Introducción
En una entrada anterior definimos el conjunto
Definición. Sea
Ejemplo. Sea
En la entrada anterior justificamos que podíamos abandonar la notación de parejas, sin embargo en ocasiones seguirá siendo útil pensar al complejo

Conjugación y operaciones complejas
La conjugación compleja «se comporta bien» con las operaciones definidas en
Proposición 1. Si
- El conjugado de la suma es la suma de los conjugados, es decir,
. - El conjugado del producto es el producto de los conjugados, es decir,
.
Demostración. Si escribimos a
Se pueden mostrar resultados análogos para la conjugación compleja de la resta y cociente. Esto se deja en la tarea moral.
Ejemplo. Considera los números complejos
Por otro lado, podemos conjugar a cada uno de los números de manera independiente para obtener
La conjugación compleja es autoinversa
Proposición 2. La operación «conjugar» es autoinversa, y por lo tanto es biyectiva.
Demostración. En efecto, si
Para ver que conjugar es suprayectivo, tomemos
Para ver que conjugar es inyectivo, tomemos
Operaciones de un complejo con su conjugado
Sea
Si hacemos operaciones de un complejo con su conjugado, obtenemos valores especiales.
Proposición 3. Sea
La demostración de la Proposición 3 es sencilla y se deja como tarea moral.
Ejemplo. Si tomamos el número complejo
Si hacemos la multiplicación
Como corolario de la Proposición 3, obtenemos lo siguiente.
Corolario. Si
Demostración. Por la primera parte de la Proposición 3, tenemos que
Ejercicio. Muestra que el complejo
Solución. Podríamos hacer las cuentas y verificar que la parte imaginaria es
La conjugación compleja es (casi) el único automorfismo que fija a los reales
En las secciones anteriores vimos que la conjugación compleja deja fijos a los reales y que respeta las operaciones. En esta sección veremos que es la única operación, en
Teorema. Si
no es la identidad. para todo real. para todo par de complejos y . para todo par de complejos y .
Entonces
Demostración. Sea
así que basta determinar quién es
de modo que
Más adelante…
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Considera los números complejos
, en donde es un entero en . Encuentra el valor de la suma y del producto . - Toma los números complejos
y . Muestra que y que si , entonces . - Haz la demostración de la Proposición 3.
- ¿Cuáles números complejos satisfacen que
? - Sea
un número complejo distinto de . ¿Qué obtienes cuando realizas la división ?
En el blog hay una entrada acerca de aplicaciones de la aritmética de números complejos a la resolución de problemas en matemáticas. No formará parte de la evaluación del curso, pero puede ayudarte a entender más profundamente lo que estamos haciendo y a motivar la teoría que desarrollamos.
Entradas relacionadas
- Ir a: Álgebra Superior II
- Entrada anterior del curso: Problemas de operaciones en complejos
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»