Álgebra Superior II: La conjugación compleja

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En una entrada anterior definimos el conjunto C de los números complejos. Vimos que sus elementos tienen la forma a+bi, donde a y b son números reales. Definimos las operaciones de suma y producto, y vimos que, con estas operaciones, C es un campo. En esta entrada hablaremos acerca de la conjugación compleja.

Definición. Sea z=a+bi un número complejo. El conjugado de z es el número complejo abi que denotaremos como z.

Ejemplo. Sea z=5+8i, entonces z=58i. Si z=38πi, entonces z=3+8πi.

En la entrada anterior justificamos que podíamos abandonar la notación de parejas, sin embargo en ocasiones seguirá siendo útil pensar al complejo a+bi como el punto (a,b) del plano. Si lo pensamos así, la conjugación compleja manda al punto (a,b) en el punto (a,b), es decir, se comporta como una reflexión en el eje x.

La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje x
La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje x

Conjugación y operaciones complejas

La conjugación compleja «se comporta bien» con las operaciones definidas en C. Este es el contenido de la siguiente proposición.

Proposición 1. Si w y z son números complejos, entonces:

  • El conjugado de la suma es la suma de los conjugados, es decir, w+z=w+z.
  • El conjugado del producto es el producto de los conjugados, es decir, wz=wz.

Demostración. Si escribimos a w=a+bi y z=c+di con a,b,c,d números reales. Tenemos que
w+z=(a+c)+(b+d)i=(a+c)(b+d)i=(abi)+(cdi)=w+z, lo cual prueba la primera parte de la proposición. Por otro lado
wz=(acbd)+(ad+bc)i=(acbd)(ad+bc)i=(ac(b)(d))+(a(d)+b(c))i=(abi)(cdi)=wz, lo cual prueba la segunda parte.

◻

Se pueden mostrar resultados análogos para la conjugación compleja de la resta y cociente. Esto se deja en la tarea moral.

Ejemplo. Considera los números complejos 5+4i, 3+2i y 1i. Vamos a determinar el conjugado de su suma de dos formas distintas. Por un lado, si los sumamos obtenemos el complejo (5+3+1)+(4+21)i=9+5i, cuyo conjugado es 95i.

Por otro lado, podemos conjugar a cada uno de los números de manera independiente para obtener 54i, 32i y 1+i. Al hacer la suma de estos complejos, obtenemos (5+3+1)+(42+1)i=95i. En ambos casos obtenemos lo mismo.

La conjugación compleja es autoinversa

Proposición 2. La operación «conjugar» es autoinversa, y por lo tanto es biyectiva.

Demostración. En efecto, si z=a+bi, entonces z=abi=a+bi=z.

Para ver que conjugar es suprayectivo, tomemos z en C. Tenemos que z=z, de modo que z está en la imagen de la operación conjugación.

Para ver que conjugar es inyectivo, tomemos w y z en C tales que w=z. Aplicando conjugación a esta igualdad, y usando la primer parte de la proposición, tenemos que w=z.

◻

Operaciones de un complejo con su conjugado

Sea z=a+bi un número complejo, a a le llamamos la parte real de z y a b le llamamos la parte imaginaria. Usamos la notación a=Re(z) y b=Im(z), respectivamente. Cuidado: la parte imaginaria es un número real. Se llama parte imaginaria porque es la que acompaña a i.

Si hacemos operaciones de un complejo con su conjugado, obtenemos valores especiales.

Proposición 3. Sea z un número complejo. Entonces:

  • z+z=2Re(z)
  • zz=2Im(z)i
  • zz=Re(z)2+Im(z)2

La demostración de la Proposición 3 es sencilla y se deja como tarea moral.

Ejemplo. Si tomamos el número complejo 3+4i y le sumamos su conjugado 34i, obtenemos el número real 6, que es dos veces la parte real de 3+4i.

Si hacemos la multiplicación (3+4i)(34i), obtenemos también un número real: 32(4i)2=9(16)=25.

◻

Como corolario de la Proposición 3, obtenemos lo siguiente.

Corolario. Si z=z, entonces z es un número real.

Demostración. Por la primera parte de la Proposición 3, tenemos que 2z=z+z=2Re(z), de modo que z=Re(z) y por lo tanto z es un número real.

◻

Ejercicio. Muestra que el complejo (1+52+152i)(1+52152i) es un número real.

Solución. Podríamos hacer las cuentas y verificar que la parte imaginaria es 0. Sin embargo, basta con notar que la expresión es el producto de un complejo con su conjugado, es decir, es de la forma zz. De manera directa, por la última parte de la Proposición 3 obtenemos que es un número real.

◻

La conjugación compleja es (casi) el único automorfismo que fija a los reales

En las secciones anteriores vimos que la conjugación compleja deja fijos a los reales y que respeta las operaciones. En esta sección veremos que es la única operación, en C, que hace esto sin ser la identidad.

Teorema. Si η:CC es una función biyectiva. tal que:

  • η no es la identidad.
  • η(a)=a para todo a real.
  • η(w+z)=η(w)+η(z) para todo par de complejos w y z.
  • η(wz)=η(w)η(z) para todo par de complejos w y z.

Entonces η es la conjugación compleja.

Demostración. Sea z=a+bi, tenemos que

η(a+bi)=η(a)+η(bi)=η(a)+η(b)η(i)=a+bη(i),

así que basta determinar quién es η(i). Por otro lado, como 1 es real, tenemos también que
1=η(1)=η(ii)=η(i)η(i)=η(i)2,

de modo que η(i) es una raíz de 1 y por lo tanto es i o i. Si η(i)=i, tendríamos que η es la identidad, lo cual contradice nuestras hipótesis. Así, η(i)=i y por lo tanto η es la conjugación compleja.

◻

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera los números complejos wj=5+(2j)i, en donde j es un entero en {0,1,2,3,4}. Encuentra el valor de la suma w0+w1+w2+w3+w4 y del producto w0w1w2w3w4.
  2. Toma los números complejos w y z. Muestra que wz=wz y que si z0, entonces w/z=w/z.
  3. Haz la demostración de la Proposición 3.
  4. ¿Cuáles números complejos satisfacen que z2=z?
  5. Sea z un número complejo distinto de 0. ¿Qué obtienes cuando realizas la división z/z?

En el blog hay una entrada acerca de aplicaciones de la aritmética de números complejos a la resolución de problemas en matemáticas. No formará parte de la evaluación del curso, pero puede ayudarte a entender más profundamente lo que estamos haciendo y a motivar la teoría que desarrollamos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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