Geometría Analítica I: Matrices y funciones lineales

Introducción

En la entrada anterior vimos funciones lineales, un concepto fundamental y que sin él no podríamos definir formalmente al conjunto de las matrices en $\mathbb{R}^n$. Requerimos ver cómo los conceptos de función lineal y el de matriz se entrelazan; para comprender porqué a menudo se trabaja más con matrices asociadas a una función lineal cuando hablamos de transformaciones.

Matrices

Previo a la definición de nuestro interés en esta sección debemos recordarles quiénes son lo vectores canónicos de $\mathbb{R}^n$, ya que vamos a trabajar con ellos en esta entrada. Los vectores canónicos son aquellos formados por sólo una entrada igual a 1 y el resto de entradas son todas cero. Se denotan por $e_i$, donde $i=\{1,2,\cdots,n\}$ y el subíndice $i$ nos indica la posición de la entrada con 1.

Ejemplo. Si nos encontramos en $\mathbb{R}^3$, sus vectores canónicos son:

\begin{align*}
e_{1}&=(1,0,0),& e_{2}&=(0,1,0),& e_{3}&=(0,0,1).
\end{align*}

A continuación tomaremos una función lineal $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, donde $f(e_{1})=(4,3)$ y $f(e_{2})=(-1,2)$. Entonces $f$ se escribe como:

\begin{align*}
f(x,y) &= x(4,3) + y(-1,2)\\
&= (4x – y, 3x+2).\\
\end{align*}

Vemos que hay una clara desventaja en la forma en que representamos a $f$, porque podemos confundirnos al ordenar y separar comas. Si ahora consideramos a los vectores como columnas en lugar de filas, el reordenamiento será de la siguiente manera:

\[ f \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = x \left(\begin{array}{c}
4\\
3
\end{array} \right) + y \left(\begin{array}{c}
-1\\
2
\end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}
4x-y\\
3x+2y
\end{array} \right)\]

con lo cual, incluso ya no ocupamos las comas y el orden es más fácil. En consecuencia debemos definir esta notación.

Definición 1. Una matriz de orden o dimensión de $m \times n$ es una tabla con elementos con $m$ filas y $n$ columnas. Usualmente las matrices se representan con letras mayúsculas como $A, B, \cdots, etc$.

Definición 2. Un elemento o entrada de la matriz se designa mediante $a_{ij}$, donde el primer subíndice $i$ indica la fila en que se encuentra el elemento, mientras que el segundo subíndice $j$ es la columna en que lo encontramos.

Entonces una matriz de $m\times n$ es de la forma:

\[ A = \left(\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{array} \right).\]

Ejemplo. Como ejemplos de matrices tenemos a

\[ B= \left(\begin{array}{ccc}
2&3&4\\
6&-5&3\\
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} C= \left(\begin{array}{ccc}
1&4&6\\
2&3&11\\
-7&4&8
\end{array} \right),\]

donde la matriz $B$ es de dimensión $2\times 3$, ya que tiene 2 filas y 3 columnas; mientras que $C$ es de dimensión $3\times 3$, con 3 filas y 3 columnas.

Deseamos que conozcan otra forma de definir a una matriz $A$ que nos será muy útil. A una matriz $A$ podemos verla como un conjunto ordenado de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$; esos vectores serán sus columnas, y entonces puede escribirse como:

\begin{equation*}
A = (u_1,u_2, \cdots, u_n),
\end{equation*}

donde

\[ u_i = \left(\begin{array}{c}
a_{1i}\\
a_{2i}\\
\vdots\\
a_{mi}
\end{array} \right) \in \mathbb{R}^m, \]

con $i=1,2,\cdots,n$.

Como escribiremos a los vectores en $\mathbb{R}^n$ como vectores columna y no como filas, entonces debemos tener otra notación que justifique dicho cambio.

Transpuesta de una matriz

Definición 3. La transpuesta de una matriz $A$ de dimensión $m \times n$ es una matriz $B$ de dimensión $n \times m$, que obtenemos después de intercambiar filas y columnas. De manera que los elementos cumplen

\begin{equation*}
b_{ij} = a_{ji},
\end{equation*}

donde $i=1,2,\cdots,m$ y $j=1,2,\cdots,n$. En general, se le denota a la transpuesta de $A$ por $A^T$.

Ejemplo. Vamos a escribir de nuevo las matrices del ejemplo anterior con sus respectivas transpuestas. Para la matriz $B$

\[ B= \left(\begin{array}{ccc}
2&3&4\\
6&-5&3\\
\end{array} \right),\]

su transpuesta $B^T$ es

\[ B^T = \left(\begin{array}{cc}
2&6\\
3&-5\\
4&3
\end{array} \right). \]

Y para la matriz $C$

\[ C= \left(\begin{array}{ccc}
1&4&6\\
2&3&11\\
-7&4&8
\end{array} \right),\]

su transpuesta $C^T$ es

\[C^T = \left(\begin{array}{ccc}
1&2&-7\\
4&3&4\\
6&11&8
\end{array} \right).\]

También nos falta definir otro concepto que nos será de utilidad con la notación que estamos construyendo.

Vectores columna

Definición 4. Un vector columna de orden $m$ es una ordenación de elementos en $m$ filas y que tiene una columna:

\[ a = \left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{m}
\end{array} \right) \in \mathbb{R}^m, \]

Un vector fila de orden $n$ es una ordenación de elementos e $n$ columnas y que tiene una fila:

\begin{equation*}
c = (c_1,c_2, \cdots, c_n).
\end{equation*}

A este tipo de vectores como vemos, se les designa por una letra minúscula y de hecho la transpuesta de un vector fila es un vector columna y viceversa.

Entonces los vectores fila son los transpuestos de los vectores columna denotándolos por $x^T = (x_1,x_2, \cdots, x_n)$ o bien $x = (x_1,x_2, \cdots, x_n)^T$. Entonces, la notación que hasta ahora hemos presentado, la podemos ver reflejada con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Si tenemos que para $\mathbb{R}^2$ existen los dos vectores canónicos $e_1 = (1,0)$ y $e_2 = (0,1)$ y queremos representar los vectores como vectores columna, procedemos a escribir la notación de transpuesta previamente; es decir $e_1 = (1,0)^T$ y $e_2 = (0,1)^T$. Con ello podemos trabajar ahora los vectores como columnas:

\[ e_1= \left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} e_2 = \left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array} \right).\]

Ahora tenemos las herramientas con las que podemos enlazar los conceptos de matriz con el de una función lineal; así que veamos a ver una definición muy importante para ello.

Matriz de una función lineal

Para continuar debemos observar que una matriz de tamaño $m\times n$ contiene la información de una función lineal de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$, invirtiendo el orden debido a la convención que existe debido al orden en que se realiza la composición de funciones.

Definición 5. A la matriz $A$ se le asocia la función lineal $f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$ que manda al vector canónico $e_i \in \mathbb{R}^n$ en su i-ésima columna, es decir, $f(e_i) = u_i$, para $i=,2,\cdots,n$.

Ejemplo. Si recordamos a la función del inicio de esta entrada de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ donde

\[ f(x) = \left(\begin{array}{c}
4x-y\\
3x+2y
\end{array} \right),\]

bueno pues a la función lineal de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ se le asocia la matriz

\[ f(x) = \left(\begin{array}{cc}
4&-1\\
3&2
\end{array} \right).\]

Observemos bien cómo la variable $x$ está asociada a la primer columna y la variable $y$ a la segunda columna.

Tarea moral

  1. Para el primer ejercicio vamos a dar una definición:

Definición. La suma de dos matrices $A$, $B$, ambas de dimensión $m \times n$, se llama matriz suma de $A$ y $B$ y se denota $C=A+B$ a la matriz $C$ de dimensión $m \times n$ tal que

\begin{equation*}
a_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \hspace{0.3cm} i=1,2,\cdots,m; \hspace{0.2cm} j=1,2,\cdots,n.
\end{equation*}

Calcular la suma de $A+B$, $B+C$ y $A+C$ con las matrices:

\[ A = \left(\begin{array}{cc}
3&8\\
4&-2
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} B= \left(\begin{array}{cc}
1&-1\\
3&-2
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} C= \left(\begin{array}{cc}
2&-5\\
6&4
\end{array} \right).\]

2. De las siguientes matrices , calcular sus transpuestas:

\[ D = \left(\begin{array}{cc}
1&3\\
5&7\\
9&11\\
-1&4
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} B= \left(\begin{array}{c}
-1\\
5\\
3\\
2
\end{array} \right), \hspace{1.5cm} C= \left(\begin{array}{ccc}
1&3&-5\\
4&7&-9
\end{array} \right). \]

3. De la siguiente función $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ dada por:

\[ g(x) = \left(\begin{array}{c}
6x-8y\\
-2x+81y
\end{array} \right),\]

¿Cuál es la matriz asociada a la función lineal?.

Más adelante

Ahora que definimos a un vector y a una matriz de una función lineal, podemos proceder a definir su producto. En la siguiente entrada primero veremos cómo se realiza el producto de una matriz con un vector y después definir el producto de matrices cualesquiera. Además se darán cuenta de la fuerte relación que hay entre la composición de funciones y el producto de funciones.

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