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Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 1)

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

El desarrollo del cálculo está basado en gran medida en el sistema de números reales. Los reales son aquellos que pueden ser expresados haciendo uso de decimales, como:

\begin{align*}
\frac{3}{4}&=0.75\\
\frac{1}{3}&=0.3333 \dots\\
\end{align*}

donde los puntos $\dots$ indican que la sucesión de decimales continúa expandiéndose para siempre. De este modo cada expansión decimal que nos podamos imaginar representa un número real.

Geométricamente los números reales pueden ser representados como puntos sobre una línea recta, la denominada recta real.

Sus propiedades se encuentran divididas en tres categorías: algebraicas, de orden y de completitud. En esta entrada comenzaremos revisando las propiedades algebraicas básicas relacionadas con las operaciones suma y multiplicación. Daremos un vistazo a los resultados derivados de ellas.

Propiedades básicas de los números reales

A continuación enlistaremos una serie de propiedades que cumplen respectivamente la suma y la multiplicación en el conjunto de números reales $\mathbb{R}$. 

Definición (Propiedades básicas): Consideremos $\mathbb{R}$ y las operaciones suma $(+)$ y multiplicación $(\cdot)$, se cumple que:

S1.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a+b \in \mathbb{R}$  (Cerradura de la suma).

S2.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a+b = b+a$    (Conmutatividad de la suma).

S3.- Para cualesquiera $a,b,c\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a + (b+c) = (a+b)+c$    (Asociatividad de la suma).

S4.- Existe $0\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a\in \mathbb{R}$ :
$a + 0 =0+a=a$    (Neutro aditivo).

S5.- Para cualquier $a\in \mathbb{R}$ existe $-a\in \mathbb{R}$ tal que:
$a + (-a) = (-a)+ a = 0$    (Inverso aditivo).

M1.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot b \in \mathbb{R}$    (Cerradura de la multiplicación).

M2.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot b = b\cdot a$    (Conmutatividad de la multiplicación).

M3.- Para cualesquiera $a,b,c \in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a \cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$    (Asociatividad de la multiplicación).

M4.- Existe $1\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a\in \mathbb{R}$:
$a \cdot 1 = 1\cdot a=a$    (Neutro multiplicativo).

M5.- Para cualquier $a \in \mathbb{R}$ con $a\neq 0$, existe $a^{-1} \in \r$ tal que:
$a \cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$    (Inverso multiplicativo).

A.- $1\neq 0$    (El neutro aditivo es distinto del neutro multiplicativo).

D.- Para cualesquiera $a,b,c \in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot (b+c) = a \cdot b + a\cdot c$    (Ley distributiva).

Esta lista de propiedades serán nuestras «reglas del juego» con las cuales iremos probando los siguientes resultados. Aconsejamos tenerla disponible ya que haremos referencia a ella en todas las demostraciones siguientes.

Primeras observaciones

Proposición: Los neutros e inversos son únicos en $\mathbb{R}$. Es decir:

  1. $0$ es único.
  2. $1$ es único.
  3. Para todo $a \in\mathbb{R}$, $-a$ es único.
  4. Para todo $a \in\mathbb{R}$ y $a \neq 0$, $a^{-1}$ es único.

En esta ocasión demostraremos sólo los puntos 1 y 3. Se espera que el lector complete el resto de los puntos en la Tarea moral.


Demostración punto 1: Sea $a \in \mathbb{R}$. Supongamos que el $0$ no es único, entonces existe un $0^{*} \in \mathbb{R}$ tal que cumple la propiedad S4, en particular que: $a + 0^{*} = a = 0^{*}+a$
Y como $ a + 0 = a$ $$\Rightarrow a + 0 = a + 0^{*}$$


Nota: Cabe mencionar que $-a$ es el inverso aditivo respecto a $0$, por lo que en un principio $-a$ no tiene que ser inverso aditivo respecto de $0^{*}.

Así tenemos que:
\begin{align}
&\Rightarrow (-a) + (a + 0) = (-a) + (a + 0^{*})\\
&\Rightarrow ((-a )+ a) + 0 = ((-a )+ a) + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 + 0 = 0 + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 = 0 + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 = 0^{*}\\
\end{align}

En $(1)$ sumamos $-a$ en ambos lados de la igualdad. Para $(2)$ aplicamos S3. Por la propiedad S5 en ambos lados de la igualdad se sigue $(3)$. Aplicando S4 para $0 +0$ en $(4)$.  Volvemos a aplicar S4 para $0 +0^{*}$ en $(5)$.
$\therefore \quad 0$ es único.

Demostración punto 3: Sea $a \in \mathbb{R}$. Supongamos que el $-a$ no es único, entonces existe un $-a^{*} \in \mathbb{R}$ tal que cumple lo siguiente: $a + (-a^{*}) = 0$
Y como $ a + (-a) = 0$ $$\Rightarrow a + (-a) = a + (-a^{*})$$
Así tenemos que:
\begin{align}
& \Rightarrow (-a) + (a + (-a)) = (-a) + a + (-a^{*})\\
& \Rightarrow ((-a )+ a) + (-a) = ((-a )+ a) + (-a^{*})\\
& \Rightarrow 0 + (-a) = 0 +(-a^{*})\\
&\Rightarrow -a = – a ^{*}\\
\end{align}

En $(6)$ sumamos $-a$ en ambos lados de la igualdad. Para $(7)$ aplicamos S3. Por la propiedad S5 en ambos lados de la igualdad se sigue $(8)$. Aplicando S4 en ambos lados en $(9)$.  
$\therefore \quad -a$ es único.

$\square$

Algunos resultados

Proposición: Para $a,b \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:

  1. $a \cdot 0 = 0$ .
  2. $-a = (-1)(a)$ .
  3. $-(-a) = a$ .
  4. $(-a)(b)= – (ab)$ .
  5. $(-a)(-b)= ab$ .
    Nota: Escribiremos $ab$ para referirnos al producto $a \cdot b$.

Demostración:
1. $P.d.$ $a \cdot 0 = 0$ .

Comencemos con el lado izquierdo de la igualdad:
\begin{align*}
a \cdot 0 = a \cdot (0+0) &\Rightarrow a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0\tag{por S4 y D}\\
&\Rightarrow a \cdot 0 + (-a\cdot 0) = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0)\tag{por sumar $-a\cdot 0$}\\
&\Rightarrow 0 = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0)\tag{por S5}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-a \cdot 0))\tag{por S3}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0 + 0\tag{por S5}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0\tag{por S4} \\
\end{align*}
$$\therefore a \cdot 0 = 0$$

2. $P.d.$ $-a = (-1)(a)$
Observemos que si probamos que $a + ((-1)(a)) =0$ implicaría que $(-1)(a)$ es el inverso aditivo de $a$ que por lo visto anteriormente sabemos es único.

Así a partir del lado izquierdo de la igualdad tenemos:

\begin{align*}
a + ((-1)(a)) &= a\cdot 1 + ((-1)(a))\tag{por M4}\\
&= a\cdot 1 + (a)(-1)\tag{por M2}\\
&= a (1+(-1))\tag{por D}\\
&= a\cdot 0\tag{por S5}\\
&= 0\tag{por 1.}
\end{align*}

Por lo que ya tenemos $a + ((-1)(a))=0$ . Y como ya probamos que el inverso aditivo es único concluimos $$-a = (-1)(a)$$.

3. $P.d.$ $-(-a) = a$
Vemos que si probáramos que $-(-a)$ es el inverso aditivo de $-a$ terminaríamos.
\begin{align*}
(-a)+(-(-a)) &= (-a)\cdot 1 + (-1)(-a)\tag{por M4 y 2.}\\
&= (-a)\cdot 1 + (-a)(-1)\tag{por M2}\\
&= (-a)(1+(-1)\tag{por D}\\
&=(-a)(0)\tag{por S5}\\
&=0\tag{por 2.}\\
\end{align*}
Así obtenemos que: $$(-a)+(-(-a)) =0 \Rightarrow ((-a)+(-(-a)))+a= 0+a$$.

Por lo anterior se sigue que:
\begin{align*}
&\Rightarrow ((-a)+(-(-a)))+a= a\tag{por S4}\\
&\Rightarrow ((-(-a))+(-a))+a =a\tag{por S2}\\
&\Rightarrow (-(-a))+((-a)+a)=a\tag{por S3}\\
&\Rightarrow (-(-a))+ 0=a\tag{por S5}\\
&\Rightarrow -(-a)=a\tag{por S4}
\end{align*}
$$\therefore -(-a)=a$$

4. Tarea moral
5. Tarea moral

$\square$

Recuerda que el resto de los incisos se dejarán como ejercicios en la Tarea moral. Para realizarlos puedes hacer uso de todos los resultados probados en esta entrada, a menos que se indique lo contrario.

Tarea moral

Demuestra las siguientes propiedades:

  • $1$ es único en $\RR$.
  • Para todo $a \in\mathbb{R}$ y $a \neq 0$, $a^{-1}$ es único.
  • Sin usar el resultado $-(-a) = a$, demuestra que $-(-1) = 1$.

Para $a,b \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:

  • $(-a)(b)= – (ab)$
  • $(-a)(-b)= ab$

Más adelante

En la siguiente entrada continuaremos viendo resultados derivados de las propiedades de la suma y la multiplicación de los números reales por lo que nuestra primera lista será de suma utilidad.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Repaso. Inducción matemática

Por Karen González Cárdenas

3 respuestas

Introducción

En el curso de Álgebra Superior I se presenta al conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$). Posteriormente, en el curso de Álgebra Superior II se habla mucho más de ellos: se construyen a partir de teoría de conjuntos y se muestran desde los fundamentos muchas de sus propiedades.

Nosotros no nos enfocaremos en los aspectos anteriores, pero sí aprovecharemos que dicho conjunto posee una propiedad muy importante: el principio de inducción matemática. Como mencionamos en la entrada pasada, este método de demostración es aplicado frecuentemente en las pruebas en las que se desea probar que alguna propiedad se satisface para todos los números naturales.

En Cálculo Diferencial e Integral I haremos uso de la Inducción matemática constantemente, por lo que en esta entrada haremos una revisión a lo necesario para nuestro curso.

Efecto dominó

Imagina que te han regalado una cantidad infinita de fichas de dominó y que has decidido acomodarlas en una fila, una tras otra. Tu propósito al terminar de acomodarlas es dejar caer todas las fichas, por ello consideras empujar la primera ficha para que, al caer ésta, choque con la segunda provocando su caída, y así sucesivamente.

El riesgo del Efecto Dominó: Micro triangulaciones y sus ventajas en Trabajos de Investigación

Una vez que has decidido poner en marcha tu plan y empujas la ficha 1, te comienzas a preguntar: ¿Cómo puedo asegurar que la ficha 1,000 caerá si sólo he visto caer las primeras 50 fichas? ¿Y que hay de la ficha 1,000,000?

El Principio de Inducción es el que daría respuesta a tu pregunta. El razonamiento de este principio sustenta que si sabes que el procedimiento se ha cumplido para las primeras 50 fichas, en consecuencia cada ficha irá cayendo al final para cualquier ficha que consideres.

Ahora que tenemos una noción de su comportamiento, veremos la definición formal.

Principio de Inducción matemática

Cada autor decide si el conjunto de los números naturales considerará o no al cero como uno de sus elementos. En nuestro caso, tomaremos al cero como un número natural de aquí en adelante.

Definición: Sea $P$ una propiedad y $n\in \mathbb{N}$. Decimos que la propiedad $P$ es válida para todos los naturales si tenemos que:

  1. La propiedad $P$ se cumple para $0$.
  2. Si la propiedad $P$ se cumple para $n \Rightarrow$ la propiedad también se cumple para $n + 1$.

El punto número 1 es conocido como Base de Inducción. El antecedente del punto número 2 es llamado Hipótesis de Inducción y su consecuente Paso Inductivo. En algunos problemas basta con demostrar la afirmación únicamente cuando $n\geq 1$. En estos casos, la base de inducción debe de cumplirse para el natural $1$.

A continuación veremos un par de ejemplos para ver cómo funciona dicho principio.

Ejemplo: Demuestra utilizando Inducción matemática la siguiente fórmula.

$$1+2+ \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$$

Observación: $\therefore$ se lee «por lo tanto» y $\forall$ significa «para todo».


Demostración: Haremos inducción sobre $n$.
Base de Inducción.- Verificamos que la fórmula se cumple cuando $n=1$

\begin{align*}
\frac{1(1+1)}{2}&= \frac{1(2)}{2}\\
&=\frac{2}{2}\\
&= 1
\end{align*}
Lo cual es cierto.

Hipótesis de Inducción.- Suponemos que la fórmula se cumple para cualquier $k\in \mathbb{N}$ así:
$$1+2+ \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}$$

Paso Inductivo.- Queremos probar que la fórmula se cumple para $k+1$, por lo que bastará probar la siguiente igualdad:
$$1+2+ \ldots + k+ (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$$ es decir, $$1+2+ \ldots + k+ (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Desarrollaremos el lado izquierdo de la igualdad sustituyendo lo que tenemos en la Hipótesis de Inducción, así queda lo siguiente:
\begin{align*}
1+2+ \ldots + k+ (k+1) &= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\\
&= \frac{k(k+1)}{2}+ \frac{2(k+1)}{2}\\
&=\frac{k(k+1)+ 2(k+1)}{2}\\
&=\frac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{align*}


$$\therefore 1+2+ \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$$

$\square$

Ejemplo: Demuestra que

$2^{n} < n! \quad$ si $\quad n \geq 4$

Recordemos que $n!$ es llamado $n$ factorial y que está definido como: $n! = 1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1)(n)$.


Demostración: Aplicando inducción sobre $n$, vemos que dada la condición de $n \geq 4$, bastaría probar que:
$$2^{n+3} < (n+3)!, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

La razón de considerar $n+3$ es porque queremos todos aquellos naturales mayores o iguales que 4, al sustituir valores para $n$:

\begin{align*}
n=1 &\Rightarrow 1+3\\
&\Rightarrow 4\\
\\
n=2 &\Rightarrow 2+3\\
&\Rightarrow 5\\
\\
n=3 &\Rightarrow 3+3\\
&\Rightarrow 6\\
&\vdots
\end{align*}
Notamos que los números que obtenemos lo cumplen, aún si continuáramos con dicha sustitución, por esa razón podemos proceder sin problemas.

Y ya que $n$ factorial está definido como: $n! = 1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1)(n)$ tenemos que $4!= 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 =24$.

Base de Inducción.- Verificamos que la desigualdad se cumple para $n=1$. Así sustituyendo vemos:
$$2^{1+3} = 2^{4}=16$$ y que $$(1+3)! = 4! =24$$
Por lo que se cumple la desigualdad: $$2^{1+3} < (1+3)!$$

Hipótesis de Inducción.- Suponemos que la desigualdad se cumple para cualquier $k \in \mathbb{N}$.
$$2^{k+3} < (k+3)!$$

Paso Inductivo.- Queremos probar que la desigualdad se cumple para $k+1$, esto sería:
$$2^{(k+1)+3} < ((k+1)+3)!$$ que es lo mismo que, $$2^{k+4} < (k+4)!$$

Vemos que al reescribir la desigualdad anterior tenemos:
$$2\cdot 2^{k+3} < (k+3)! (k+4)$$
Por hipótesis de inducción sabemos se cumple $2^{k+3} < (k+3)!$, por lo que si se cumple la desigualdad $2< k+4$ terminamos.

$P.d:$ $$2< k+4,\quad \forall k\in \mathbb{N}$$
Demostración: Utilizaremos inducción sobre $k$.
Base Inducción.- Vemos para $k=1$ que $$2< 1+4 = 5$$ se cumple.

Hipótesis de Inducción.- Suponemos que es cierta la desigualdad $2< k+4$ para cualquier $k$.

Paso Inductivo.- Queremos probar que para $k+1$ se cumple la desigualdad $2< (k+1)+4$.
Observemos que $(k+1)+4= (k+4)+1$ que es el sucesor de $k+4$ por lo que cumple $k+4 < (k + 4)+1$.
Así haciendo uso de lo anterior y de la Hipótesis de Inducción se tiene lo siguiente:
$$2< k+4 < (k+4)+1 \quad \Rightarrow \quad2 < (k+4)+1$$
$$\therefore \quad 2 < (k+1)+4$$
$$\therefore \quad 2 < k+4 , \quad \forall k\in \mathbb{N}$$

$\square$

Por lo que ya podemos afirmar que $$2\cdot 2^{k+3} < (k+3)! (k+4)$$.
Así concluimos: $$2^{n+3} < (n+3)!, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$.

$\square$


Observación: $P.d.$ es una abreviación de «Por demostrar».

Principio de Inducción Fuerte

Existe otra forma de inducción, que debemos recordar por su utilidad, conocida como: Inducción Fuerte, que es consecuencia del Principio de Inducción que vimos antes.

Definición (Principio de Inducción fuerte): Consideremos $P$ una propiedad y $n , l \in \mathbb{N}$. Decimos que la propiedad $P$ es válida para todos los naturales si tenemos que:

  1. $P$ se cumple para $0$.
  2. Si $P$ se cumple para cualquier $l \leq n \Rightarrow P$ se cumple para $n+1$.

Ejemplo: Todos los números positivos $n >1$ son producto de primos.

Demostración: Utilizaremos Inducción fuerte sobre $n$.
Base de Inducción.- Como tenemos la condición $n>1$ consideraremos $n=2$.
Observamos que $2 = 2$ es un producto de primos ( 2 cumple la definición de ser primo).

Hipótesis de Inducción.- Supongamos que todos los números desde 2 hasta $k$ cumplen ser producto de números primos.

Paso Inductivo.- Queremos probar que $k+1$ es producto de números primos.
Recordemos que todo número es primo o compuesto, por lo que tenemos que considerar los siguientes casos.

Caso 1: $k+1$ es primo.
Como $k+1 = k+1$ se sigue que es producto de números primos y se cumple lo que queremos.

Caso 2: $k+1$ es compuesto.
Esto quiere decir que podemos expresar a $k+1$ como un producto de la siguiente manera:
$$k+1= a\cdot b$$ donde $k+1 > a \quad$ y $\quad b > 1$.
Observemos que las últimas desigualdades implican que $k \geq a,b \geq 2$, así por Hipótesis de Inducción $a$ y $b$ cumplen ser producto de números primos.
$\therefore \quad k+1$ es producto de primos.
$\therefore \quad$ Todos los números positivos $n >1$ son producto de primos.

$\square$

Más adelante

Ahora que hemos terminado con el repaso de Inducción matemática. En la siguiente entrada comenzaremos a ver un conjunto de números de suma importancia para el Cálculo: los reales.

Tarea moral

A continuación, encontrarás ejercicios en los que pondrás en práctica el Principio de Inducción matemática:

  1. Probar que: $n^{3} – n$ es un múltiplo de 6, $\forall n\in \mathbb{N}$.
  2. Utiliza inducción para probar la siguiente igualdad:
    $$1^{2}+2^{2}+\ldots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$$
  3. Demuestra que:
    $$1+3+5+7+\ldots +2n-1 = n^{2}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$$
  4. Demuestra por inducción sobre $n$, con $r \neq 1$:
    $$1+r+r^{2}+ \ldots +r^{n} = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$
  5. Utiliza inducción para probar la siguiente igualdad:
    $$2+5+8+ \ldots+ (3n-1)= \frac{n(3n+1)}{2}$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Repaso. Teoría de Conjuntos. (Parte 2)

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En la entrada anterior vimos qué significa ser un conjunto y cuál es la notación que se utiliza para denotarlos. Además de un par de conceptos: pertenencia a un conjunto y subconjunto.

Retomaremos todo lo antes mencionado para ahora presentar las llamadas Operaciones con conjuntos. Éstas estarán presentes no sólo en este curso, sino también en varios de los textos de matemáticas que consultarás a lo largo de tu vida académica.

Operaciones con conjuntos

A lo largo de esta entrada haremos uso de una representación gráfica de los conjuntos llamada Diagramas de Venn para poder visualizar cada una de las operaciones que definiremos a continuación.

Ejemplo de diagrama de Venn

Definición (Unión): Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Decimos que la unión de $A$ con $B$ está definida como:

\[ A \cup B:=\left\{ x\mid x\in A \vee x\in B\right\} \text{.}\]

Esto quiere decir que está conformada por los elementos que se encuentran en $A$ o los que se encuentran en $B$. En el siguiente diagrama queda representada por la zona sombreada de azul.

Notación: Utilizamos el símbolo matemático $\vee$ para sustituir a la disyunción «o».

Observación. En este caso al hacer uso de la «o» estamos considerando que esta es inclusiva, lo que quiere decir que es válido que $x$ se encuentre tanto en $A$ como en $B$.

A continuación mostraremos un ejemplo para hacer más clara la definición.

Ejemplo: Supongamos que tenemos los siguientes conjuntos:

\[ A=\left\{0,1, 2, 3, 4\right\} \text{,}\]
\[ B=\left\{0, a,b,c,d,e\right\} \text{.}\]

Si nosotros queremos obtener $A \cup B$, al aplicar la definición anterior tenemos:

\[ A \cup B=\left\{0,1, 2, 3, 4,0,a,b,c,d,e \right\} \text{.} \]

Observamos que al realizar la unión de este par de conjuntos «unimos sus elementos en un sólo conjunto llamado $A \cup B$». Veamos que el 0 es un elemento tanto de $A$ como de $B$, por lo que sólo será necesario escribirlo una vez y así nos queda:

\[ A \cup B=\left\{0,1, 2, 3, 4,a,b,c,d,e \right\} \text{.}\]

Definición (Intersección): Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Decimos que la intersección de $A$ con $B$ está definida como:

\[ A \cap B:=\left\{ x\mid x\in A \wedge x\in B\right\} \text{.}\]

Esto quiere decir que está conformada por los elementos que se encuentran en $A$ y los que se encuentran en $B$. En otras palabras, la intersección está conformada por los elementos en común de $A$ y $B$.

Notación: Utilizamos el símbolo matemático $\wedge$ para sustituir a la conjunción «y».

En el diagrama anterior queda representada por la zona sombreada de verde.

Ejemplo: Retomamos los siguientes conjuntos:

\[ A=\left\{0,1, 2, 3, 4\right\} \text{,}\]
\[ B=\left\{0, a,b,c,d,e\right\} \text{.}\]

Si nosotros queremos obtener $A \cap B$, al aplicar la definición anterior tenemos:

\[ A \cap B=\left\{0 \right\}\text{.} \]

Definición (Diferencia): Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Decimos que la diferencia de $A$ con $B$ está definida como:

\[ A \setminus B:=\left\{ x\mid x\in A \wedge x\notin B\right\}\text{.} \]

Esto quiere decir que está conformada por los elementos que se encuentran en $A$ y que no se encuentran en $B$.

Ejemplo: Retomamos los conjuntos:

\[ A=\left\{0,1, 2, 3, 4\right\} \text{,}\]
\[ B=\left\{0, a,b,c,d,e\right\} \text{.}\]

Si nosotros queremos obtener $A \setminus B$, al aplicar la definición anterior tenemos:

\[ A \setminus B=\left\{1,2,3,4 \right\} \text{.}\]

Vemos que le hemos quitado los elementos a $A$ que tenía en común con $B$. Por lo que el diagrama nos quedaría como:

Teorema: Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Tenemos que:

  1. Propiedades conmutativas:
    • \[A \cup B = B \cup A\quad \text{.}\]
    • \[A \cap B = B \cap A\quad\text{.}\]
  2. Propiedades asociativas:
    • \[A \cup (B\cup C) = (A \cup B)\cup C \quad \text{.}\]
    • \[A \cap (B\cap C) = (A \cap B)\cap C \quad\text{.}\]
  3. Propiedades distributivas:
    • \[A \cap (B\cup C) = (A \cap B)\cup (A\cap C)\quad\text{.}\]
    • \[A \cup (B\cap C) = (A \cup B)\cap (A\cup C) \quad\text{.}\]
  4. \[ A\cup A= A \quad\text{.}\] \[A\cap A= A \quad\text{.}\]
  5. \[ A\subseteq A\cup B \quad\text{.} \] \[ A\cap B \subseteq A \quad\text{.}\]
  6. \[ A\cup \emptyset = A \quad\text{.}\] \[A\cap \emptyset= \emptyset\quad\text{.}\]
    • Nota.-$\emptyset$ denota al conjunto vacío: es aquel que no posee elementos.
  7. \[A \setminus (B\cap C) = (A \setminus B)\cup (A\setminus C) \quad\text{.} \]

Demostración:

1.Probaremos la igualdad $A \cup B = B \cup A$, haciendo uso de la definición de igualdad de conjuntos, así tenemos:

$A \cup B = B \cup A$ si y sólo si $A\cup B\subseteq B \cup A$ y $B\cup A\subseteq A\cup B$

Comencemos con $A\cup B\subseteq B \cup A$. Sea $x\in A\cup B$, por la definición de subconjunto queremos probar que $x\in B\cup A$.

Por definición de unión se sigue que $x \in B$ o $x\in A$.

Caso 1: Que $x \in B$.

Como $x \in B$ entonces $x \in B$ o $x \in A$. Así, por la definición de unión concluimos que: $x\in B\cup A$.

Caso 2: Que $x \in A$.

Ahora como $x \in A$ entonces $x \in A$ o $x \in B$. Y como el conectivo «o» es conmutativo tenemos: $x \in A$ entonces $x \in B$ o $x \in A$. Así, por la definición de unión concluimos que: $x\in B\cup A$.

Del Caso 1 y Caso 2 concluimos que: $x\in B\cup A$. Por lo tanto, $A\cup B\subseteq B \cup A$.

Ahora probemos la segunda contención: $B\cup A\subseteq A\cup B$. Sea $x\in B\cup A$, así lo que queremos probar es $x\in A\cup B$.

Por definición de unión se sigue que $x \in B$ o $x\in A$.

Caso 3: Que $x \in B$.

Como $x \in B$ entonces $x \in B$ o $x \in A$, y como el conectivo «o» es conmutativo tenemos $x \in B$ entonces $x \in A$ o $x \in B$. Así, por la definición de unión concluimos que $x\in A\cup B$.

Caso 4: Que $x \in A$.

Ahora como $x \in A$ entonces $x \in A$ o $x \in B$. Así, por la definición de unión concluimos que $x\in A\cup B$.

Del Caso 3 y Caso 4 concluimos que: $x\in B\cup A$. Por lo tanto, $B\cup A\subseteq A\cup B$.

Por lo que finalmente probamos: $A\cup B = B \cup A$. La igualdad $A \cap B = B \cap A$ se dejará como ejercicio al lector.

2. Ejercicio de Tarea moral.

3. Probaremos sólo la igualdad $A \cup (B\cap C) = (A \cup B)\cap (A\cup C)$.

Comenzaremos con probar la siguiente contención: $A \cup (B\cap C)\subseteq (A \cup B)\cap (A\cup C)$. Así tomemos $x\in A \cup (B\cap C)$, queremos demostrar que $x\in (A \cup B)\cap (A\cup C)$.

Caso 1: Que $x\in A$
Así tenemos que se cumple:
\begin{align}
x \in A\vee x\in B &\Rightarrow x\in A\cup B
\end{align}
Y también sucede que:
\begin{align}
x \in A\vee x\in C &\Rightarrow x\in A\cup C
\end{align}
En (1) y (2) aplicamos la propiedad de adición para la disyunción y la definición de la unión. Por lo que concluimos, al aplicar la definición de la intersección en (3):
\begin{align}
x\in A\cup B \wedge x\in A\cup C \Rightarrow x\in (A\cup B) \cap (A\cup C)
\end{align}

Caso 2: Que $x \in B\cap C$
Así por definición de intersección, tenemos que:
\begin{align}
x\in B \wedge x\in C &\Rightarrow (x\in B \wedge x\in C) \vee x\in A\\
&\Rightarrow (x\in B \vee x\in A) \wedge (x\in C \vee x \in A)\\
&\Rightarrow x\in B\cup A \wedge x\in C\cup A\\
&\Rightarrow x\in A\cup B \wedge x\in A\cup C\\
&\Rightarrow x\in (A\cup B) \cap (A\cup C)\\
\end{align}
Aplicamos en (4) la propiedad aditiva de la disyunción; para (5) usamos las Leyes distributivas de los conectivos disyunción y conjunción; para (6) y (7) aplicamos la unión y su propiedad conmutativa. Finalizamos aplicando en (8) la definición de intersección.


Por (3) y (8) de los Casos 1 y 2, podemos concluir que: $A \cup (B\cap C)\subseteq (A \cup B)\cap (A\cup C)$.

Ahora probaremos la contención: $(A \cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A \cup (B\cap C)$.
Tomamos $ x\in (A \cup B)\cap (A\cup C)$. Así por definición de intersección, tenemos que:
\begin{align}
x\in (A \cup B) \wedge x \in (A\cup C) &\Rightarrow (x\in A \vee x\in B) \wedge (x \in A\vee x\in C)\\
&\Rightarrow x\in A \vee (x \in B \wedge x\in C)\\
&\Rightarrow x\in A \vee x \in B\cap C\\
&\Rightarrow x\in A \cup (B \cap C)
\end{align}
Vemos que (9) se sigue de la definición de unión. En (10) utilizamos las leyes distributivas de la disyunción con la conjunción; para (11) aplicamos la definición de intersección para $B$ y $C$.
Y por último en (12) aplicamos la definición de unión para $A$ y $B\cup C$.

Así concluimos que: $A \cup (B\cap C) = (A \cup B)\cap (A\cup C) \text{.}$

4. Tarea moral
5. Tarea moral
6. Tarea moral
7. Tarea moral


$\square$

Notación: El símbolo «$\Rightarrow$» se lee como «entonces».

Más adelante

Ahora que hemos terminado con el repaso de los conceptos básicos de Teoría de Conjuntos, en la siguiente entrada veremos el método de demostración llamado: Inducción matemática, el cuál será utilizado frecuentemente en los diferentes cursos a lo largo de tu preparación profesional.

Tarea moral

  • Realiza la demostración de la siguiente Ley distributiva: $A \cap (B\cup C) = (A \cap B)\cup (A\cap C)$.
  • Prueba que $A \setminus (B\cap C) = (A \setminus B)\cup (A\setminus C)$.
  • Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, argumenta tu respuesta:
    • Si $x\in A$ y $A\subseteq B$, sucede que $x\in B$.
    • Si $x\in A$ y $A\in B$, sucede que $x\in B$.
    • Si tenemos $A$ y $B$ conjuntos, sucede siempre que $A\setminus B = B \setminus A$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Introducción. Repaso: Teoría de Conjuntos (Parte 1)

Por Karen González Cárdenas

2 respuestas

Introducción

Probablemente en el bachillerato ya habrás tomado algún curso de matemáticas en el que te presentaron varios de los conceptos íntimamente relacionados con el cálculo. Por lo que has oído hablar de números reales, funciones, derivadas – por citar algunos-, pero en algún momento te has preguntado: ¿De dónde salió todo eso?, ¿Por qué podemos asegurar lo que nos enseñan nuestros profesores o leemos en los libros de texto?

En esta entrada veremos un poco sobre la motivación histórica del cálculo y a lo largo de todo el curso haciendo uso de la herramienta de la demostración buscaremos dar respuesta a la segunda pregunta planteada.

Así, ¡comenzamos!

Veloz cómo una tortuga

Imagina que un grupo de amigos te retan a una carrera contra una tortuga. Te dicen que, si lograras pasar por delante de ella y llegar primero a la meta, ganas un auto del año.

Sabiendo que la tortuga es extremadamente lenta en su caminar, decides darle ventaja para hacer la apuesta más interesante. Cuando ella se inicia su recorrido en el punto marcado en la imagen, finalmente comienzas a avanzar, en ese momento todos se percatan que no logras alcanzarla. ¿Cómo es esto posible?

Si nos detenemos un momento para observar lo que está pasando notamos lo siguiente:

  1. Para cuando llegas al punto donde la tortuga inició el recorrido, ella ya ha avanzado una pequeña distancia.
  2. Para cuando tú llegas al nuevo punto en el que se encuentra la tortuga, ella ya se ha movido un poco más hacia adelante.
  3. Este proceso continúa infinitamente, con la tortuga siempre moviéndose un poco más adelante.

Debido a que hay un número infinito de estos pasos, nunca rebasarás realmente a la tortuga. Por lo que haberle dado ventaja al final no parece haber sido una buena elección.

Esta idea fue expuesta por el filósofo griego Zenón de Elea en una de sus paradojas, conocida como Aquiles y la tortuga. Su planteamiento desconcertó a los intelectuales de la época. Observamos que este problema tiene como punto de preocupación, no sólo para los filósofos, sino también para los matemáticos: el problema del movimiento. Por lo tanto, podemos considerar como uno de los propósitos del Cálculo el establecer un modelo del movimiento. Veremos más adelante que el conocimiento de los números y las funciones reales se vuelve elemental para dicha tarea.

Una historia de amor

Un par de enamorados desean verse. Uno de ellos se encuentra en el punto $A$ de la ciudad y el otro en el punto $B$. Cuando el enamorado del punto A se dispone a ponerse en marcha para llegar al punto $B$, un hombre en la calle le pregunta: ¿estás seguro de que puedes desplazarte al punto $B$?

Perplejo el enamorado que se encuentra en el punto $A$ responde: “No entiendo su pregunta, ¿por qué no podría?”

El hombre sonriendo le plantea lo siguiente: “Mira, para que puedas llegar a $B$ primero deberás pasar por el punto $C$ que se encuentra a la mitad de la distancia entre $A$ y $B$. Pero… también para llegar a $C$ debes pasar por el punto $D$ que se encuentra a la mitad de la distancia entre $A$ y $C$, ¿no?

Y si te lo piensas bien así será sucesivamente, pasarás una vez por cada punto que se encuentre a la mitad de la distancia de cualesquiera dos. Ahora dime ¿en algún momento podrás moverte de tu posición $A$? ”

Desconcertado, el enamorado $A$ se detiene a pensar sobre lo sucedido.

  • ¿Qué respuesta le darías? ¿Llegarán a reunirse los enamorados bajo estas condiciones? Plantea una posible explicación, dicho ejercicio será parte de la tarea moral de esta primera parte.

Ya que hemos visto un par de paradojas interesantes, comenzaremos con un repaso de los conceptos básicos de Teoría de Conjuntos que se usarán a lo largo de todo el curso.

Repaso: Conceptos básicos de Teoría de Conjuntos.

En Matemáticas usaremos el concepto de «conjunto» para referirnos a una colección de objetos que serán considerados como una sola entidad. En la vida cotidiana algunos ejemplos serían:

  • Rebaño de ovejas
  • Equipo de fútbol
  • Estudiantes de la Facultad de Ciencias

Y utilizaremos el concepto de «elemento de un conjunto» para referirnos a cualquier objeto o entidad que pertenece a dicho conjunto. Aplicando dicha definición al primer ejemplo anterior: el jugador que es portero del equipo de futbol mencionado sería un elemento del equipo.

Cuestiones de notación

Usaremos las letras mayúsculas $A,B,C,…,X,Y,Z$ para referirnos a conjuntos, y las letras minúsculas $a,b,c,…,x,y,z$ para referirnos a los elementos.

Pertenencia

Utilizaremos el símbolo $\in$ para referirnos a la pertenencia de un elemento a un conjunto. Así, si tenemos lo siguiente:

$x\in A \text{,}$

esto se leería como $x$ pertenece al conjunto $A$, o $x$ es un elemento del conjunto $A$.

Si quisiéramos decir que $x$ no pertenece al conjunto $A$, o $x$ no es un elemento del conjunto $A$ usaríamos el símbolo $\notin$ y tendríamos:

$x\notin A \text{.}$

Denotando conjuntos

En algunas ocasiones encontraremos a los conjuntos escritos de la siguiente manera:

\[ A=\left\{0,1, 2, 3, 4\right\}\text{.} \]

Sin embargo, en muchas ocasiones no resultará práctico escribir todos los elementos del conjunto que queremos denotar. Por lo que se usará una notación diferente llamada «por comprensión». Utilizando el ejemplo anterior tendríamos lo siguiente:

\[ A=\left\{x\mid 0\leqslant x \leqslant 4 , x\in \mathbb{N} \right\} \text{;}\]

esto se leería como «el conjunto de los primeros cinco números naturales». Comúnmente esta última notación será la más utilizada tanto en libros de texto como en los cursos.

Como un breve recordatorio, los números naturales son un conjunto de números utilizados para contar objetos o representar una cantidad de cosas y se denotan usualmente con el símbolo $\mathbb{N}$.

Subconjuntos

Ahora veremos una relación muy especial que nos permitirá crear nuevos conjuntos a partir de uno dado. Si tenemos el siguiente conjunto:

\[ B=\left\{0,1, 2, 3, a, b, c, d\right\} \text{,}\]

y decidimos tomar los elementos $0,3,b,c$ del conjunto $B$, vemos que podemos formar un conjunto C cuyos elementos sean los previamente seleccionados de modo que:

\[ C=\left\{0, 3, b, c \right\} \text{.}\]

Así diremos que $C$ es un subconjunto de $B$.

Usaremos el símbolo $\subseteq$ para representar la contención de conjuntos. Así presentamos la siguiente definición:

Definición (Subconjunto): Consideremos $A$ y $B$ conjuntos. Diremos que $A$ es un subconjunto de $B$:

$A \subseteq B$

si se cumple que todo elemento de $A$ pertenece también a $B$, en otras palabras, si todo elemento de $A$ también es un elemento de $B$.

NOTA.- $A \subseteq B$ también se puede leer como: «$A$ está contenido en $B$» o «$B$ contiene a $A$»

Definición (Igualdad de conjuntos): Consideremos $A$ y $B$ conjuntos. Diremos que $A$ es igual a $B$:

$A = B$

si y sólo si se cumple que: $A \subseteq B$ y $B \subseteq A$.

Esta definición nos resultará de utilidad al realizar demostraciones sobre la igualdad entre conjuntos.

Más adelante

En esta primera entrada hemos visto la notación utilizada en Teoría de Conjuntos, el significado de pertenencia a un conjunto, que es un subconjunto y la definición de igualdad entre conjuntos. En la siguiente entrada veremos las operaciones fundamentales entre conjuntos, donde lo antes visto será de suma importancia.

Tarea moral

  1. Da una posible explicación al planteamiento de la paradoja «Una historia de amor».
  2. Dados los siguientes conjuntos $A$ y $B$. Responde si los enunciados escritos a continuación son verdaderos o falsos, argumenta tu respuesta.

\[ A=\left\{5,7,9, b, h, k, j\right\} \]

\[ B=\left\{5,7,9, h, k, j\right\} \]

  • $A \subseteq B$
  • $B \subseteq A$
  • Si tenemos $C=\left\{5,7,9, h, k, j\right\}$ entonces $C \subseteq B$.
  • $\left\{5,7\right\}\in A$
  • $\left\{5,7,9,h,k,j\right\}\in B$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»