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Geometría Analítica I: Tipos de matrices

Por Paola Berenice García Ramírez

Introducción

Hemos conocido en esta unidad las transformaciones lineales y que a partir de ellas podemos asociarles una matriz única. En la sección anterior comenzamos con las primeras operaciones entre matrices: el producto de matrices y su estrecha relación con la composición de matrices. En esta unidad veremos las matrices más representativas y sus funciones lineales a las cuales están asociadas.

Matriz identidad

No es una familia de matrices, pero es el primer tipo de matriz que debemos mencionar. La matriz identidad está asociada a la función identidad y su tamaño es de $n\times n$, es decir el número de filas es el mismo que el de columnas. Se denota por $I$ pero como se tiene una matriz identidad para cada dimensión, se puede escribir como $I_n$.

La matriz identidad se caracteriza porque todos sus elementos son ceros ($0$) excepto aquellos elementos que se encuentran en la diagonal principal, que son unos ($1$).

Ejemplo. Para la función identidad $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, su matriz identidad asociada es

\[ I_2 = I_{2 \times 2} = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array} \right), \]

y para la función identidad $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$, su matriz identidad asociada es

\[ I_n = I_{n \times n} = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&\cdots&0\\
0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&1
\end{array} \right). \]

De hecho el producto de cualquier matriz por a matriz identidad no tiene ningún efecto, ya que siempre se cumple que $AI = A$ e $IA = A$.

Homotecias

Las homotecias son funciones de cambios de escala, porque conservan los ángulos pero no las distancias entre cualquier par de puntos. Sin embargo, todas las distancias se incrementan o disminuyen en una misma razón $k \in \mathbb{R}$, con $k \neq 0$, para una función $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ definida por $f(x) = kx$, la cual es lineal.

La matriz asociada a estas funciones es $kI$, es decir la matriz que sólo tiene elementos $k$ en la diagonal principal y ceros ($0$) fuera de dicha diagonal. Cuando $k>1$ aumentan las distancias (dilataciones), cuando $k<1$ disminuyen (contraen) y en caso de que $k=1$, las distancias se conservan.

Ejemplo. Para el caso de una función lineal $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, la matriz de homotecia de $2\times 2$ asociada es de la forma

\[ I_n = I_{n \times n} = \left(\begin{array}{cc}
k&0\\
0&k
\end{array} \right), \]

Ejemplo. Dada la función lineal definida por

\[ f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
\frac{x}{4}\\
\frac{y}{4}
\end{array} \right), \]

cuya matriz asociada es

\[ \left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{4}&0\\
0&\frac{1}{4}
\end{array} \right), \]

ya que

\[ f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{4}&0\\
0&\frac{1}{4}
\end{array} \right) \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
\frac{x}{4}\\
\frac{y}{4}
\end{array} \right).\]

Vemos que la función corresponde a una homotecia que reduce las distancias entre cualquier par de puntos en una razón de $\frac{1}{4}$.

Rotaciones

Recordemos que en las rotaciones, todo el plano gira un ángulo $\alpha$ alrededor de un punto fijo (el origen del sistema coordenado) pero permanecen invariantes el tamaño y forma de las figuras.

Las columnas de la matriz asociada a las rotaciones en $\mathbb{R}^2$ con centro en el origen mediante un ángulo $\alpha$ son:

\[ f(e_1) = \left(\begin{array}{c}
cos\, \alpha\\
sen\, \alpha
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} f(e_2)= \left(\begin{array}{c}
-sen\, \alpha\\
cos\, \alpha
\end{array} \right). \]

En consecuencia las rotaciones mandan al vector canónico $e_1$ en un vector unitario $u$ y al vector canónico $e_2$ en su vector ortogonal $u^{\perp}.$

Por tanto, para una función lineal $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, su matriz de rotación asociada correspondiente es

\[ R_{\alpha} = \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha & -sen\, \alpha\\
sen\, \alpha & cos\, \alpha
\end{array} \right). \]

Ejemplo. Si $\alpha = 45°$ y queremos calcular la rotación de $45°$del vector $\vec{x}$ entonces la matriz en este caso será:

\begin{align*}
R_{45°}(\vec{x}) &= \left(\begin{array}{cc}
cos\, 45°& -sen\, 45°\\
sen\, 45°& cos\, 45°
\end{array} \right) \vec{x}\\
&= \left(\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array} \right) \vec{x}.
\end{align*}

Un hecho importante es que una vez que hubo una rotación de ángulo $\alpha$ y volvemos a aplicar una rotación pero de ángulo $-\alpha$, regresaremos a la matriz identidad. Es decir que con la ayuda de las igualdades

\[ cos\, (-\alpha) = cos\, \alpha \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} sen\, (-\alpha) = – sen \, \alpha,\]

se cumple que $R_{-\alpha}\, R_{\alpha} = I$. Este resultado lo dejaremos como ejercicio en la sección Tarea moral.

Ahora bien, si rotamos un ángulo $\beta$ y posteriormente un ángulo $\alpha$, rotamos entonces en total un ángulo $\alpha + \beta$, entonces se cumple que $R_{\alpha}\, R_{\beta} = R_{\alpha + \beta}$, pues

\begin{align*}
R_{\alpha}\, R_{\beta} &= \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha& -sen\, \alpha\\
sen\, \alpha& cos\, \alpha
\end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}
cos\, \beta& -sen\, \beta\\
sen\, \beta& cos\, \beta
\end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha \, cos \, \beta \,- \, sen\, \alpha\, sen\, \beta & -cos\, \alpha \, sen \, \beta \,- \, sen\, \alpha\, cos\, \beta\\
sen\, \alpha \, cos \, \beta \,+ \, cos\, \alpha\, sen\, \beta & -sen\, \alpha \, sen \, \beta \, + \, cos\, \alpha\, cos\, \beta
\end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{cc}
cos(\alpha + \beta)& -sen(\alpha + \beta)\\
sen(\alpha + \beta)& cos(\alpha + \beta)
\end{array} \right) = R_{\alpha + \beta},
\end{align*}

obteniendo las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la suma de ángulos como consecuencia de la composición de funciones y la multiplicación de matrices.

Reflexiones

Para ver el significado geométrico que una reflexión ejerce sobre un vector, consideremos las funciones lineales:

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
-x\\
y
\end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto al eje $y$.
Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
x\\
-y
\end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto al eje $x$.
Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
y\\
x
\end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto a la recta $y=x$.

La representación matricial de cada caso es

\[ R_y = \left(\begin{array}{cc}
-1&0\\
0&1
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} R_x = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&-1
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} R_{y=x} = \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array} \right), \]

respectivamente. De forma más general, las reflexiones deben parametrizarse por la mitad del ángulo de la imagen de $e_1$, quien es el ángulo de la recta respecto a la cual se hace la reflexión. Con ello, la reflexión en la recta con ángulo $\theta$ manda a $e_1$ en el vector unitario de ángulo $2\theta$, y su matriz asociada es:

\[ E_{\theta} = \left(\begin{array}{cc}
cos\, 2\theta & sen\, 2\theta \\\
sen\, 2\theta & -cos\, 2\theta
\end{array} \right) \]

Dejaremos como ejercicio moral ver que se cumplen $E_{\theta} E_{\theta} = I$ y que la composición de reflexiones es $E_{\alpha} E_{\beta}= R_{2(\alpha – \beta).}$

Matrices ortogonales

Una matriz ortogonal debe cumplir ser cuadrada y su función lineal asociada debe ser ortogonal (es decir, que preserva el producto interior). Entonces, para que se cumplan dichas condiciones, recurrimos a la siguiente definición:

Definición. Una matriz A de $n\times n$ es ortogonal (la matriz de una transformación ortogonal) si y sólo si $A \cdot A^T = I$.

Ejemplo. Para la matriz de reflexión con respecto a la recta $x=y$

\[
A = \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array} \right),
\]

el producto de A con su transpuesta $A^T$ es

\[
A \cdot A^T = \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array} \right) = I
\]

Ejemplo. Para la matriz de rotación

\[ B = \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha & sen\, \alpha\\
-sen\, \alpha & cos\, \alpha
\end{array} \right), \]

el producto de B con su transpuesta $B^T$ es

\[
B \cdot B^T = \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha & -sen\, \alpha\\
sen\, \alpha & cos\, \alpha
\end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}
cos\, \alpha & sen\, \alpha\\
-sen\, \alpha & cos\, \alpha
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array} \right) = I.
\]

De hecho las matrices ortogonales de $2 \times 2$ son: las rotaciones y las reflexiones.

Tarea moral

¿Las siguientes matrices son matrices identidad?

\[ A = \left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&3
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} B = \left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1\\
0&0
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} C = \left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array} \right), \]

2. Demostrar que las homotecias tienen la propiedad de conmutar con cualquier otra matriz, es decir, $A(kI) = (kI) A$, donde $k$ es una constante real, $I$ es la matriz identidad y $A$ una matriz de $n\times n$.

3. Demostrar que la rotación de un ángulo $-\theta$ nos regresa a la unidad, es decir, probar que se cumple $R_{-\theta}R_{\theta}= I$

4. En la sección de reflexiones de esta entrada definimos a la matriz $E_{\theta}$. Demostrar que se cumple $E_{\theta} E_{\theta} = I$ y que la composición de reflexiones es $E_{\alpha}E_{\beta}= R_{2(\alpha – \beta).}$

Más adelante

En la siguiente entrada vamos a conocer al grupo de matrices invertibles de $n\times n$, el grupo general lineal de orden $n$; a las cuales pertenecen las matrices ortogonales. Además veremos la forma más fácil de saber si una matriz de $2\times 2$ es invertible, mediante el determinante y su relación con los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

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Geometría Analítica I: Producto de matrices

Por Paola Berenice García Ramírez

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Introducción

En la entrada anterior definimos a un vector y a una matriz de una función lineal, podemos proceder a definir su producto. En esta entrada primero veremos cómo se realiza el producto de una matriz con un vector. Después trataremos la fuerte relación entre la composición de funciones y el producto de matrices. Con dicha relación, por último definiremos el producto de matrices cualesquiera.

Producto de una matriz con un vector

Si tenemos un matriz $A$ de $m\times n$, sabemos que una forma de ver a nuestra matriz es como un conjunto ordenado de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ y entonces se escribe $A=(u_1, u_2, \cdots, u_n)$, con $u_{i} \in \mathbb{R}^n$, donde $i=1,2,\cdots,n$. También sabemos que cada vector al que haremos referencia tiene la notación $x=(x_1, x_2, \cdots, x_n )^T$.

Vamos a definir con estos conceptos al producto de una matriz $A$ por un vector $x$:

Definición. El producto de una matriz $A$ de dimensión $m\times n$ de la forma

\begin{equation*}
A = (u_1,u_2, \cdots, u_n),
\end{equation*}

por un vector de la forma

\[ x=(x_1, x_2, \cdots, x_n )^T = \left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{array} \right);\]

se define por

\[ Ax = (u_1, u_2, \cdots, u_n )\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{array} \right) = x_1 u_1 + x_2 u_2 + \cdots + x_n u_n. \]

Veamos un ejemplo que nos apoye con la definición:

Ejemplo. Sean la matriz $A$ y el vector $x$ como sigue

\[ A = \left(\begin{array}{ccc}
4&7&-1\\
2&-3&1\\
5&4&-2
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} x=(x,y,z)^T , \]

entonces el producto de la matriz $A$ con el vector $x$ será:

\[ Ax = \left(\begin{array}{ccc}
4&7&-1\\
2&-3&1\\
5&4&-2
\end{array} \right) \left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array} \right) = x \left(\begin{array}{c}
4\\
2\\
5
\end{array} \right) + y \left(\begin{array}{c}
7\\
-3\\
4
\end{array} \right) + z \left(\begin{array}{c}
-1\\
1\\
-2
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
4x+7y-z\\
2x-3y+z\\
5x+4y-2z
\end{array} \right).\]

Ahora, para comprender mejor la definición del producto de matrices, que es el tema principal de esta entrada; es mejor hablar de su origen, el cual proviene de los sistemas lineales. Arthur Cayley (1821-1895) fue un matemático británico que analizaba los sistemas con dos ecuaciones y dos incógnitas:

\begin{align*}
ax + by &= x’ \\
cx + dy &= y’
\end{align*}

como transformación del plano donde a cada punto $(x,y)$ le corresponde el punto $(x’,y’)$.

A la función de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ donde

\[ p(x) = \left(\begin{array}{c}
ax + by\\
cx + dy
\end{array} \right), \]

se le asocia la matriz

\[ \left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array} \right), \]

que es quien transforma el plano, moviendo cada punto $(x,y)$ a la posición $(x’,y’)$.

Ahora vamos a considerar otra matriz

\[ \left(\begin{array}{cc}
e & f\\
g & h
\end{array} \right), \]

quien también transformará al plano, pero el punto $(x’,y’)$ se moverá a la posición $(x´´,y´´)$ mediante el sistema:

\begin{align*}
ex’ + fy’ &= x´´ \\
gx’ + hy’ &= y´´.
\end{align*}

Si lo que deseamos es que las dos transformaciones se ejecuten una detrás de la otra, es decir, que el punto $(x,y)$ vaya a la posición $(x´´,y´´)$; entonces para la primera ecuación se tendrá:

\begin{align*}
x´´ &= ex’ + fy’\\
&= e(ax+by) + f(cx+dy)\\
&= (ae+cf)x +(be+df)y,
\end{align*}

y para la segunda ecuación tenemos:

\begin{align*}
y´´ &= gx’ + hy’\\
&= g(ax+by) + h(cx+dy)\\
&= (ag+ch)x +(bg+dh)y.
\end{align*}

En consecuencia, la composición de las dos transformaciones tiene por sistema a:

\begin{align*}
(ae+cf)x +(be+df)y &= x´´\\
(ag+ch)x +(bg+dh)y &= y´´.
\end{align*}

De hecho las definiciones de Cayley se generalizaron a cualquier dimensión. Con esta motivación vamos a definir el producto de matrices.

Multiplicación de matrices

Definición. Sean $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ y $g: \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}^k$ dos funciones lineales, la composición $g \circ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^k$ también será lineal. Sean las matrices $A$ de tamaño $m\times n$ y $B$ de tamaño $k\times m$ que corresponden a $f$ y a $g$ respectivamente. Definimos al producto de matrices $BA$ como la matriz $k\times n$ que corresponde a la función lineal $g \circ f$.

Entonces $BA$ es la única matriz de $k\times n$ que cumple:

\begin{equation*}
(g\circ f)(x) = (BA) x, \hspace{0.25cm} \text{para todo} \hspace{0.25cm} x \in \mathbb{R}^n .
\end{equation*}

Para comprender la definición, recordemos que la matriz $A$ con tamaño $m\times n$ está asociada a la función lineal $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ y la matriz $B$ con tamaño $k\times m$ está asociada a la función lineal $g: \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}^k$. La conversión se da por la convención existente en el orden en que se realiza la composición de funciones (hacia atrás).

La definición no nos indica cómo realizar la multiplicación de matrices, para lo cual conviene que recordemos primeramente que las columnas de una matriz son las imágenes de la base canónica bajo la función asociada. Entonces si $A=(u_1, u_2, \cdots, u_n )$ donde $u_i = f(e_i ) \in \mathbb{R}^m$, entonces $(g \circ f)(e_i) =g(f(e_i)) = g(u_i) = Bu_i$. Por tanto

\begin{equation*}
BA = B (u_1,u_2, \cdots, u_n) = (Bu_1, Bu_2, \cdots, Bu_n).
\end{equation*}

Ahora, para obtener las columnas de la nueva matriz, usaremos la multiplicación de $B$ por los vectores columna de $A$, que es la multiplicación que ya definimos en la primer parte de esta entrada.

Expresaremos cada una de las entradas de la matriz $BA$, pero nos conviene ver a la matriz $B$ como una columna de vectores renglón, obteniendo

\[ BA = \left(\begin{array}{c}
w_{1}^{T}\\
w_{2}^{T}\\
\vdots\\
w_{k}^{T}
\end{array} \right) \left(\begin{array}{c}
u_1, u_2, \cdots, u_n
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc}
w_1 \cdot u_1 & w_1 \cdot u_2 & \cdots & w_1 \cdot u_n\\
w_2 \cdot u_1 & w_2 \cdot u_2 & \cdots & w_2 \cdot u_n\\
\vdots& \vdots & \ddots &\vdots\\
w_k \cdot u_1 & w_k \cdot u_2 & \cdots & w_k \cdot u_n
\end{array} \right), \]

Con esta fórmula podemos ver porqué es importante que el número de filas de $B$ (los transpuestos de los vectores $w_i$) debe ser el mismo número de columnas de $A$ (los vectores $u_j$) y comprender la mecánica para obtener las entradas de una matriz $k \times n$ a partir de una matriz $B$ con tamaño $k \times m$ y una matriz $A$ con tamaño $m \times n$.

Ejemplo. Sean

\[ B = \left(\begin{array}{ccc}
2&-1&0\\
1&3&1
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} A= \left(\begin{array}{cccc}
1&0&2&4\\
-1&-2&1&0\\
3&5&6&1
\end{array} \right), \]

El producto $BA$ está bien definido porque $B$ es de tamaño $3\times 4$ y $A$ es de tamaño $2\times 3$, por tanto $BA$ es una matriz de $2\times 4$. Las filas de $B$ serán $w_1$ y $w_2$ y las columnas de $A$ serán $u_1, u_2, u_3$ y $u_4$, es decir:

Por tanto, $BA$ es la matriz:

\[ BA = \left(\begin{array}{cccc}
3&2&3&8\\
1&-1&11&5
\end{array} \right). \]

Ejemplo. Tomemos las matrices $A$ y $B$ del ejemplo anterior, observemos que no podemos realizar el producto $AB$, ya que el número de columnas de $B$ es $4$ y el número de filas de $A$ es $2$ y éstos números no coinciden.

En conclusión, el producto de matrices no es conmutativo, de hecho, aunque existan ambos $AB$ y $BA$, éstos no tienen porqué coincidir.

Ejemplo. Sean \[ A = \left(\begin{array}{cc}
7&0\\
-1&0
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} B= \left(\begin{array}{cc}
0&2\\
0&-5
\end{array} \right), \]

podemos calcular $AB$ y $BA$, obtenemos

\[ AB = \left(\begin{array}{cc}
0&14\\
0&-2
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} BA= \left(\begin{array}{cc}
-2&0\\
5&0
\end{array} \right), \]

y vemos que $AB \neq BA.$

Tarea moral

Aunque $A$ y $B$ no sean las matrices cero (cuyas entradas son todas cero), su producto sí puede serlo. Den un ejemplo de 2 matrices tales que $AB=0$, pero $A\neq 0$ y $B \neq 0$, donde $0$ es la matriz cero.
Demuestra que si $A, B, C$ son matrices $2\times 2$, entonces $A(B+C) = AB +AC$ y $(A+B)C= AC +BC$.
Demuestra que si $A,B, C$ son matrices de $3\times 3$, entonces $A(BC) = (AB)C$, es decir que el producto de matrices es asociativo. Por tanto, podemos escribir al producto simplemente como $ABC$.
Sean

\[ A = \left(\begin{array}{ccc}
3&-1&4\\
2&5&-2\\
1&3&2
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} B= \left(\begin{array}{cc}
1&3\\
-1&4\\
5&2
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} C= \left(\begin{array}{cccc}
1&3&-1&2\\
-2&4&1&5\\
5&2&-3&1
\end{array} \right), \]

Realizar el producto de matrices $AB, BC, AC$ y justificar en caso de que no pueda efectuarse alguno de los productos.

Más adelante

En la primera parte de la unidad 3 vimos distintos tipos de transformación de funciones. Para la segunda parte definimos matrices de tamaño $m\times n$, matrices asociadas a funciones lineales y en esta entrada vimos la operación del producto de matrices.

A continuación vamos a ver algunas de las familias de matrices más representativas que están asociadas a funciones. Nos serán familiares dichas funciones porque las trabajamos en la primera parte de esta Unidad 3.

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Geometría Analítica I: Matrices y funciones lineales

Por Paola Berenice García Ramírez

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Introducción

En la entrada anterior vimos funciones lineales, un concepto fundamental y que sin él no podríamos definir formalmente al conjunto de las matrices en $\mathbb{R}^n$. Requerimos ver cómo los conceptos de función lineal y el de matriz se entrelazan; para comprender porqué a menudo se trabaja más con matrices asociadas a una función lineal cuando hablamos de transformaciones.

Matrices

Previo a la definición de nuestro interés en esta sección debemos recordarles quiénes son lo vectores canónicos de $\mathbb{R}^n$, ya que vamos a trabajar con ellos en esta entrada. Los vectores canónicos son aquellos formados por sólo una entrada igual a 1 y el resto de entradas son todas cero. Se denotan por $e_i$, donde $i=\{1,2,\cdots,n\}$ y el subíndice $i$ nos indica la posición de la entrada con 1.

Ejemplo. Si nos encontramos en $\mathbb{R}^3$, sus vectores canónicos son:

\begin{align*}
e_{1}&=(1,0,0),& e_{2}&=(0,1,0),& e_{3}&=(0,0,1).
\end{align*}

A continuación tomaremos una función lineal $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, donde $f(e_{1})=(4,3)$ y $f(e_{2})=(-1,2)$. Entonces $f$ se escribe como:

\begin{align*}
f(x,y) &= x(4,3) + y(-1,2)\\
&= (4x – y, 3x+2).\\
\end{align*}

Vemos que hay una clara desventaja en la forma en que representamos a $f$, porque podemos confundirnos al ordenar y separar comas. Si ahora consideramos a los vectores como columnas en lugar de filas, el reordenamiento será de la siguiente manera:

\[ f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = x \left(\begin{array}{c}
4\\
3
\end{array} \right) + y \left(\begin{array}{c}
-1\\
2
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
4x-y\\
3x+2y
\end{array} \right)\]

con lo cual, incluso ya no ocupamos las comas y el orden es más fácil. En consecuencia debemos definir esta notación.

Definición 1. Una matriz de orden o dimensión de $m \times n$ es una tabla con elementos con $m$ filas y $n$ columnas. Usualmente las matrices se representan con letras mayúsculas como $A, B, \cdots, etc$.

Definición 2. Un elemento o entrada de la matriz se designa mediante $a_{ij}$, donde el primer subíndice $i$ indica la fila en que se encuentra el elemento, mientras que el segundo subíndice $j$ es la columna en que lo encontramos.

Entonces una matriz de $m\times n$ es de la forma:

\[ A = \left(\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{array} \right).\]

Ejemplo. Como ejemplos de matrices tenemos a

\[ B= \left(\begin{array}{ccc}
2&3&4\\
6&-5&3\\
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} C= \left(\begin{array}{ccc}
1&4&6\\
2&3&11\\
-7&4&8
\end{array} \right),\]

donde la matriz $B$ es de dimensión $2\times 3$, ya que tiene 2 filas y 3 columnas; mientras que $C$ es de dimensión $3\times 3$, con 3 filas y 3 columnas.

Deseamos que conozcan otra forma de definir a una matriz $A$ que nos será muy útil. A una matriz $A$ podemos verla como un conjunto ordenado de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$; esos vectores serán sus columnas, y entonces puede escribirse como:

\begin{equation*}
A = (u_1,u_2, \cdots, u_n),
\end{equation*}

donde

\[ u_i = \left(\begin{array}{c}
a_{1i}\\
a_{2i}\\
\vdots\\
a_{mi}
\end{array} \right) \in \mathbb{R}^m, \]

con $i=1,2,\cdots,n$.

Como escribiremos a los vectores en $\mathbb{R}^n$ como vectores columna y no como filas, entonces debemos tener otra notación que justifique dicho cambio.

Transpuesta de una matriz

Definición 3. La transpuesta de una matriz $A$ de dimensión $m \times n$ es una matriz $B$ de dimensión $n \times m$, que obtenemos después de intercambiar filas y columnas. De manera que los elementos cumplen

\begin{equation*}
b_{ij} = a_{ji},
\end{equation*}

donde $i=1,2,\cdots,m$ y $j=1,2,\cdots,n$. En general, se le denota a la transpuesta de $A$ por $A^T$.

Ejemplo. Vamos a escribir de nuevo las matrices del ejemplo anterior con sus respectivas transpuestas. Para la matriz $B$

\[ B= \left(\begin{array}{ccc}
2&3&4\\
6&-5&3\\
\end{array} \right),\]

su transpuesta $B^T$ es

\[ B^T = \left(\begin{array}{cc}
2&6\\
3&-5\\
4&3
\end{array} \right). \]

Y para la matriz $C$

\[ C= \left(\begin{array}{ccc}
1&4&6\\
2&3&11\\
-7&4&8
\end{array} \right),\]

su transpuesta $C^T$ es

\[C^T = \left(\begin{array}{ccc}
1&2&-7\\
4&3&4\\
6&11&8
\end{array} \right).\]

También nos falta definir otro concepto que nos será de utilidad con la notación que estamos construyendo.

Vectores columna

Definición 4. Un vector columna de orden $m$ es una ordenación de elementos en $m$ filas y que tiene una columna:

\[ a = \left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{m}
\end{array} \right) \in \mathbb{R}^m, \]

Un vector fila de orden $n$ es una ordenación de elementos e $n$ columnas y que tiene una fila:

\begin{equation*}
c = (c_1,c_2, \cdots, c_n).
\end{equation*}

A este tipo de vectores como vemos, se les designa por una letra minúscula y de hecho la transpuesta de un vector fila es un vector columna y viceversa.

Entonces los vectores fila son los transpuestos de los vectores columna denotándolos por $x^T = (x_1,x_2, \cdots, x_n)$ o bien $x = (x_1,x_2, \cdots, x_n)^T$. Entonces, la notación que hasta ahora hemos presentado, la podemos ver reflejada con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Si tenemos que para $\mathbb{R}^2$ existen los dos vectores canónicos $e_1 = (1,0)$ y $e_2 = (0,1)$ y queremos representar los vectores como vectores columna, procedemos a escribir la notación de transpuesta previamente; es decir $e_1 = (1,0)^T$ y $e_2 = (0,1)^T$. Con ello podemos trabajar ahora los vectores como columnas:

\[ e_1= \left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} e_2 = \left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array} \right).\]

Ahora tenemos las herramientas con las que podemos enlazar los conceptos de matriz con el de una función lineal; así que veamos a ver una definición muy importante para ello.

Matriz de una función lineal

Para continuar debemos observar que una matriz de tamaño $m\times n$ contiene la información de una función lineal de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$, invirtiendo el orden debido a la convención que existe debido al orden en que se realiza la composición de funciones.

Definición 5. A la matriz $A$ se le asocia la función lineal $f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$ que manda al vector canónico $e_i \in \mathbb{R}^n$ en su i-ésima columna, es decir, $f(e_i) = u_i$, para $i=,2,\cdots,n$.

Ejemplo. Si recordamos a la función del inicio de esta entrada de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ donde

\[ f(x) = \left(\begin{array}{c}
4x-y\\
3x+2y
\end{array} \right),\]

bueno pues a la función lineal de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ se le asocia la matriz

\[ f(x) = \left(\begin{array}{cc}
4&-1\\
3&2
\end{array} \right).\]

Observemos bien cómo la variable $x$ está asociada a la primer columna y la variable $y$ a la segunda columna.

Tarea moral

Para el primer ejercicio vamos a dar una definición:

Definición. La suma de dos matrices $A$, $B$, ambas de dimensión $m \times n$, se llama matriz suma de $A$ y $B$ y se denota $C=A+B$ a la matriz $C$ de dimensión $m \times n$ tal que

\begin{equation*}
a_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \hspace{0.3cm} i=1,2,\cdots,m; \hspace{0.2cm} j=1,2,\cdots,n.
\end{equation*}

Calcular la suma de $A+B$, $B+C$ y $A+C$ con las matrices:

\[ A = \left(\begin{array}{cc}
3&8\\
4&-2
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} B= \left(\begin{array}{cc}
1&-1\\
3&-2
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} C= \left(\begin{array}{cc}
2&-5\\
6&4
\end{array} \right).\]

2. De las siguientes matrices , calcular sus transpuestas:

\[ D = \left(\begin{array}{cc}
1&3\\
5&7\\
9&11\\
-1&4
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} B= \left(\begin{array}{c}
-1\\
5\\
3\\
2
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} C= \left(\begin{array}{ccc}
1&3&-5\\
4&7&-9
\end{array} \right). \]

3. De la siguiente función $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ dada por:

\[ g(x) = \left(\begin{array}{c}
6x-8y\\
-2x+81y
\end{array} \right),\]

¿Cuál es la matriz asociada a la función lineal?.

Más adelante

Ahora que definimos a un vector y a una matriz de una función lineal, podemos proceder a definir su producto. En la siguiente entrada primero veremos cómo se realiza el producto de una matriz con un vector y después definir el producto de matrices cualesquiera. Además se darán cuenta de la fuerte relación que hay entre la composición de funciones y el producto de funciones.

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Geometría Analítica I: Grupos de transformaciones

Por Paola Berenice García Ramírez

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Introducción

En la primera entrada de esta unidad [1a entrada] indicamos que serán muy importantes tanto las propiedades de los vectores como los lugares geométricos vistos en las primeras dos unidades, pues serán de vital apoyo para comprender los tipos de transformaciones que estaremos viendo.

En la entrada anterior [2a entrada] contemplamos los conceptos necesarios de las funciones que nos ayudaron a definir formalmente a una transformación. En ésta entrada vamos a comenzar por dos conjuntos: $\Delta_{2}$ y $\Delta_{3}$, las propiedades que cumplen y que nos ayudarán a comprender la definición de un grupo. Ambos conjuntos son los ejemplos más representativos de los grupos de transformaciones: los grupos simétricos de orden n. Pretendemos dar a conocer el tema en éste primer curso de Geometría Analítica de forma introductoria; pero puede profundizarse en asignaturas más avanzadas de la carrera universitaria, una de ellas es Álgebra Moderna en la Teoría de Grupos.

El conjunto $\Delta_{2}$

Antes que nada nos pondremos de acuerdo en la notación que vamos a usar: $x \mapsto y$ nos indicará que al elemento $x$ le corresponde el elemento $y$ bajo la función correspondiente.

El primero conjunto que conoceremos tiene dos elementos $\{ 0,1 \}$, a quien identificaremos por $\Delta_{2}$ y se lee «delta-dos». ¿Cuáles son las funciones de $\Delta_{2}$ en sí mismas? Primero tenemos a

\begin{align*}
0 & \xmapsto{id} 0\\
1 & \mapsto 1\\
\end{align*}

a quien llamaremos por $id$ (identidad de $\Delta_{2}$); porque al elemento $0$ le corresponde él mismo y al elemento $1$ le corresponde él mismo. La siguiente función es

\begin{align*}
0 & \xmapsto{\rho} 1\\
1 & \mapsto 0\\
\end{align*}

que denotamos por $\rho$. ¿Qué ocurre si recurrimos a la función composición $\rho \circ \rho$? Si comenzamos con $0$ sabemos bajo $\rho$ que $\rho (0) = 1$, por ello

\begin{align*}
(\rho \circ \rho)(0) &= \rho [\rho (0)]\\
& = \rho (1) = 0.\\
\end{align*}

Y si comenzamos con $\rho (1)$, en forma análoga obtendremos $(\rho \circ \rho)(1) = 1$. Podemos darnos cuenta que $\rho$ es su propio inverso, pues $(\rho \circ \rho = id)$.

Otra forma en que podemos trabajar la composición de funciones es siguiendo los elementos mediante una tablita. Vamos a ver que $\rho \circ \rho = id$ como sigue:

\begin{align*}
0 & \xmapsto{p} 1 \xmapsto{p} 0\\
1 & \mapsto 0 \mapsto 1\\
\end{align*}

donde colocamos la función correspondiente sobre cada flecha entre los elementos y nos damos cuenta que los elementos iniciales coinciden con las imágenes finales bajo la composición. Entonces concluimos que se cumple $\rho \circ \rho = id$.

Tenemos otras dos funciones:

\begin{align*}
0 & \xmapsto{C_{0}} 0 \hspace{0.2cm} & 0 \xmapsto{C_{1}} 1\\
1 & \mapsto 0 \hspace{0.18cm} &1 \mapsto 1\\
\end{align*}

e independientemente del elemento inicial, bajo $C_{0}$ corresponde el elemento $0$ y bajo $C_{1}$ corresponde el elemento $1$. Tanto $C_{0}$ como $C_{1}$ se consideran funciones constantes; mientras que las únicas transformaciones que contemplaremos de $\Delta_{2}$ son $ id $ y $ \rho $.

El conjunto $\Delta_{3}$

Ahora consideremos al conjunto $\Delta_{3} := \{ 0,1,2 \}$ e indicaremos las funciones de $\Delta_{3}$ en sí mismo bajo la notación

\begin{align*}
0 & \mapsto x\\
1 & \mapsto y\\
2 & \mapsto z
\end{align*}

donde $x, y, z \in \Delta_{3}$. Como $x, y, z \in \Delta_{3}$ son imágenes arbitrarias, habrán $3^3 = 27$ funciones, pero sólo 6 serán transformaciones. Vamos a explicar porqué sólo 6 transformaciones: puesto que queremos biyectividad, al elegir a $0$ y corresponderle su imagen, entonces al $1$ le podrán corresponder sólo $2$ opciones y a su vez, cuando llegamos al $2$, ya sólo le podrá corresponder $1$ opción. En resumen, en la primera posición hay $3$ opciones, en la segunda hay $2$ opciones y en la tercera sólo $1$ y el número de transformaciones será de $3 \times 2 \times 1 = 6$.

Las primeras 3 transformaciones que veremos son:

\begin{align*}
&0 \xmapsto{id} 0 &0 \xmapsto{\rho_{1}} 1& \hspace{0.2cm} &0 \xmapsto{\rho_{2}} 2\\
&1 \mapsto 1 &1 \mapsto 2 & \hspace{0.2cm} &1 \mapsto 0\\
&2 \mapsto 2 &2 \mapsto 0 & \hspace{0.2cm} &2 \mapsto 1
\end{align*}

De hecho a las 6 transformaciones las visualizaremos como las «simetrías» de un triángulo equilátero. Las primeras 3 corresponden a rotaciones (la identidad es quien rota $0$ grados). Diremos que $\rho_{1}$ y $\rho_{2}$ son inversas, pues $\rho_{1} \circ \rho_{2} = \rho_{2} \circ \rho_{1} = id$ (vamos a dejar esta relación como ejercicio de la tarea moral, para practicar). Es decir, con cualquier elemento inicial, la imagen de la composición será el mismo elemento inicial. Esto quiere decir que una rotación rotará $120°$ en una dirección y al aplicar la segunda rotación rota $120°$ pero en dirección contraria. Los triángulos correspondientes son:

También se cumple que $\rho_{1} \circ \rho_{1} = \rho_{2}$, pues

\begin{align*}
0 & \xmapsto{\rho_{1}} 1 \xmapsto{\rho_{1}} 2\\
1 & \mapsto 2 \mapsto 0 \\
2 & \mapsto 0 \mapsto 1
\end{align*}

Entonces decimos que cumple la siguiente definición:

Definición. Sea $f$ cualquier transformación, decimos que

\begin{equation*}
f^{n} = f \circ f \circ \cdots \circ f,
\end{equation*}

es decir, $f^{n}$ es $f$ compuesta consigo misma n veces.

En nuestro ejemplo, escribiremos que se cumple entonces la relación $\rho_{1}^{2} = \rho_{2}$. Por otro lado, para $\Delta_{3}$ tenemos otras 3 transformaciones llamadas transposiciones que geométricamente las visualizamos como reflexiones y son:

\begin{align*}
&0 \xmapsto{\alpha} 0 & 0 \xmapsto{\beta} 2 & \hspace{0.2cm} & 0 \xmapsto{\gamma} 1\\
&1 \mapsto 2 &1 \mapsto 1 & \hspace{0.2cm} &1 \mapsto 0\\
&2 \mapsto 1 &2 \mapsto 0 & \hspace{0.2cm} &2 \mapsto 2
\end{align*}

El triángulo que representa a estas transformaciones es:

Las direcciones de la flecha dependerán de cada transformación. Ahora vamos a probar una relación que cumple $ \alpha, $ la cual es:

Demostrar que se cumple $\alpha^{2} = id$.

Demostración. En efecto, recordemos que $ \alpha^{2} = \alpha \circ \alpha$, así que desarrollaremos el seguimiento de elementos a través de la composición $\alpha \circ \alpha$ como sigue:

\begin{align*}
0 & \xmapsto{\alpha} 0 \xmapsto{\alpha} 0\\
1 & \mapsto 2 \mapsto 1 \\
2 & \mapsto 1 \mapsto 2
\end{align*}

y observemos que al final de la composición obtuvimos $\alpha^2 (0)=0$, $\alpha^2 (1)=1$, $\alpha^2 (2)=2$ y con ello vemos que $\alpha^{2}=id.$

$\square$

En la sección de tarea moral dejaremos unos ejercicios de práctica sobre más relaciones que cumplen $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$; como son $\alpha^2 = \beta^2 = \gamma^2 = id$, $\alpha \circ \beta = \rho_{1}$ y que $\alpha \circ \beta \circ \alpha = \beta \circ \alpha \circ \beta = \gamma$.

A continuación vamos a definir a un conjunto de transformaciones que cumplen ciertas propiedades interesantes y para ejemplificar a dicho conjunto retomaremos uno de los conjuntos vistos en esta entrada.

Grupos de transformaciones

Definición. A un conjunto $G$ de transformaciones de un conjunto $A$ le llamaremos un grupo de transformaciones de $A$ si cumple:

$id_{A} \in G$
$f,g \in G \longrightarrow g \circ f \in G$
$f \in G \longrightarrow f^{-1} \in G$

Como ejemplos, tomemos a $A$ como $A = \Delta_{3}$. Sabemos que tiene 6 elementos, pero un grupo de transformaciones es el de las rotaciones ya que contiene a la identidad $(1)$, es cerrado bajo la composición $(2)$ y es cerrado bajo inversas $(3)$.

Otro grupo de transformaciones de $A=\Delta_{3}$ es el de las transposiciones (o reflexiones) junto con la identidad.

Definición. Dado un conjunto cualquiera de transformaciones de $A$, el grupo que genera es el grupo de transformaciones obtenido de todas las posibles composiciones con elementos de él o sus inversos.

Como ejemplo de un grupo que genera tenemos a $\alpha$ y $\beta$ ya que generan todas las transformaciones de $\Delta_{3}$.

También $\rho_{1}$ genera el grupo de rotaciones de $\Delta_{3}$ ( porque $\rho^{3} = id$, $\rho_{1}$ y $\rho^{2} = \rho_{2}$).

Para terminar con esta entrada daremos un concepto adicional. Si te llamaron la atención los conjuntos $\Delta_{2}$ y $\Delta_{3}$ y quieres saber más de ellos o si hay más conjuntos similares, la respuesta es sí. Pertenecen a un conjunto de transformaciones, el cual definiremos a continuación:

Definición. Al conjunto de todas las transformaciones de un conjunto con $n$ elementos $\Delta_{n} := \{ 0, 1, \cdots, n-1 \}$ se le llama grupo simétrico de orden $n$ y se le denota $S_{n}$. Dicho grupo tiene $n! = n \times (n-1) \times (n-2 ) \cdots \times 2 \times 1$ ($n$ factorial) elementos a los cuales se le llaman permutaciones.

Tarea moral

Considerando el conjunto $\Delta_{3}$ y sus transformaciones $id$, $\rho_{1}$ y $\rho_{2}$ que vimos en esta entrada, demostrar que $\rho_{1}$ y $\rho_{2}$ son inversas, es decir:
1. $\rho_{1} \circ \rho_{2} = \rho_{2} \circ \rho_{1} = id$
Considerando el conjunto $\Delta_{3}$ y sus transformaciones $id$, $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ que vimos en esta entrada, demostrar que se cumplen las relaciones siguientes:
1. $\alpha^2 = \beta^2 = \gamma^2 = id$. [Sugerencia: Hacer cada composición por separado].
2. $\alpha \circ \beta = \rho_{1}$
3. $\alpha \circ \beta \circ \alpha = \beta \circ \alpha \circ \beta = \gamma$.
Demuestren que $\rho_{1}$ genera el grupo de rotaciones de $\Delta_{3}$. [Sugerencia: Demuestren que se cumplen las relaciones $\rho^{3} = id$, y $\rho^{2} = \rho_{2}$), porque $\rho_{1}$ es un elemento de dicho grupo de rotaciones].

Más adelante

En esta entrada vimos que en el conjunto $\Delta_{3}$ hay dos posibles grupos de transformaciones: el de las rotaciones y el de las transposiciones junto con la identidad. Mediante triángulos pudimos visualizar el comportamiento que hay en los elementos iniciales y sus imágenes; con ello se comprende porque están en cada grupo.

En la siguiente entrada continuaremos con un primer grupo de transformaciones en los \mathbb{R}, que es de las transformaciones afines, que tiene una muy buena relación con un lugar geométrico que ya hemos visto: las rectas. La entrada [Rectas en forma paramétrica] de la Unidad 1 nos podrá ayudar como repaso si lo requerimos.

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Geometría Analítica I: Recordatorio de funciones

Por Paola Berenice García Ramírez

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Introducción

En la entrada anterior [Enlace entrada anterior] se introdujo la esencia del concepto de transformaciones y que estaremos viendo diversos tipos de transformaciones, pero para que no trabajemos en un espacio desconocido, en ésta entrada hablaremos de nociones básicas de funciones que debemos tener presentes para luego definir formalmente el concepto de qué es una transformación.

Funciones

Sean $E$ y $F$ dos conjuntos no vacíos, denominaremos función de un conjunto $E$ en un conjunto $F$ (o función definida en $E$ con valores en $F$) a una regla o ley $f$ que a todo elemento $x \in E$ le pone en correspondencia un determinado elemento $f(x) \in F$.

Al conjunto de los elementos $x \in E$ les llamamos dominio o argumento de la función $f$ y normalmente su notación es $Dom(f)$. Al conjunto de los elementos $f(x) \in F$ le llamamos rango o imagen y se denota por $Im(f)$. Además se encuentra el conjunto $F$ del contradominio, el cual contiene al rango.

A una función la designamos por lo general con la letra $f$ o con el símbolo $f: E \longrightarrow F$, que nos señala que $f$ aplica el conjunto $E$ en $F$. También podemos emplear la notación $x \mapsto f(x)$ para indicarnos que al elemento $x$ le corresponde el elemento $f(x)$. Cabe mencionar que en la mayoría de los casos las funciones se definen mediante igualdades, las cuales describen la ley de correspondencia.

Ejemplo 1. Podemos decir que la función $f$ está definida mediante la igualdad $f(x) = \sqrt{ x^2 + 1}$, $x \in [a,b]$. Si $y$ es la notación general de los elementos del conjunto $F$, o sea $F = \{y\}$, la aplicación $f: E \longrightarrow F$ se escribe en forma de la igualdad $y = f(x)$, y decimos entonces que la función se encuentra dada en su forma explícita.

Ejemplo 2. Mediante la siguiente imagen vamos a obtener $Domf$, $Imf$ y el $Codf$.

Podemos ver que $Domf$ es el conjunto formado por $\{1, -2, 2, -3, 3, 4\} $. La $Imf$ es $\{2, -4, 4, -6, 6, 8\}$ y el $Codf$ es $\{-2,2,-4,4,-6,6,8,-8\}$. Podemos darnos cuenta que no necesariamente la $Imf$ debe coincidir siempre con el $Codf$.

Ejemplo 3. Sea la función definida por la ecuación $y = \sqrt{3 – 9x}$. Debido a que la función es una raíz cuadrada, $y$ es función de $x$ sólo para $3-9x \geq 0$; pues para cualquier $x$ que satisfaga esta desigualdad, se determina un valor único de $y$. Procedemos a resolver la desigualdad:

\begin{align*}
3-9x & \geq 0,\\
3 & \geq 9x,\\
\dfrac{3}{9} & \geq x,\\
\dfrac{1}{3} & \geq x.
\end{align*}

Sin embargo si $x > \dfrac{1}{3}$, obtenemos la raíz cuadrada de un número negativo y en consecuencia no existe un número real $y$. Por tanto $x$ debe estar restringida a $\dfrac{1}{3} \geq x $. Concluimos que el $Domf$ es el intervalo $\left(- \infty, \dfrac{1}{3}\right]$ y la $Imf$ es $[0, + \infty).$

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Definición. Una función $f: E \longrightarrow F$ se denomina:

Inyectiva si $f(x) = f(x’)$ implica que $x = x’$. Otra forma de expresarlo es que no existen dos elementos de $E$ con una misma imagen ($x \neq x $ implica que $f(x) \neq f(x’)$).
Suprayectiva o sobreyectiva si $\forall y \in F$ existe $x \in E$ tal que $f(x)=y$. Es decir que todos los elementos del conjunto $F$ son imagen de algún elemento de $E$.
Biyectiva si la función cumple ser inyectiva y suprayectiva.

Problema 1. Consideren la función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ definida por $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ y determinen su dominio y si es biyectiva.

Solución. Veamos el dominio de la función, para que la función racional $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ no se indetermine debe cumplirse que:

\begin{align*}
x+3 & \neq 0,\\
x & \neq -3,\\
\therefore Domf & = \mathbb{R} – \{-3 \}.\\
\end{align*}

Ahora veamos si $f$ es biyectiva. Sean $a,b \in \mathbb{R} – \{ -3 \}$, para que $f$ sea inyectiva debe cumplir que $f(x) = f(x’)$ implica que $x = x’$, por ello:

\begin{equation*}
f(a) = f(b) \hspace{0.5cm} \Longrightarrow \hspace{0.5cm} \dfrac{3a-1}{a+3} = \dfrac{3b-1}{b+3}.\\
\end{equation*}

Resolviendo:

\begin{align*}
(3a-1)(b+3) &= (3b-1)(a+3),\\
3ab + 9a – b -3 &= 3ab +9b -a -3,\\
10a &= 10b,\\
a &= b.
\end{align*}

Por tanto $f$ es inyectiva. Ahora veamos si $f$ es suprayectiva, sean $x, y \in E$ entonces:

\begin{align*}
f(x) = f(y) \hspace{0.5cm} &\Longrightarrow \hspace{0.5cm} y = \dfrac{3x-1}{x+3},\\
\end{align*}

Resolviendo

\begin{align*}
y(x+3) &= 3x-1,\\
yx +3y &= 3x-1,\\
yx-3x &= -3y-1,\\
x(y-3) &= -3y-1,
\end{align*}

y despejando a $x$

\begin{align*}
x &= \dfrac{-3y-1}{y-3},\\
x &= \dfrac{3y+1}{3-y},
\end{align*}

y como $3-y \neq 0$, entonces $y \neq 3$. En consecuencia $y \in \mathbb{R} – \{3 \}$. Pero al estar definida $f$ por $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, tenemos que $f$ no es suprayectiva.

\begin{align*}
\therefore f \text{ no es biyectiva}.
\end{align*}

Composición de funciones y funciones inversas.

Definición. Dadas las funciones $f: A \longrightarrow B$ y $g: B \longrightarrow C$ , donde la imagen de $f$ está contenida en el dominio de $g$, se define la función composición $(g \circ f): A \longrightarrow C$ como $(g \circ f)(x) = g(f(x)),$ para todos los elementos $x$ de $A$.

La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en $(g \circ f)(x)$ primero actúa la función $f$ y luego la $g$ sobre $f(x)$.

Ejemplo 4. Sean las funciones $f$ y $g$ tales que $f(x)=x+1$ y $g(x) = x^2 +2$, calcularemos las funciones composición $(g \circ f)(x)$ y $(f \circ g)(x)$. Tenemos para $(g \circ f)(x)$

\begin{align*}
(g \circ f)(x) = g[f(x)] &= g(x+1),\\
&= (x+1)^2 + 2,\\
&= x^2 +2x +1 +2,\\
&= x^2 + 2x +3.
\end{align*}

Y para $(f \circ g)(x)$

\begin{align*}
(f \circ g)(x) = f[g(x)] &= f(x^2+2),\\
&= (x^2 + 2) + 1,\\
&= x^2 + 3.\\
\end{align*}

Observemos que la composición no es conmutativa pues las funciones $(f \circ g)$ y $(g \circ f)$ no son iguales.

Definición. Llamaremos función inversa de $f$ a otra función $f^{-1}$ que cumple que si $f(x)=y$, entonces $f^{-1}(y)=x$.

Sólo es posible determinar la función inversa $f^{-1}: B \longrightarrow A$ si y sólo si $f: A \longrightarrow B$ es biyectiva.

Notemos que la función inversa $f^{-1}: B \longrightarrow A$ también es biyectiva y cumple:

\begin{align*}
f^{-1}(f(x)) &= x, \hspace{0.2cm} \forall x \in A,\\
f(f^{-1}(y)) &= y, \hspace{0.2cm} \forall y \in B.
\end{align*}

Dicho de otro modo,

\begin{align*}
f^{-1} \circ f &= id_{A},\\
f \circ f^{-1} &= id_{B},
\end{align*}

donde $id_{A}$ e $id_{B}$ son las funciones identidad de $A$ y $B$ respectivamente. Es decir, son las funciones $id_{A}: A \longrightarrow A$ definida por $id_{A}(x) = x$ e $id_{B}: B \longrightarrow B$ definida por $id_{B}(y) = y$.

Concepto formal de transformación

Ahora hemos llegado a la definición de nuestro interés.

Definición. Una transformación en un plano A es una función biyectiva $f: A \longrightarrow A$ del plano en sí mismo.

Llamaremos transformación en el plano, a toda función que hace corresponder a cada punto del plano, otro punto del mismo.

Tarea moral

Vamos a realizar unos par de ejercicios para repasar y practicar los conceptos que vimos en esta entrada.

Ejercicio 1. Consideren la siguiente función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ y determinen su dominio, si ella es inyectiva, suprayectiva y la inversa de $f$.

Ejercicio 2. Sean $f: X \longrightarrow Y$ y $g: Y \longrightarrow Z$ funciones, demuestren que

(1) Si $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g \circ f$ es inyectiva.

(2) Si $g \circ f$ es suprayectiva, entonces $g$ es suprayectiva.

Más adelante

En esta entrada vimos las nociones básicas de funciones que nos llevaron a definir formalmente el concepto de una transformación. Dicho concepto nos permitirá comenzar a trabajar en la siguiente entrada con unos primeros conjuntos cuyas propiedades hacen que tengan un nombre especial: los grupos de transformaciones.

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