Introducción

Comenzaremos a revisar un conjunto de propiedades muy particular que nos permitirán ordenar a los números reales. De acuerdo a este orden podremos decir para un par de números reales, quién es mayor o menor que otro. Así a la lista de propiedades vista previamente le agregaremos las siguientes.

Noción de orden en $\mathbb{R}$

O1.-Existe un subconjunto $P\subseteq \mathbb{R}$ tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ ocurre una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

• $a=0$,
• $a\in P$,
• $-a\in P\text{.}$

O2.-Si $a,b\in P$ entonces $a+b\in P$.

O3.-Si $a,b\in P$ entonces $a\cdot b\in P$.

Los elementos de $P$ son llamados números reales positivos.

Definición: Decimos que:

• $a>b$ si $a-b\in P$.
• $a<b$ si $b>a$.
• $a\ge b$ si $a-b\in P$ o $a=b$.
• $a\le b$ si $b-a\in P$ o $a=b$.

Tricotomía

Proposición (Tricotomía): Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$, tenemos que cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

1. $a=b$
2. $a>b$
3. $b>a$

Demostración:

Sean $a,b\in \mathbb{R}$. Como por la cerradura de la suma S1 tenemos que: $$a+(-b)=a-b\in \mathbb{R}$$

Por O1 se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

• $a-b=0$,
• $a-b\in P$,
• $-(a-b)\in P$.

Aplicando las definiciones anteriores nos quedaría:

• $a-b=0\Rightarrow a=b$,
• $a-b\in P\Rightarrow a>b$,
• $-(a-b)\in P\Rightarrow b-a\in P\Rightarrow b>a\text{.}$

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Leyes de los signos

Definición: Diremos que $a$ es positivo si $a\in P$ y que es negativo si $-a\in P$.

Proposición (Leyes de los signos): Sean $a,b\in \mathbb{R}$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Si $a,b>0$ entonces $a\cdot b>0$.
2. Si $a,b<0$ entonces $a\cdot b>0$.
3. Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b<0$.
4. Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b<0$.

Demostración:

1. Consideremos $a>0$ y $b>0$. Así tenemos que $a\in P$ y $b\in P$ entonces por O3 $a\cdot b\in P$.
   $$\therefore a\cdot b>0$$
2. Ahora tomemos $a<0$ y $b<0$. Por lo que $-a\in P$ y $-b\in P$ entonces por O3 $(-a)\cdot (-b)\in P$.
   $$\therefore a\cdot b>0$$

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Algunos resultados importantes

Proposición: Sean $a,b,c,d\in \mathbb{R}$. Tenemos que se cumplen los siguientes resultados:

1. Si $a>b$ entonces $a+c>b+c$.
2. Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
3. Si $a<b$ y $c>0$ entonces $ac<bc$.
4. Si $a<b$ y $c<d$ entonces $a+c<b+d$.
5. Si $a<b$ y $c>d$ entonces $a-c<b-d$.
6. Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Demostración:
Demostraremos los puntos 1,3,4 y 5, mientras que dejaremos como ejercicios al lector los puntos 2 y 6.

1. Como $a>b$ esto significa que $a-b\in P$.
   Así se sigue que:
   $$\begin{array}{rl}a-b& =a+0-b\\ & =a+(c-c)-b\\ & =(a+c)–(c+b)\text{.}\end{array}$$
   De lo anterior concluimos que $(a+c)–(c+b)\in P$, es decir, $a+c>c+b$.
2. Tarea moral.
3. Por hipótesis tenemos que $a<b$ y $c>0$ por lo que ocurre: $b-a\in P$ y $c\in P$.
   Por O3 afirmamos que $c(b-a)\in P$. Observemos que: $c(b-a)=cb–ca=bc–ac$.
   $$\therefore bc–ac\in P\text{.}$$
   $$\therefore bc>ac\text{.}$$
4. Ya que $a<b$ y $c<d$ se sigue que $b-a\in P$ y $d-c\in P$. Así por O2 tenemos:
   $$(b-a)+(d-c)\in P\text{.}$$
   Notemos que:
   $$\begin{array}{rl}(b-a)+(d-c)& =b-a+d-c\\ & =b+d-a-c\\ & =(b+d)–(a+c)\text{.}\end{array}$$
   $$\therefore (b+d)–(a+c)\in P\text{.}$$
   $$\therefore b+d>a+c\text{.}$$
5. Tenemos que $a<b$ y $c>d$ $\Rightarrow b-a\in P$ y $c-d\in P$.
   Por O2 se sigue que $(b-a)+(c-d)\in P$. Y como tenemos lo siguiente:
   $$\begin{array}{rl}(b-a)+(c-d)& =b-a+c-d\\ & =(b-d)+(-a+c)\\ & =(b-d)–(a-c)\text{.}\end{array}$$
   Así concluimos que: $(b-d)–(a-c)\in P$.
   $$\therefore b-d>a-c\text{.}$$
6. Tarea moral.
   

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Transitividad

Proposición (Transitividad): Para $a,b\in \mathbb{R}$ se cumplen las siguientes propiedades:

1. Si $a>b$ y $b>c\Rightarrow a>c$.
2. Si $a<b$ y $b<c\Rightarrow a<c$.

Demostración:

1. Cómo $a>b$ y $b>c$ sabemos que $a-b\in P$ y $b-c\in P$.
   Entonces tenemos por O2 $(a-b)+(b-c)\in P$. Y como:
   $$(a-b)+(b-c)=a+(-b+b)-c=a-c\text{.}$$
   Así $a-c\in P$ y por lo tanto $a>c$.
2. Ya que $b>a$ y $c>b$. Aplicando el punto anterior se sigue que:
   $$c>a\Rightarrow a<c\text{.}$$

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El cuadrado de un número real

Proposición: Para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:

$$a^2\ge 0\text{.}$$

Demostración: Tomemos $a\in \mathbb{R}$. Por la propiedad O1 debemos considerar los siguientes tres casos.

• Caso $a=0$:
  Como $a=0$, al multiplicar por $a$ en ambos lados de la igualdad tenemos:
  $$\begin{array}{rl}& \Rightarrow a\cdot a=0\cdot a\\ & \Rightarrow a\cdot a=0\cdot 0\\ & \Rightarrow a^2=0\text{.}\end{array}$$
  Concluimos así $a^2\ge 0$.
• Caso $a>0$
  Así $a\in P$ y por O3 tenemos que $a\cdot a\in P$. Por lo que $a^2\in P$, es decir, $a^2>0$. Se concluye $a^2\ge 0$.
• Caso $a<0$
  Ahora tenemos que $-a\in P$ y por O3 que $-a\cdot -a\in P$. Así $a^2=(-a)(-a)\in P$, por lo que $a^2\ge 0$.

De los casos anteriores probamos que $a^2\ge 0$ para todo $a\in \mathbb{R}$

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Más adelante

Ya que hemos definido las propiedades de orden y varios de sus resultados más importantes. En la siguiente entrada comenzaremos por definir a los intervalos en los reales y a resolver desigualdades apoyándonos en todo lo visto en esta entrada.

Tarea moral

Demuestra los puntos 3 y 4 de las Leyes de los signos.

• Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b<0$.
  • Sugerencia: Prueba $a\cdot (-b)$ es inverso aditivo de $ab$, es decir, $ab+a\cdot (-b)=0$
• Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b<0$.
  • Sugerencia: Aplica o prueba el resultado $(-a)(b)=-(ab)$.

Prueba los puntos 2 y 6 de la sección Algunos resultados importantes:

• Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
• Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Muestre que para $a,b\in \mathbb{R}$ se cumplen las siguientes propiedades:

• Si $a>1$ entonces $a^2>a$.
• Si $0<a<1$ entonces $a^2<a$.
• Consideremos $0<a<b$, demostrar que se cumple la siguiente desigualdad:
  $$a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b$$

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»