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Geometría Moderna II: Circunferencias ortogonales

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

En esta entrada introduciremos un nuevo concepto: el de circunferencias ortogonales. Veremos cómo se relaciona este concepto con el de eje radical, que estudiamos en la entrada anterior.

Circunferencias ortogonales

La definición que nos interesa estudiar ahora es la siguiente.

Definición. Dos circunferencias $C_{1}$ y $C_{2}$ que se intersecan en un punto $P$ son ortogonales si sus tangentes en $P$ forman un ángulo recto.

Hagamos algunas observaciones de esta definición. Primero, dos circunferencias tangentes no pueden ser ortogonales pues si el punto de tangencia es $P$ , entonces tienen la misma tangente en $P$ . Así, las circunferencias deben intersectarse en al menos dos puntos $P$ y $Q$ . Por simetría, las tangentes en $P$ son ortogonales si y sólo si las tangentes en $Q$ lo son.

Además, si los centros son $O_{1}$ y $O_{2}$ , respectivamente, entonces sabemos que $O_{1} P$ es ortogonal a la tangente a $C_{1}$ por $P$ y análogamente $O_{2} P$ es ortogonal a la tangente a $C_{2}$ por $P$ . Así, las tangentes son ortogonales si y sólo si los radios $O_{1} P$ y $O_{2} P$ lo son.

Algunas conexiones entre circunferencias ortogonales y eje radical

Veamos un primer resultado que relaciona circunferencias ortogonales y el eje radical.

Teorema. Sean $C_{1}$ y $C_{2}$ circunferencias de centros distintos. Si $C_{3}$ es ortogonal a ambas circunferencias, entonces su centro $O_{3}$ se encuentra en el eje radical de ambas.

Demostración. Denotaremos por $T_{1}$ a uno de los puntos de intersección de $C_{1}$ y $C_{3}$ , y por $T_{2}$ a uno de los puntos de intersección de $C_{2}$ y $C_{3}$ (ver la figura a continuación). Debemos mostrar que $O_{3}$ está en el eje radical de $C_{1}$ y $C_{2}$ , es decir, que $Pot (O_{3}, C_{1}) = Pot (O_{3}, C_{2}) .$

Circunferencias Ortogonales del primer teorema.

Como $O_{3} T_{2}$ y $O_{3} T_{1}$ son radios de $C_{3}$ , entonces $O_{3} T_{1}^{2} = O_{3} T_{2}^{2} .$

En la entrada de potencia de un punto vimos que podemos calcular la potencia en términos de la longitud de una tangente como sigue: $Pot (O_{3}, C_{1}) = O_{3} T_{1}^{2} = O_{3} T_{2}^{2} = Pot (O_{3}, C_{2}) .$

Así, concluimos lo que queríamos, que $O_{3}$ está en el eje radical de $C_{1}$ y $C_{2}$ .

El siguiente resultado es similar, y en cierto sentido es un «regreso» del anterior.

Teorema. Sean $C_{1}$ y $C_{2}$ circunferencias de centros distintos. Sea $C_{3}$ una circunferencia cuyo centro $O_{3}$ está en el eje radical de las dos circunferencias dadas. Si $C_{3}$ es ortogonal a $C_{2}$ , entonces también es ortogonal a $C_{1}$ .

Demostración. Tomaremos como referencia la figura anterior. A partir de las hipótesis, queremos demostrar que $C_{3}$ es ortogonal a $C_{1}$ . Sea $r_{1}$ el radio de $C_{1}$ . Por el teorema de Pitágoras, lo que queremos sucede si y sólo si $O_{3} O_{1}^{2} - r_{1}^{2} = O_{3} T_{1}^{2} .$

Dado que $C_{3}$ es ortogonal a $C_{2}$ , el triángulo $△ O_{3} T_{2} O_{2}$ es rectángulo. Por el teorema de Pitágoras se cumple entonces que $O_{3} O_{2}^{2} - r_{2}^{2} = O_{3} T_{2}^{2}$ . Como $O_{3}$ está en el eje radical de $C_{1}$ y $C_{2}$ , y por cómo se calcula la potencia en términos de la distancia al centro y del radio, tenemos que: $O_{3} O_{2}^{2} - r_{2}^{2} = Pot (O_{2}, C_{3}) = Pot (O_{2}, C_{2}) = O_{3} O_{1}^{2} - r_{1}^{2} .$

De este modo, $O_{3} T_{1}^{2} = O_{3} T_{2}^{2} = O_{3} O_{2}^{2} - r_{2}^{2} = O_{3} O_{1}^{2} - r_{1}^{2} .$

Esto es justo lo que necesitábamos para concluir que $C_{3}$ es ortogonal a $C_{1}$ .

Posición de una circunferencia ortogonal a dos dadas con respecto a su eje radical

Veamos un resultado más, que nos habla acerca de la posición de una circunferencia en relación a otras dos a las que es tangente.

Teorema. Sean $C_{1}$ y $C_{2}$ circunferencias de centros distintos $O_{1}$ y $O_{2}$ . Sea $C_{3}$ una circunferencia ortogonal a $C_{1}$ y $C_{2}$ . La circunferencia $C_{3}$ está posicionada con respecto a la línea de los centros $O_{1} O_{2}$ de acuerdo a los siguientes tres casos:

Si $C_{1}$ y $C_{2}$ se intersectan en dos puntos, entonces $C_{3}$ no intersecta a $O_{1} O_{2}$ .
Si $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes, entonces $C_{3}$ es tangente a $O_{1} O_{2}$ .
Si $C_{1}$ y $C_{2}$ no se intersectan, entonces $C_{3}$ intersecta a $O_{1} O_{2}$ en dos puntos.

Demostración. Sea $C_{3}$ una circunferencia ortogonal a dos circunferencias dadas $C_{1}$ y $C_{2}$ . Sean $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ los radios de $C_{1}$ , $C_{2}$ y $C_{3}$ , respectivamente. Sea $X$ la intersección de $O_{1} O_{2}$ con el eje radical $l$ de las circunferencias $C_{1}$ y $C_{2}$ . Sea $T_{1}$ un punto de intersección de $O_{3}$ con $O_{1}$ y $T_{1}$ un punto de intersección de $O_{3}$ con $O_{2}$ . La figura a continuación muestra el dibujo para el primer caso.

Dado que $C_{3}$ es ortogonal a $C_{1}$ y $C_{2}$ , se tienen dos triángulos rectángulos: $△ O_{3} T_{1} O_{1} y △ O_{3} X O_{1} .$

Por el teorema de Pitágoras, tenemos que $O_{3} T_{1}^{2} + r_{1}^{2} = O_{3} O_{1}^{2} = O_{1} X^{2} + O_{3} X^{2},$

de donde $r_{1}^{2} - O_{1} X^{2} = O_{3} X^{2} - r_{3}^{2}$ . Tratemos ahora sí cada caso por separado.

Caso 1. Supongamos que $C_{1}$ y $C_{2}$ se intersectan en dos puntos. Mostraremos que $C_{3}$ no intersecta a $O_{1} O_{2}$ .

Como las circunferencias se intersectan en dos puntos, el eje radical es la recta que une las intersecciones. Por ello, $r_{1} > | O_{1} X |$ . Usando las cuentas de arriba:

$\begin{aligned} r_{1} > | O_{1} X | \\ \Rightarrow & r_{1}^{2} > O_{1} X^{2} \\ \Rightarrow & r_{1}^{2} - O_{1} X^{2} > 0 \\ \Rightarrow & O_{3} X^{2} - r_{3}^{2} > 0 \\ \Rightarrow & O_{3} X^{2} > r_{3}^{2} . \end{aligned}$

Esto último sucede si y sólo si $| O_{3} X | > r_{3}$ . Esto nos dice que $X$ está fuera de la circunferencia $C_{3}$ y entonces dicha circunferencia no intersecta a $O_{1} O_{2}$ .

Caso 2. Supongamos ahora que $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes. Debemos demostrar que $C_{3}$ es tangente a $O_{1} O_{2}$ . En este caso, $r_{1} = | O_{1} X |$ . Y entonces tenemos la siguiente cadena de implicaciones:

$\begin{aligned} r_{1} >= O_{1} X | \\ \Rightarrow & r_{1}^{2} = O_{1} X^{2} \\ \Rightarrow & r_{1}^{2} - O_{1} X^{2} = 0 \\ \Rightarrow & O_{3} X^{2} - r_{3}^{2} = 0 \\ \Rightarrow & O_{3} X^{2} = r_{3}^{2} . \end{aligned}$

Esto, junto con el hecho de que $O_{3} X$ es perpendicular a $O_{1} O_{2}$ , implica que $O_{1} O_{2}$ es tangente a $C_{3}$ .

Caso 3. Finalmente, supongamos que $C_{1}$ y $C_{2}$ no se intersectan. Debemos mostrar que $C_{3}$ sí intersecta a $O_{1} O_{2}$ en dos puntos. Para ello basta mostrar que $| O_{3} X | < r_{3}$ . La suposición de que las circunferencias no se intersectan implica que $r_{1} < | O_{1} X |$ .

Una vez más procedemos con las siguientes implicaciones:

$\begin{aligned} r_{1} < | O_{1} X | \\ \Rightarrow & r_{1}^{2} < O_{1} X^{2} \\ \Rightarrow & r_{1}^{2} - O_{1} X^{2} < 0 \\ \Rightarrow & O_{3} X^{2} - r_{3}^{2} < 0 \\ \Rightarrow & O_{3} X^{2} < r_{3}^{2} . \end{aligned}$

Por ello, $| O_{3} X | < r_{3}$ , como queríamos.

Más adelante…

Hemos abordado algunos resultados de circunferencias ortogonales. Lo que haremos en la siguiente entrada es estudiar a las familiar coaxiales de circunferencias. Sabemos que cualesquiera dos circunferencias tienen un eje radical pero, ¿qué sucede tenemos más de dos circunferencias que comparten eje radical?

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Geometría Moderna II: Eje radical de 2 circunferencias

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

En la entrada anterior hablamos de la noción de potencia de un punto con respecto a una circunferencia. Lo que haremos ahora es tomar dos circunferencias y preguntarnos por los puntos cuya potencia a ellas coincide. Esto nos llevará a estudiar la noción de eje radical de las circunferencias.

A grandes rasgos, definiremos qué es el eje radical. Luego, mostraremos que es una recta muy específica. Después de hacer eso, estudiaremos qué sucede si tenemos tres circunferencias. Finalmente, hablaremos un poco de cómo dibujar el eje radical de dos circunferencias.

Eje radical de 2 circunferencias

La definición que nos interesa estudiar ahora es el conjunto de puntos del plano cuyas potencias a dos circunferencias coincide. La siguiente definición formaliza esto.

Definición. El eje radical de dos circunferencias no concéntricas $C_{1}$ y $C_{2}$ es el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $Pot (P, C_{1}) = Pot (P, C_{2}) .$ Si un punto está en el eje radical de ellas, decimos que es equipotente a ambas.

Ejemplo. Supongamos que tenemos dos circunferencias $C_{1}$ y $C_{2}$ de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ , y de radios $5$ y $10$ respectivamente. Supongamos que $| O_{1} O_{2} | = 25$ . El punto $X$ entre $O_{1}$ y $O_{2}$ que está a distancia $11$ de $O_{1}$ y a distancia $14$ de $O_{2}$ es equipotente a ambas circunferencias. Esto se debe a que su potencia a $C_{1}$ es $(- 6) (- 16) = 96$ y que su potencia a $C_{2}$ es $(4) (24) = 96$ también.

$△$

El eje radical es una recta

En esta sección demostraremos el siguiente teorema.

Teorema. Sean $C_{1}$ y $C_{2}$ circunferencias no concéntricas de de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ . El eje radical de ellas es la recta que perpendicular a la recta $O_{1} O_{2}$ , y que pasa por el punto $M$ de $O_{1} O_{2}$ que cumple $Pot (M, C_{1}) = Pot (M, C_{2}) .$

La demostración de este teorema la dividiremos en las siguientes partes:

Probar que existe al menos un punto $P$ en el eje radical.
Mostrar que la proyección $M$ de dicho punto a la recta $O_{1} O_{2}$ también está en el eje radical.
Ver que todo punto en la perpendicular a $O_{1} O_{2}$ por $M$ está en el eje radical.
Mostrar que no existen otros puntos en el eje radical más allá de los ya localizados.

Veamos cada uno de estos puntos como una proposición por separado.

Proposición. Sean $C_{1}$ y $C_{2}$ circunferencias no concéntricas. Existe al menos un punto $P$ en el eje radical de $C_{1}$ y $C_{2}$ .

Demostración. Vamos a dar una construcción explícita para encontrar un punto en el eje radical de $C_{1}$ y $C_{2}$ :

Eje radical de 2 circunferencias, construcción de un punto equipotente

Para ello, tracemos una tercera circunferencia $C_{3}$ que intersecte a cada una de $C_{1}$ y $C_{2}$ en dos puntos (una manera de hacer esto esto tomar $C_{3}$ como el circuncírculo un punto dentro de $C_{1}$ , uno dentro de $C_{2}$ y otro fuera de ambas).

Llamamos $A_{1}, B_{1}$ las intersecciones con $C_{1}$ y $A_{2}, B_{2}$ las intersecciones con $C_{2}$ . Tomamos el punto $P$ como la intersección de $A_{1} B_{1}$ con $A_{2} B_{2}$ como en la siguiente figura.

Las siguientes cuentas muestran que $P$ es equipotente a ambas. Estamos usando el resultado de la entrada anterior que muestra que el cálculo de la potencia con respecto a $C_{3}$ no depende de los puntos elegidos.

$\begin{aligned} Pot (P, C_{1}) & = P A_{1} \cdot P B_{1} \\ = Pot (P, C_{3}) \\ = P A_{2} \cdot P B_{2} \\ = Pot (P, C_{2}) . \end{aligned}$

Por lo anterior, en efecto existe al menos un punto en el eje radical.

Ahora veremos que la proyección de un punto equipotente en la recta de los centros también es un punto equipotente.

Proposición. Sean $C_{1}$ y $C_{2}$ circunferencias no concéntricas de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ . Si $P$ es un punto equipotente con respecto a ellas y $M$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a la recta $O_{1} O_{2}$ , entonces $M$ es equipotente con respecto a las dos circunferencias.

Demostración. Sean $r_{1}$ y $r_{2}$ los radios de $C_{1}$ y $C_{2}$ , respectivamente. Como $P$ esta en el eje radical de ambas, entonces por cómo se calcula la potencia con la distancia a los centros y el radio, tenemos que

$\begin{matrix} (1) & P O_{1}^{2} - r_{1}^{2} = P O_{2}^{2} - r_{2}^{2} . \end{matrix}$

Queremos demostrar que $M$ pertenece al eje radical, osea $Pot (M, C_{1}) = Pot (M, C_{2})$ .

Tracemos los segmentos $O_{1} P$ y $O_{2} P$ . Los triángulos $△ P M O_{1}$ y $△ P M O_{2}$ son rectángulos, ver la siguiente figura.

Por Pitágoras se sigue que $P O_{1}^{2} = M O_{1}^{2} + P M^{2}$ y $P O_{2}^{2} = M O_{2}^{2} + P M^{2} .$

Al sustituir en $(1)$ , obtenemos: $M O_{1}^{2} + P M^{2} - r_{1}^{2} = M O_{2}^{2} + P M^{2} - r_{2}^{2} .$

Cancelando $P M^{2}$ , se obtiene la expresión que muestra que $M$ también es equipotente a ambas circunferencias:

$\begin{matrix} (2) & M O_{1}^{2} - r_{1}^{2} = M O_{2}^{2} - r_{2}^{2} . \end{matrix}$

Ahora veremos que todos los puntos en la perpendicular por $M$ también son equipotentes.

Proposición. Sean $C_{1}$ y $C_{2}$ circunferencias no concéntricas de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ . Si $M$ es un punto en $O_{1} O_{2}$ equipotente a ambas circunferencias, entonces todos los puntos en la perpendicular a $O_{1} O_{2}$ por $M$ también lo son.

Demostración. A la perpendicular del enunciado la llamaremos $l$ . Sea $X$ un punto en $l$ . Debemos mostrar que $Pot (X, C_{1}) = Pot (X, C_{2}) .$

Para ello, trazamos $O_{1} X$ y $O_{2} X$ .

Eje radical de 2 circunferencias demostración de proposición.

Como los triángulos $△ X M O_{1}$ y $△ X M O_{2}$ son rectángulos, nuevamente por Pitágoras: $X O_{1}^{2} = M O_{1}^{2} + X M^{2}$ y $X O_{2}^{2} = M O_{2}^{2} + X M^{2} .$

Usando las igualdades anteriores y que $M$ está en el eje radical (específicamente, $(2)$ ), tenemos que:

$\begin{aligned} Pot (X, C_{1}) & = X O_{1}^{2} - r_{1}^{2} \\ = M O_{1}^{2} + X M^{2} - r_{1}^{2} \\ = M O_{2}^{2} + X M^{2} - r_{2}^{2} \\ = X O_{2}^{2} - r_{2}^{2} \\ = Pot (X, C_{2}) . \end{aligned}$

Por lo tanto, todo punto $X$ en $l$ es un punto en el eje radical.

Ya sólo nos falta ver que no hay más puntos equipotentes.

Proposición. Sean $C_{1}$ y $C_{2}$ circunferencias no concéntricas de de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ . Si $M$ es un punto en $O_{1} O_{2}$ equipotente a ambas circunferencias, entonces únicamente los puntos en la perpendicular a $O_{1} O_{2}$ por $M$ son equipotentes a las circunferencias.

Demostración. Primero veremos que el único punto en $O_{1} O_{2}$ que puede funcionar es $M$ . Para buscar una contradicción supongamos que otro punto $N$ en la recta $O_{1} O_{2}$ , con $N \neq M$ también cumple que $Pot (N, C_{1}) = Pot (N, C_{2})$ . Entonces, $N O_{1}^{2} - r_{1}^{2} = N O_{2}^{2} - r_{2}^{2} .$

Restando a esta ecuación la ecuación $(2)$ , obtenemos que $N O_{1}^{2} - M O_{1}^{2} = N O_{2}^{2} - M O_{2}^{2},$ y por diferencia de cuadrados, $(N O_{1} + M O_{1}) (N O_{1} - M O_{1}) = (N O_{2} + M O_{2}) (N O_{2} - M O_{2}) .$

Tenemos que $N O_{1} - M O_{1} = N O_{1} + O_{1} M = N M$ y lo análogo para $O_{2}$ , de modo que $(N O_{1} + M O_{1}) N M = (N O_{2} + M O_{2}) N M .$

Como $N \neq M$ , tenemos $N M \neq 0$ y lo podemos cancelar. $N O_{1} + M O_{1} = N O_{2} + M O_{2},$

de donde sale la cuarta igualdad de la siguiente cadena:

$\begin{aligned} O_{2} O_{1} & = O_{2} N + N O_{1} \\ = - N O_{2} + N O_{1} \\ = - M O_{1} + M O_{2} \\ = O_{1} M + M O_{2} \\ = O_{1} O_{2} . \end{aligned}$

Obtenemos que $O_{2} O_{1} = O_{1} O_{2}$ . ¡Esto es imposible, pues son segmentos dirigidos y $O_{1} \neq O_{2}$ ! Esta contradicción muesta que $M$ es el único punto en $O_{1} O_{2}$ equipotente a ambas circunferencias.

Para finalizar, supongamos que existe un punto $P^{'}$ cualquiera del plano equipotente a $C_{1}$ y $C_{2}$ . Por la proposición de la proyección, la proyección $M^{'}$ de $P^{'}$ en $O_{1} O_{2}$ también es equipotente. Por lo que acabamos de mostrar, $M = M^{'}$ . Y así, $P^{'}$ está en la perpendicular a $O_{1} O_{2}$ por $M$ , como queríamos.

Los ejes radicales por parejas de 3 circunferencias son concurrentes

Si tenemos tres circunferencias, entonces definen tres ejes radicales. Estos tres ejes radicales siempre concurren.

Teorema. Sean $C_{1}$ , $C_{2}$ y $C_{3}$ circunferencias de centros no colineales. Sea $e_{1}$ el eje radical de $C_{1}$ y $C_{2}$ . Sea $e_{2}$ el eje radical de $C_{2}$ y $C_{3}$ . Sea $e_{3}$ el eje radical de $C_{3}$ y $C_{1}$ . Las rectas $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ son concurrentes.

Demostración. Consideremos 3 circunferencias $C_{1}, C_{2}$ y $C_{3}$ , cuyos centros $O_{1}$ , $O_{2}$ y $O_{3}$ no son colineales (en particular, son distintos). Tomemos los ejes radicales $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ como en el enunciado.

Llamamos $P$ al punto de intersección de $e_{1}$ y $e_{2}$ . Como $P$ está en $e_{1}$ , entonces $Pot (P, C_{1}) = Pot (P, C_{2})$ y como $P$ está en $e_{2}$ , entonces $Pot (P, C_{2}) = Pot (P, C_{3})$ . De esta manera, $Pot (P, C_{1}) = Pot (P, C_{3}) .$ Esto muestra que también $P$ está en $e_{3}$ . Por lo tanto, los 3 ejes radicales concurren en $P$ .

Construcción del eje radical

¿Cómo podemos dibujar el eje radical de dos circunferencias no concéntricas $C_{1}$ y $C_{2}$ , digamos, con regla y compás? Podemos seguir la idea que usamos cuando probamos que por lo menos existe un punto en el eje radical. Sean $O_{1}$ y $O_{2}$ los centros de estas circunferencias, respectivamente.

Dibujemos una circunferencia $C$ que corte a las circunferencias $C_{1}$ y $C_{2}$ , en $A, A^{'}$ y $B, B^{'}$ . Esto puede hacerse trazando el circuncírculo de $O_{1}$ , $O_{2}$ y un punto fuera de ambas cirfunferencias. Sean $A$ y $A^{'}$ las intersecciones de $C$ con $C_{1}$ . Sean $B$ y $B^{'}$ las intersecciones de $C$ con $C_{2}$ . Tomemos $P$ la intersección de $A A^{'}$ y $B B^{'}$ . Por lo que mostramos anteriormente, $P$ está en el eje radical de las circunferencias. Y además, también mostramos que la recta perpendicular a $O_{1} O_{2}$ por $P$ es el eje radical. Así, al trazar esta perpendicular, obtenemos el eje radical requerido.

Más adelante…

Se seguirá abordando el tema de potencia de un punto y el eje radical con respecto a las circunferencias ortogonales.

Al final de los temas de esta primera unidad se dejará una serie de ejercicios.

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Geometría Moderna II: Potencia de un punto

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

En esta primera unidad abordaremos varios los temas relacionados con las circunferencias coaxiales. Para ello, iniciaremos hablando de la potencia de un punto con respecto a una circunferencia. A grandes rasgos, esto trata de lo siguiente.

Tomemos una circunferencia $C$ . Tomemos $P$ un punto cualquiera. Tomemos una recta $l$ por $P$ y llamemos $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ con $C$ . Bajo estas elecciones, la potencia de $P$ será $P A \cdot P B$ . Lo que veremos en esta entrada es que dicho producto es constante sin importar la elección de $l$ . Para mostrar esto, introduciremos algunas definiciones y posteriormente haremos una demostración por casos.

Definición de potencia de un punto

Comenzaremos dando una primer definición de potencia, que dependerá de cierto punto, circunferencia y recta que elijamos.

Definición. Sea $C$ una circunferencia, $P$ un punto y $l$ una recta que intersecta a $C$ . Sean $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ y $C$ ( $A = B$ si $l$ es tangente a $C$ ). La potencia de $P$ con respecto a $C$ en la recta $l$ es la cantidad $P A \cdot P B$ . Usaremos la siguiente notación: $Pot (P, C, l) := P A \cdot P B .$

En esta definición y de aquí en adelante, a menos que se diga lo contrario, se estará trabajando con segmentos dirigidos. Es decir, estamos pensando que cada segmento tiene una dirección del primer punto al segundo. Así, por ejemplo, el valor de $P A$ dependerá de la longitud del segmento y su signo dependerá de una dirección (usualmente implícita) que se le asigne a la recta por $A$ y $P$ . De este modo, tendremos, por ejemplo, que $P A = - A P$ .

La definición de potencia de un punto puede simplificarse notablemente en vista de la siguiente proposición.

Proposición. La potencia de un punto con respecto a una circunferencia no depende de la recta elegida. Es decir, tomemos $C$ una circunferencia, $P$ un punto y $l, m$ rectas. Supongamos que los puntos de intersección de $l$ con $C$ son $A$ y $B$ ; y que los puntos de intersección de $m$ con $C$ son $C$ y $D$ (en caso de tangencias, repetimos los puntos). Entonces: $P A \cdot P B = P C \cdot P D .$

Demostración. Haremos la demostración por casos de acuerdo a cuando $P$ está dentro o fuera de la circunferencia, o sobre ella.

Dentro de la circunferencia:

Tomemos las cuerdas $A B$ y $C D$ en la circunferencia, las cuales se cortan en $P$ . Los triángulos $△ A P C$ y $△ D P B$ son semejantes ya que:

$∠ P A C = ∠ P D B$ por abrir el mismo arco $\overset{―}{B C}$ .
$∠ A P C = ∠ B P D$ por ser opuestos al vértice.
$∠ P C A = ∠ P B D$ por abrir mismo arco $\overset{―}{A D}$ .

Entonces de la semejanza $△ A P C ≅ △ D P B$ tenemos que

$\frac{P A}{P D} = \frac{P C}{P B},$

de donde obtenemos la igualdad $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ deseada.

Fuera de la circunferencia:

Ahora, $A B$ y $C D$ son dos secantes que se intersecan en $P$ , pero con $P$ exterior a $C$ . Tenemos que $△ A P C$ y $△ D P B$ son semejantes, ya que:

El cuadrilátero $A B D C$ es cíclico, entonces: $∠ A C D + ∠ A B D = 180^{\circ}$ y $∠ A B D + ∠ D B P = 180^{\circ}$ , de donde $∠ D B P = ∠ A C D$ .
$∠ B P D$ y $∠ C P A$ son los mismos ángulos.

Entonces $\frac{P A}{P C} = \frac{P D}{P B},$ de donde se obtiene la igualdad buscada $P A \cdot P B = P C \cdot P D .$

Sobre la circunferencia:

Este caso es sencillo pues sin importar las secantes tomadas, en cada una hay un punto igual a $P$ y por lo tanto una distancia igual a cero. De este modo, $P A \cdot P B = 0 = P C \cdot P D$ .

Nota que las demostraciones anteriores sirven aunque $l$ ó $m$ sean tangentes, sólo que hay que hacer ligeras adaptaciones sobre los ángulos usados y los motivos por los que son iguales. Enunciaremos el caso de la tangencia un poco más abajo.

En vista de la proposición anterior, podemos simplificar nuestra definición notablemente.

Definición. Sea $C$ una circunferencia y $P$ un punto. Tomemos $l$ una recta que intersecta a $C$ . Sean $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ y $C$ ( $A = B$ si $l$ es tangente a $C$ ). La potencia de $P$ con respecto a $C$ es la cantidad $P A \cdot P B$ . Usaremos la siguiente notación: $Pot (P, C) := P A \cdot P B .$

La potencia queda bien definida sin importar la recta $l$ , debido a la proposición anterior.

El signo de la potencia

En esta definición estamos usando segmentos dirigidos, y eso nos lleva a que la potencia de un punto puede tener distintos signos. El comportamiento queda determinado por el siguiente resultado.

Proposición. La potencia de un punto $P$ con respecto a una circunferencia $C$ es positiva, negativa o cero, de acuerdo a si el punto $P$ está fuera de $C$ , dentro de ella, o sobre ella, respectivamente.

Demostración. Veamos esto caso por caso.

Sea $P$ un punto externo a $C$ . Entonces $P A$ y $P B$ tienen la misma orientación y por lo tanto el mismo signo. Además, como $P$ no está sobre $C$ , ninguno de ellos es cero. Así, $Pot (P, C) > 0$ .

Geometría Moderna II: Potencia de un punto respecto a un punto externo.

Sea $P$ un punto interno a $C$ . Entonces $P A$ está dirigido hacia un lado y $P B$ está dirigido hacia el otro, de modo que tienen signo contrario. Además, ninguno de ellos es cero. Así, $Pot (P, C) < 0$ .

Geometría Moderna II: Potencia de un punto respecto a un punto interno de la circunferencia.

Finalmente, sea $P$ un punto sobre $C$ . Esto quiere decir que alguno de los puntos $A$ o $B$ es $P$ (quizás ambos, si $l$ es tangente). Así, $P A = 0$ ó $P B = 0$ . De este modo $Pot (P, C) = 0$ .

Geometría Moderna II: Potencia de un punto que está sobre la circunferencia.

Otras fórmulas para la potencia

La potencia es invariante sin importar la recta elegida. De este modo, podemos elegir a una recta tangente y obtener una fórmula para la potencia en términos de la longitud de dicha tangente.

Proposición. Sea $C$ una circunferencia. Para un punto $P$ fuera de $C$ , su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.

Es decir, sea $T$ un punto sobre la circunferencia tal que $P T$ sea tangente a $C$ . Entonces, $Pot (P, C) = P T^{2}$ .

Imagen representativa de la Proposición 2.

El resultado se sigue de llevar al límite lo que ya probamos en la proposición de invarianza de la potencia. Pero a continuación damos un argumento alternativo.

Demostración. Tracemos otra recta por $P$ que no sea tangente a $C$ y cuyos puntos de intersección con $C$ son $A$ y $B$ como en la figura. Tenemos que mostrar que $P A \cdot P B = P T^{2}$ .

El ángulo $∠ P T A$ es semi-inscrito y es igual al ángulo inscrito $∠ T B A$ , pues ambos tienen el mismo arco $\overset{―}{A T}$ .

Entonces los triángulos $△ A P T$ y $△ T P B$ comparten el ángulo con vértice en $P$ y $∠ P T A = ∠ T B A$ . Por ello, se tiene que $△ A P T ≅ △ T P B$ son semejantes y sus lados son proporcionales: $\frac{P A}{P T} = \frac{P T}{P B}$ . De aquí, $P T^{2} = P T \cdot P T = P A \cdot P B = Pot (P, C) .$

También es posible conocer la potencia de un punto hacia una circunferencia si conocemos el radio de la circunferencia y la distancia del punto al centro.

Proposición. Sea $C$ una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ . Sea $P$ un punto en cualquier posición. La potencia de $P$ con respecto a $C$ es $Pot (P, C) = O P^{2} - r^{2} .$

Demostración. Haremos la demostración por casos

Dentro de la circunferencia:

Sea $A B$ la cuerda que pasa por el centro $O$ y $P$ (si $O = P$ , tomamos cualquier cuerda $A B$ por el centro). Supongamos sin pérdida de generalidad que la recta está dirigida de $A$ a $B$ . Tenemos que $A O = r > 0$ y llamemos $d = O P > 0$ . De aquí, $P B = r - d > 0$ . La siguiente figura resume estas igualdades.

La potencia desde $P$ sería entonces, cuidando los signos:

$\begin{aligned} P A \cdot P B & = (P O + O A) (P B) \\ = (- d - r) (r - d) \\ = - (d + r) (r - d) \\ = - (r^{2} - d^{2}) \\ = d^{2} - r^{2} \\ = O P^{2} - r^{2} . \end{aligned}$

Así, $Pot (P, C) = O P^{2} - r^{2}$ .

Fuera de la circunferencia:

Ahora desde $P$ tracemos una tangente $P T$ a $C$ con $T$ sobre $C$ . Como $∠ P T O = 90^{o}$ , entonces $△ P O T$ es un triángulo rectángulo.

Por el teorema de Pitágoras y la expresión de potencia en términos de la tangente: $O P^{2} = r^{2} + P T^{2} = r^{2} + Pot (P, C) .$ Despejando, obtenemos la expresión deseada: $Pot (P, C) = O P^{2} - r^{2} .$

Sobre la circunferencia:

Este caso es sencillo, pues sabemos que la potencia de $P$ debe ser cero. Pero además, como $P$ está en la circunferencia, entonces $O P = r$ , de modo que $O P^{2} - r^{2} = 0$ , y entonces la expresión también es lo que queremos.

Más adelante…

Seguiremos abordando el tema de potencia de un punto y veremos cómo a partir de él se define el eje radical de dos circunferencias.

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