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Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones monótonas

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En esta entrada terminaremos de revisar las operaciones aritméticas de sucesiones probando qué sucede con el cociente de sucesiones convergentes. Además, daremos la definición de sucesión monótona y demostraremos algunas de sus propiedades.

Cociente de sucesiones

Daremos inicio demostrando que el cociente de sucesiones convergentes converge al cociente de sus límites siempre que se cumpla la condición de que el denominador sea una sucesión de términos distintos de cero e, igualmente, debe tener como límite a un número real distinto de cero.

Proposición. Sean $\{b_n \}$ una sucesión en los reales tal que
$$\lim_{n \to \infty} b_n = M.$$
Si además se tiene que $M \neq 0$ y $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{M}.$$

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Para $n \in \mathbb{N}$, se tiene

\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert &
= \left\lvert \frac{M-b_n}{M \cdot b_n} \right\rvert \\ \\
& = \frac{|M-b_n|}{|M \cdot b_n|} \\ \\
& = \frac{1}{|M \cdot b_n|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{| b_n|} \cdot |M-b_n|.
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{|b_n|} \cdot |M-b_n|. \tag{1}$$

Sea $\frac{|M|}{2} > 0$, como $\{b_n\}$ converge a $M$, entonces existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_1$ se cumple que
\begin{gather*}
& |b_n-M| < \frac{|M|}{2}. \\
\Rightarrow & |M-b_n| < \frac{|M|}{2}. \\
\Rightarrow & |M| – |b_n | \leq |M-b_n| < \frac{|M|}{2}. \\
\Rightarrow & |M|- \frac{|M|}{2} < |b_n|. \\
\Rightarrow & \frac{|M|}{2} < |b_n|. \\
\Rightarrow & \frac{1}{|b_n|} < \frac{2}{|M|}. \tag{2}
\end{gather*}

De $(1)$ y $(2)$ se tiene que si $n \geq n_1$, entonces

\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert & = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{| b_n|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& < \frac{1}{|M|} \cdot \frac{2}{|M|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n|.
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert < \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n|. \tag{3}$$

Ahora consideremos $$\frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}} > 0.$$

Nuevamente, como $\{ b_n \}$ converge a $M$, existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_2$, entonces $$|b_n-M| < \frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}}. \tag{4}$$

Tomemos $n_0 = max\{n_1, n_2 \}$. Si $n \geq n_0$, también se cumple que $n \geq n_1$ y $n \geq n_2$ y de $(3)$ y $(4)$ se tiene que
\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert & < \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{2}{|M|^2} \cdot |b_n-M| \\ \\
&< \frac{2}{|M|^2} \cdot \frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}} \\ \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$ \therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert < \varepsilon.$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{M}.$$

$\square$

Ejemplo 1. Prueba el siguiente límite $$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{1+(n+10)^2}-1 = -1.$$

Demostración.

Primero desarrollaremos la expresión y multiplicaremos por un uno, $\frac{ \frac{1}{n^2} }{ \frac{1}{n^2} }$, que nos ayudará a obtener límites que ya conocemos. Podemos observar que el uno que usaremos está bien definido dado que $n \in \mathbb{N}$, por lo que $n \geq 1$.

\begin{align*}
\frac{3}{1+(n+10)^2}-1 & = \frac{3}{n^2+20n+101}-1 \\ \\
& = \frac{3}{n^2+20n+101} \cdot \frac{ \frac{1}{n^2} }{ \frac{1}{n^2} } -1 \\ \\
& = \frac{\frac{3}{n^2}}{\frac{n^2+20n+101}{n^2}}-1 \\ \\
& = \frac{\frac{3}{n^2}}{1+\frac{20}{n}+\frac{101}{n^2}}-1. \\ \\
\end{align*}

Además, sabemos que $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$$

Y usando las propiedades que hemos visto respecto a las operaciones de sucesiones convergentes, se tiene que
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{1+(n+10)^2}-1 & = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2}}{1+\frac{20}{n}+\frac{101}{n^2}}-1 \\ \\
&= \frac{\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2}}{\lim_{n \to \infty} 1+\frac{20}{n}+\frac{101}{n^2} } – \lim_{n \to \infty} 1 \\ \\
& = \frac{0}{1+0+0}-1 \\ \\
& = -1.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{n \to \infty} \frac{3}{1+(n+10)^2}-1 = -1.$$

$\square$

Sucesiones monótonas

A continuación daremos algunas definiciones referentes a la monotonía que se presenta en las sucesiones.

Definición. Sea $\{a_n \}$ una sucesión de números reales.

  • Se dice que la sucesión es creciente si satisface que $a_n \leq a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Si la desigualdad es estricta, se dice que la sucesión es estrictamente creciente.
  • Se dice que la sucesión es decreciente si satisface que $a_n \geq a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Si la desigualdad es estricta, se dice que la sucesión es estrictamente decreciente.
  • Se dice que la sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Si la desigualdad es estricta, se dice que la sucesión es estrictamente monótona.

Ejemplo 2. Las siguientes sucesiones son decrecientes:

  • $\{\frac{1}{n}\}.$
  • $\{\frac{1}{n!}\}.$
  • $\{c^n\}$ si $0< c < 1.$
  • $\{\frac{1}{2^n}\}.$

Probaremos la monotonía de la última sucesión.

Demostración.

Sea $\{a_n\} = \{\frac{1}{2^n}\}$. Consideremos $n \in \mathbb{N}$, sabemos que $2 > 1$ y $2^n > 0$, entonces se tiene que

\begin{gather*}
& 2 \cdot 2^n > 1 \cdot 2^n. \\ \\
\Rightarrow & 2^{n+1} > 2^n. \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{2^n} > \frac{1}{2^{n+1}}.
\end{gather*}

$$\therefore a_n \geq a_{n+1}.$$

Además, como se cumple la desigualdad estricta, la sucesión $\{a_n\} = \{\frac{1}{2^n}\}$ es estrictamente decreciente.

$\square$

Ejemplo 3. Las siguientes sucesiones son crecientes:

  • $\{n\}.$
  • $\{n^2\}.$
  • $\{c^n\}$ si $c > 1.$
  • $\{ \sqrt{n} \}.$

Probaremos la monotonía de la última sucesión.

Demostración.

Sea $\{a_n\} = \{ \sqrt{n} \}$. Consideremos $n \in \mathbb{N}$, sabemos que $n <n+ 1$, entonces se tiene que

\begin{gather*}
& 0 < n+1-n. \\
\Rightarrow & 0 < \left( \sqrt{n+1} \right)^2 – \left( \sqrt{n} \right)^2. \\ \\
\Rightarrow & 0 < \left( \sqrt{n+1} – \sqrt{n}\right) \left( \sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right). \\ \\
\Rightarrow & \frac{0}{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} } < \sqrt{n+1} – \sqrt{n}, \text{pues } \sqrt{n+1} + \sqrt{n} > 0. \\ \\
\Rightarrow & 0 < \sqrt{n+1} – \sqrt{n}. \\ \\
\Rightarrow & \sqrt{n} < \sqrt{n+1}.
\end{gather*}

$$\therefore a_{n} \leq a_{n+1}.$$

Además, como se cumple la desigualdad estricta, la sucesión $\{a_n\} = \{ \sqrt{n} \}$ es estrictamente creciente.

$\square$

Una vez dada la definición, podemos probar el siguiente teorema.

Teorema. Una sucesión monótona de números reales es convergente si y solo si está acotada. Además,

  1. Si $\{a_n\}$ es una sucesión creciente acotada, entonces
    $$ \lim_{n \to \infty} a_n = sup\{a_n : n \in \mathbb{N} \}.$$
  2. Si $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente acotada, entonces
    $$ \lim_{n \to \infty} a_n = inf\{a_n : n \in \mathbb{N} \}.$$

Demostración.

$\Rightarrow]$ En la entrada anterior se probó que toda sucesión convergente está acotada, particularmente una sucesión convergente monótona también está acotada.

$\Leftarrow]$ Sea $\{a_n\}$ una sucesión monótona acotada. Entonces la sucesión es creciente o decreciente.

  • Caso 1: $\{a_n\}$ es creciente.
    Como $\{a_n\}$ está acotada, entonces existe un número real $M$ tal que $a_n \leq M$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Sea $A = \{a_n | n \in \mathbb{N} \}$, como $A \neq \varnothing$ y está acotado, entonces existe el supremo. Definimos $\alpha = supA$.

    Sea $\varepsilon > 0$. Notemos que $\alpha – \varepsilon < \alpha$ y como $\alpha$ es la cota superior más pequeña del conjunto $A$, entonces $\alpha – \varepsilon$ no es cota superior de $A$. Entonces existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $$\alpha – \varepsilon < a_{n_0} \leq \alpha < \alpha + \varepsilon.$$

    Si $n \geq n_0$, como $\{a_n\}$ es creciente, se tiene que
    \begin{gather*}
    & \alpha – \varepsilon < a_{n_0} \leq a_n \leq \alpha < \alpha + \varepsilon. \\
    \Rightarrow & \alpha – \varepsilon < a_n < \alpha + \varepsilon. \\
    \Rightarrow & -\varepsilon < a_n – \alpha < \varepsilon.
    \end{gather*}
    $$\therefore |a_n – \alpha| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_0.$$
    $$\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha.$$
  • Caso 2: $\{a_n\}$ es decreciente.
    Quedará como tarea moral.

$\square$

Gracias al teorema anterior, dada una sucesión que sea monótona, basta probar que está acotada para saber que es convergente. Más aún, si determinamos el ínfimo/supremo de tal sucesión, estaremos encontrando su límite; el siguiente ejemplo nos permitirá poner esto en práctica.

Ejemplo 4. Determina el siguiente límite $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Demostración.

Sabemos que $\{ \sqrt{n} \}$ es creciente, entonces para todo $n \in \mathbb{N}$
$$\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1}.$$

$$ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Por lo tanto, se tiene que la sucesión $\{ \frac{1}{\sqrt{n}} \}$ es decreciente y tiene como ínfimo el $0$, por tanto, se tiene que

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.$$

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada añadiremos a nuestro arsenal más propiedades de las sucesiones convergentes con lo cual tendremos un estudio más detallado de las mismas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sean $\{a_n\}$, $\{b_n \}$ dos sucesiones de números reales tal que $$\lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ y } \lim_{n \to \infty} b_n = M.$$
    Si además se tiene que $L \neq 0$ y $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{R}$, entonces $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}.$$
  • Prueba que si $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente acotada, entonces
    $$ \lim_{n \to \infty} a_n = inf\{b_n : n \in \mathbb{N} \}.$$
  • Da un ejemplo de sucesión convergente que no sea monótona.
  • Da un ejemplo de sucesión de números reales negativos tal que converja a cero, pero que no sea creciente.
  • Da un ejemplo de sucesión creciente y acotada, y encuentra su límite.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»