Introducción
Ahora que hemos definido a la suma en el conjunto de los naturales, podemos definir el producto, pues éste se refiere a sumar cierta cantidad de veces un mismo número. De este modo, el producto se definirá recursivamente en términos de la suma, así como la suma fue definida recursivamente en términos de la función sucesor.
Producto de naturales
Utilizando el teorema de recursión se puede mostrar, al igual que con la operación suma, que existe una única función
para cualquier , .
Dado que seguimos trabajando con conjuntos y hemos definido una nueva operación binaria, podemos preguntarnos si esta operación conmuta, es asociativa o si cumple alguna otra propiedad tal como lo hace el producto cartesiano y la suma en los naturales. Además veremos que esta operación se distribuye con la suma.
Distributividad del producto sobre la suma
Teorema. Para cualesquiera
Demostración. Procederemos por inducción sobre
Base de inducción. Si
Hipótesis de inducción. Supongamos que se cumple para
Paso inductivo. Veamos que se cumple para
Por lo tanto,
Conmutatividad del producto
Para demostrar que el producto es conmutativo primero vamos a demostrar los siguientes lemas:
Lema 1. Para cualquier
Demostración.
Procederemos por inducción sobre
Base de inducción. Si
Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún
Paso de inductivo. Veamos que se cumple para
Por lo tanto,
Lema 2. Para cualquier
Demostración.
Procederemos por inducción sobre
Base de inducción. Si
Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún
Paso de inductivo. Veamos que se cumple para
Por lo tanto, para cualquier
Teorema. Para cualesquiera
Demostración.
Por inducción sobre
Base de inducción. Si
Hipótesis de inducción. Supongamos que para
Paso inductivo. Veamos que para
Por lo tanto,
Asociatividad del producto
Teorema. Para cualesquiera
Demostración. Procederemos por inducción sobre
Base de inducción. Si
Hipótesis de inducción. Supongamos que se cumple para
Paso inductivo. Veamos que se cumple para
Por lo tanto,
Ley de cancelación
En álgebra, cuando tenemos una ecuación como la siguiente #
Teorema. Sean
Para probar dicho teorema, utilizaremos la siguiente serie de resultados.
Proposición. Si
Demostración (Proposición).
Mostraremos por inducción sobre
Base de inducción.
Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún
Paso inductivo. Veamos que se cumple para
Como
En cualquier caso para
Por lo tanto, la proposición es verdadera.
Proposición. Si
Demostración (Proposición).
Sea
Base.
Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún
Bajo esta hipótesis veamos que
Ahora, si
En cualquier caso concluimos que
El último resultado que veremos, antes de iniciar con la demostración de la ley de la cancelación del producto, dice lo siguiente:
Corolario. Si
Demostración (Corolario).
Sea
Ya que contamos con esta serie de resultados previos podemos dar la demostración de la ley de cancelación del producto.
Demostración (Ley de cancelación del producto).
Supongamos que
En esta cadena de igualdades hemos usado las propiedades que ya hemos probado de la suma y el producto. Usando ahora la ley de cancelación de la suma, obtenemos que
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta sección:
- Demuestra que existe una única función
, denotada por , que satisface las siguientes condiciones:
– para cualquier ,
– . - Demuestra que para cualesquiera
tal que , si , entonces . - Demuestra que para cualesquiera
, si , entonces o . - Usa el teorema de recursión para probar la existencia y unicidad de una función
que satisfaga lo siguiente: , , , .
A la función se le llama el factorial y la denotamos por . - Usa el teorema de recursión y unicidad para probar para cada natural
la existencia de una función que cumple y . Usa las funciones para definir la exponenciación en como la operación binaria de en denotada por . Prueba que la exponenciación cumple las siguientes propiedades:- Para todo natural
, se cumple que y . - Para cualesquiera naturales
, se cumple que , que y que .
- Para todo natural
- Encuentra todas las soluciones en los naturales a la ecuación
. ¡Ten cuidado! En todavía no hemos definido la resta, así que como primer paso no puedes «pasar restando». Todos tus argumentos tendrán que permanecer en lo que hemos construido de .
Más adelante…
Con esta entrada concluimos el contenido acerca de números naturales. Es lo único que haremos en este curso sobre la construcción de sistemas numéricos, pero todos estos conocimientos sirven para constuir a los enteros y los racionales. Puedes hacer clic en los enlaces para consultar el contenido de la construcción de los números enteros y de los números racionales que se encuentra en el curso de Álgebra Superior II.
Nuestro enfoque continuará siendo conjuntista, y ahora nos enfocaremos en la noción de que dos conjuntos «tengan la misma cantidad de elementos». Así, en la siguiente unidad hablaremos acerca de equipotencia, finitud, infinitud, dominancia y aritmética cardinal. El conjunto de los números naturales jugará un papel clave para esta teoría.
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
- También puedes consultar las pruebas de las propiedades del producto en los naturales en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998, pp. 106-108. ↩︎
Hola! Hay un pequeño detalle sobre la definición del Producto. El segundo punto dice que s(m)*n=m*n+m. En cambio, éste debería decir s(m)*n=m*n+n.
P.d. Gracias por el aporte.
Hola Jorge. En efecto, muchas gracias por la observación. Ya lo corregimos.
Buenas!!
Tienes las soluciones de las tareas?
Muchas gracias por la página y toda la información. Es muy interesante y de gran utilidad
Carme
Hola Carme. No, las soluciones de las tareas morales no están disponibles. Son para que cada quien practique por su cuenta, o se acerque a algún docente o compañero que le pueda ayudar a discutir los problemas. Muchas gracias por los comentarios, si te interesa, puedes suscribirte para saber cuándo tenemos nuevas entradas, o bien compartir el material con quien creas que le puede ayudar :). Saludos.