La esencia de las matemáticas reside en su libertad.
– Georg Cantor

Introducción

Hemos dado inicio con el desarrollo de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. Hasta este momento sólo sabemos resolver ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas de primer orden. En esta entrada estudiaremos el caso no lineal.

Estudiaremos dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden conocidas como ecuaciones diferenciales separables y ecuaciones diferenciales homogéneas. Cabe mencionar que las ecuaciones no lineales homogéneas que estudiaremos en esta entrada no tienen que ver con las ecuaciones homogéneas que estudiamos con anterioridad. En este caso el término homogéneo hace referencia a una propiedad que satisfacen las ecuaciones no lineales.

Comencemos con las ecuaciones diferenciales separables.

Ecuaciones diferenciales separables

Inmediatamente nos damos cuenta que es una ecuación diferencial no lineal debido a que aparece una función dependiente de la variable dependiente $y$.

Veamos cómo encontrar la solución general de este tipo de ecuaciones.

Solución a ecuaciones separables

Es conveniente definir la función

$$h(y) = \dfrac{1}{f(y)} \label{3} \tag{3}$$

de tal manera que la ecuación (\ref{1}) se pueda escribir de la siguiente forma.

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g(x)}{f(y)} \label{4} \tag{4}$$

Esta ecuación la podemos reescribir como

$$f(y) \dfrac{dy}{dx} = g(x) \label{5} \tag{5}$$

Notemos que en el lado derecho de la igualdad tenemos la función que depende de la variable independiente $x$, mientras que en el lado izquierdo tenemos la función que depende de la variable dependiente $y$, en esta situación decimos que hemos separado a la ecuación diferencial.

Es común encontrar en la literatura que la ecuación (\ref{5}) se escribe como

$$g(x) dx = f(y) dy \label{6} \tag{6}$$

Esta es la forma diferencial de la ecuación (\ref{4}), es una notación informal pero nos permite visualizar que hemos sido capaz de separar a las variables, el lado izquierdo sólo depende de $x$ y el lado derecho sólo depende de $y$.

Podemos integrar ambos lados de la ecuación. Si consideramos la ecuación en la forma (\ref{5}), entonces integramos ambos lados con respecto a la variable $x$ y si consideramos la ecuación en la forma (\ref{6}) integramos con respecto a la variable correspondiente.

\begin{align*}
\int f(y) \dfrac{dy}{dx} dx &= \int g(x) dx \\
\int f(y) dy &= \int g(x) dx
\end{align*}

Sólo es necesario que las antiderivadas

$$F(y) = \int f(y) dy \label{7} \tag{7}$$

y

$$G(x) = \int g(x) dx \label{8} \tag{8}$$

existan y puedan resolverse. Una vez resueltas las integrales obtendremos una familia uniparamétrica de soluciones que usualmente se expresa de forma implícita.

Método de separación de variables

De acuerdo a lo anterior, el algoritmo que se recomienda seguir para resolver ecuaciones diferenciales separables es el siguiente.

1. Dada una ecuación diferencial no lineal de primer orden, el primer paso es identificar si es posible que podamos determinar una función $g = g(x)$ que sólo dependa de la variable independiente $x$ y una función $f = f(y)$ que sólo dependa de la variable dependiente $y$, si esto es posible escribimos a la ecuación diferencial en la siguiente forma.

$$f(y) \dfrac{dy}{dx} = g(x)$$

2. El segundo paso es integrar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable $x$. En este caso debemos considerar en todo momento las constantes de integración.

3. Al resolver la integral $\int f(y) dy$ obtendremos la solución $y(x)$ que estamos buscando, ya sea de forma implícita o explicita, ambas formas son válidas.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos este método.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} e^{(y -x)} = x$$

con la condición inicial $y(0) = \ln(2)$.

Solución: El primer paso es determinar si la ecuación es separable, es decir, si podemos hallar las funciones $g(x)$ y $f(y)$. Vemos que

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} e^{(y -x)} &= x \\
\dfrac{dy}{dx} e^{y} e^{-x} &= x \\
e^{y} \dfrac{dy}{dx} &= x e^{x}
\end{align*}

Ya logramos escribir a la ecuación en la forma (\ref{5}), de donde podemos establecer que

$$g(x) = x e^{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} f(y) = e^{y}$$

Usando la notación diferencial podemos escribir a la ecuación como

$$e^{y} dy = x e^{x} dx$$

Integremos ambos lados de la ecuación ante la respectiva variable.

$$\int {e^{y} dy} = \int {x e^{x} dx}$$

Por un lado,

$$\int {e^{y} dy} = e^{y} + k_{1}$$

Por otro lado, para la integral de $x$ usemos integración por partes considerando $u(x) = x$ y $dv(x) = e^{x}$.

\begin{align*}
\int {x e^{x} dx} &= x e^{x} -\int{e^{x} dx} \\
&= x e^{x} -(e^{x} + k_{2})\\
&= x e^{x} -e^{x} -k_{2}
\end{align*}

Igualando ambos resultados obtenemos lo siguiente.

\begin{align*}
e^{y} + k_{1} &= x e^{x} -e^{x} -k_{2} \\
e^{y} &= x e^{x} -e^{x} -k_{2} -k_{1} \\
e^{y} &= x e^{x} -e^{x} + c
\end{align*}

En donde $c = -k_{2} -k_{1}$. Por lo tanto, la solución implícita es

$$e^{y} = x e^{x} -e^{x} + c$$

Para conocer la solución explícita sólo tomamos el logaritmo natural.

$$y(x) = \ln|x e^{x} -e^{x} + c|$$

Obtengamos la solución particular aplicando la condición inicial $y(0) = \ln(2)$.

\begin{align*}
y(0) &= \ln|0 e^{0} -e^{0} + c| = \ln(2) \\
y(0) &= \ln|0 -1 + c| = \ln(2)
\end{align*}

De donde,

$$\ln|c -1| = \ln(2)$$

Aplicando la exponencial en ambos lados, se tiene

$$c -1 = 2$$

De donde $c = 3$. Por lo tanto, la solución particular es

$$e^{y} = x e^{x} -e^{x} + 3$$

O bien,

$$y(x) = \ln| x e^{x} -e^{x} + 3|$$

$\square$

Este tipo de ecuaciones son muy sencillas de resolver, prácticamente se resuelven aplicando una integración directa.

Veamos ahora las ecuaciones diferenciales no lineales homogéneas, lo interesante de este tipo de ecuaciones es que si hacemos un cambio de variable adecuado las podremos reducir a una ecuación separable las cuales ya sabemos resolver.

Ecuaciones homogéneas

Recordemos que un polinomio homogéneo es aquel en el que todos los términos son del mismo grado, por ejemplo, el polinomio

$$x^{2}y^{2} -5xy^{3} + x^{4} -y^{4}$$

es un polinomio homogéneo de grado $4$ ya que la suma de los exponentes del primer término es $2 + 2 = 4$, del segundo término es $1 + 3 = 4$ y evidentemente el exponente de los dos últimos términos es $4$. En este sentido es que la ecuación (\ref{9}) se dice que es homogénea si se satisfacen las ecuaciones (\ref{10}) y (\ref{11}) conjuntamente.

Este tipo de ecuaciones se pueden reducir a la forma de una ecuación separable (\ref{5}) y aplicando el procedimiento anterior es como podremos determinar la solución de las ecuaciones diferenciales no lineales homogéneas.

Reducción de una ecuación homogénea a una de variables separables

La ecuación diferencial que intentamos resolver es de la forma

$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$

Por definición se cumple que

$\dfrac{M(tx, ty)}{N(tx, ty)} = \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)}$

Si se considera el valor $t = \dfrac{1}{x}$, la ecuación anterior queda como

$\dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} = \dfrac{M(tx, ty)}{N(tx, ty)} = \dfrac{M \left( 1, \dfrac{y}{x} \right) }{N \left( 1, \dfrac{y}{x} \right) } = f \left( \dfrac{y}{x} \right)$

Consideremos el cambio de variable $y = xu$, con $u = u(x)$ una función de la variable independiente $x$ y derivable. Si derivamos la función $y(x)$ aplicando la regla de la cadena, obtenemos lo siguiente.

$$\dfrac{dy}{dx} = u \dfrac{dx}{dx} + x \dfrac{du}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx} \label{12} \tag{12}$$

De (\ref{9}) notemos lo siguiente.

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} = -f \left( \dfrac{y}{x} \right) = -f(u)$$

es decir,

$$f(u) = -\dfrac{dy}{dx} \label{13} \tag{13}$$

Sustituyamos (\ref{13}) en el resultado (\ref{12}).

\begin{align*}
f(u) &= -\left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) \\
f(u) &= -u -x \dfrac{du}{dx} \\
f(u) + u &= -x \dfrac{du}{dx} \\
-\dfrac{1}{x} (f(u) + u) &= \dfrac{du}{dx}
\end{align*}

De manera que

$$\dfrac{du}{dx} = \left( -\dfrac{1}{x} \right) \left( u + f(u) \right) \label{14} \tag{14}$$

Definamos las funciones

$$g(x) = -\dfrac{1}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} h(u) = u + f(u)$$

Entonces podemos escribir a la ecuación (\ref{14}) como

$$\dfrac{du}{dx} = g(x) h(u) \label{15} \tag{15}$$

Este resultado corresponde a la definición de una ecuación diferencial de variables separables. Si resolvemos esta ecuación usando el método de separación de variables habremos resuelto la ecuación homogénea.

Método de resolución de las ecuaciones diferenciales homogéneas

A continuación se establecen, como recomendación, los pasos a seguir para resolver una ecuación diferencial homogénea (\ref{9}).

1. El primer paso es verificar que en efecto la ecuación sea homogénea, para ello verificamos que $M$ y $N$ sean del mismo grado, es decir, que se cumplan las relaciones (\ref{10}) y (\ref{11}) conjuntamente.

2. Una vez que comprobemos que la ecuación es homogénea, reescribimos a la ecuación (\ref{9}) como
   $$M(x, y) + N(x, y) \dfrac{dy}{dx} = 0 \label{16} \tag{16}$$

3. Hacemos el cambio de variable
   $$y = ux \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx} \label{17} \tag{17}$$
   Y sustituimos en la ecuación (\ref{16}).

4. Una vez hecha la correspondiente sustitución podremos separar las variables reduciendo el problema a una ecuación de variables separables.

Realicemos un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal homogénea.

Ejemplo: Verificar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea, determinar su grado y resolver la ecuación.

$(x^{2} + y^{2}) dx -xy dy = 0$

Solución: De acuerdo a (\ref{9}) identificamos a las funciones $M$ y $N$ como

$$M(x, y) = x^{2} + y^{2} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = -xy$$

Para obtener el grado de la ecuación diferencial hagamos la sustitución $x$ por $tx$ y $y$ por $ty$. Por una lado,

$$M(tx, ty) = (tx)^{2} + (ty)^{2} = t^{2} (x^{2} + y^{2}) = t^{2} M(x, y)$$

Por otro lado,

$$N(tx, ty) = -(tx)(ty) = t^{2} (-xy) = t^{2} N(x, y)$$

Se cumple entonces que

$$M(tx, ty) = t^{2} M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(tx, ty) = t^{2} N(x, y)$$

Por lo tanto la ecuación sí es homogénea y el grado es $n = 2$. Reduzcamos la ecuación homogénea a una de variables separables y apliquemos el método correspondiente para resolverla.

De acuerdo al algoritmo, una vez que ya vimos que sí es homogénea, escribimos a la ecuación diferencial en la forma (\ref{16}).

$$(x^{2} + y^{2}) -(xy) \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Hacemos el cambio de variable (\ref{17}) y sustituimos en la ecuación diferencial.

$$\left( x^{2} + (xu)^{2} \right) -x(xu) \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) = 0$$

Realicemos un poco de álgebra hasta reducirla a una ecuación de variables separables.

\begin{align*}
\left( x^{2} + (xu)^{2} \right) -x(xu) \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
x^{2} + x^{2} u^{2} -x^{2}u \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
x^{2} + x^{2} u^{2} -x^{2}u^{2} -x^{3}u \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
x^{2} -x^{3}u \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
x^{2} \left( 1 -xu \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
\end{align*}

Para $x \neq 0$, se tiene

\begin{align*}
1 -xu \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
xu \dfrac{du}{dx} &= 1 \\
u \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{1}{x} \\
\end{align*}

Ya logramos separar a las variables. Podemos escribir la última igualdad en la forma diferencial

$$u du = \dfrac{1}{x}dx$$

Integremos ambos lados de la ecuación sobre la variable correspondiente.

\begin{align*}
\int{u du} &= \int{\dfrac{dx}{x}} \\
\dfrac{u^{2}}{2} + k_{1} &= \ln|x| + k_{2} \\
\dfrac{u^{2}}{2} &= \ln|x| + k_{2} -k_{1} \\
u^{2} &= 2 \ln|x| + 2(k_{2} -k_{1}) \\
u^{2} &= 2 \ln|x| + c
\end{align*}

Donde $c = 2(k_{2} -k_{1})$, como $u = \dfrac{y}{x}$, sustituimos en el resultado anterior para regresar a las variables originales.

\begin{align*}
\left( \dfrac{y}{x} \right) ^{2} &= 2\ln|x| + c \\
\dfrac{y^{2}}{x^{2}} &= 2\ln|x| + c \\
y^{2} &= x^{2} (2\ln|x| + c)
\end{align*}

Por lo tanto, la solución implícita de la ecuación diferencial dada es

$$y^{2}(x) = x^{2} (2\ln|x| + c)$$

O bien, la solución explícita es

$$|y(x)| = x \left( \sqrt{2 \ln|x| + c} \right)$$

$\square$

Hasta aquí concluimos con esta entrada, en la siguiente continuaremos con un método más para resolver ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden.

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales separables.

• $\dfrac{ds}{dt} = -\sin(3t)$

• $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{1 + x^{2}}$

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas.

• $(x -y)dx + xdy = 0$

• $(y^{2} +yx)dx -x^{2}dy = 0$

3. Resolver los siguientes problemas con valores iniciales.

• $\dfrac{dy}{dx} = e^{3x + 2y}$ $\hspace{1.7cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $y(0) = 0$

• $\dfrac{ds}{dr} = \dfrac{\cos^{2}(r)}{s^{2}} $ $\hspace{1.3cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $s(\pi) = -1$

• $xy \dfrac{dy}{dx} = y^{3} -x^{3}$ $\hspace{1cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $y(1) = 2$

Más adelante …

En esta entrada estudiamos dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, las separables y las homogéneas. En próximas entradas revisaremos las ecuaciones exactas, la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati.

Dedicaremos la siguiente entrada al estudio de las ecuaciones diferenciales exactas.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»