ref{14}) se tienen 3 casos:

Si $c = 0$ se obtiene la solución

\begin{align*}
r(t) &= 1 \\
\theta(t) &= t + t_{0} \label{16} \tag{16}
\end{align*}

Que no es más que la circunferencia de radio $1$, $(x^{2} + y^{2} = 1)$ en sentido anti-horario.

Si $c < 0$ es claro que $r > 1$, $\theta = t + t_{0}$ y además,

$$ \lim_{t \to -\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+ ce^{ -2t}}} = \infty \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \lim_{t \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+ ce^{ -2t}}} = 1 \label{17} \tag{17}$$

Finalmente, si $c > 0$ se observa que $r < 1$, $\theta = t + t_{0}$ y además,

$$\lim_{t \to -\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+ ce^{ -2t}}} = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \lim_{t \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+ ce^{ -2t}}} = 1 \label{18} \tag{18}$$

Lo que obtenemos es una curva cerrada o ciclo límite correspondiente a una trayectoria periódica para $r = 1$ y todas las demás trayectorias se acercan en espiral desde el exterior y el interior cuando $t \rightarrow \infty$, tal como se muestra en la siguiente figura.

Plano fase del sistema.

Nota: Este plano fase está definido con las trayectorias dadas por (\ref{15}), es decir, corresponde al plano $XY$.

Lo que hemos hecho es probar que el sistema no lineal (\ref{7}) tiene una trayectoria periódica, pero lo hemos hecho resolviendo el sistema explícitamente. Sin embargo, no siempre será sencillo resolver las ecuaciones involucradas, desearíamos de alguna manera saber si un sistema no lineal tiene o no trayectorias periódicas, pero sin conocer las soluciones explícitas. ¡Esto es posible con ayuda del teorema de Poincaré – Bendixson!.

Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano.

Consideremos un sistema no lineal

\begin{align*}
x^{\prime} &= F_{1}(x, y) \\
y^{\prime} &= F_{2}(x, y) \label{19} \tag{19}
\end{align*}

La definición formal de ciclo límite es la siguiente.

En el ejemplo visto es claro que se trata de un ciclo límite estable.

En este caso, para que sean claras las siguientes definiciones, detonaremos a una solución del sistema (\ref{19}) como $Y(t; x, y)$ indicando que tanto $x$ como $y$ dependen de la variable $t$.

Ejemplo: Un sistema lineal cuyo punto de equilibrio es nodo atractor

Nodo atractor

tiene como punto $\omega -$límite al punto $Y_{0} = (0, 0)$, ya que cualquier trayectoria $Y(t_{n}; x, y)$ tiende a dicho punto para $t_{n} \rightarrow \infty$. Mas aún, el conjunto $\omega -$límite es $\omega(Y) = \{ (0, 0) \}$.

$\square$

Los conjuntos $\alpha -$límite y $\omega -$límite se pueden describir como el lugar geométrico donde nace y muere la trayectoria de la solución de un sistema dinámico dado.

En el primer ejemplo visto anteriormente obtuvimos una trayectoria periódica definida por la circunferencia $x^{2} + y^{2} = 1$, o bien $r = 1$. De acuerdo al plano fase, dicha circunferencia es un conjunto $\omega -$límite tanto para las trayectorias $Y(t; x, y)$ fuera de la circunferencia unitaria $(r > 0)$ como para las trayectorias $Y(t; x, y)$, dentro de la circunferencia unitaria $(r < 1)$.

Observando nuevamente el plano fase del sistema del ejemplo desarrollado, es posible encontrar un región por fuera de la circunferencia unitaria en la que las trayectorias se comiencen a trazar a partir de $t = 0$. Lo mismo se puede hacer en una región dentro de la circunferencia unitaria, de manera que dicha circunferencia quede completamente contenida en la unión de ambas regiones. Esto lo sabemos de los resultados (\ref{17}) y (\ref{18}).

Conjunto positivamente invariante.

Dicha unión de conjuntos corresponde al conjunto $U \subset \mathbb{R}^{2}$, en este caso, positivamente invariante ya que para todo punto $(x, y) \in U$ las trayectorias $Y(t; x, y) \in U$ para todo $t \geq 0$.

Ahora conocemos los conceptos básicos que nos permitirán comprender el teorema de Poincaré – Bendixson. Cabe mencionar que existen varias formas de enunciar este teorema dependiendo incluso de la profundidad teórica que se este tratando, sin embargo el resultado siempre será el mismo. Lo que haremos en este curso será enunciar el teorema de Poincaré-Bendixson de una forma un poco intuitiva, posteriormente lo enunciaremos nuevamente de forma formal y como corolarios de este teorema enunciaremos dos resultados importantes que incluso se pueden encontrar como enunciados del mismo teorema de Poincaré – Bendixson.

Comenzamos por enunciar el teorema de Poincaré – Bendixson de forma intuitiva.

Si recurrimos una vez más a nuestro ejemplo, podemos tomar la curva $\varphi_{1}$ como la frontera exterior del conjunto $U$, mientras que la curva $\varphi_{2}$ como la frontera interior del mismo conjunto.

Curvas que definen al conjunto positivamente invariante.

Lo que observamos es que el campo vectorial sobre los puntos de la curva $\varphi_{1}$ está dirigido hacia el interior de dicha curva, mientras que el campo vectorial sobre los puntos de la curva $\varphi_{2}$ está dirigido hacia el exterior. Es decir, en ambos casos el campo vectorial incide a la región positivamente invariante $U$ y sabemos que efectivamente hay una un ciclo límite comprendido entre ambas trayectorias.

Enunciemos ahora el teorema de Poincaré – Bendixson de manera más formal.

En esta entrada no demostraremos el teorema de Poincaré – Bendixson, sin embargo, en la sección de videos se ha hecho un enorme esfuerzo por desarrollar con detalle la teoría previa para su demostración, así como la demostración del teorema. Se recomienda visitar la entrada.

Antes de realizar algunos ejemplos enunciemos dos resultados importantes que se deducen del teorema de Poincaré – Bendixson.

Concluiremos esta entrada realizando algunos ejemplos en los que apliquemos el teorema de Poincaré – Bendixson, así como ambos corolarios para determinar que los sistemas no lineales estudiados presentan soluciones periódicas.

Ejemplo: Demostrar que el siguiente sistema no lineal tiene una trayectoria periódica.

\begin{align*}
x^{\prime} &= x -y -\left( x^{2} + \dfrac{3}{2}y^{2} \right)x \\
y^{\prime} &= x + y -\left( x^{2} + \dfrac{1}{2}y^{2} \right)y
\end{align*}

Solución: Por su puesto que intentar resolver el sistema para conocer explícitamente a la trayectoria periódica puede ser muy complicado, incluso si conociéramos métodos de resolución. Para poder aplicar el teorema de Poincaré – Bendixson lo que haremos será encontrar una región $U \subset \mathbb{R}^{2}$ que sea positivamente (o negativamente) invariante y que no contenga puntos de equilibrio del sistema.

Como ejercicio moral muestra que el único punto de equilibrio del sistema es el origen $Y_{0} = (0, 0)$. Esto nos indica que la región $U$ no debe contener al origen.

Nuevamente usemos coordenadas polares con la intención de hallar el intervalo en el que $r$ puede estar comprendido y cuyos valores extremos definan la región $U$ que buscamos.

Sustituyamos $x^{\prime}$ y $y^{\prime}$ del sistema no lineal en la ecuación (\ref{5}).

\begin{align*}
r r^{\prime} &= x \left[ x -y -\left( x^{2} + \dfrac{3}{2}y^{2} \right) x \right] + y \left[ x + y -\left( x^{2} + \dfrac{1}{2}y^{2} \right) y \right] \\
&= x^{2} + y^{2} -x^{4} -\dfrac{1}{2}y^{4} -\dfrac{5}{2}x^{2}y^{2} \\
&= (x^{2} + y^{2}) -(x^{4} +2x^{2}y^{2} + y^{4}) + \dfrac{1}{2}y^{4} -\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2} \\
&= r^{2} -r^{4} + \dfrac{1}{2}y^{2}(y^{2} -x^{2})
\end{align*}

En el siguiente procedimiento haremos uso de las identidades trigonométricas

\begin{align*}
\cos(2 \theta) &= \cos^{2}(\theta) -\sin^{2}(\theta) \\
\cos(2 \theta) &= 1 -2\sin^{2}(\theta) \label{22} \tag{22}
\end{align*}

Si usamos las transformaciones (\ref{3}) y las identidades anteriores, tenemos lo siguiente.

\begin{align*}
y^{2}(y^{2} -x^{2}) &= r^{2} \sin^{2}(\theta) [r^{2} \sin^{2}(\theta) -r^{2} \cos^{2}(\theta)] \\
&= -r^{4} \sin^{2}(\theta) [\cos^{2}(\theta) -\sin^{2}(\theta)] \\
&= -r^{4} \sin^{2}(\theta) \cos(2 \theta) \\
&= -r^{4} \left[ \dfrac{1 -\cos(2 \theta)}{2} \right] \cos(2 \theta) \\
&= r^{4} \left[ \dfrac{\cos^{2}(2 \theta) -\cos(2 \theta)}{2} \right]
\end{align*}

Sustituyamos este resultado en nuestro desarrollo de $rr^{\prime}$.

$$rr^{\prime} = r^{2} -r^{4} + \dfrac{1}{2} r^{4} \left[ \dfrac{\cos^{2}(2 \theta) -\cos(2 \theta)}{2} \right]$$

De donde

$$r^{\prime} = r -r^{3} \left( 1+ \dfrac{\cos(2 \theta)}{4} -\dfrac{\cos^{2}(2 \theta)}{4} \right)$$

Para encontrar la región $U$ que contenga a la trayectoria periódica se debe hacer $r^{\prime} = 0$, debido a que tal región debe ser tangente a la trayectoria periódica en algún punto en el cual $r^{\prime} = 0$, entonces

$$r^{\prime} = r -r^{3} \left( 1+ \dfrac{\cos(2 \theta)}{4} -\dfrac{\cos^{2}(2 \theta)}{4} \right) = 0$$

Factorizando convenientemente se tiene,

$$\cos(2 \theta) -\cos^{2}(2 \theta) = 4 \left( \dfrac{1}{r^{2}} -1 \right)$$

Se puede hacer uso de un graficador para mostrar que

$$-2 \leq \cos(2 \theta) -\cos^{2}(2 \theta) < \dfrac{1}{4} \label{23} \tag{23}$$

Entonces se cumple la siguiente desigualdad

$$-2 \leq 4 \left ( \dfrac{1}{r^{2}} -1 \right ) < \dfrac{1}{4}$$

Desarrollando se tiene lo siguiente.

$$-\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{r^{2}} -1 < \dfrac{1}{16}$$

$$\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{r^{2}} < \dfrac{17}{16}$$

$$\dfrac{16}{17} \leq r^{2} < 2$$

Finalmente, el radio $r > 0$ tiene como desigualdades a

$$\dfrac{4}{\sqrt{17}} \leq r < \sqrt{2}$$

Observemos que si $r = \dfrac{4}{\sqrt{17}}$, entonces $r^{\prime} > 0$. En este caso, cualquier trayectoria por un punto en el conjunto

$$(x_{0}, y_{0}) \in \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} < \left( \dfrac{4}{\sqrt{17}} \right)^{2} \right\}$$

sale del disco abierto

$$x^{2} + y^{2} < \left ( \dfrac{4}{\sqrt{17}} \right )^{2}$$

Por otro lado, si $r = \sqrt{2}$, entonces $r^{\prime} < 0$. En este caso, cualquier trayectoria por el punto

$$(x_{0}, y_{0}) \in \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} > \sqrt{2} \right\}$$

entra al disco cerrado

$$x^{2} + y^{2} \leq \sqrt{2}$$

Por lo tanto, el conjunto

$$U = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : \left( \dfrac{4}{\sqrt{17}} \right)^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq (\sqrt{2})^{2} \right\}$$

es un conjunto positivamente invariante. Esto quiere decir que para cualquier punto que se tome en el conjunto $U$, la trayectoria por este punto permanecerá en tal conjunto.

Como el punto de equilibrio $(0, 0)$ no pertenece a $U$, entonces por el teorema de Poincaré – Bendixson se concluye que existe una trayectoria periódica contenida en $U$.

El plano fase del sistema no lineal, indicando la región $U$, se muestra a continuación.

Plano fase del sistema indicando la región positivamente invariante.

En la figura observamos que efectivamente la región $U$ contiene un conjunto límite correspondiente a una trayectoria periódica del sistema no lineal.

$\square$

Realicemos un ejemplo más.

Ejemplo: Mostrar que el siguiente sistema no lineal tiene por lo menos una trayectoria periódica.

\begin{align*}
x^{\prime} &= y \\
y^{\prime} &= -x + y(1 -x^{2} -2y^{2})
\end{align*}

Solución: El punto $Y_{0} = (0, 0)$ es el único punto de equilibrio del sistema. Debemos construir una región $U$ en la cual se pueda aplicar el Teorema de Poincaré – Bendixson.

Apliquemos la ecuación (\ref{5}).

\begin{align*}
rr^{\prime} &= x x^{\prime} + y y^{\prime} \\
&= x[y] + y[-x + y(1 -x^{2} -2y^{2})] \\
&= xy -xy + y^{2} -x^{2}y^{2} -2y^{4} \\
&= y^{2}(1 -x^{2} -2y^{2}) \\
&= r^{2} \sin^{2}(\theta) [1 -r^{2} \cos^{2}(\theta) -2r^{2} \sin^{2}(\theta)]
\end{align*}

De donde,

$$r^{\prime} = r \sin^{2}(\theta) [1 -r^{2} \cos^{2}(\theta) -2r^{2} \sin^{2}(\theta)]$$

Hacemos $r^{\prime} = 0$.

$$r \sin^{2}(\theta) [1 -r^{2} \cos^{2}(\theta) -2r^{2} \sin^{2}(\theta)] = 0$$

Como queremos hallar el intervalo que comprende a $r$ nos quedamos con la ecuación

$$1 -r^{2} \cos^{2}(\theta) -2r^{2} \sin^{2}(\theta) = 0$$

Desarrollando, se tiene

\begin{align*}
1 &= r^{2} \cos^{2}(\theta) + 2r^{2} \sin^{2}(\theta) \\
&= r^{2} [1 -\sin^{2}(\theta) + 2\sin^{2}(\theta) ]\\
&= r^{2} [1 + \sin^{2}(\theta)]
\end{align*}

De donde,

$$r^{2} = \dfrac{1}{1 + \sin^{2}(\theta)}$$

Sabemos que

$$0 \leq \sin^{2}(\theta) \leq 1$$

Entonces,

$$1 \leq 1 + \sin^{2}(\theta) \leq 2$$

$$\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{1 + \sin^{2}(\theta)} \leq 1$$

es decir,

$$\dfrac{1}{2} \leq r^{2} \leq 1$$

O bien,

$$\dfrac{1}{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq 1$$

Esta desigualdad nos define la región $U$. Notemos que $r^{\prime} > 0$ para $x^{2} + y^{2} < \dfrac{1}{2}$. En este caso, cualquier trayectoria por el punto

$$(x_{0}, y_{0}) \in \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} < \dfrac{1}{2} \right\}$$

sale del disco abierto

$$x^{2} + y^{2} < \dfrac{1}{2}$$

Por otro lado, $r^{\prime} \leq 0$ para $x^{2} + y^{2} > 1$. En este caso cualquier trayectoria por el punto

$$(x_{0}, y_{0}) \in \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} > 1 \right\}$$

entra al disco cerrado

$$x^{2} + y^{2} \leq 1$$

Por lo tanto, el conjunto

$$U = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : \dfrac{1}{2}< x^{2} + y^{2} < 1 \right\}$$

es positivamente invariante. Es decir, para cualquier punto que se tome en el conjunto $U$, la trayectoria por dicho punto permanecerá allí para $t \geq 0$. Como el origen no esta contenido en la región $U$, entonces es posible aplicar el Teorema de Poincaré – Bendixson mostrando así que existe al menos una órbita periódica en dicha región.

El plano fase del sistema, indicando la región $U$, es el siguiente.

Plano fase del sistema indicando la región positivamente invariante.

Efectivamente existe una trayectoria periódica contenida en la región $U$.

$\square$

Concluyamos con un último ejemplo.

Ejemplo: Mostrar que el siguiente sistema no lineal tiene por lo menos una trayectoria periódica.

\begin{align*}
x^{\prime} &= -y + x(r^{4} -3r^{2} + 1) \\
y^{\prime} &= x + y(r^{4} -3r^{2} + 1)
\end{align*}

con $r^{2} = x^{2} + y^{2}$.

Solución: El único punto de equilibrio del sistema es el origen $Y_{0} = (0, 0)$. Determinemos la región $U$ en la que podamos aplicar el teorema de Poincaré – Bendixson.

Sustituyamos las ecuaciones $x^{\prime}$ y $y^{\prime}$ del sistema en la ecuación (\ref{5}).

\begin{align*}
rr^{\prime} &= xx^{\prime} + yy^{\prime} \\
&= x[-y + x(r^{4} -3r^{2} + 1)] + y[ x + y(r^{4} -3r^{2} + 1)] \\
&= -xy + x^{2}(r^{4} -3r^{2} + 1) + xy + y^{2}(r^{4} -3r^{2} + 1) \\
&= (x^{2} + y^{2}) (r^{4} -3r^{2} + 1) \\
&= r^{2}(r^{4} -3r^{2} + 1)
\end{align*}

De donde,

$$r^{\prime} = r(r^{4} -3r^{2} + 1)$$

Si hacemos $r^{\prime} = 0$, obtenemos la ecuación de interés.

$$r^{4} -3r^{2} + 1 = 0$$

Hacemos $s = r^{2}$, de manera que la ecuación anterior se pueda escribir como

$$s^{2} -3s + 1 = 0$$

Las raíces de esta ecuación son

$$s_{1} = r^{2}_{1} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} s_{2} = r^{2}_{2} = \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2}$$

Si $r^{2} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$ se verifica que $r^{\prime} > 0$ de forma que cualquier trayectoria por el punto

$$(x_{0}, y_{0}) \in \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} < \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right \}$$

sale del disco cerrado

$$x^{2} + y^{2} \leq \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$$

Si $r^{2} = \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2}$ se verifica nuevamente que $r^{\prime} > 0$ de forma que cualquier trayectoria por el punto

$$(x_{0}, y_{0}) \in \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} < \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2} \right \}$$

sale del disco abierto

$$x^{2} + y^{2} < \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2}$$

De ambos resultados notamos que el conjunto

$$U = \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right \}$$

no es un conjunto ni positivamente ni negativamente invariante, pues en ambos casos las trayectorias salen de ambos discos.

Si tomamos $r = 1$ observamos que $r^{\prime} < 0$, es decir las trayectorias por un punto

$$(x_{0}, y_{0}) \in \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} > 1 \right \}$$

entran al disco cerrado

$$x^{2} + y^{2} \leq 1$$

Este importante resultado nos indica que la región $U$ se puede dividir en dos regiones en las que una de ellas será positivamente invariante y la otra negativamente invariante, dichas regiones son.

$$U_{1} = \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq 1 \right \}$$

$$U_{2} = \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : 1 < x^{2} + y^{2} \leq \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right \}$$

Es claro que $U_{1}$ es un conjunto negativamente invariante y $U_{2}$ un conjunto positivamente invariante.

Como ninguna de ambas regiones contiene al punto de equilibrio, entonces podemos aplicar el teorema de Poincaré – Bendixson sobre cada una de las regiones deduciendo que en cada una de ellas existe una trayectoria periódica que corresponden a soluciones periódicas del sistema no lineal.

El plano fase del sistema, indicando ambas regiones, es el siguiente.

Plano fase del sistema indicando ambas regiones invariantes.

En este ejemplo mostramos que el sistema no lineal tiene dos trayectorias periódicas como solución.

$\square$

Felicidades, ¡Hemos concluido el curso!

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Mostrar que los siguientes sistemas no lineales tienen por lo menos un trayectoria periódica. Verifica tu resultado visualizando el plano fase del sistema.
  • $x^{\prime} = -y -\dfrac{x(x^{2} + y^{2} -2)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$
    $y^{\prime} = x -\dfrac{y(x^{2} + y^{2} -2)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$
  • $x^{\prime} = y + x(x^{2} + y^{2} -1)(x^{2} + y^{2} -2)$
    $y^{\prime} = -x + y(x^{2} + y^{2} -1)(x^{2} + y^{2} -2)$
  • $x^{\prime} = xy + x \cos (x^{2} + y^{2})$
    $y^{\prime} = -x^{2} + y \cos (x^{2} + y^{2})$

Más adelante…

Hemos concluido con el curso de Ecuaciones Diferenciales I.

Esperamos que este curso haya sido de tu agrado, lo hayas disfrutado y hayas aprendido mucho.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano

Por Eduardo Vera Rosales

2 respuestas

Introducción

Bienvenidos a la última entrada del curso. En esta ocasión nos enfocaremos en demostrar y analizar el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano que dice lo siguiente:

Teorema (Poincaré – Bendixson): Sea $\Omega$ un conjunto límite en un sistema de dos ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\textbf{X})$. Si $\Omega$ es no vacío, cerrado y acotado, y tal que no contiene puntos de equilibrio del sistema, entonces es una órbita cerrada (función periódica).

Durante las entradas anteriores revisamos una gran diversidad de ejemplos y vimos que existen sistemas que tienen curvas solución notables que vale la pena estudiar. Tales curvas son (casi siempre) periódicas, y las demás curvas solución del sistema tienden a esta de una manera asintótica. Un par de ejemplos son los siguientes:

  • $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -x+(1-x^{2})y. \end{array}$$
  • $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & \lambda x-y-x(x^{2}+y^{2}) \\ \dot{y} & = & x+\lambda y-y(x^{2}+y^{ 2}) \end{array}, \,\ \lambda>0.$$

Estudiar tales curvas es bastante complicado, y más aún, verificar que son órbitas cerradas. Afortunadamente el teorema de Poincaré – Bendixson nos ayudará a resolver este problema. El teorema es nombrado así debido al matemático francés Henri Poincaré, y al sueco Ivan Otto Bendixson. El primero de ellos fue el que sentó las bases para la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales.

Demostrar el teorema no es algo sencillo, por lo que iremos enunciando poco a poco las herramientas necesarias para la demostración. Definiremos los conceptos de $\omega$-punto límite, $\alpha$-punto límite, $\omega$-conjunto límite, $\alpha$-conjunto límite, sección local en un punto, caja de flujo para una sección local, el mapeo de primer retorno de Poincaré y enunciaremos sus propiedades básicas, necesarias para la demostración del teorema.

Finalmente demostraremos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano, y comentaremos brevemente las consecuencias de este resultado, uno de los más importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales.

Breve introducción al teorema de Poincaré – Bendixson en el plano. Conjuntos límite

Enunciamos brevemente el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano. Posteriormente definimos los conceptos de $\omega$-punto límite, $\alpha$-punto límite, $\omega$-conjunto límite y $\alpha$-conjunto límite, revisamos algunos ejemplos y enunciamos las propiedades necesarias para la demostración del teorema.

Secciones locales

Definimos los conceptos de sección local en un punto $\textbf{X}_{0}$ del plano tal que no es punto de equilibrio del sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\textbf{X})$. Además definimos una caja de flujos para $\textbf{X}_{0}$ y analizamos el comportamiento de las soluciones al sistema en una vecindad de $\textbf{X}_{0}$.

Mapeo de Poincaré

Definimos el mapeo de primer retorno de Poincaré y lo relacionamos con la sección local de un punto $\textbf{X}_{0}$ que pertenece a una órbita cerrada $\gamma$ del sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\textbf{X})$ .

Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano

Demostramos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano y enunciamos algunas consecuencias de este teorema.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Determina el $\omega$-conjunto límite de un punto $\textbf{X}_{0}$ perteneciente a una solución periódica.
  • Prueba que si $\gamma$ es una órbita cerrada para el sistema de ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\textbf{X})$ y $S$ es una sección local en cualquier punto, entonces $\gamma$ intersecta a $S$ en a lo más un punto.

Los siguientes ejercicios muestran una estrategia para demostrar la existencia de soluciones periódicas no triviales a un sistema de ecuaciones.

Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -x+y(1-2x^{2}-3y^{2}). \end{array}$$

  • Considera la función $L(x,y)=x^{2}+y^{2}$. Sea $(x(t),y(t))$ una solución no trivial al sistema. Prueba que $\dot{L}(x(t),y(t))>0$ en la región dada por $x^{2}+y^{2}<1/3$ y que $\dot{L}(x(t),y(t))<0$ en la región dada por $x^{2}+y^{2}>1/2$.
  • Sea $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} | \frac{1}{3}<x^{2}+y^{2}<\frac{1}{2}\}$. Prueba que existe un $\omega$-conjunto límite contenido en $A$.
  • Prueba que no existen puntos de equilibrio contenidos en $A$.
  • Concluye que existe una órbita cerrada para el sistema.
  • Esboza el plano fase del sistema.

Más adelante

Esta es la última entrada del curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Espero hayas disfrutado el curso tanto como nosotros al prepararlo. Por supuesto, existen muchos más temas referentes a las ecuaciones diferenciales que puedes buscar por tu cuenta, una vez que hemos mostrado el camino.

Además, puedes consultar más cursos contenidos en este blog que seguro serán de tu agrado.

¡Hasta la próxima!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Teoría de los Conjuntos I: Relaciones de equivalencia

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de un tipo de relaciones especiales a las que llamaremos relaciones de equivalencia. Veremos algunos ejemplos de relaciones que son de equivalencia, y algunos ejemplos de otras que no lo son.

Relaciones de equivalencia

Definición. Sea $R$ una relación en $A$. Decimos que $R$ es una relación de equivalencia si se satisfacen las siguientes condiciones:

  1. Para cualquier $a\in A$, se tiene que $(a,a)\in R$ (reflexividad),
  2. Para cualesquiera $a,b\in A$, se tiene que si $(a,b)\in R$, entonces $(b,a)\in R$ (simetría),
  3. Para cualesquiera $a,b,c\in A$, se tiene que si $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$, entonces $(a,c)\in R$ (transitividad).

Algunos ejemplos

Ejemplo.

Sea $A=\set{a,b}$. La relación $R=\set{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a)}$ es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar que $R$ es una relación en $A$ y se verifican las propiedades. En este caso es sencillo demostrarlo. Las propiedades que piden la reflexividad, simetría y transitividad son que alguna pareja esté en $R$. Pero $R$ es todo el producto cartesiano $A\times A$, así que cualquier pareja estará.

$\square$

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3}$. La relación $R=\set{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)}$ es relación de equivalencia. Veamos que cumple cada una de las propiedades.

  1. Reflexividad.
    Los elementos de $A$ son $1,2,3$ y en efecto $(1,1),(2,2),(3,3)$ son elementos de $R$.
  2. Simetría.
    Verifiquemos que se cumple para cada uno de los pares en $R$.
    – $(1,1)\in R$ y en efecto $(1,1)\in R$.
    – $(2,2)\in R$ y en efecto $(2,2)\in R$.
    – $(3,3)\in R$ y en efecto $(3,3)\in R$.
    – $(1,3)\in R$ y en efecto $(3,1)\in R$.
    – $(3,1)\in R$ y en efecto $(1,3)\in R$.
  3. Transitividad.
    Aquí tenemos muchas posibilidades por verificar. Estrictamente hablando, hay que verificar todas las siguientes posibilidades.
    -$(1,1)\in R$ y $(1,1)\in R$ y, en efecto, $(1,1)\in R$.
    -$(1,1)\in R$ y $(1,3)\in R$ y, en efecto, $(1,3)\in R$.
    -$(2,2)\in R$ y $(2,2)\in R$ y, en efecto, $(2,2)\in R$.
    -$(3,3)\in R$ y $(3,3)\in R$ y, en efecto, $(3,3)\in R$.
    -$(3,3)\in R$ y $(3,1)\in R$ y, en efecto, $(3,1)\in R$.
    -$(1,3)\in R$ y $(3,3)\in R$ y, en efecto, $(3,3)\in R$.
    -$(1,3)\in R$ y $(3,1)\in R$ y, en efecto, $(1,1)\in R$.
    -$(3,1)\in R$ y $(1,1)\in R$ y, en efecto, $(3,1)\in R$.
    -$(3,1)\in R$ y $(1,3)\in R$ y, en efecto, $(3,3)\in R$.

Así, $R$ es relación de equivalencia en $X=\emptyset$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $R=\emptyset$ la relación vacía pensada como una relación en $X=\emptyset$. Veamos que $R$ es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar las propiedades:

  1. Reflexividad.
    No existe $x\in X$, así que por vacuidad para todo $x\in X$ se cumple que $(x,x)\in R$.
  2. Simetría.
    Como la $R$ es la relación vacía, no hay $(x,y)\in R$. Así, por vacuidad $(x,y)\in \emptyset$ implica que $(y,x)\in R$.
  3. Transitividad.
    También se cumple por vacuidad, pues no es posible encontrar $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$.

Por lo tanto, $R$ es relación de equivalencia en $X=\emptyset$.

$\square$

En este último ejemplo fue muy importante que $X=\emptyset$. Una de las propiedades falla si no es el caso. ¿Cuál?

Relaciones casi de equivalencia

La definición de relación de equivalencia nos pide verificar tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. Uno podría preguntarse si es necesario pedir las tres propiedades o si dos de ellas ya implican la tercera. Los siguientes ejemplos muestran que pedir cada cosa es necesario, pues para cualquier combinación de dos propiedades y la negación de la tercera, podemos encontrar un ejemplo.

Ejemplo. (Simétrica y transitiva pero no reflexiva).

Sea $X$ un conjunto no vacío. La relación vacía en $X$ no es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar que $\emptyset$ es simétrica y transitiva por un argumento por vacuidad (como hicimos arriba), pero $\emptyset$ no es una relación reflexiva, dado que al tomar $x\in X$ arbitrario,se tiene que $(x,x)\not \in \emptyset$.

$\square$

Ejemplo. (Reflexiva y simétrica pero no transitiva).

Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a)}$. Tenemos que $R$ no es relación de equivalencia, pues aunque es reflexiva y simétrica no es transitiva. La razón por la cual no es transitiva es que $(c,a)\in R$ y $(a,b)\in R$, pero $(c,b)\notin R$.

$\square$

Ejemplo. (Reflexiva, transitiva pero no simétrica).

Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}$. Tenemos que $R$ no es relación de equivalencia, pues aunque es reflexiva y transitiva no es simétrica. Para ver esto último, notamos que $(a,b)\in R$, pero $(b,a)\not\in R$.

$\square$

Algunas propiedades de relaciones de equivalencia

Proposición. Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de equivalencia en $A$. Se tiene que $R_1\cap R_2$ es relación de equivalencia.

Demostración.

Supongamos que $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$. Veamos que $R_1\cap R_2$ es una relación de equivalencia en $A$, para ello debemos verificar que $R_1\cap R_2$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

Afirmación 1. $R_1\cap R_2$ es reflexiva.

Sea $a\in A$, veamos que $(a,a)\in R_1\cap R_2$.
Como $a\in A$ y $R_1$ es relación de equivalencia en $A$, entonces en particular es reflexiva, de modo que $(a,a)\in R_1$.

Luego, como $a\in A$ y $R_2$ es reflexiva por ser relación de equivalencia se cumple que $(a,a)\in R_2$. Por lo tanto, $(a,a)\in R_1$ y $(a,a)\in R_2$, esto es $(a,a)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es reflexiva.

Afirmación 2. $R_1\cap R_2$ es simétrica.

Sea $(a,b)\in R_1\cap R_2$, veamos que $(b,a)\in R_1\cap R_2$.

Como $(a,b)\in R_1\cap R_2$, entonces $(a,b)\in R_1$ y $(a,b)\in R_2$. Luego, $(b,a)\in R_1$ y $(b,a)\in R_2$ por ser $R_1$ y $R_2$ relaciones simétricas respectivamente. Por lo tanto, $(b,a)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es simétrica.

Afirmación 3. $R_1\cap R_2$ es transitiva.

Sean $(a,b), (b,c)\in R_1\cap R_2$, veamos que $(a,c)\in R_1\cap R_2$.

Como $(a,b)\in R_1\cap R_2$, entonces $(a,b)\in R_1$ y $(a,b)\in R_2$. Luego, como $(b,c)\in R_1\cap R_2$ entonces $(b,c)\in R_1$ y $(b,c)\in R_2$.

Así, $(a,b)\in R_1$ y $(b,c)\in R_1$ y por la transitividad de $R_1$ se sigue que $(a,c)\in R_1$.

De forma similar, como $(a,b)\in R_2$ y $(b,c)\in R_2$ se sigue que $(a,c)\in R_2$ por transitividad de $R_2$.

De los argumentos anteriores se tiene que $(a,c)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es transitiva.

De la Afirmación 1, Afirmación 2 y Afirmación 3 concluimos que $R_1\cap R_2$ es relación de equivalencia en $A$.

$\square$

Proposición. Si $R$ es una relación sobre un conjunto $X$ que cumple con las propiedades

  1. $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$ y
  2. Si $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$,

entonces $R$ es relación de equivalencia.

Demostración.

Supongamos que $R$ es una relación tal que $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$ y si $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$. Veamos que $R$ es relación de equivalencia.

Tenemos que $R$ es reflexiva pues por hipótesis $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$. Luego, si $(x,y)\in R$, veamos que $(y,x)\in R$ para probar que $R$ es simétrica. Dado que $(x,y)\in R$ entonces $x,y\in X$ y por reflexividad $(y,y)\in R$. Así, por hipótesis tenemos que $(y,x)\in R$.

Ahora veamos que $R$ es transitiva. Supongamos que $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$ y mostremos que $(x,z)\in R$. Como $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$ y por simetría de $R$ se tiene que $(x,z)\in R$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te será útil para verificar por tu cuenta que ciertas relaciones son de equivalencia:

  1. Demuestra que $Id_A$ es una relación de equivalencia para $A$ un conjunto cualquiera.
  2. En el texto tomamos como ejemplo a $X=\set{a,b,c}$ y $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a)}$ y mencionamos que $R$ era reflexiva y simétrica. Demuéstralo explícitamente.
  3. También tomamos $X=\set{a,b,c}$ y $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}$ y mencionamos que era reflexiva y transitiva. Haz todos los casos para mostrar que esto es cierto.
  4. Construye $R$ una relación tal que $R$ sea reflexiva pero no sea ni simétrica ni transitiva.
  5. Demuestra o da un contraejemplo a las siguientes afirmaciones:
    • Si $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$, entonces $R_1\cup R_2$ es relación de equivalencia en $A$.
    • Si $R_1$ es relación de equivalencia en $A$, $R_2$ es relación de equivalencia en $B$ y $A\cap B=\emptyset$, entonces $R_1\cup R_2$ es relación de equivalencia en $A\cup B$.
  6. Un clásico argumento falso para demostrar que la reflexividad no es necesaria en la definición de relación de equivalencia es «argumentar» que si tenemos $(x,y)$ en la relación, por simetría tenemos $(y,x)$ y entonces por transitividad al tener $(x,y)$ y $(y,x)$ podemos deducir que tenemos $(x,x)$. ¿Cuál es el problema con este argumento?
  7. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación simétrica y transitiva en $X$, tal que para todo $x\in X$ se tenga que exista un $y$ tal que $(x,y)\in R$. Demuestra que $R$ es relación de equivalencia.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos tratando a las relaciones de equivalencia. Esta vez hablaremos acerca de los elementos del conjunto en el cual hay una relación de equivalencia y cómo podemos estudiarlos según estén relacionados con otros elementos. Definiremos una nueva noción llamada clase de equivalencia. En una clase de equivalencia se encontrarán todos aquellos elementos que estén relacionados con un mismo elemento bajo la relación de equivalencia dada.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Ecuaciones Diferenciales I: Las nulclinas en el estudio cualitativo de los sistemas no lineales

Por Omar González Franco

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Algún matemático dijo que el verdadero placer no reside
en el descubrimiento de la verdad, sino en su búsqueda.
– Tolstoy

Introducción

Hemos comenzado con el estudio cualitativo de los sistemas no lineales. Hasta este momento sólo somos capaces de predecir el comportamiento de las soluciones de un sistema no lineal alrededor de los puntos de equilibrio. Vimos que para hacerlo debemos encontrar el sistema lineal cuyas soluciones mejor se aproximen a las del sistema no lineal, a tal proceso se le conoce como linearización.

Nuestro propósito es esbozar de manera general el plano fase de un sistema no lineal, o al menos describir las trayectorias en zonas lejanas a los puntos de equilibrio.

En esta entrada veremos como hacer una descripción más general del plano fase a través de un método geométrico.

Nulclinas

Una observación de la definición anterior es que las nulclinas corresponden a las curvas de nivel de las funciones $F_{1}$ y $F_{2}$

\begin{align*}
F_{1}(x, y) &= c \\
F_{2}(x, y) &= c \label{2} \tag{2}
\end{align*}

en el caso en el que $c = 0$.

Ejemplo: Determinar las nulclinas del siguiente sistema no lineal.

\begin{align*}
x^{\prime} &= x(2 -x -y) \\
y^{\prime} &= y(y -x)
\end{align*}

Solución: De este sistema no lineal vemos que

\begin{align*}
F_{1}(x, y) &= x(2 -x -y) \\
F_{2}(x, y) &= y(y -x)
\end{align*}

Para obtener la nulclina $x$ (o nulclinas $x$) hacemos $F_{1}(x, y) = 0$, es decir

$$x(2 -x -y) = 0$$

de donde $x = 0$ o $2 -x -y = 0$. Una primer nulclina $x$ corresponde al eje $y$ del plano fase ya que $x = 0$. De la segunda expresión se obtiene la función $y(x) =2 -x$, la cual corresponde a una recta con pendiente negativa. Dicha recta es una segunda nulclina $x$.

Para obtener las nulclinas $y$ hacemos $F_{2}(x, y) = 0$, es decir,

$$y(y -x) = 0$$

de donde $y = 0$ o $y -x = 0$. En este caso una nulclina $y$ corresponde al eje $x$ del plano fase ya que $y = 0$, mientras que la segunda nulclina corresponde a la recta definida por la función $y(x) =x$.

Por lo tanto, las rectas $x = 0$ (eje $y$), $y = 0$ (eje $x$), $y(x) =x$ y $y(x) =2 -x$ son las nulclinas del sistema no lineal. A continuación se muestran las nulclinas en el plano fase (o plano $XY$).

Nulclinas del sistema.

$\square$

¿Y de qué nos sirven las nulclinas?. Consideremos la función vectorial

$$F(x, y) = (F_{1}(x, y), F_{2}(x, y)) \label{3} \tag{3}$$

De acuerdo a la definición de nulclinas notamos enseguida que, en general, el campo vectorial sobre una nulclina siempre será vertical (apuntará hacia arriba o hacia abajo) o será horizontal (apuntará hacia la izquierda o a la derecha) dependiendo de qué componente de la función vectorial (\ref{3}) sea cero.

Supongamos que los puntos $(x_{0}, y_{0})$ pertenecen a la nulclina $x$, entonces, por definición, se cumple

$$F(x_{0}, y_{0}) = (0, F_{2}(x_{0}, y_{0})) \label{4} \tag{4}$$

en este caso el campo vectorial en el punto $(x_{0}, y_{0})$ será vertical ya que no hay componente horizontal y apuntará hacia arriba si $F_{2}(x_{0}, y_{0}) > 0$ o hacia abajo si $F_{2}(x_{0}, y_{0}) < 0$.

De forma similar, si los puntos $(x_{0}, y_{0})$ pertenecen a la nulclina $y$, entonces se cumple

$$F(x_{0}, y_{0}) = (F_{1}(x_{0}, y_{0}), 0) \label{5} \tag{5}$$

es decir, el campo vectorial será horizontal a lo largo de la nulclina $y$. Apuntará a la izquierda si $F_{1}(x_{0}, y_{0}) < 0$ o a la derecha si $F_{2}(x_{0}, y_{0}) > 0$.

Notemos otro hecho importante. Por definición, un punto de equilibrio satisface que

$$F(x_{0}, y_{0}) = (0, 0) \label{6} \tag{6}$$

es decir,

\begin{align*}
F_{1}(x_{0}, y_{0}) &= 0 \\
F_{2}(x_{0}, y_{0}) &= 0 \label{7} \tag{7}
\end{align*}

Eso significa que existe un punto $(x_{0}, y_{0})$ que esta tanto en la nulclina $x$ como en la nulclina $y$, en otras palabras, las intersecciones entre nulclinas corresponden a los puntos de equilibrio del sistema no lineal.

Ejemplo: Determinar los puntos de equilibrio así como la dirección del campo vectorial sobre las nulclinas del sistema no lineal del ejemplo anterior.

Solución: El sistema que teníamos era

\begin{align*}
x^{\prime} &= x(2 -x -y) \\
y^{\prime} &= y(y -x)
\end{align*}

La función vectorial $F$ es

$$F(x, y) = (x(2 -x -y), y(y -x))$$

Comencemos por determinar los puntos de equilibrio, dichos puntos se obtienen de resolver el sistema

\begin{align*}
x(2 -x -y) &= 0 \\
y(y -x) &= 0
\end{align*}

De la primer ecuación tenemos $x = 0$ o $2 -x -y = 0$, de la segunda relación se obtiene $y = 2 -x$. Por otro lado, de la segunda ecuación tenemos $y = 0$ o $y -x = 0$. Sustituyendo $x = 0$, entonces $y = 0$, por lo tanto, un punto de equilibrio es el origen $Y_{0} = (0, 0)$.

Si sustituimos $y = 2-x$ en $y -x = 0$ se tiene

$$(2 -x) -x = 2 -2x = 0$$

de donde $x = 1$, así $y = 2 -1 =1$, por tanto, otro punto de equilibrio es $Y_{1} = (1, 1)$.

Finalmente si $y = 0$, entonces $x = 2$, así el punto $Y_{2} = (2, 0)$ es otro punto de equilibrio.

Recordemos que las nulclinas del sistema están definidas por las rectas $x = 0$, $y = 0$, $y = x$ y $y = 2 -x$. Verifica que los puntos de equilibrio

$$Y_{0} = (0, 0), \hspace{1cm} Y_{1} = (1, 1) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Y_{2} = (2, 0)$$

efectivamente corresponden a los puntos de intersección entre las nulclinas del sistema.

¿Por qué el punto $(0, 2)$ no es un punto de equilibrio si es también la intersección de dos nulclinas?.

Ahora veamos que dirección tiene el campo vectorial sobre cada nulclina.

Lo primero que debemos notar es que cada nulclina está definida en intervalos.

Distintos intervalos para las nulclinas.
  • El eje $y$ (nulclina $x = 0$) se debe estudiar en los intervalos $y \in (-\infty, 0), (0, \infty)$.
  • El eje $x$ (nulclina $y = 0$) se debe estudiar en los intervalos $x \in (-\infty, 0), (0, 2), (2, \infty)$.
  • La nulclina definida por $y(x) = x$ se debe estudiar en los intervalos en los que $x \in (-\infty, 0), (0, 1), (1, \infty)$.
  • Finalmente, la nulclina definida por $y(x) = 2 -x$ se debe estudiar en los intervalos $x \in (-\infty, 1), (1, 2), (2, \infty)$.

Determinemos la dirección de los vectores en cada intervalo de cada nulclina apoyándonos de la función vectorial

$$F(x, y) = (x(2 -x -y), y(y -x))$$

Comencemos por la nulclina $x$ definida por $x = 0$. Si $x = 0$, entonces

$$F(0, y) = (0, y^{2})$$

como $y^{2} > 0$ en todo momento, es decir para $y \in (-\infty, 0)$ y $y \in (0, \infty)$, entonces el campo vectorial sera vertical apuntando hacia arriba.

Dirección del campo vectorial sobre la nulclina definida por $x = 0$.

Para el caso de la nulclina $y$ definida por $y = 0$, se tiene

$$F(x, 0) = (2x -x^{2}, 0)$$

Comencemos con $x \in (-\infty, 0)$. Si $x < 0$, entonces $2x < 0$ y claro está que $-x^{2} < 0$, por tanto, en dicho intervalo $2x -x^{2} < 0$, esto significa que el campo vectorial será horizontal señalando hacia la izquierda.

Si $x \in (0, 2)$, entonces $x > 0$, o bien $2x > 0$ y $-x^{2} < 0$, es sencillo notar que dentro del intervalo que estamos considerando se cumple que $2x -x^{2} > 0$, por tanto, el campo apuntará a la derecha

Finamente, si $x \in (2, \infty)$, es claro que $2x -x^{2} < 0$, así que el campo volverá a apuntar hacia la izquierda.

Campo vectorial sobre las nulclinas definidas por $y = 0$ y $x = 0$.

Consideremos ahora la nulclina $y$ definida por $y = x$, en este caso el campo vectorial esta dado por

$$F(y, y) = (2y -2y^{2}, 0)$$

o bien,

$$F(x, x) = (2x -2x^{2}, 0)$$

En el intervalo $x \in (-\infty, 0)$, se cumple que $x < 0$, $2x < 0$ y claro es que $-2x^{2} < 0$, así en dicho intervalo $2x -2x^{2} < 0$, por lo tanto, el campo vectorial es horizontal y apunta hacia la izquierda.

Si $x \in (0,1)$, entonces $2x -2x^{2} > 0$, el campo apuntará a la derecha y finalmente volverá a apuntar a la izquierda para $x \in (1, \infty )$, ya que $2x -2x^{2} < 0$.

Campo vectorial sobre la nulclina definida por $y(x) = x$.

Finalmente, para la nulclina $x$ definida por $y = 2 -x$, se tiene

$$F(x, 2 -x) = (0, 2x^{2} -6x + 4)$$

Es posible verificar que si $x \in (-\infty, 1)$, entonces

$$2x^{2} -6x + 4 > 0$$

Si $x \in (1, 2)$, entonces

$$2x^{2} -6x + 4 < 0$$

y si $x \in (2, \infty)$ se cumple que

$$2x^{2} -6 + 4 > 0$$

Por lo tanto, el campo vectorial apuntará hacia arriba, luego hacia abajo y después nuevamente hacia arriba, respectivamente.

Campo vectorial sobre la nulclina definida por $y(x) = 2 -x$.

Por lo tanto, el campo vectorial sobre cada nulclina se ve de la siguiente forma.

Campo vectorial sobre las nulclinas del sistema.

$\square$

Recordemos que el campo vectorial es tangente a las trayectorias del sistema y la dirección indica la evolución de dichas trayectorias conforme $t \rightarrow \infty$, de manera que ahora tenemos una idea, aunque puede ser un poco vaga, de como se puede ir viendo el plano fase del sistema.

Una última observación que hacemos es que las curvas que representan a las nulclinas dividen al plano en varias regiones. En el ejemplo anterior se forman 10 regiones distintas las cuales se muestran en la siguiente figura.

Regiones limitadas por las nulclinas del sistema no lineal estudiado.

Esto nos permitirá esbozar el campo vectorial sobre cada región y con ello podremos trazar trayectorias obteniendo así una representación más general del plano fase de un sistema no lineal.

Ejemplo: Intentar esbozar el plano fase del sistema no lineal estudiado.

\begin{align*}
x^{\prime} &= x(2 -x -y) \\
y^{\prime} &= y(y -x)
\end{align*}

Solución: Hasta este momento conocemos los puntos de equilibrio del sistema, las nulclinas y la dirección del campo vectorial sobre cada una de ellas.

Lo que se puede hacer es determinar un vector aleatorio sobre cada una de las regiones limitadas por las nulclinas del sistema y en base a él aproximar una solución apoyándose también de los vectores ubicados sobre las nulclinas. En el segundo video de la sección de videos de este curso puedes encontrar el desarrollo de este método.

Debido a que a nosotros nos resulta más difícil dibujar algunas trayectorias, lo que haremos es utilizar nuestra herramienta de costumbre para visualizar el campo vectorial del sistema.

Campo vectorial del sistema no lineal indicando las nulclinas.

En esta figura visualizamos el campo vectorial del sistema, así como sobre las nulclinas.

Lo primero que se puede hacer es linealizar el sistema con respecto a cada uno de los puntos de equilibrio. Recordemos que la función vectorial $F$ es

$$F(x, y) = (x(2 -x -y), y(y -x))$$

de manera que

\begin{align*}
F_{1}(x, y) &= x(2 -x -y) \\
F_{2}(x, y) &= y(y -x)
\end{align*}

Las derivadas parciales son

$$\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x} = 2 -2x -y, \hspace{1cm} \dfrac{\partial F_{1}}{\partial y} = -x, \hspace{1cm} \dfrac{\partial F_{2}}{\partial x} = -y, \hspace{1cm} \dfrac{\partial F_{2}}{\partial y} = 2y -x$$

Por lo tanto, la matriz Jacobiana es

$$\mathbf{J}(x, y) = \begin{pmatrix}
2 -2x -y & -x \\ -y & 2y -x
\end{pmatrix}$$

Los puntos de equilibrio son $(0, 0), (1, 1)$ y $(2, 0)$, evaluando cada punto en la matriz Jacobiana se obtienen las siguientes matrices.

$$\mathbf{J}(0, 0) = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}, \hspace{1cm} \mathbf{J}(1, 1) = \begin{pmatrix}
-1 & -1 \\ -1 & 1
\end{pmatrix}, \hspace{1cm} \mathbf{J}(2, 0) = \begin{pmatrix}
-2 & -2 \\ 0 & -2
\end{pmatrix}$$

Por lo tanto, los sistemas lineales que se aproximan a la descripción de las trayectorias del sistema no lineal alrededor de los puntos de equilibrio son:

  • $Y_{0} = (0, 0)$:

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}\mathbf{Y}$$

Plano fase del sistema linealizado en el punto de equilibrio $Y_{0} = (0, 0)$.
  • $Y_{1} = (1, 1)$:

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
-1 & -1 \\ -1 & 1
\end{pmatrix}\mathbf{Y}$$

Plano fase del sistema linealizado en el punto de equilibrio $Y_{1} = (1, 1)$.
  • $Y_{2} = (2, 0)$:

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
-2 & -2 \\ 0 & -2
\end{pmatrix}\mathbf{Y}$$

Plano fase del sistema linealizado en el punto de equilibrio $Y_{2} = (2, 0)$.

Con el conocimiento de la forma de las trayectorias alrededor de los puntos de equilibrio y con la dirección del campo vectorial sobre algunos puntos del plano fase, entre ellos sobre las nulclinas, es que podemos esbozar completamente el plano fase del sistema no lineal.

En este caso, el plano fase correspondiente al sistema no lineal estudiado es

Plano fase y campo vectorial del sistema.

El flujo de las trayectorias es algo que ya intuíamos al considerar toda la información que estuvimos desarrollando sobre el sistema a lo largo de la entrada.

$\square$

Con esto concluimos el estudio cualitativo de algunos sistemas no lineales sencillos.

En la siguiente entrada estudiaremos un comportamiento interesante que presentan las trayectorias de algunos sistemas no lineales y cuya descripción se establece en el conocido teorema de Poincaré – Bendixon.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Hacer un bosquejo del plano fase de los siguientes sistemas no lineales siguiendo el método desarrollado a lo largo de la unidad.
    (Recuerda que el propósito es esbozar el plano fase a mano, una vez que concluyas puede comparar tu resultado con el obtenido usando una computadora.)
  • $x^{\prime} = x(2 -x -y)$
    $y^{\prime} = y(y -x^{2})$
  • $x^{\prime} = x(x -1)$
    $y^{\prime} = y(x^{2} -y)$
  • $x^{\prime} = xy -2y$
    $y^{\prime} = x^{2} + y$
  1. Intentar hacer un bosquejo del plano fase del siguiente sistema no lineal.
  • $x^{\prime} = y$
    $y^{\prime} = -x + (1 -x^{2} -2y^{2})y$

    ¿Qué se observa de este sistema no lineal?.
    ¿Hay alguna dificultad en esbozar el plano fase?.

Más adelante…

Ahora somos capaces de hacer un estudio cualitativo de algunos sistemas no lineales, sin embargo existen situaciones en las que un sistema no lineal presenta un comportamiento interesante en el que las trayectorias tienden a una curva cerrada conocida como ciclo límite. En la siguiente y última entrada del curso estudiaremos la descripción de estos sistemas y enunciaremos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción a bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Al final de la primera unidad del curso, estudiamos bifurcaciones en familias uniparamétricas de ecuaciones autónomas de primer orden de la forma $$\frac{dy}{dt}=f_{\lambda}(y).$$ Los conceptos más elementales de dicha teoría los podemos extender a sistemas de ecuaciones de primer orden. Así podremos estudiar familias de sistemas de ecuaciones de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\lambda, \textbf{X})$$ donde $\lambda$ es un parámetro real. Al igual que para ecuaciones autónomas de primer orden, nuestro interés se centrará en estudiar los cambios cualitativos en los puntos de equilibrio y demás soluciones al sistema conforme varía el parámetro $\lambda$. Es decir, estudiaremos las bifurcaciones en familias de sistemas de ecuaciones de primer orden.

Comenzaremos por definir los conceptos más elementales en la teoría de bifurcaciones en términos de sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Posteriormente nos enfocaremos en estudiar algunos casos interesantes que ocurren en familias de sistemas de ecuaciones lineales. En los sistemas lineales podemos introducir el parámetro en los coeficientes de la matriz asociada al sistema. Con ayuda del plano traza – determinante, podremos analizar de mejor manera las bifurcaciones que ocurren para cada caso. En cualquier caso el número de puntos de equilibrio no cambia, ya que al ser sistemas lineales homogéneos, el origen siempre será el único punto de equilibrio, pero conforme varían los parámetros lo que cambiará es su estabilidad.

Para el caso no lineal ofreceremos dos ejemplos típicos de bifurcaciones: la bifurcación de punto silla y la bifurcación de Hopf. Para el primer ejemplo, la bifurcación provoca un cambio en el número de puntos de equilibrio, y por supuesto en la estabilidad de estos. En la bifurcación de Hopf, siempre habrá un único punto de equilibrio, pero lo que cambiará será su estabilidad, y además aparecerá una solución periódica que atrae a todas las demás soluciones.

¡Vamos a comenzar!

Bifurcaciones en sistemas de ecuaciones lineales

En el primer video definimos los conceptos elementales en la teoría de bifurcaciones, tales como familias de ecuaciones de primer orden que dependen de un parámetro y el valor de bifurcación.

En el segundo video estudiamos algunas bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones lineales.

Bifurcaciones en sistemas de ecuaciones no lineales

En el último video de esta entrada estudiamos un par de bifurcaciones que ocurren en sistemas no lineales: la bifurcación de punto silla y la bifurcación de Hopf.

Los campos vectoriales que aparecen en los videos fueron realizados en el siguiente enlace.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Estudia la familia de sistemas de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ donde $a<0$ es un valor fijo y $\lambda$ es un parámetro real. Representa los cambios que ocurren en el plano traza – determinante, según los valores de $\lambda$.
  • Realiza lo mismo que el ejercicio anterior para la familia de sistemas que depende del parámetro $\lambda$ $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}.$$
  • Considera la familia de sistemas $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}+y \\ \dot{y} & = & x-y+\lambda. \end{array}$$ Encuentra todas las posibles bifurcaciones y estudia los cambios en el comportamiento de las soluciones.
  • Demuestra que bajo un cambio a coordenadas polares, un sistema de dos ecuaciones puede escribirse en la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{r} & = & \frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r} \\ \dot{\theta} & = & \frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{r^{2}}. \end{array}$$
  • (Bifurcación de Pitchfork): Realiza un estudio completo de la familia de sistemas $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -x^{3}-\lambda x \\ \dot{y} & = & -y. \end{array}$$

Más adelante

Estamos a punto de concluir nuestro curso de Ecuaciones Diferenciales. En la siguiente entrada estudiaremos los conjuntos límite, los cuáles han estado apareciendo en distintos planos fase que hemos dibujado. Además, enunciaremos y discutiremos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»