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Álgebra Superior II: El teorema de derivadas y multiplicidad

Introducción

En entradas anteriores definimos qué quiere decir que un real sea una raíz de un polinomio. Luego, vimos que mediante el teorema del factor se puede definir una relación entre las raíces de un polinomio y los polinomios lineales que lo dividen. Sin embargo, es posible que un real sea una raíz de un polinomio «más de una vez», que fue un concepto que formalizamos en la entrada de desigualdades de polinomios. En esta entrada veremos que a través de las derivadas de polinomios, podemos determinar la multiplicidad de sus raíces.

Como recordatorio, la multiplicidad de una raíz r de un polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] es el mayor entero m tal que (x-r)^m divide a p(x) en \mathbb{R}[x]. También, en esta entrada haremos uso de la regla del producto para derivadas.

El teorema de derivadas y multiplicidad

El siguiente resultado es fundamental para la detección de raíces múltiples. Su demostración es sencilla pues usamos varios de los resultados que hemos obtenido anteriormente.

Teorema (derivadas y multiplicidad). Sea r una raíz del polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] de multiplicidad m. Si m>1, entonces r es una raíz de la derivada p'(x), y es de multiplicidad m-1. Si m=1, entonces r no es raíz de p'(x).

Demostración. Como r es una raíz de p(x) de multiplicidad m, entonces se puede escribir p(x)=(x-r)^m q(x), en donde q(x) es un polinomio que ya no es divisible entre x-r. Derivando, por regla del producto tenemos que

    \begin{align*}p'(x)&=m(x-r)^{m-1}q(x) + (x-r)^m q'(x)\\&=(x-r)^{m-1}(mq(x)+(x-r)q'(x)).\end{align*}

Afirmamos que x-r no divide a mq(x)+(x-r)q'(x). Si lo dividiera, como divide a (x-r)q'(x) entonces también tendría que dividir a mq(x) y por lo tanto a q(x). Pero esto sería una contradicción con la elección de q(x).

De esta forma, si m=1 entonces x-r no divide a p'(x) y por el teorema del factor entonces r no es raíz de p'(x). Y si m>1, entonces (x-r)^{m-1} divide a p'(x) por la expresión que encontramos de la derivada, pero (x-r)^m no pues x-r no divide al segundo factor. Esto termina la prueba.

\square

Ejemplo. Consideremos al polinomio p(x)=(x-3)^3(x+1). Tanto 3 como -1 son raíces de p(x). La multiplicidad de la raíz 3 es tres y la multiplicidad de la raíz -1 es uno. Si derivamos a p(x) usando la regla del producto, tenemos que

    \begin{align*}p'(x)&=3(x-3)^2(x+1)+(x-3)^3\\&=3(x-3)^2(x+1+x-3)\\&=3(x-3)^2(2x-2)\\&=6(x-3)^2(x-1)\end{align*}

Observa que p'(x) en efecto tiene a 3 como raíz de multiplicidad dos y ya no tiene a 1 como raíz.

\square

Es muy importante respetar la hipótesis de que r sea raíz de p(x). Por ejemplo, en el ejemplo anterior 1 es raíz de p'(x) de multiplicidad 1, pero 1 no es raíz de p(x) (y mucho menos de multiplicidad 2).

El teorema de derivadas y multiplicidad es interesante, pero todavía no es útil en aplicaciones prácticas. Sin embargo, tiene dos consecuencias que sí se pueden usar para estudiar polinomios concretos.

Encontrar la multiplicidad de una raíz

El teorema de derivadas y multiplicidad nos dice que la multiplicidad de una raíz «baja en uno» al pasar de un polinomio a su derivada, pero aún no nos dice cuál es esa multiplicidad. Sin embargo, lo podemos aplicar repetidamente para obtener esta información. Recuerda que para k un entero no negativo y p(x) en \mathbb{R}[x], usamos p^{(k)}(x) para denotar k-ésima derivada de un polinomio. Aquí p^{(0)}(x) es simplemente p(x).

Proposición. Sea r una raíz del polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] de multiplicidad m. Si k el mayor entero positivo tal que r es raíz de

    \[p^{(0)}(x), p^{(1)}(x),\ldots,p^{(k)}(x),\]

entonces m=k+1.

Demostración. Usando el teorema anterior de manera inductiva, tenemos que para cada entero 0\leq \ell<m, se tiene que r es raíz de multiplicidad m-\ell de p^{(\ell)}(x) En particular, es raíz de todas estas derivadas. Además, por el mismo teorema, se tiene que r ya no es raíz de p^{(m)}(x). De esta forma, tenemos que k=m-1, de donde se obtiene el resultado deseado.

\square

La proposición anterior ahora sí nos da una manera de encontrar la multiplicidad de una raíz de un polinomio.

Ejemplo. Sabiendo que 3 es una raíz del polinomio

    \[p(x)=x^5-9x^4+28x^3-36x^2+27x-27,\]

vamos a encontrar su multiplicidad.

Para esto, vamos a calcular sus derivadas:

    \begin{align*}p'(x)&=5x^4-36x^3+84x^2-72x+27\\p''(x)&=20x^3-108x^2+168x-72\\p^{(3)}(x)&=60x^2-216x+168\\p^{(4)}(x)&=120x-216\\p^{(5)}(x)&=120\\p^{(6)}(x)&=0\end{align*}

Tenemos que

    \begin{align*}p'(3)&=5\cdot 81 - 36 \cdot 27 +84 \cdot 9 -72\cdot 3 + 27\\&=405-972+756-216+27\\&=0.\end{align*}

Hasta aquí, sabemos que 3 es raíz de multiplicidad al menos dos. Tenemos también que

    \begin{align*}p''(3)(3)&=20\cdot 27-108\cdot 9 +168 \cdot 3 - 72\\&=540-972+504-72\\&=0.\end{align*}

Hasta aquí, sabemos que 3 es raíz de multiplicidad al menos tres. Siguiendo,

    \begin{align*}p^{(3)}&=60\cdot 9-216\cdot 3 +168\\&=720-648+168\\&=240.\end{align*}

Como la tercera derivada ya no se anuló en 3, la multiplicidad de 3 como raíz es exactamente tres.

\square

Es importante que revisemos todas las derivadas, y que sea una por una. En el ejemplo anterior, p^{(6)}(3)=0, pero eso no quiere decir que 3 sea raíz de multiplicidad 7, pues la evaluación falla desde la tercera derivada.

Simplificar un polinomio para encontrarle sus raíces

Hay otra consecuencia práctica del teorema de multiplicidades y derivadas, que puede ser de utilidad en algunos problemas. Recuerda que para polinomios p(x) y q(x) en \mathbb{R}[x] usamos \MCD{p(x),q(x)} para denotar al máximo común divisor de dos polinomios. En particular, divide a p(x) en \mathbb{R}[x], de modo que

    \[\frac{p(x)}{\MCD{p(x),q(x)}}\]

es un polinomio en \mathbb{R}[x].

Proposición. Sea p(x) un polinomio en \mathbb{R}[x] y p'(x) su derivada. El polinomio

    \[q(x):=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),p'(x)}}\]

es un polinomio en \mathbb{R}[x], con las mismas raíces reales que p(x), pero todas ellas tienen multiplicidad 1.

Demostración. Factoricemos a todas las raíces reales de p(x) con sus multiplicidades correspondientes para escribir

    \[p(x)=(x-r_1)^{m_1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n)^{m_n} r(x),\]

en donde r(x) ya no tiene raíces reales. De acuerdo al teorema de derivadas y multiplicidad, podemos escribir

    \[p'(x)=(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n)^{m_n-1} s(x),\]

en donde ningún x-r_i divide a s(x). Es sencillo entonces mostrar, y queda como tarea moral, que \MCD{p(x),p'(x)} es

    \[(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \cdot \MCD{r(x),s(x)}.\]

A partir de esto, concluimos que

    \begin{align*}q(x)&=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),p'(x)}}\\&= (x-r_1)\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \cdot \frac{r(x)}{\MCD{r(x),s(x)}}.\end{align*}

De aquí se ve que r_1,\ldots,r_n son raíces de multiplicidad 1 de q(x). No hay más raíces reales en \frac{r(x)}{\MCD{r(x),s(x)}}, pues si hubiera una raíz \alpha, entonces por el teorema del factor x-\alpha dividiría a este polinomio, y por lo tanto a r(x), de donde \alpha sería raíz de r(x), una contradicción.

\square

La proposición anterior se puede usar de manera práctica como sigue:

  • Para empezar, tomamos un polinomio arbitrario p(x).
  • Luego, lo derivamos para obtener p'(x).
  • Después, usando el algoritmo de Euclides, encontramos al polinomio \MCD{p(x),q(x)}.
  • Ya con el máximo común divisor, hacemos división polinomial para encontrar q(x)=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),q(x)}}.
  • Si p(x) tenía raíces repetidas, entonces ahora q(x) será de grado menor, y quizás más fácil de estudiar. Encontramos las raíces de q(x). Estas son las raíces de f(x).
  • Finalmente, usamos el teorema de la sección anterior para encontrar la multiplicidad de cada raíz.

Veamos un problema interesante en el que se conjuntan varias ideas de esta entrada.

Problema. Factoriza en \mathbb{R}[x] al polinomio

    \[-x^5+5x^4+5x^3-45x^2+108.\]

Solución. Este es un polinomio de grado cinco, para el cual hasta antes de ahora no teníamos muchas herramientas para estudiarlo. Vamos a aplicar el método explicado arriba. Lo primero que haremos es factorizar un -1 para volver este polinomio mónico. Recordaremos poner este signo al final. Tomemos entonces

    \[p(x)=x^5-5x^4-5x^3+45x^2-108.\]

Su derivada es

    \[p'(x)=5x^4-20x^3+15x^2+90x,\]

Se puede verificar, y queda como tarea moral, que el máximo común divisor de p(x) y p'(x) es el polinomio

    \[M(x)=x^3-4x^2-3x+18.\]

Haciendo la división polinomial, tenemos que

    \[\frac{p(x)}{M(x)}=x^2-x-6=(x+2)(x-3).\]

Como este polinomio tiene las mismas raíces que p(x), concluimos que -2 y 3 son las raíces de p(x).

Usando la proposición para multiplicidades de raíces (que también queda como tarea moral), se puede verificar que -2 es raíz de multiplicidad dos y que 3 es raíz de multiplicidad 3. Como p(x) es un polinomio de grado 5 y es mónico, entonces se debe de dar la igualdad

    \[p(x)=(x+2)^2(x-3)^3.\]

Al regresar al polinomio original, debemos agregar un signo menos. Concluimos que la factorización del polinomio del problema es

    \[-(x+2)^2(x-3)^3.\]

\square

Esta proposición nos da una manera de encontrar raíces. En las siguientes dos entradas veremos otras dos formas de encontrarlas. Para cuando los polinomios son de grado 3 y 4, podemos encontrar las raíces de manera explícita. Para cuando los polinomios tienen coeficientes enteros, podemos encontrar una cantidad finita de candidatos a ser raíces racionales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que 1 es raíz del polinomio

        \[x^8-x^7-9x^6+19x^5+5x^4-51x^3+61x^2-31x+6\]

    y encuentra su multiplicidad.
  • En la demostración de la última proposición, muestra la igualdad

        \[\MCD{p(x),p'(x)}=(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \MCD{r(x),s(x)}.\]

  • En el último ejemplo, aplica el algoritmo de Euclides a p(x) y p'(x) para mostrar que el máximo común divisor es el que se afirma.
  • Aplica la proposición de multiplicidad de raíces en el último ejemplo para verificar que en efecto las multiplicidades de 2 y 3 son las que se afirman.
  • Aplica el mismo método que en la última sección para factorizar el polinomio

        \[x^6+8x^5+18x^4-4x^3-47x^2-12x+36.\]