Introducción
En esta tercera unidad estudiaremos algunos aspectos geométricos de transformaciones lineales. Para ello, lo primero que haremos será introducir la noción de la adjunta de una transformación lineal. Esto nos permitirá más adelante poder hablar de varias transformaciones especiales: normales, simétricas, antisimétricas, ortogonales. De entrada, las definiciones para cada uno de estos conceptos parecerán simplemente un juego algebraico. Sin embargo, poco a poco descubriremos que pidiendo a las transformaciones lineales cierta propiedad con respecto a su adjunta, podemos recuperar muchas propiedades geométricas bonitas que satisfacen.
Un ejemplo de esto serán las transformaciones ortogonales. Estas serán las transformaciones que, a grandes rasgos, no cambian la norma. Daremos un teorema de clasificación para este tipo de transformaciones: veremos que sólo son reflexiones o rotaciones en ciertos ejes. Después estudiaremos las transformaciones simétricas y veremos un resultado fantástico: el teorema espectral. Este teorema nos garantizará que toda transformación simétrica en
El párrafo anterior nos dice que las transformaciones ortogonales y las simétricas serán «fáciles de entender» en algún sentido. Esto parece limitado a unas familias muy particulares de transformaciones. Sin embargo, cerraremos la unidad con un teorema muy importante: el teorema de descomposición polar. Gracias a él lograremos entender lo que hace cualquier transformación lineal. Tenemos un camino muy interesante por recorrer. Comencemos entonces con la idea de la adjunta de una transformación lineal.
La adjunta de una transformación lineal
Sea
Esta asignación de este vector
De esta manera, podemos correctamente enunciar la siguiente definición.
Definición. Sea
Notemos que para cualesquiera
Restando el último término del primero, se sigue que
Por lo tanto, la asignación
La matriz de la transformación adjunta
Tenemos que
La siguiente proposición nos ayudará a reforzar esta intuición.
Proposición. Sea
En palabras, bajo una base ortonormal, la adjunta de una transformación tiene como matriz a la transpuesta de la transformación original.
Solución. Sea
En vista de que
Como, por definición de transformación adjunta, se tiene que
Ejemplos de encontrar una adjunción
La proposición de la sección anterior nos da una manera práctica de encontrar la adjunción para transformaciones lineales.
Ejemplo. Encontraremos la transformación adjunta a la transformación lineal
Podemos verificar que en efecto esta transformación satisface la definición de adjunción. Por un lado,
y por otro
Ambas expresiones en efecto son iguales.
Problema. Demuestra que una transformación lineal
Solución. El determinante de una transformación es igual al determinante de cualquiera de las matrices que la represente. Así, si
Más adelante…
La noción de transformación adjunta es nuestra primera noción fundamental para poder definir más adelante transformaciones que cumplen propiedades geométricas especiales. Con ella, en la siguiente entrada hablaremos de transformaciones simétricas, antisimétricas y normales.
Toma en cuenta que las definiciones que hemos dado hasta ahora son para espacios euclideanos, es decir, para el caso real. Cuando hablamos de espacios hermitianos, es decir, del caso complejo, los resultados cambian un poco. La transformación adjunta se define igual. Pero, por ejemplo, si la matriz que representa a una transformación es
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.
- Encuentra la transformación adjunta para las siguientes tranformaciones lineales:
dada por . dada por . tal que para la base canónica cumple que para y .
- Considera el espacio vectorial
. En este espacio, la operación transponer es una transformación lineal. ¿Cuál es su transformación adjunta? - Completa los detalles de que
es en efecto una transformación lineal. - Demuestra que si
es una transformación lineal sobre un espacio euclidiano y es un eigenvalor de , entonces también es un eigenvalor de . De manera más general, demuestra que y tienen el mismo polinomio característico. - Sea
un espacio euclidiano y . ¿Es cierto que para todo polinomio se cumple que ?
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Hola, en el punto 3 de la tarea moral no necesitamos que el dominio y el codominio de la transformacion sea el mismo espacio para definir la adjunta?
Hola Carlos,
No es necesario que el dominio y el codominio de sean iguales. La adjunta de , que denotamos por es la transformación tal que
para todo y para todo , donde el producto interior de la izquierda es el de y el de la derecha es en .
Hola, espero que les vaya bien. Les quería preguntar sobre el ejercicio <>. Parar la demostración, se enuncia que la es simétrica, ¿pero esto es necesariamente correcto? La matriz rotación de de 90 grados no es simétrica, pero sigue siendo una isometría de .
Saludos,
Me refería al ejercicicio, ¨Problema: Demuestra que cualesquiera dos eigenespacios distintos de una transformación lineal ortogonal son ortogonales¨. Por cierto, para escribir el latex, usaba «backslash»[ . . . ]»backslash». ¿Se usa el símbolo del dinero para escribir latex en modo texto? Este es una prueba: .
Hola Antonio,
Gracias por tu comentario, acabo de notar que me equivoqué escribiendo el enunciado del problema que mencionas. debe ser lineal y simétrica. Recuerda que los enunciados de suficiencia (como este), no necesariamente implican necesidad, es decir, que probemos que las transformaciones lineales simétricas cumplen la propiedad que se enuncia no quiere decir que no puedas encontrar una no simétrica que satisfaga el enunciado.