Introducción
En la entrada anterior estudiamos de manera un poco más sistemática las matrices y transformaciones lineales nilpotentes. Lo que haremos ahora es enunciar el teorema de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes. Este es un teorema de existencia y unicidad. En esta entrada demostraremos la parte de la existencia. En la siguiente entrada hablaremos de la unicidad y de cómo encontrar la forma canónica de Jordan de matrices nilpotentes de manera práctica.
El teorema de Jordan para nilpotentes
El teorema que queremos demostrar tiene dos versiones: la de transformaciones y la matricial. La versión en transformaciones dice lo siguiente.
Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $T:V\to V$ una transformación lineal nilpotente. Entonces existen únicos enteros $k_1,\ldots,k_d$ tales que \begin{align*} &k_1+k_2+\ldots+k_d = n,\\ &k_1\leq k_2 \leq \ldots \leq k_d,\end{align*} y para los cuales existe una base de $V$ en la cual $T$ tiene como forma matricial a la siguiente matriz de bloques:
$$\begin{pmatrix} J_{0,k_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{0,k_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{0,k_d}\end{pmatrix}.$$
La versión en forma matricial dice lo siguiente.
Teorema. Sea $A$ una matriz nilpotente en $M_n(F)$. Entonces existen únicos enteros $k_1,\ldots,k_d$ tales que \begin{align*} &k_1+k_2+\ldots+k_d = n,\\ &k_1\leq k_2 \leq \ldots \leq k_d,\end{align*} y para los cuales $A$ es similar a la siguiente matriz de bloques: $$\begin{pmatrix} J_{0,k_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{0,k_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{0,k_d}\end{pmatrix}.$$
A esta matriz de bloques (ya sea para una transformación, o para una matriz) le llamamos la forma canónica de Jordan de $A$.
En vista de que dos matrices son similares si y sólo si representan a la misma transformación lineal en distintas bases, entonces ambos teoremas son totalmente equivalentes. Así, basta enfocarnos en demostrar una de las versiones. Haremos esto con la versión para transformaciones lineales.
Trasnformaciones nilpotentes y unos vectores linealmente independientes
En esta sección enunciaremos un primer resultado auxiliar para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan. Veremos que a partir de una transformación lineal nilpotente podemos obtener algunos vectores linealmente independientes.
Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $T:V\to V$ una transformación lineal de índice $k$. Sea $v$ un vector tal que $T^{k-1}(v)\neq 0$, el cual existe ya que $T^{k-1}$ no es la transformación lineal cero. Entonces:
- Los vectores $v$, $T(v)$, $\ldots$, $T^{k-1}(v)$ son linealmente independientes.
- El subespacio $W$ que generan es de dimensión $k$ y es estable bajo $T$.
- La transformación $T$ restringida a $W$ en la base $T^{k-1}(v)$, $T^{k-2}(v)$, $\ldots$, $T(v)$, $v$ tiene como matriz al bloque de Jordan $J_{0,k}$. Ojo. Aquí los vectores los escribimos en orden contrario, empezando con la mayor potencia de $T$ aplicada.
Demostración. Probemos las afirmaciones una por una. Para empezar, supongamos que para ciertos escalares $\alpha_0,\ldots,\alpha_{k-1}$ tenemos que $$\alpha_0v+\alpha_1T(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v)=0.$$
Vamos a probar inductivamente de $0$ a $k-1$ que $\alpha_k=0$. Para mostrar que $\alpha_0=0$, aplicamos $T^{k-1}$ a la combinación lineal anterior para obtener:
\begin{align*}
0&=\alpha_0T^{k-1}(v)+\alpha_1T^k(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{2k-2}(v)\\
&=\alpha_0T^{k-1}(v).
\end{align*}
Aquí estamos usando en todos los sumandos, excepto el primero, que $T^k=0$. Como $T^{k-1}(v)\neq 0$, concluimos que $\alpha_0=0$. Suponiendo que ya hemos mostrado $\alpha_0=\ldots=\alpha_l=0$, la combinación lineal con la que empezamos queda como $$\alpha_{l+1}T^{l+1}(v)+\alpha_{l+2}T^{l+2}(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v)=0.$$ Aplicando $T^{k-l-2}$ y usando un argumento similar al anterior se llega a que $\alpha_{l+1}=0$. Esto muestra que la única combinación lineal de los vectores que da cero es la combinación lineal trivial, así que son linealmente independientes.
De manera inmediata obtenemos entonces que esos $k$ vectores generan un subespacio $W$ de dimensión $k$. Para ver que $W$ es $T$ estable, tomemos un elemento $w$ en $W$, es decir $$w=\alpha_0v+\alpha_1T(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v)$$ para algunos escalares $\alpha_0,\ldots,\alpha_{k-1}$. Debemos ver que $T(w)$ está nuevamente en $W$. Haciendo las cuentas y usando nuevamente que $T^k=0$ obtenemos:
\begin{align*}
T(w)&=T(\alpha_0v+\alpha_1T(v)+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v))\\
&= \alpha_0T(v)+\alpha_1T^2(v)+\ldots+\alpha_{k-2}T^{k-1}(v)+\alpha_{k-1}T(v)\\
&= \alpha_0T(v)+\alpha_1T^2(v)+\ldots+\alpha_{k-2}T^{k-1}(v)\\
\end{align*}
Este vector de nuevo es combinación lineal de los vectores que nos interesan, así que $T(w)$ está en $W$, como queríamos.
La afirmación de la forma matricial es inmediata pues precisamente
$$T(T^{j}(v))=0\cdot T^{n-1}(V)+\ldots+1\cdot T^{j+1}(v)+\ldots+0\cdot T(v) + 0\cdot v,$$ de donde se lee que las columnas de dicha forma matricial justo son las del bloque de Jordan $J_{0,k}$.
$\square$
El teorema anterior da otra demostración de algo que ya habíamos mostrado en la entada anterior: el índice de una matriz en $M_n(F)$ (o de una transformación nilpotente en un espacio vectorial de dimensión $n$) no puede exceder $n$.
Encontrar un subespacio complementario y estable
Ahora veremos otro resultado auxiliar que necesitaremos para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan. A partir de él podemos conseguirnos un «subespacio complementario y estable» que en la prueba de la existencia nos ayudará a proceder inductivamente. Este truco ya lo hemos visto antes en la clasificación de matrices ortogonales y el la demostración del teorema espectral.
Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $T:V\to V$ una transformación lineal nilpotente de índice $k$. Tomemos $v$ un vector tal que $T^{k-1}(v)\neq 0$. Sea $W$ el subespacio generado por $v,T(v),\ldots,T^{k-1}(v)$. Entonces, existe un subespacio $W’$ estable bajo $T$ y tal que $T=W\oplus W’$.
La principal dificultad para probar esta proposición es una cuestión creativa: debemos saber de dónde sacar el espacio $W’$. Para ello, haremos uso de la transformación transpuesta y de un espacio ortogonal por dualidad. Como recordatorio, si $T:V\to V$ es una transformación lineal, entonces su transformación transpuesta es una transformación lineal $^tT:V^\ast \to V^\ast$ para la cual $^tT(\ell)(u)=\ell(T(u))$ para cualquier forma lineal $\ell$ y cualquier vector $u$ en $V$.
Demostración. Primero, nos enfocamos en construir $W’$. Para ello procedemos como sigue. Como $T^{k-1}(v)\neq 0$, entonces existe una forma lineal $\ell$ tal que $\ell(T^{k-1}(v))\neq 0$. Se puede mostrar que $S:=\text{ }^t T$ también es nilpotente de índice $k$. Por la proposición de la sección anterior, tenemos entonces que $\ell, S(\ell),\ldots,S^{k-1}(\ell)$ son $k$ vectores linealmente independientes en $V^\ast$ y por lo tanto que generan un subespacio $Z$ de dimensión $k$. El espacio $W’$ que propondremos será $Z^\bot$.
Debemos mostrar que:
- En efecto $V=W\oplus W’$.
- En efecto $W’$ es $T$ estable.
Para la primer parte, usando teoría de espacios ortogonales tenemos que $$\dim(W’)=\dim(Z^\bot)=n-\dim(Z)=n-k,$$ así que los subespacios tienen la dimensión correcta para ser complementarios. Además, si $u\in W\cap W’$, entonces $u$ es combinación lineal de $v, T(v),\ldots, T^{k-1}(v),$ digamos $$u=\alpha_0v+\ldots+\alpha_{k-1}T^{k-1}(v)$$ y se anula por $\ell, S(\ell),\ldots,S^{k-1}(\ell)$, lo que quiere decir que se anula por $\ell, \ell\circ T, \ldots, \ell \circ T^{k-1}$. Esto permite probar iterativamente que $\alpha_0=\ldots=\alpha_{k-1}=0$, de modo que $u=0$. Con esto, $W$ y $W’$ son de intersección trivial y dimensiones complementarias, lo cual basta para que $V=W\oplus W’$.
Para terminar, debemos ver que $W’$ es $T$ estable. Tomemos un $u$ en $W’$, es decir, tal que se anula por $\ell, \ell\circ T, \ldots, \ell \circ T^{k-1}$. Al aplicar $T$, tenemos que $T(u)$ también se anula por todas estas transformaciones. Esto se debe a que para $\ell \circ T^j$ con $j\leq k-2$ se anula ya que $\ell\circ T^j(T(u))=\ell\circ T^{j+1}(u)=0$ por cómo tomamos $u$ y para $\ell \circ T^{k-1}$ se anula pues $T$ es nilpotente de índice $k$.
$\square$
Existencia de forma canónica de Jordan para nilpotentes
La idea para encontrar la forma canónica de Jordan debe ser clara a estas alturas: se procederá por inducción, el caso base será sencillo, asumiremos la hipótesis inductiva y para hacer el paso inductivo descomponeremos al espacio $V$ mediante la proposición de la sección anterior. Veamos los detalles.
Demostración (existencia de forma canónica de Jordan para nilpotentes). Estamos listos para probar la existencia de la forma canónica de Jordan para una transformación lineal nilpotente $T:V\to V$ con $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. Procederemos por inducción en la dimensión. Si $n=1$, entonces $V$ es generado por un vector $v$ y la transformación lineal $T$ debe mandarlo al vector $0$ para ser nilpotente. En esta base, $T(v)=0$ y la matriz que representa a $T$ es entonces $(0)=J_{0,1}$.
Supongamos que existe la forma canónica de Jordan para cuando $V$ es de cualquier dimensión menor a un entero positivo dado $n$. Tomemos $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ y $T:V\to V$ una transformación lineal nilpontente. Si $T$ es de índice $n$, entonces $T^{n-1}(v),\ldots,T(v),v$ son linealmente independientes y por lo tanto son una base de $V$. La forma matricial de $T$ en esta base es el bloque de Jordan $J_{0,n}$, en cuyo caso terminamos.
De otra forma, el índice es un número $k<n$. Entonces, $T^{k-1}(v),\ldots,T(v),v$ generan un subespacio estable $W$ de dimensión $k$. Por la proposición de la sección anterior, podemos encontrar un subespacio complementario $W’$ de dimensión $n-k<n$ y estable bajo $T$. Como la restricción de $T$ a $W’$ tiene codominio $W’$, es nilpotente y $\dim(W)<\dim(V)$, entonces por hipótesis inductiva $W’$ tiene una base $\beta$ bajo la cual la restricción de $T$ a $W’$ tiene como forma matricial una matriz diagonal por bloques con puros bloques de Jordan del estilo $J_{0,k_j}$. Al completar $\beta$ con $T^{k-1}(v),\ldots,T(v),v$ , obtenemos una base de $V$ en la cual $T$ tiene como forma matricial una matriz diagonal por bloques con puros bloques de Jordan del estilo $J_{0,k_j}$ (que vienen de la hipótesis inductiva) y un bloque de Jordan $J_{0,k}$. Salvo quizás un reordenamiento de la base para ordenar los $k_j$ y $k$, obtenemos exactamente lo buscado.
$\square$
Más adelante…
Ya demostramos una parte fundamental del teorema que nos interesa: la existencia de la forma canónica de Jordan para transformaciones (y matrices) nilpotentes. Nos falta otra parte muy importante: la de la unicidad. Las demostraciones de unicidad típicamente son sencillas, pero en este caso no es así. Para decir de manera explícita cuál es la forma canónica de Jordan de una transformación (o matriz) nilpotente, deberemos hacer un análisis cuidadoso del rango de las potencias de la transformación (o matriz). Veremos esto en las siguientes entradas.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Verifica que la siguiente matriz es nilpotente: $$\begin{pmatrix}13 & 6 & -14 & -5\\ 2 & 0 & -4 & -2 \\ 29 & 12 & -34 & -13 \\ -45 & -18 & 54 & 21\end{pmatrix}.$$
Siguiendo las ideas de la demostración de existencia de esta entrada, ¿cómo podrías dar la forma canónica de Jordan de esta matriz? Intenta hacerlo. - Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $T:V\to V$ una transformación lineal nilpotente de índice $k$. Demuestra que $^tT$ también es una transformación lineal nilpotente de índice $k$. ¿Cuál sería el resultado análogo para matrices?
- Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $T:V \to V$ una transformación lineal tal que para cualquier $v$ en $V$ existe algún entero $n$ tal que $T^n(v)=0$. Estos $n$ pueden ser distintos para distintos $v$. Muestra que $T$ es nilpotente.
- Considera el subespacio $V$ de polinomios reales con grado a lo más $4$ y $D:V\to V$ la transformación lineal derivar. Da, de manera explícita, espacios $W$ y $W’$ como en las proposición de encontrar el subespacio complementario estable.
- Hay varios detalles que quedaron pendientes en las demostraciones de esta entrada. Revisa la entrada para encontrarlos y da las demostraciones correspondientes.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»