Introducción
Hasta ahora solo hemos usado los conjuntos $0$, $1$, $2$, $3$ y $4$ que definimos en la entrada de axioma del par y axioma de unión, pero es momento de hablar de números naturales de manera más general y rigurosa. En esta entrada comenzaremos a hacer esto, enunciando algunas propiedades conjuntistas que esperamos que tengan los números naturales. Sin embargo, no dejaremos de lado la noción intuitiva que ya tenemos.
Construcción
Al principio del curso hablamos acerca de los primeros axiomas de la teoría de los conjuntos. A partir de ellos obtuvimos un conjunto $\emptyset$ que no tiene elementos, y además probamos que era el único conjunto con esta propiedad. Por comodidad, a este conjunto también le pusimos el «nombre» o «etiqueta» $0$. Después, aplicamos el axioma del par para a partir de $0$ conseguir al conjunto $\{\emptyset\}$ al que llamamos $1$. En los ejercicios, hablamos de cómo a partir de los axiomas se pueden construir también a $2:=1\cup \{1\}= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, a $3:=2\cup \{2\}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, y también a $4:=3\cup \{3\}$.
Por supuesto, también se pueden construir otros conjuntos que no «siguien este patrón», por ejemplo, aplicando dos veces el axioma del par se puede construir al conjunto $\set{\set{\emptyset}}$.
Si nos fijamos en la cantidad de elementos que tienen los conjuntos $0,1,2,3,4$, notamos que las etiquetas son muy precisas y coinciden con nuestra intuición, pues por ejemplo el $0$ es el vacío que tiene cero elementos, el $1$ es $\{\emptyset\}$ que tiene un sólo elemento que es $\emptyset$, etc. De hecho, parte del ejercicio de la entrada mencionada pedía ver que $4=\{0,1,2,3\}$, que en efecto tiene cuatro elementos. Pero puede haber otros conjuntos distintos que también tengan la misma cantidad que estos conjuntos. Por ejemplo, el conjunto $\set{\set{\emptyset}}$ también tiene un elemento (tiene sólo a $\set{\emptyset}$), pero no es el mismo conjunto que $1$.
Parte de lo que queremos lograr al construir los números naturales formalmente es asociar a cada «número que usamos para contar» un conjunto con esa cantidad de elementos. Lo mencionado arriba debe dejarnos la idea de que puede haber muchas maneras de hacer esto. Por ejemplo, una posible manera sería formalizar la siguiente construcción:
\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\set{\emptyset}}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}}\\
\vdots
\end{align*}
Otra posible manera sería formalizar la siguiente construcción, que se parece más a cómo hemos estado utilizando las etiquetas $0,1,2,3,4$:
\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\emptyset}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\\
\vdots
\end{align*}
Debido a que hay muchas maneras de lograr nuestro objetivo, podemos poner algunas condiciones adicionales. Hablaremos de ellas en el transcurso de estas entradas. Estas propiedades adicionales que requeriremos nos llevarán a que la construcción apropiada es la segunda presentada aquí arriba.
Conjuntos transitivos
Para definir formalmente a los números naturales comenzaremos definiendo una de las características que tendrá cada uno de los números naturales.
Definición. Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un conjunto transitivo si para cualquier $y\in x$ se cumple que $y\subseteq x$.
Observa que si $x$ es transitivo en la definición que acabamos de dar, entonces si $z\in y$ y $y\in x$, entonces $z\in x$.
Ejemplo.
Nos gustaría que cada número natural sea transitivo y nos gustaría que $0$, como lo definimos, sea número natural. En efecto lo es pues, en este caso, $0=\emptyset$ y entonces por vacuidad se cumple que si $y\in \emptyset$, se tiene que $y\subseteq \emptyset$.
$\square$
Ejemplo.
También el conjunto que definimos como $1$ es transitivo. Recordemos que $1=\set{\emptyset}$. El único elemento de $1$ es $y=\emptyset$, así que para ver que $x$ es transitivo basta ver que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$, lo cuál sabemos que es cierto. Por lo tanto, $1$ es un conjunto transitivo.
$\square$
Ejemplo.
Sea $x=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que $x$ no es transitivo. En efecto, se tiene que $\set{\set{\emptyset}}\in x$ pero $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq x$ dado que $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin x$. Por lo tanto, $\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ no es un conjunto transitivo.
$\square$
Equivalencias de conjuntos transitivos
A continuación veremos algunas equivalencias para que conjunto sea transitivo.
Proposición. Sea $x$ un conjunto. Entonces, $x$ es un conjunto transitivo si y sólo si $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.
Demostración.
Comencemos suponiendo que $x$ es transitivo. Veremos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$. Sea $y\in x$. Como $x$ es un conjunto transitivo, se tiene que $y\subseteq x$ y por lo tanto, $y\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.
Ahora, supongamos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y veamos que $x$ es un conjunto transitivo. Sea $y\in x$. Tenemos que $y\in \mathcal{P}(x)$ y así, $y\subseteq x$. Por lo tanto, $x$ es un conjunto transitivo.
$\square$
Otra equivalencia que tendrás que demostrar como parte de los ejercicios es la siguiente.
Proposición. Un conjunto $x$ es transitivo si y sólo si $\bigcup x\subseteq x$.
Otros resultados para conjuntos transitivos
Para concluir esta entrada veremos algunos resultados para conjuntos transitivos, esta vez con respecto a la intersección y la unión.
Proposición. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cap y$ es un conjunto transitivo.
Demostración.
Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cap y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cap y$ se cumple que $z\subseteq x\cap y$.
- Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
- Como $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.
De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cap y$ se satisface que $z\subseteq x\cap y$. Por lo tanto, $x\cap y$ es transitivo.
$\square$
Hay una segunda demostración de la proposición anterior, usando álgebra de conjuntos y la primera caracterización de la sección anterior.
Demostración. Como $x$ y $y$ son transitivos, tenemos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y $y\subseteq \mathcal{P}(y)$. Así, por propiedades que hemos demostrados de intersección, $$x\cap y \subseteq \mathcal{P}(x) \cap \mathcal{P}(y) \subseteq \mathcal{P}(x\cap y).$$
Así, $x\cap y \subseteq \mathcal{P}(x\cap y)$ y por lo tanto $x\cap y$ es transitivo.
$\square$
La transitividad también se preserva al unir conjuntos.
Proposición. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cup y$ es un conjunto transitivo.
Demostración.
Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cup y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cup y$ se cumple que $z\subseteq x\cup y$.
- Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
- Como $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.
De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cup y$ se satisface que $z\subseteq x\cup y$. Por lo tanto, $x\cup y$ es transitivo.
$\square$
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar el concepto de conjunto transitivo.
- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son transitivos?
1. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$,
2. $\set{\set{\emptyset}}$,
3. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$. - Verifica que, por definición, cada uno de los conjuntos $0,1,2,3,4$ que ya definimos son transitivos.
- Demuestra que $(\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}, \in)$ es un conjunto totalmente ordenado.
- Demuestra que $x=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tiene elemento máximo y elemento mínimo en el orden $\in_x$.
- Demuestra la segunda equivalencia de la sección de conjuntos transitivos, es decir, que $x$ es transitivo si y sólo si $\bigcup x\subseteq x$.
- Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, ¿será cierto que $x\setminus y$ siempre es un conjunto transitivo?, ¿será cierto que $x\triangle y$ siempre es un conjunto transitivo? Da una demostración o encuentra un contraejemplo en cada caso.
Más adelante…
En la siguiente entrada daremos la definición formal y rigurosa de qué es un número natural. Además demostraremos algunas de sus propiedades.
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»