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Seminario de Resolución de Problemas: Primos y factorización única

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En entradas anteriores hablamos de divisibilidad y de aritmética modular. Ahora platicaremos de las bloques que nos ayudan a construir a todos los enteros de manera multiplicativa: los números primos. Lo que dice el teorema fundamental de la aritmética es que todo número es producto de primos «de manera única». Tanto la teoría de números primos, como este teorema, son de gran ayuda en la resolución de problemas.

Como en entradas anteriores, el enfoque no es demostrar los resultados principales de la teoría. Esto se hace en un curso de Álgebra Superior II o en uno de Teoría de Números. La idea de la entrada es ver aplicaciones de estos resultados en situaciones concretas.

Números primos

Un entero es primo si tiene exactamente dos divisores positivos. El $1$ no es primo pues su único divisor es él mismo. Pero $2$, $17$ y $31$ sí son primos. De aquí y el algoritmo de la división, si $p$ es primo y $a$ es un entero, entonces $p\mid a$ o $\MCD{p,a}=1$.

Proposición 1. Si $p$ es un número primo que divide al producto de enteros $ab$, entonces $p\mid a$ ó $p\mid b$.

Demostración. Si $p$ no divide a $a$, entonces $\MDC(p,a)=1$, así que existe una combinación lineal entera $pn+am=1$. Multiplicando esta combinación por $b$, tenemos que $pbn+abm=b$. Como $p$ divide a $pbn$ y a $ab$, entonces divide a $b$.

$\square$

Problema. Muestra que si $p$ es un primo que divide a $123456^{654321}$, entonces $p$ divide a $123456$.

Sugerencia pre-solución. Aquí $123456$ y $654321$ no tienen nada de especial. Generaliza el problema y procede por inducción en el exponente.

Solución. Sea $a$ un entero, $n$ un entero positivo y $p$ un primo. Vamos a mostrar por inducción en $n$ que si $p\mid a^n$, entonces $p\mid a$. Para $n=1$ la conclusión es inmediata. Supongamos el resultado cierto para $n$. Si $p\mid a^{n+1}$, por la Proposición 1 tenemos que $p\mid a$ (en cuyo caso terminamos), o que $p\mid a^n$ (en cuyo caso terminamos por hipótesis inductiva). El problema se resuelve tomando $a=123456$ y $n=6543321$.

$\square$

Extendiendo la idea del problema anterior, se puede demostrar la siguiente proposición.

Proposición 2. Si $p$ es primo, $a$ un entero y $n$ un entero positivo tales que $p\mid a^n$, entonces $p^n\mid a^n$.

Teorema fundamental de la aritmética

Todo número es producto de primos de manera única. Más específicamente

Teorema (teorema fundamental de la aritmética). Sean $a$ un entero positivo. Entonces existe un único $n$, únicos primos $p_1<\ldots<p_n$ y exponentes $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tales que $$a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}.$$

La idea de la demostración es factorizar y factorizar. Si $n$ está expresado como producto de primos, ya está. Si no, hay uno de sus factores que no es primo y entonces se puede factorizar en dos números menores. Para probar la unicidad se usa la Proposición 1.

Veamos algunas aplicaciones del teorema fundamental de la aritmética.

Problema. Muestra que $\sqrt[3]{7}$ es un número irracional.

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción suponiendo que es racional para igualarlo a una fracción y eleva al cubo.

Solución. Si no fuera irracional, lo podríamos expresar como una fracción, digamos $\sqrt[3]{7}=\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ enteros. De aquí, $7b^3=a^3$. En la factorización en primos de $a^3$ y $b^3$ tenemos una cantidad múltiplo de $3$ de factores $7$. Así, en el lado derecho tenemos una cantidad mútiplo de $3$ de factores $7$ (por la Proposición 2), pero en el lado izquierdo no. Esto es una contradicción a la unicidad de la factorización en primos.

$\square$

Es posible que en un problema tengamos que usar el teorema fundamental de la aritmética repetidas veces.

Problema. Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales $2^8+2^{11}+2^n$ es un número entero al cuadrado.

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás y usa notación adecuada. Intenta encontrar una diferencia de cuadrados.

Solución. Vamos a comenzar suponiendo $m^2=2^8+2^{11}+2^n$. De aquí, \begin{align*}
2^n&=m^2-2^8(1+2^3)\\
&=m^2-(3\cdot 2^4)^2\\
& =(m+48)(m-48).
\end{align*}

Por la unicidad del teorema fundamental de la aritmética, cada uno de los números $m+48$ y $m-48$ tienen que ser potencias de $2$, digamos $m+48=2^a$ y $m-48=2^b$ con $a>b$ y $a+b=n$. Además tenemos que $$2^b(2^{a-b}-1)=96=2^5\cdot 3.$$

Como $2^{a-b}-1$ es impar, de nuevo por la unicidad de la factorización en primos debemos tener que $2^{a-b}-1=3$, y por lo tanto que $2^b=2^5$. De aquí, $b=5$ y $a-b=2$, y así $a=7$. Por lo tanto, el único candidato es $n=5+7=12$.

Ya que trabajamos hacia atrás, hay que argumentar o bien que los pasos que hicimos son reversibles, o bien que $n$ en efecto es solución. Hacemos esto último notando que $2^8+2^{11}+2^{12}=2^8(1+2^3+2^4)=2^8\cdot 5^2$ que en efecto es un número cuadrado.

$\square$

Fórmulas que usan el teorema fundamental de la aritmética

Sean $a$ y $b$ números enteros positivos y $P={p_1,\ldots,p_n}$ el conjunto de números primos que dividen a alguno de $a$ o $b$. Por el teorema fundamental de la aritmética, existen exponentes $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ y $\beta_1,\ldots,\beta_n$, tal vez algunos de ellos cero, tales que \begin{align*}
a&=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_n^{\alpha_n}\\ b&=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot p_n^{\beta_n}. \end{align*}

Por ejemplo, si $a=21, b=28$, entonces $P={2,3,7}$, $a=2^0 3^1 7^1$ y $b=2^2 3^0 7^1$.

Proposición 3. Se tiene que $a$ divide a $b$ si y sólo si para todo primo $p_i$ se tiene que $\alpha_i\leq \beta_i$.

Problema. ¿Cuántos múltiplos de $108$ hay que sean divisores de $648$?

Sugerencia pre-solución. Factoriza en primos a $108$ y a $648$ y usa la Proposición 3.

Solución. Tenemos que $108=2^23^3$ y que $648=2^3\cdot 3^4$. Por la Proposición 3, un número que funcione debe ser de la forma $2^a3^b$ con $2\leq a \leq 3$ y con $3\leq b \leq 4$. Así, $a$ tiene $2$ posibilidades y $b$ también, de modo que hay $2\cdot 2=4$ números que cumplen.

$\square$

Una consecuencia inmediata de la Proposición 3 anterior es la fórmula para el número de divisores de un entero en términos de los exponentes de su factorización en primos.

Proposición 4. El entero $a$ tiene $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_n+1)$ divisores positivos.

Problema. Determina cuántos enteros hay entre $1$ y $10000$ que tienen $49$ divisores positivos.

Sugerencia pre-solución. Usa la fórmula de la Proposición 4 para trabajar hacia atrás y ver qué forma debe tener un entero que cumple lo que se quiere. Divide en casos para que el producto se $49$.

Solución. Tomemos $a$ un entero y $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}$ su factorización en primos. Por la Proposición 4, necesitamos que $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_n+1)=49$.

A la izquierda tenemos puros números mayores o iguales que $2$. El número $49$ tiene como únicos divisores a $1$, $7$ y $49$. De esta forma, sólo hay dos casos posibles:

  • El número $a$ tiene sólo un divisor primo y $a=p_1^{48}$.
  • El número $a$ tiene dos divisores primos y $a=p_1^6p_2^6$.

El primer caso es imposible, pues $p_1$ sería por lo menos $2$ y $$2^{48}>2^{20}=(1024)^2>(1000)^2>10000.$$ Para el segundo caso, recordemos que $p_2>p_1$ en la factorización en primos. Si $p_2\geq 5$, entonces como $p_1\geq 2$, tendríamos $$a\geq (2\cdot 5)^6 = 1000000>10000,$$ así que esto no es posible.

La única otra posibilidad es $p_2=3$ y por lo tanto $p_1=2$. En este caso obtenemos al número $a=(2\cdot 3)^6=6^6=46656$, que sí cae en el intervalo deseado. Así, sólo hay un número como el que se pide.

$\square$

La factorización en primos también sirve para encontrar máximos comunes divisores y mínimos comunes múltiplos.

Proposición 4.  Se pueden calcular $\MCD{a,b}$ y $\mcm{a,b}$ como sigue:
\begin{align*}
\text{MCD}(a,b)&=p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2,\beta_2)}\cdot\ldots\cdot p_n^{\min(\alpha_n,\beta_n)}\\
\text{mcm}(a,b)&=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2,\beta_2)}\cdot\ldots\cdot p_n^{\max(\alpha_n,\beta_n)}.
\end{align*}

Volvamos a ver un problema que ya habíamos resuelto con anterioridad.

Problema. Demuestra que $\MCD{a,b}\mcm{a,b}=ab$.

Sugerencia pre-solución. Usa la Proposición 4. Puedes argumentar algunos pasos por simetría.

Solución. Expresemos a $a$ y $b$ en su factorización en primos como lo discutimos arriba. Al multiplicar $\MCD{a,b}$ y $\mcm{a,b}$, el exponente de $p_i$ es $\min(\alpha_i,\beta_i)+\max(\alpha_i,\beta_i)=\alpha_i+\beta_i$. Este es el mismo exponente de $p_i$ en $ab$. Así, ambos números tienen la misma factorización en primos y por lo tanto son iguales.

$\square$

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Si $p$ es primo, entonces todo entero $n$ que no sea múltiplo de $p$ tiene inverso módulo $n$. Esto se usa en los teoremas de Fermat y Wilson. También hay una entrada con ejercicios de estos teoremas resueltos en video.

Álgebra Lineal I: Problemas de cambio de base

Por Blanca Radillo

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Introducción

En las entradas anteriores platicamos acerca de matrices de cambio de base. Vimos cómo nos ayudan a pasar un vector expresado en una base a otra. También vimos cómo nos ayudan a entender una transformación lineal en bases distintas. En esta entrada, veremos algunos ejemplos para repasar estos conceptos.

Problemas resueltos

Problema 1. Considera las familias de vectores $B=\{v_1,v_2,v_3\}$, $B’=\{w_1,w_2,w_3\}$, donde $$v_1=(0,1,1), \ v_2=(1,0,1), \ v_3=(1,1,0)$$ y $$w_1=(1,1,-1), \ w_2=(1,0,-1), \ w_3=(-1,-1,0).$$

  1. Prueba que $B$ y $B’$ son bases de $\mathbb{R}^3$.
  2. Encuentra la matriz de cambio de base $P$ de $B$ a $B’$ usando la definición de $P$.
  3. Encuentra la matriz de cambio de base $P$ usando la base canónica de $\mathbb{R}^3$ y la última proposición de esta entrada.

Solución. (1) Dado que $\dim \mathbb{R}^3=3$ y estas familias son de tres vectores, basta con demostrar que son vectores linealmente independientes. Una manera de hacerlo es formando la matriz obtenida al colocar a los vectores como renglones y reducirla hasta la matriz identidad $I_3$.

Para $B$, la matriz asociada es $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Haciendo los cálculos de la reducción, obtenemos que

\begin{align*}
&\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\\
\to&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Esto implica que los vectores en $B$ son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base $\mathbb{R}^3$.

Para $B’$, la matriz asociada es $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Reduciendo la matriz, tenemos que

\begin{align*}&\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\end{align*}

Por lo tanto, $B’$ también es una base de $\mathbb{R}^3$.

(2) Recordemos que la matriz de cambio de base $P$ está definida como la matriz $[p_{ij}]$ cuya columna $j$ tiene como entradas a las coordenadas de $w_j$ escrito en términos de la base $B$. Entonces, expresemos

\begin{align*}
(1,1,-1)&=w_1=av_1+bv_2+cv_3=(b+c,a+c,a+b),\\
(1,0,-1)&=w_2=dv_1+ev_2+fv_3=(e+f,d+f,d+e),\\
(-1,-1,0)&=w_3=gv_1+hv_2+kv_3=(h+k,g+k,g+h),
\end{align*}

obteniendo que

\begin{align*}
b+c&=1\\
a+c&=1\\
a+b&=-1\\
e+f&=1\\
d+f&=0\\
d+e&=-1\\
h+k&=-1\\
g+k&=-1\\
g+h&=0.
\end{align*}

Si resolvemos el sistema anterior, concluimos que $a=b=-\frac{1}{2}$, $c=\frac{3}{2}$, $d=-1$, $e=0$, $f=1$, $g=h=0$, $k=-1$. Por lo tanto

$$P=\begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

(3) Sea $B»=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Queremos encontrar la matriz de cambio de base denotada como $\text{Mat}_B (B’)$. Usando la última proposición de la clase del lunes, tenemos que

$$\text{Mat}_B (B’)=\text{Mat}_{B} (B») \cdot \text{Mat}_{B»} (B’)=(\text{Mat}_{B»} (B))^{-1} \cdot \text{Mat}_{B»} (B’).$$

Por definición,

$$\text{Mat}_{B»} (B)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \text{Mat}_{B»} (B’)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Para calcular $(\text{Mat}_{B»} (B))^{-1}$, lo haremos como ya lo hemos visto en clases: pegando a la derecha una matriz identidad y aplicando reducción gaussiana:

\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 \end{array} \right) \\ \rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{array} \right).
\end{align*}

Por lo tanto, $$(\text{Mat}_{B»}(B))^{-1}=\begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}.$$

Finalmente, usando la proposición, tenemos que

$$P=\text{Mat}_B (B’)=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 & -1 \end{pmatrix}. $$

Esto coincide con el cálculo que hicimos previamente.

$\square$

Problema 2. Considera la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

y sea $T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ la transformación lineal asociada, es decir $T(X)=AX$ para todo $X\in\mathbb{R}^3$. Considera los vectores

$$v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \ v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

  1. Prueba que $v_1,v_2,v_3$ forman una base de $\mathbb{R}^3$ y calcula la matriz de $T$ con respecto a esta base.
  2. Encuentra la matriz de cambio de base de la base canónica a la base $\{v_1,v_2,v_3\}$.
  3. Calcula $A^n$ para todo entero positivo $n$.

Antes de ver la solución a este problema este problema, observa que sería muy difícil decir quién es $A^{100}$ «a mano» si procedes directamente. Se tendrían que hacer muchas multiplicaciones matriciales, que son difíciles. Ten en mente esto cuando leas la solución de la parte 3.

Solución. (1) Dado que la dimensión de $\mathbb{R}^3$ es 3 y $\{v_1,v_2,v_3\}$ son tres vectores, basta con demostrar que éstos son linealmente independientes para probar que forman una base. Sean $a,b,c\in\mathbb{R}$ tales que $av_1+bv_2+cv_3=0$, entonces

\begin{align*}
&a+b+c=0, \ a-c=0, \ -a-b=\\
\Rightarrow &a=c, -a=b, a-a+a=0 \\
\Rightarrow &a=0, c=0, b=0.
\end{align*}

Entonces, son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Nota: Otra manera de demostrarlo es considerar la matriz formada por los vectores $v_1,v_2,v_3$ como sus columnas, reducirla y llegar a que la matriz reducida es la matriz identidad.

Ahora, para calcular la matriz de $T$ con respecto a la nueva base, expresaremos $T(v_1),T(v_2), T(v_3)$ en términos de $v_1,v_2,v_3$. Entonces tenemos que

$$T(v_1)=Av_1=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=v_1,$$

$$T(v_2)=Av_2=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}=2v_2,$$

$$T(v_3)=Av_3=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}=3v_3.$$

Por lo tanto, la matriz que buscamos es $$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

(2) Lo haremos de la misma manera que en el inciso (2) del problema anterior, que consiste en escribir a los $v_1,v_2,v_3$ en la base canónica, pero ésto es obvio ya que están escritos de esa manera, por lo tanto $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

(3) Sabemos que la matriz de $T$ con respecto a $v_1,v_2,v_3$ (que nombramos en el inciso (1) como $B$) es igual a $P^{-1}AP$, gracias al último corolario de la sección «Matrices de cambio de base y transformaciones lineales» de la entrada anterior. Entonces $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

Es fácil ver (pero lo pueden demostrar por inducción en $n$) que $$(P^{-1}AP)^n=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\dots (P^{-1}AP)=P^{-1}A^n P.$$

Esto implica que $P^{-1}A^n P=B^n$, es decir $$P^{-1}A^n P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}.$$

Multiplicando por $P$ a la izquierda y por $P^{-1}$ a la derecha, obtenemos que $$A^n=P\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}P^{-1} .$$

Para ello, nos falta calcular la inversa de $P$, y eso lo haremos como siempre lo hemos hecho: reduciendo la matriz. Entonces

\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right). \end{align*}

Como consecuencia, tenemos que $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Por lo tanto,

\begin{align*}
A^n &=P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} P^{-1}\\
&=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align*}

$$A^n= \begin{pmatrix} 1-2^n+3^n & 1-2^n & 1-2^{n+1}+3^n \\ 1-3^n & 1 & 1-3^n \\ 2^n-1 & 2^n-1 & 2^{n+1}-1 \end{pmatrix}.$$

$\square$

El ejercicio anterior deja una moraleja importante de álgebra lineal: si tenemos una matriz $A$ y logramos encontrar una matriz diagonal $B$ similar a ella, entonces será fácil encontrar $A^n$. Para finalizar esta sesión, tenemos el siguiente problema.

Problema 3. Prueba que las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \text{y} \ B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ son similares.

Solución. Para resolverlo usaremos el corolario de la entrada anterior. Al escribirlo en este contexto, dice lo siguiente:

Corolario. Sea $T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4$ una transformación lineal. Sean $B’$ y $B»$ bases de $\mathbb{R}^4$ y $P$ la matriz de cambio de base de $B’$ a $B»$. Entonces $\text{Mat}_{B»}(T)=P^{-1} \text{Mat}_{B’}(T) P.$

Si podemos encontrar una transformación $T$ y bases $B’$ y $B»$ tales que $\text{Mat}_{B’}(T)=A$ y $\text{Mat}_{B»} (T)=B$, podemos calcular la matriz de cambio de base $P$, y satisface que $B=P^{-1}AP$, implicando que $A$ y $B$ sean matrices similares. Entonces, el problema se reduce a encontrar la transformación, las bases y calcular $P$.

Dado que $\text{Mat}_{B’}(T)=A$, si $B’$ es la base canónica, es claro que la transformación $T$ satisface que $T(X)=AX$ para todo $X\in\mathbb{R}^4$.

Ahora, encontremos $B»$. Sea $B»=\{ v_1,v_2,v_3,v_4 \}$ con

$$v_1=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ w_1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ w_2 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \\ w_3 \end{pmatrix}, v_4=\begin{pmatrix} x_4 \\ y_4 \\ z_4 \\ w_4 \end{pmatrix}.$$

Dado que $\text{Mat}_{B»}(T)=B$, entonces satisface

$$T(v_1)=Av_1=v_1, \ T(v_2)=Av_2=2v_1+v_2,$$

$$T(v_3)=Av_3=3v_1+2v_2+v_3, \ T(v_4)=Av_4=4v_1+3v_2+2v_3+v_4.$$

Resolviendo lo anterior, obtenemos que

$$Av_1=\begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ y_1+z_1 \\ z_1+w_1 \\ w_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ w_1 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$

$$Av_2=\begin{pmatrix} x_2+y_2 \\ y_2+z_2 \\ z_2+w_2 \\ w_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2+2 \\ y_2 \\ z_2 \\ w_2 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$

$$Av_3=\begin{pmatrix} x_3+y_3 \\ y_3+z_3 \\ z_3+w_3 \\ w_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_3+5 \\ y_3+4 \\ z_3 \\ w_3 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix},$$

y por último

$$Av_4=\begin{pmatrix} x_4+y_4 \\ y_4+z_4 \\ z_4+w_4 \\ w_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_4+9 \\ y_4+16 \\ z_4+8 \\ w_4 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix}$$

Aquí estamos usando que los sistemas de ecuaciones que se obtienen tienen como variables libres a $x_1,x_2,x_3,x_4$, las cuales las estamos tomando todas ellas iguales a $1$.

Estos vectores son linealmente independientes pues la matriz con ellos como columnas es triangular superior con entradas en la diagonal distintas de cero, de modo que su matriz reducida es la identidad. Como $\mathbb{R}^4$ es de dimensión $4$ y $B»$ es un conjunto de cuatro vectores linealmente independientes, entonces $B»$ es una base. Más aún, $B»$ es una base tal que $\text{Mat}_{B»} (T)=B$, por construcción.

Finalmente, podemos calcular la matriz de cambio de base $P$ de $B’$ a $B»$, pero es fácil ya que $B’$ es la base canónica, entonces $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.$$

Por propiedades de la matriz de cambio de base, sabemos que $P$ es invertible. Entonces, para terminar la prueba, podemos encontrar $P^{-1}$ y verificar que $B=P^{-1}AP$, o simplemente verificamos que $PB=AP$, y por lo tanto $A$ y $B$ son matrices similares. Lo haremos de la segunda manera. En efecto,

$$PB=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & 9 & 25 \\ 0 & 0 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

$$AP=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & 9 & 25 \\ 0 & 0 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.$$

Por lo tanto, $A$ y $B$ son matrices similares.

Nota: si calculas la inversa de $P$, obtienes como resultado que $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} & -\frac{5}{16} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{8} & \frac{11}{16} \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}.$$

$\square$

Entradas relacionadas


Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: Máximo común divisor

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

5 respuestas

Con esta entrada comenzamos a tratar los temas de números enteros y su aritmética. Varios de los temas que se ven aquí se estudian a profundidad en un curso de Álgebra Superior, así que varios de los resultados los enunciaremos sin demostración. Lo que nos interesa es cómo se pueden utilizar los resultados principales de la teoría de números enteros para la resolución de problemas matemáticos.

Divisibilidad y máximo común divisor

Trabajaremos todo el tiempo con números enteros, a menos que digamos lo contrario.

Decimos que $a$ divide a $b$ si $b$ es un mútiplo de $a$, es decir, si existe un $r$ tal que $b=ra$. Lo escribimos en símbolos como $a\mid b$. También decimos que $a$ es divisor de $b$.

Proposición 1. La relación de divisibilidad es reflexiva y transitiva, pero no es simétrica. Si $a\mid b$ y $b\mid a$, entonces $|a|=|b|$, es decir $a=b$ o $a=-b$.

Si tenemos varios números $a_1,\ldots,a_n$, el máximo común divisor es el mayor número que divide a todos. El mínimo común múltiplo es el menor entero positivo que es múltiplo de todos. Los denotamos respectivamente por $\MCD{a_1,\ldots,a_n}$ y $\mcm{a_1,\ldots,a_n}$.

Proposición 2. Si $n$ divide a $a$ y a $b$, entonces divide a cualquier combinación lineal entera $ra+sb$ de ellos. En particular, si $n$ divide a dos términos de la igualdad $a+b=c$, entonces divide al tercero.

Notemos que $a+(b-a)=b$. Por la Proposición 2, un divisor de $a$ y $b$ será divisor de $b-a$, y uno de $b-a$ y de $a$ será divisor de $b$. De aquí sale que $\MCD{a,b}=\MCD{a,b-a}$

Problema. Determina todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ tales que cumplen las siguientes tres propiedades simultáneamente:

  1. $f(a,a)=a$ para todo entero positivo $a$.
  2. $f(a,b)=f(b,a)$ para todo par de enteros positivos $a$ y $b$.
  3. $f(a,b)=f(a,a+b)$ para todo par de enteros positivos $a$ y $b$.

Sugerencia pre-solución. Haz casos particulares que puedas obtener a partir de esas propiedades para conjeturar el valor de $f(a,b)$ para todos $a$ y $b$ enteros positivos. Intenta probar tu conjetura por inducción fuerte.

Solución. Vamos a mostrar que $f(a,b)=\MCD{a,b}$ para todo par de enteros positivos $a$ y $b$. Vamos a probarlo por inducción sobre la suma $a+b$. Como $a$ y $b$ son enteros positivos, la menor suma que pueden tener es $2$ y en este caso $a+b=2$ implica $a=b=1$. Por la hipótesis 1, tenemos $f(1,1)=1$, que coincide con $\MCD{1,1}$.

Supongamos que el resultado es cierto cuando $a+b=k$ para todo entero $k=1,\ldots,n$ y tomemos $a$ y $b$ enteros de suma $n+1$. Si $a=b$, entonces $$f(a,b)=f(a,a)=a=\MCD{a,a}=\MCD{a,b},$$ como queremos. Si $a\neq b$, por la simetría que nos da la hipótesis 2 podemos suponer $b>a$. Por la hipótesis 3, $$f(a,b)=f(a,a+(b-a))=f(a,b-a).$$ En la expresión de la derecha, tenemos que sus entradas suman $a+(b-a)=b<a+b=n+1$, de modo que podemos aplicar la hipótesis inductiva para obtener que $f(a,b-a)=\MCD{a,b-a}$. Por la discusión antes de este problema, $\MCD{a,b-a}=\MCD{a,b}$. Así, concluimos que $f(a,b)=\MCD{a,b}$, como queríamos.

$\square$

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un número son especiales. No sólo son el divisor más grande y el múltiplo más chico, sino que además si hay otro divisor de todos los números (o múltiplo de todos los números), además se cumplen ciertas divisibilidades.

Proposición 3. Si tenemos otro número $d$ que sea divisor de $a_1,\ldots,a_n$, entonces $$d\mid \MCD{a_1,\ldots,a_n}.$$ Si tenemos otro número $M$ que sea múltiplo de $a_1,\ldots,a_n$, entonces $$\mcm{a_1,\ldots,a_n}\mid M.$$

Problema. Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Muestra que $$\MCD{a,b}\mcm{a,b}=ab.$$

Sugerencia pre-solución: Intenta resolver el problema antes de ver la solución. Para ello, necesitarás la Proposición 1 y la Proposición 3.

Solución. Para simplificar la notación, tomamos $D=\MCD{a,b}$ y $m=\mcm{a,b}$.

Como $D$ divide a $a$ y $b$, existen enteros $r$ y $s$ tales que $a=rD$ y $b=sD$. Notemos que $rsD=as=br$, así que $rsD$ es un múltiplo de $a$ y $b$, y por la Proposición 3, tenemos que $m\mid rsD$. Multiplicando por $D$ esta divisibilidad, tenemos que $Dm\mid rsD^2=ab$.

Como $ab$ es múltiplo de $a$ y de $b$, por la Proposición $3$ es múltiplo de $m$, digamos $ab=km$. Notemos que de aquí, tenemos $a=k(m/b)$ con $m/b$ entero y $b=k(m/a)$ con $m/a$ entero, de modo que $k$ divide a $a$ y a $b$. Como $D$ es máximo común divisor, por la Proposición 3 tenemos que $k\mid D$. Multiplicando por $m$ esta divisibilidad, tenemos que $km\mid DM$, es decir, $ab\mid Dm$.

Con esto logramos conseguir que $ab\mid Dm$ y $Dm\mid ab$. Por la Proposición $1$, tenemos que $|ab|=|Dm|$, pero como $a$, $b$, $D$, $m$ son positivos, entonces $ab=Dm$.

$\square$

Algoritmo de la división y algoritmo de Euclides

Tomemos $a$ y $b$ enteros. Si intentamos expresar a $a$ como múltiplo de $b$, puede que no lo logremos. Pero podemos acercarnos lo más posible y dejar un residuo «pequeño». Esto es lo que dice el algoritmo de la división.

Teorema 1 (Algoritmo de la división). Para enteros $a$ y $b\neq 0$, existen únicos enteros $q$ y $r$ tales que $0\leq r < |b|$ y $a=bq+r$.

Consideremos la igualdad $a=bq+r$ en el algoritmo de la división y apliquemos la Proposición 2. Si $d$ divide a $a$ y $b$, entonces divide a $r$. Si $d$ divide a $r$ y a $b$, entonces divide a $a$. Así, $\MCD{a,b}=\MCD{b,r}$, en donde $b$ y $r$ ahora son números más chicos que $a$ y $b$. De este modo, podemos hacer varias veces el algoritmo de la división para obtener igualdades
\begin{align*}
a&=bq_1+r_1\\
b&=r_1 q_2 + r_2\\
r_1&= r_2q_3 + r_3\\
&\vdots\\
r_{n-2}&= r_{n-1}q_n + r_n\\
r_{n-1}&= r_nq_{n+1} + 0\\
\end{align*}

de las que obtenemos $$\MCD{a,b}=\MCD{b,r_1}=\ldots=\MCD{r_n,0}=r_n.$$
En las igualdades llegamos a un residuo $0$ pues $b>r_1>r_2>r_3>\ldots\geq 0$ es una sucesión estrictamente decreciente de enteros no negativos.

En particular, obtenemos $$\MCD{a,b}=r_n.$$ A esto se le conoce como el algoritmo de Euclides, que enunciamos en otras palabras a continuación.

Teorema 2 (Algoritmo de Euclides). Podemos obtener el máximo común divisor de $a$ y $b$ aplicando el algoritmo de la división a $a$ y $b$, a $b$ y el residuo obtenido y luego repetidamente a los residuos que se van obteniendo. El último residuo no cero es $\MCD{a,b}$.

Hay todavía una conclusión adicional muy importante que podemos obtener a partir del algoritmo de Euclides.

Problema. Sean $a\geq b$ enteros. Sean $q_i$ y los $r_i$ los números obtenidos en el algoritmo de Euclides. Definimos recursivamente una sucesión de $n+1$ vectores en $\mathbb{R}^3$ como sigue:

\begin{align*}
v_1&=(a,1,0)\\
v_2&=(b,0,2)\\
v_{i+2}&=v_{i}-q_iv_{i+1}\quad \text{para $i=1,\ldots,n-1$}
\end{align*}

Sean $r_{-1}=a$ y $r_{0}=b$. Muestra que para $i=1,2,3,\ldots,n+1$ se tiene que $v_i=(x_i,y_i,z_i)$, en donde:

  • $x_i=r_{i-2}$
  • $x_i=ay_i+bz_i$

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver el problema haciendo inducción sobre el índice. Los casos $i=1,2$ son inmediatos.

Solución. Procedemos por inducción fuerte en el subíndice $i$. Para $i=1,2$, el resultado es cierto pues $x_1=a=r_{-1}$, $x_2=b=r_0$, $a=1\cdot a + 0 \cdot b$ y $b=0 \cdot a + 1\cdot b$. Supongamos el resultado cierto para los índices $1,2,\ldots, k$ para algún $2\leq k\leq n$. Tomemos el índice $k+1$.

Estudiemos primero la entrada $x_{k+1}$. Por definición de la recursión e hipótesis inductiva
\begin{align*}
x_{k+1}&=x_{k-1}-q_{k-1}x_{k}\\
&=r_{k-3}-q_{k-1}r_{k-2}\\
&=r_{k-1},
\end{align*}

que es lo que queríamos mostrar para la entrada $x_{k+1}$. Para la segunda parte, de nuevo usando la recursión e hipótesis inductiva, tenemos que
\begin{align*}
x_{k+1}&=x_{k-1}-q_{k-1}x_{k}\\
&=ay_{k-1}+bz_{k-1} – q_{k-1} (ay_{k}+bz_{k})\\
&=a(y_{k-1}-q_{k-1}y_k) + b(z_{k-1}-q_{k-1}z_k)\\
&=ay_{k+1}+bz_{k+1}.
\end{align*}

Con esto terminamos la inducción.

$\square$

El problema anterior nos dice que, en particular, $r_n=ay_n+bx_n$. Esta conclusión es muy importante y la enunciamos como teorema.

Teorema 3. El máximo común divisor de enteros $a$ y $b$ se puede escribir como combinación lineal entera de $a$ y $b$, es decir, existen enteros $m$ y $n$ tales que $\MCD{a,b}=am+bn$.

Veamos un ejemplo concreto de cómo podemos usar el problema para encontrar la combinación lineal que da el máximo común.

Problema. Expresa al máximo común divisor de $754$ y $221$ como combinación lineal entera de estos números.

Solución. Hacemos la siguiente tabla, en donde ponemos a los vectores del problema como vectores columna (en los renglones $2,3,4$). En el primer rengón vamos apuntando las $q_i$.

3223
7542219139130
101-25-17
01-37-1758

Explicamos un poco más de donde sale la tabla. Las primeras dos columnas son los vectores $v_1$ y $v_2$ del problema, que son $(754,1,0)$ y $(221,0,1)$. Para la tercer columna, nos preguntamos ¿cuántas veces cabe $221$ en $754$? La respuesta es $3$, así que ponemos un $3$ arriba (para acordarnos) y hacemos la resta de la primera columna menos tres veces la segunda. Eso va en la tercer columna.

Para la cuarta columna, nos preguntamos ¿cuántas veces cabe $91$ en $221$? La respuesta es $2$, así que lo apuntamos arriba, y la cuarta columna es la segunda, menos dos veces la tercera. Continuamos así hasta que obtengamos un $0$. La columna anterior nos dice que $13$ es el máximo común divisor, y que la combinación lineal es $$13=754\cdot 5 + 221 \cdot 58.$$

$\square$

Aquí hay otros dos problemas con aplicaciones de las ideas que vimos en esta entrada.

Problema. Muestra que para todo entero $n$ se tiene que la fracción $\frac{41-6n}{9n-61}$ es irreducible.

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver el problema. Lo que quieres mostrar es que $41-6n$ y $9n-61$ nunca tienen divisores en común.

Solución. Notemos que $41-6n$ y $9n-61$ tienen una combinación lineal que da $1$. En efecto, $$3\cdot (41-6n) + 2\cdot (9n-61) = 123-18n+18n-122=1.$$

Cualquier entero $d$ que divida a $41-6n$ y a $9n-61$ tiene entonces que dividir a $1$, lo cual muestra que $\MCD{41-6n,9n-61}=1$, y por lo tanto la fracción siempre es irreducible.

$\square$

Problema. Se tiene un número irracional $\alpha$ para el cual $\alpha^{91}$ y $\alpha^{119}$ son números racionales. Muestra que $\alpha^{14}$ es un número racional.

Sugerencia pre-solución. Encuentra el máximo común divisor de $91$ y $119$. Recuerda que las potencias de racionales son racionales, y productos de racionales también.

Solución. Como $91=7\cdot 13$ y $119=7\cdot 13$, tenemos que $\MCD{91,119}=7$. De esta forma, existen enteros $m$ y $n$ tales que $7=91m+119n$, de donde $14=91 \cdot (2m)+119 \cdot(2n)$.

Sabemos que $\alpha^{91}$ es racional, así que $(\alpha^{91})^{2m}$ también. Análogamente, $(\alpha^{119})^{2n}$ es racional. De esta forma, el número $$\alpha^{14}=(\alpha^{91})^{2m}\cdot (\alpha^{119})^{2n}$$ también lo es.

$\square$

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

El Teorema 3 es fundamental para cuando se quieren determinar inversos multiplicativos trabajando módulo $n$.

Seminario de Resolución de Problemas: Aritmética modular

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En la entrada anterior hablamos de divisibilidad, máximo común divisor y combinaciones lineales enteras. Cuando hablamos de trabajar en artimética modular nos referimos a que tomamos un entero $n$ y realizamos todas las operaciones «sólo en el mundo de $n$», es decir, aplicando las operaciones únicamente en los residuos que deja un número al ser dividido entre $n$.

Cuando estamos trabajando módulo $n$, dos enteros $a$ y $b$ «son los mismos» si $n$ divide a $a-b$. En este caso decimos que $a\equiv b \pmod n$, que se lee «$a$ es congruente con $b$ módulo $n$».

En esta entrada de blog discutimos la relación «ser congruente con» y cómo se puede enunciar en términos de anillos. Ahí damos las demostraciones de varias de las propiedades que no probaremos aquí. Es recomendable por lo menos echarle un ojo.

Aritmética modular

Para recordar los principios básicos de la aritmética modular, comencemos con el siguiente problema.

Problema. Determina cuál es el residuo obtenido de dividir $1305\cdot 1302+1314\cdot 1311$ al dividirse entre $11$.

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver este problema trabajando módulo $11$.

Solución. Tenemos que $1305$, $1302$, $1314$ y $1311$ los podemos poner como un múltiplo de $13$ más un residuo como sigue: $1300+5$, $1300+2$ y $1313+1$, $1300+11$. Así, $1305\equiv 5\pmod {13}$, $1302\equiv 2 \pmod {13}$, $1314\equiv 1 \pmod {13}$ y $1311\equiv 11 \pmod {13}$. Así, trabajando módulo $1$ tenemos que:

\begin{align*}
1305\cdot 1302+1314\cdot 1311 &\equiv 5\cdot 2 + 1\cdot 11 \\
&\equiv 10 + 11 \equiv 21 \\
&\equiv 8 \pmod {13}
\end{align*}
De esta forma, $1305\cdot 1302+1314\cdot 1311$ deja residuo $8$ al dividirse entre $13$.

$\square$

Utilizando el algoritmo de la división, que vimos en la entrada anterior, se puede probar el siguiente resultado.

Proposición. Para cada entero $a$ y entero positivo $n$, existe un único número $r$ en $\{0,1,\ldots,n-1\}$ tal que $a\equiv r\pmod n$, que es justo el residuo obtenido al dividir $a$ entre $n$.

Dicho en otras palabras, sólo hay $n$ posibles residuos al dividir entre $n$. Esto nos permite que las operaciones módulo $n$ siempre las hagamos con números chiquitos, y que afirmaciones sencillas de divisibilidad entre $n$ dependen sólo de $n$ casos. Esto lo podemos aprovechar para resolver problemas como el siguiente.

Problema. Se tienen $13$ números enteros. Muestra que hay tres de ellos $a,b,c$ que satisfacen que $$1331\mid (a-b)(b-c)(c-a).$$

Sugerencia pre-solución. Notemos que $1331=11^3$, así que trabajamos módulo $11$. Encuentra todas las posibilidades que pueden tener los números cuadrados.

Solución. Un entero $n$ sólo puede ser congruente con alguno de los números $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ módulo $11$. Los cuadrados tienen entonces las siguientes posibilidades:

$n$$n^2 \pmod {11}$
$0$$0$
$1$$1$
$2$$4$
$3$$9$
$4$$16\equiv 5$
$5$$25\equiv 3$
$6$$36\equiv 3$
$7$$(-4)^2\equiv 5$
$8$$9$
$9$$4$
$10$$1$

A partir del $6$ estamos aprovechando que ya conocemos los del $1$ al $6$ y que $a \equiv a-11 \pmod {11}$. Notemos que sólo hay $6$ residuos posibles para los cuadrados módulo $11$, que son $0$, $1$, $4$, $9$, $5$ y $3$.

Ahora sí, resolvamos el problema. Como tenemos $13$ números enteros y sólo hay $6$ posibles residuos para los cuadrados módulo $11$, entonces por principio de las casillas hay tres de estos enteros cuyo cuadrado deja el mismo residuo al dividirse entre $11$, digamos $a,b,c$. Como dejan los tres el mismo residuo, tenemos $11\mid a-b$, $11\mid b-c$ y $11\mid c-a$, de donde se sigue la conclusión que queremos.

$\square$

Últimos dígitos

Los últimos $m$ dígitos de un entero $n$ corresponden con el residuo de dividir $n$ entre $10^m$. Por esta razón, en este tipo de problemas es conveniente usar módulos.

Problema. Determina los últimos dos dígitos de $7^{25}+25^7$.

Sugerencia pre-solución. Trabajamos módulo $100$, así que todas las congruencias son módulo $100$. Hay muchas formas de proceder para encontrar $7^{21}$. Notemos que $7^{2}\equiv 49$. y que $$7^4\equiv 49\times 49 = 2401 \equiv 1.$$ Esto es una gran ventaja, pues entonces $7^{24}\equiv (7^4)^6 \equiv 1^6 \equiv 1$, así que $7^{25}\equiv 7$.

Para $25^7$, nos conviene notar que $25=20+5$, de modo que
\begin{align*}
25^2&=(20+5)^2\\
&=20^2+2\cdot 20 \cdot 5 + 25\\
&\equiv 25,
\end{align*}

pues los primeros dos sumandos son múltiplos de $100$. De esta forma, $25^7\equiv 25$. Así, $7^{25}+25^7\equiv 7+25\equiv 32$, por lo que los dos últimos dígitos de la expresión son $32$.

$\square$

Veamos otro ejemplo en el que además combinamos un poco de la teoría mencionada en la entrada anterior.

Problema. Demuestra que existe un entero que es múltiplo de $2002$ y que tiene por lo menos $2002$ dígitos iguales a $7$.

Sugerencia pre-solución. Intenta hacer que los $2002$ dígitos $7$ que se necesitan aparezcan hacia el final. Esto te permitirá usar congruencias. Además, necesitarás el resultado de la entrada anterior que dice que el máximo común divisor de dos números se puede expresar como combinación lineal entera de ellos.

Solución. Tomemos el número $N=777\cdots770$, en donde hay $2002$ dígitos iguales a $7$.

El máximo común divisor de $2002$ y $10^{2003}$ es $2$, de modo que existen enteros $m$ y $n$ tales que $2002m+10^{2003}n=2$.

Multiplicando esta igualdad por el entero $N/2$, obtenemos que $2002\cdot \frac{mN}{2}+10^{2003}\frac{nN}{2}=N$. Aplicando módulo $10^{2003}$ obtenemos que $2002\cdot \frac{mN}{2} \equiv N \pmod {10^{2003}}$.

Como $N<10^{2003}$, esto nos dice que $2002\cdot \frac{mN}{2}$ es un múltiplo de $2002$ cuyos últimos $2003$ dígitos son los de $N$, es decir, que tiene por lo menos $2002$ dígitos iguales a $7$.

$\square$

Teorema chino del residuo

En algunos problemas necesitamos construir un entero que satisfaga un conjunto de congruencias. El teorema chino del residuo nos da una condición bajo la cual podemos garantizar la existencia de dicho número.

Teorema. Sea $n\geq 2$ un entero, $b_i$ enteros para $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ y $m_i$ enteros positivos para $i\in\{1,\ldots,n\}$. Supongamos además que cada par $m_i, m_j$ de enteros ($i\neq j$) son primos relativos. Entonces el sistema lineal de congruencias
\begin{align*}
x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\
x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\
&\vdots\\
x&\equiv b_n\pmod {m_n}
\end{align*}
tiene una y sólo una solución módulo $m_1m_2\ldots m_n$.

El teorema tiene muchas aplicaciones tanto en resolución de problemas, como en matemáticas en general. Veamos un ejemplo.

Problema. ¿Será posible encontrar $5$ enteros consecutivos tales que cada uno de ellos sea divisible entre un cubo distinto de $1$?

Sugerencia pre-solución. Intenta construir el ejemplo usando el teorema chino del residuo con $5$ módulos y en donde los $b_i$ son consecutivos.

Solución. Por el teorema chino del residuo, existe un entero positivo $n$ tal que
\begin{align*}
n&\equiv 0 \pmod{2^3}\\
n&\equiv -1\pmod{3^3}\\
n&\equiv -2\pmod{5^3}\\
n&\equiv -3\pmod{7^3}\\
n&\equiv -4\pmod{11^3}
\end{align*}

Para este entero, se tiene que $2^3$ divide a $n$, $3^3$ divide a $n+1$, $5^3$ divide a $n+2$, $7^3$ divide a $n+3$ y $11^3$ divide a $n+4$.

$\square$

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Hay otros dos teoremas que sirven cuando estamos trabajando módulo $n$, de los cuales hemos escrito aquí en el blog. Para empezar, aquí hay una entrada con videos de ejercicios de trabajar módulo $n$.

El teorema de Fermat y el de Wilson ayudan a entender potencias y factoriales, respectivamente. En la entrada sobre el teorema chino del residuo damos una demostración al teorema.

Seminario de Resolución de Problemas: Bases numéricas y dígitos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En las entradas anteriores de teoría de números hemos hablado acerca de divisibilidad, de aritmética modular y de factorización única en primos. En esta entrada vamos a hablar de propiedades que podemos deducir de ciertos números a partir de su dígitos.

Usualmente escribimos a los números en base $10$, usando los dígitos de $1$ a $9$. En realidad, esto es relativamente arbitrario. Podemos usar bases distintas de $10$ para expresar cualquier número de manera (casi) única. Conocer la expresión de un número en cierta base nos permite deducir propiedades algebraicas y de divisibilidad que nos ayuden a resolver problemas.

Expresión en una base arbitraria

Para cualquier base entera $b\geq 2$ que elijamos, cualquier número real se puede expresar de manera (casi) única en base $b$. La afirmación precisa es el siguiente resultado.

Teorema. Sea $r$ un número real y $b\geq 2$ un entero. Entonces, existen únicos enteros $A_0,A_1,\ldots, a_1,a_2,\ldots$ en $\{0,1,\ldots,b-1\}$ tales que $$r=\sum_{i=0}^\infty A_i b^i + \sum_{i=0}^{\infty} a_i 10^{-i}$$ y $a_i\neq b-1$ para una infinidad de $i$’s.

Para estos $a_i$ y $A_i$ escribimos $$r=(\ldots A_2A_1A_0.a_1a_2\ldots)_b,$$ en donde el subíndice indica la base que se está usando.

La condición de $a_i\neq b-1$ para una infinidad de $i’s$ está ahí para garantizar que la expresión sea única pues, por ejemplo, $1=\sum_{i=0}^\infty 9\cdot 10^{-i}=0.9999\ldots$, pero esa condición descarta la expresión de la derecha.

Si $b=2$, a esta expresión le llamamos la expresión binaria de $r$.

Ejemplo. La expresión binaria de $4/3$ es $(1.010101\ldots)_2$. ¿Por qué?

Multiplicar y dividir entre $10$ cuando tenemos números en base $10$ es sencillo: simplemente recorremos el punto decimal. Lo mismo sucede en cualquier base $b$.

Proposición. Cuando tenemos un número en base $b$ y multiplicamos por $b$, el «punto decimal» se recorre a la derecha. Cuando dividimos entre $b$ se recorre a la izquierda.

Problema. Determina si existe un real $x$ tal que $$\floor{x}+\floor{2x}+\floor{4x}+\floor{8x}= 2222.$$

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás suponiendo que la ecuación sí tiene una solución para determinar cómo tiene que verse $x$. Usa la expresión binaria de $x$.

Solución. Tenemos que $r\geq \floor{r}$ para todo real $r$, de modo que si dicho número $x$ existe, se cumple $$17x\geq \floor{x}+\floor{2x}+\floor{4x}+\floor{8x} = 2222.$$ De aquí, $x\geq 2222/17 = 130.705\ldots\geq 130$. También, $r\leq \floor{r}+1$, de modo que si $x$ existe necesitamos $$17x\leq \floor{x}+\floor{2x}+\floor{4x}+\floor{8x} + 4 = 2226.$$

De aquí, $x\leq 2226/17 =130.94\leq 131$.

Esto nos dice que $x$ es un real entre $130$ y $131$. Escribámoslo como $130$ más una parte fraccional en base $2$, es decir, de la forma $x=130+(abcde\ldots)_2$. Multiplicar por $2$ simplemente recorre el punto decimal en base $2$ un lugar hacia la derecha, de modo que
\begin{align*}
2x&=260+(a.bcde\ldots)_2\\
4x&=520+(ab.cde\ldots)_2\\
8x&=1040+(abc.de\ldots)_2,
\end{align*} y por lo tanto
\begin{align*}
\floor{x}&=130\\
\floor{2x}&=260+(a)_2=260+a\\
\floor{4x}&=520+(ab)_2=520+2a+b\\
\floor{8x}&=1040+(abc)_2=1040+4a+2b+c.
\end{align*}

Concluimos entonces que la suma buscada es igual a $1950+7a+3b+c$. Si existe el número que queremos, la ecuación $$1950+7a+3b+c=2222$$ debe tener una solución con $a$, $b$ y $c$ iguales a $0$ o a $1$. Pero esto es imposible, pues incluso aunque los tres sean iguales a $1$, tenemos a lo más $1950+11=1961$. De esta forma, no existe la $x$ que buscamos.

$\square$

Bases y números racionales

Una sucesión infinita $\{a_1,a_2,\ldots,\}$ es preperiódica si existen enteros positivos $n$ y $d$ tales que $a_m=a_{m+d}$ para todo entero $m\geq n$. A $d$ se le llama un periodo de la sucesión, y decimos que $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es periódica a partir de $a_n$.

Teorema. Sea $r$ un número real. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

  • $r$ es racional.
  • Para toda base $b$ la sucesión de dígitos después del punto $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es preperiódica.
  • Para alguna base $b$ la sucesión de dígitos después del punto $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es preperiódica.

Problema. Considera el número en binario $$r=(0.a_1a_2a_3\ldots)_2$$ en donde $a_i=0$ si $i$ es primo y $a_i=1$ si no. Determina si $r$ es un número racional o irracional.

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción, suponiendo que $r$ es racional.

Solución. Si $r$ fuera racional, la sucesión $\{a_1,a_2,\ldots\}$ sería preperiódica, de modo que existirían $n$ y $d$ tales que $a_{m+d}=a_m$ para todo $m\geq n$. Consideremos el bloque de $d$ dígitos $(a_na_{n+1}\ldots a_{n+d-1})_2$. Como el periodo de la sucesión es $d$, a partir de $a_n$ este bloque de dígitos se repite.

Los números

\begin{align*}
M&=n(2d+1)!+2,\\
M+1&=n(2d+1)!+3,\\
&\vdots\\
M+(2d-1)&=n(2d+1)!+(2d+1)
\end{align*}

son $2d$ números consecutivos mayores a $n$ y tales que ninguno de ellos es primo, pues el primero es divisible entre $2$, el segundo entre $3$, …, y el último entre $2d+1$. Esto muestra que el bloque de $d$ dígitos debe consistir de puros $1$’s, pues uno de los bloques del ciclo queda contenido en el bloque de $2d$ dígitos $(a_Ma_{M+1}\ldots a_{M+2d-1})_2$. Así, a partir de $a_n$ todos los dígitos son iguales a $1$.

Pero esto es imposible, pues quiere decir que todos los enteros mayores o iguales a $n$ no son primos. Esto contradice que hay una infinidad de números primos.

$\square$

Criterios de divisibilidad

Si sabemos cómo es la expresión de un número en una base, entonces a veces podemos decir cosas acerca de su divisibilidad o residuo al dividirse entre algunos enteros relacionados con la base. Cuando estamos trabajando módulo $10$ tenemos el siguiente resultado.

Proposición (criterios de divisibilidad base 10). Sea $n$ un entero positivo. En base $10$,

  • $n$ es congruente con el número formado por sus últimos $k$ dígitos módulo $10^k$, y por lo tanto también módulo $2^k$ y módulo $5^k$.
  • $n$ es congruente con la suma de sus dígitos módulo $9$, y por lo tanto también módulo $3$.
  • Agrupemos los dígitos de $n$ de derecha a izquierda en grupos de $j$ elementos, donde el último puede tener menos de $j$. Un número es congruente con la suma alternada (más, menos, más, etc) de estos grupos módulo $10^{j}+1$.

Demostrar estos criterios es sencillo. Por ejemplo, un número $(A_nA_{n-1}\ldots A_0)_{10}$ en base $10$ es igual a $$10^{n}A_n+10^{n-1}A_{n-1}+\ldots+10 A_1+ A_0.$$ Trabajando módulo $9$, todos los $10$ son $1$, así que $$n=10^nA_n+\ldots+A_0\equiv A_n + A_{n-1}+\ldots+A_0.$$

Como ejemplo del último criterio, considera el siguiente problema:

Problema. ¿Cuál es el residuo que queda al dividir $n=1512513514515$ entre $13$?

Sugerencia pre-solución. Usa el tercer criterio de divisibilidad base $10$ para $j=3$. Factoriza $1001$.

Solución. Vamos a estudiar al número módulo $1001$. Para esto, agrupamos los dígitos de tres en tres, de derecha a izquierda $$515, 514, 513, 512, 1$$ y hacemos la suma alternada $$515-514+513-512+1=3.$$ Por el tercer criterio de divisibilidad, tenemos que $n\equiv 3 \pmod{1001}$. Notemos que $1001=7\cdot 11 \cdot 13$, de modo que $n\equiv 3 \pmod{13}$. Así, el residuo al dividir $n$ entre $13$ es $3$.

$\square$

En general, tenemos lo siguiente.

Proposición (criterios de divisibilidad base $b$). Sea $n$ un entero positivo. En base $b$:

  • $n$ es congruente con el número formado por sus últimos $k$ dígitos módulo $b^k$, y por lo tanto también módulo $d^k$ para cualquier divisor $d$ de $b$.
  • $n$ es congruente con la suma de sus dígitos módulo $b-1$ (y por lo tanto también módulo cualquier divisor de $b-1$)
  • Agrupemos los dígitos de $n$ de derecha a izquierda en grupos de $j$ elementos, donde el último puede tener menos de $j$. Un número es congruente con la suma alternada (más, menos, más, etc) de estos grupos módulo $b^{j}+1$.

Problema. Considera los números del $1$ al $500$ (inclusive). ¿Cuántos de estos números tienen una cantidad impar de $1$’s en su expresión en base $3$? ¿Cuántos de estos números tienen una cantidad impar de $1$’s en su expresión en binario?

Sugerencia pre-solución. Haz casos pequeños para encontrar un patrón que te diga cuántos números del $1$ al $n$ tienen una cantidad impar de $1$’s en su expresión en base $2$ y $3$. Para demostrar el resultado para base $3$, usa criterios de divisibilidad generalizados. Para base $2$ usa paridad y aprovecha la simetría.

Solución. Un número en base $3$ es congruente con la suma de sus dígitos módulo $2$. En base $3$ el único dígito impar es el $1$. Así, un número en base $3$ es congruente a su cantidad de dígitos $1$ módulo $2$. De esta forma, $n$ tiene una cantidad impar de $1$’s si y sólo si es impar. Por lo tanto, hay $250$ números entre $1$ y $500$ que tienen una cantidad impar de $1$’s en su expresión en base $3$.

En base $1$ el patrón no es tan claro. Los primeros números son $1$, $10$, $11$, $100$, $101$, $110$, $111$. A veces cuando se cambia de cantidad de dígitos se cambia la paridad de $1$’s (como de $11$ a $100$) y a veces no (como de $111$ a $1000$). Haremos entonces un argumento de emparejamiento.

Notemos que cualquier número par $2n$ termina en $0$ en binario y que $2n+1$ tiene la misma expansión salvo el último dígito, que ahora es $1$.Así, a los números del $2$ al $499$ los podemos agrupar en parejas en donde en cada pareja los números tienen distinta paridad de $1$’s. De esta forma, aquí hay $498/2=249$ números con una cantidad impar de $1$’s. El $1$ tiene una cantidad impar de $1$’s. El $500$ en binario es $(111110100)_2$, que tiene una cantidad par de $1$’s. Así, hay $250$ números entre $1$ y $500$ con una cantidad impar de $1$’s en binario.

$\square$

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.