Introducción
En esta entrada terminaremos de revisar las operaciones de sucesiones probando qué sucede con el cociente de sucesiones convergentes. Además, daremos la definición de sucesión monótona y demostraremos algunas de sus propiedades.
Cociente de sucesiones
Daremos inicio demostrando que el cociente de sucesiones convergentes converge al cociente de sus límites.
Proposición. Sean $\{b_n \}$ una sucesión en los reales tal que
$$\lim_{n \to \infty} b_n = M$$
Si además se tiene que $M \neq 0$ y $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{R}$, entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{M}$$
Demostración.
Sea $\varepsilon > 0$
Para $n \in \mathbb{N}$, se tiene
\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert &
= \left\lvert \frac{M-b_n}{M \cdot b_n} \right\rvert \\ \\
& = \frac{|M-b_n|}{|M \cdot b_n|} \\ \\
& = \frac{1}{|M \cdot b_n|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{| b_n|} \cdot |M-b_n|
\end{align*}
$$\therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{|b_n|} \cdot |M-b_n| \tag{1}$$
Sea $\frac{|M|}{2} > 0$, como $\{b_n\}$ converge a $M$, entonces existe $\n_1 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_1$ se cumple
\begin{gather*}
& |b_n-M| < \frac{|M|}{2} \\
\Rightarrow & |M-b_n| < \frac{|M|}{2} \\
\Rightarrow & |M| – |b_n | \leq |M-b_n| < \frac{|M|}{2} \\
\Rightarrow & |M|- \frac{|M|}{2} < |b_n| \\
\Rightarrow & \frac{|M|}{2} < |b_n| \\
\Rightarrow & \frac{1}{|b_n|} < \frac{2}{|M|} \tag{2}
\end{gather*}
De $(1)$ y $(2)$ se tiene que si $n \geq n_1$, entonces
\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert & = \frac{1}{|M|} \cdot \frac{1}{| b_n|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& < \frac{1}{|M|} \cdot \frac{2}{|M|} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n|
\end{align*}
$$\therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert < \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n| \tag{3}$$
Ahora consideremos $$\frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}} > 0$$
Nuevamente, como $\{ b_n \}$ converge a $M$, existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_2$, entonces $$|b_n-M| < \frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}} \tag{4}$$
Tomemos $n_0 = max\{n_1, n_2 \}$. Si $n \geq n_0$, también se cumple que $n \geq n_1$ y $n \geq n_2$ y de $(3)$ y $(4)$ se tiene que
\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert & < \frac{2}{|M|^2} \cdot |M-b_n| \\ \\
& = \frac{2}{|M|^2} \cdot |b_n-M| \\ \\
&< \frac{2}{|M|^2} \cdot \frac{\varepsilon}{\frac{2}{|M|^2}} \\ \\
& = \varepsilon
\end{align*}
$$ \therefore \left\lvert \frac{1}{b_n} – \frac{1}{M} \right\rvert < \varepsilon$$
$$\therefore \lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{M}$$
$\square$
Sucesiones monótonas
A continuación daremos algunas definiciones referentes a la monotonía que se presenta en las sucesiones.
Definición. Sea $\{a_n \}$ una sucesión de números reales.
- Se dice que la sucesión es creciente si satisface que $a_n \leq a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{R}$. Si la desigualdad es estricta, se dice que es la sucesión es estrictamente creciente.
- Se dice que la sucesión es decreciente si satisface que $a_n \geq a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Si la desigualdad es estricta, se dice que es la sucesión es estrictamente decreciente.
- Se dice que la sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Si la desigualdad es estricta, se dice que es la sucesión es estrictamente monótona.
Ejemplos. La siguientes sucesiones son decrecientes:
- $\{\frac{1}{n}\}$
- $\{\frac{1}{n!}\}$
- $\{c^n\}$ si $0< c < 1$
- $\{\frac{1}{2^n}\}$
Ejemplos. Las siguientes sucesiones son crecientes:
- $\{n\}$
- $\{n^2\}$
- $\{c^n\}$ si $c > 1$
- $\{ \sqrt{n} \}$
Una vez dada la definición, podemos probar el siguiente teorema.
Teorema. Una sucesión monótona de números reales es convergente si y solo si está acotada. Además
- Si $\{a_n\}$ es una sucesión creciente acotada, entonces
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = sup\{a_n : n \in \mathbb{N} \}$$ - Si $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente acotada, entonces
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = inf\{a_n : n \in \mathbb{N} \}$$
Demostración.
$\Rightarrow]$ El la entrada anterior se probó que toda sucesión convergente está acotada, particularmente una sucesión convergente monótona también está acotada.
$\Leftarrow]$ Sea $\{a_n\}$ una sucesión monótona acotada. Entonces la sucesión es creciente o decreciente.
- Caso 1. $\{a_n\}$ es creciente
Como $\{a_n\}$ está acotada, entonces existe un número real $M$ tal que $a_n \leq M$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Sea $A = \{a_n | n \in \mathbb{N} \}$, como $A \neq \varnothing$ y está acotada, entonces existe el supremo. Definimos $\alpha = supA$.
Sea $\varepsilon > 0$.
Notemos que $\alpha – \varepsilon < \alpha$ y como $\alpha$ es la cota superior más pequeña del conjunto $A$, entonces $\alpha – \varepsilon$ no es cota superior de $A$. Entonces existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $$\alpha – \varepsilon < a_{n_0} \leq \alpha < \alpha + \varepsilon$$
Si $n \geq n_0$, como $\{a_n\}$ es creicente, se tiene que
\begin{gather*}
& \alpha – \varepsilon < a_{n_0} \leq a_n \leq \alpha < \alpha + \varepsilon \\
\Rightarrow & \alpha – \varepsilon < a_n < \alpha + \varepsilon \\
\Rightarrow & -\varepsilon < a_n – \alpha < \varepsilon
\end{gather*}
$$\therefore |a_n – \alpha| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_0$$
$$\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$$ - Caso 2. $\{a_n\}$ es decreciente
Quedará como tarea moral .
$\square$
Gracias al teorema anterior, dado una sucesión que sea monótona, basta probar que está acotada para saber que es convergente. Más aún, si determinamos el ínfimo/supremo de tal sucesión, estaremos encontrando su límite; el siguiente ejemplo nos permitirá poner esto en práctica.
Ejemplo. Determina el siguiente límite $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$$
Demostración.
Notemos que $ 1 \leq n \leq n + 1$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
$$\Rightarrow \sqrt{n} \leq \sqrt{n+1} $$
$$ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$$
Por lo tanto se tiene que la sucesión $\{ \frac{1}{\sqrt{n}} \}$ es decreciente y tiene como supremo el $0$, por tanto, se tiene que
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$$
$\square$
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.
Para las siguientes sucesion
- Sean $\{a_n\}$, $\{b_n \}$ dos sucesiones en los reales tal que $$\lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ y } \lim_{n \to \infty} b_n = M$$
Si además se tiene que $L \neq 0$ y $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{R}$, entonces $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}$$ - Prueba que si $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente acotada, entonces
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = inf\{b_n : n \in \mathbb{N} \}$$ - Da un ejemplo de función convergente que no sea monótona.
- Da un ejemplo de una sucesión de números reales negativos tal que converja a cero, pero que no sea creciente.
Más adelante…
En la siguiente entrada añadiremos a nuestro arsenal más propiedades de las sucesiones convergentes con lo cual tendremos un estudio más detallado de las mismas.
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