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Álgebra Moderna I: Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de $H$ en $G$

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Como pudiste darte cuenta por el título, en esta entrada definiremos una relación de equivalencia en un grupo. Permítenos dar una motivación usando un grupo que tal vez ya hayas estudiado en cursos anteriores como el de Álgebra Superior II.

Dicho grupo tan importante, es el de los enteros con la suma $(Z, +)$ . Para $a, b \in Z$ es posible establecer una relación $\sim$ dentro de los enteros como sigue
$\begin{array}{r} a \sim b \Leftrightarrow b - a es múltiplo de n . \end{array}$
Esta relación de equivalencia induce una partición de $Z$ , con exáctamente $n$ conjuntos. Donde cada conjunto es una de las clases módulo $n$ . En esta entrada queremos introducir una relación parecida, pero generalizada a cualquier grupo.

Comencemos modificando este ejemplo un poco. Primero, llamemos $H$ al conjunto de todos los enteros múltiplos de $n$ . Así nuestra relación quedaría, para $a, b \in Z$ ,
$\begin{array}{r} a \sim b \Leftrightarrow b - a \in H . \end{array}$

Luego, notemos que a pesar de que la operación que usamos para definir el grupo es la suma usual, nuestra relación está definida usando la resta. En realidad, lo que está pasando es que estamos sumando $b$ con el inverso aditivo de $a$ , es decir $- a$ . Entonces $b - a = b + (- a)$ . Además, $(Z, +)$ es un grupo abeliano, por lo que $b + (- a) \in H \Leftrightarrow (- a) + b \in H$ . Para nuestra generalización usaremos el segundo caso.

Así, tenemos que comenzar agarrando un subgrupo cualquiera de $G$ , es decir, nos tomamos $H \leq G .$ Entonces nuestra relación debe quedar, dados $a, b \in G$ ,
$\begin{array}{r} a \sim b \Leftrightarrow a^{- 1} b \in H . \end{array}$

Ya al tener esa relación y demostrar que es una relación de equivalencia, usaremos las propiedades de grupo para descubrir que las clases de equivalencia son las clases laterales vistas en la entrada anterior.

Relación Generalizada

Lo anterior queda formalizado en la siguiente definición.

Definición. Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ . Definimos una relación en $G$ del siguiente modo: dados $a, b \in G$ ,

$\begin{array}{r} a \sim b \Leftrightarrow a^{- 1} b \in H . \end{array}$

Ahora, demostraremos que esa relación, así como la de la introducción, es una relación de equivalencia.

Observación. La definición anterior es una relación de equivalencia.

Demostración.
Sean $G$ un grupo y $H \leq G$ .

Primero, tomamos $a \in G$ .
También podemos tomar $a^{- 1}$ . Así $a^{- 1} a = e \in H$ . Por lo tanto $a \sim a$ y nuestra relación es reflexiva.

Ahora tomamos $a, b \in G$ . Si $a \sim b$ , entonces $a^{- 1} b \in H$ .

$\begin{array}{r} \Rightarrow b^{- 1} a = (a^{- 1} b)^{- 1} \in H \Rightarrow b \sim a \end{array}$

Por lo que nuestra relación es simétrica.

Sean $a, b, c \in G$ . Si $a \sim b$ y $b \sim c$ , entonces $a^{- 1} b \in H$ y $b^{- 1} c \in H$ , entonces usando la cerradura de $H$ y asociando de otra manera, obtenemos

$\begin{array}{r} a^{- 1} c = (a^{- 1} b) (b^{- 1} c) \in H \Rightarrow a \sim c . \end{array}$

Así, nuestra relación es transitiva.

Por lo tanto, nuestra relación es una relación de equivalencia.

Nótese que para probar las tres propiedades de una relación de equivalencia (reflexividad, simetría y transitividad) usamos las tres condiciones de un subgrupo (la existencia del neutro, la cerradura de los inversos y la cerradura del producto).

A continuación, veamos cómo son las clases de equivalencia:
Sea $a \in H$ .

$\begin{aligned} \bar{a} & = {b \in G | a \sim b} = {b \in G | a^{- 1} b \in H} \\ = {b \in G | a^{- 1} b = h, h \in H} = {b \in G | b = a h, h \in H} \\ = {a h | h \in H} = a H . \end{aligned}$

Ahora veremos algunas observaciones de lo anterior.

Observación. Sean $G$ un grupo, $H \leq G$ y $a, b \in G$ , entonces
$\begin{aligned} a H = b H & \Leftrightarrow a^{- 1} b \in H . \end{aligned}$

En particular,
$\begin{aligned} H = b H & \Leftrightarrow b \in H \end{aligned}$

Nota. Análogamente se puede trabajar con clases laterales derechas, i.e. ( $H a = H b \Leftrightarrow b a^{- 1} \in H$ ).

Como $\sim$ es una relación de equivalencia, esta induce una partición y, como sus clases de equivalencia son las clases laterales, tenemos el siguiente teorema.

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$ .

$a H \neq \emptyset \forall a \in G$ .
Si $a, b \in G$ son tales que $a H \cap b H \neq \emptyset$ , entonces $a H = b H$ .
$⋃_{a \in G} a H = G$

Claramente el teorema anterior enuncia las características de una partición, por lo que no hay nada que probar.

Ejemplos

Ejemplo 1. Consideremos al grupo de los cuaternios $Q$ , tomemos el subgrupo $H = ⟨ i ⟩ = {\pm 1, \pm i}$ . Veamos qué sucede con sus clases laterales.
$\begin{aligned} j H & = {j (+ 1), j (- 1), j (+ i), j (- i)} \\ = {j, - j, - k k} \\ = H j . \end{aligned}$

La última igualdad la puedes comprobar tú, multiplicando los mismos elementos por $j$ , pero ahora del lado izquierdo.

Así, las clases laterales son:

Clases laterales izquierdas: $H, j H$ .
Clases laterales derechas: $H, H j$ .

Ejemplo 2. Tomemos $S_{3}$ y $H = {(1), (32)}$ .
Primero, veamos cómo se ven las clases laterales izquierdas.

Primero, tenemos la clase del neutro, es decir $(1) H = H$ . Luego, tenemos que tomarnos un elemento de $S_{3}$ que no esté en $H$ , digamos $(1 2 3)$ , entonces,
$\begin{aligned} (1 2 3) H & = {(1 2 3) (1), (1 2 3) (3 2)} \\ = {(1 2 3), (1 2)} . \end{aligned}$

Repetimos lo anterior, tomamos un elemento de $S_{3}$ que no esté $H$ y sea distinto al que ya nos tomamos para obtener una clase distinta. Esto nos da
$\begin{aligned} (1 3 2) H & = {(1 3 2) (1), (1 3 2) (3 2)} \\ = {(1 3 2) (1 3)} . \end{aligned}$

Por lo que las clases laterales izquierdas son:
$\begin{aligned} (1) H = H \\ (1 2 3) H = {(1 2 3), (1 2)} \\ (1 3 2) H = {(1 3 2) (1 3)} . \end{aligned}$

De la misma manera obtenemos las clases laterales derechas:
$\begin{aligned} H (1) = H \\ H (1 2 3) = {(1) (1 2 3), (3 2) (1 2 3)} = {(1 2 3), (1 3)} \\ H (1 3 2) = {(1) (1 3 2), (3 2) (1 3 2)} = {(1 3 2), (1 2)} . \end{aligned}$

Este ejemplo nos permite ver que las clases laterales izquierdas y las clases laterales derechas no siempre coinciden.

Partición de las clases laterales izquierdas del ejemplo 2.

Partición de las clases laterales derechas del ejemplo 2.

Número de elementos en las clases laterales

El último ejemplo nos dice que las clases laterales derechas e izquierdas no siempre coinciden, sin embargo probaremos que siempre hay la misma cantidad de ambas.

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ . Entonces

$\begin{array}{r} # {a H | a \in G} = # {H a | a \in G} . \end{array}$

Demostración.

Sea $ψ : {a H | a \in G} \to {H a | a \in G}$ , definida como $ψ (a H) = H a^{- 1} \forall a \in G$ . Probaremos que esta función es biyectiva.

Pequeño paréntensis:

Antes de comenzar con la demostración, pongamos atención a la definición de $ψ$ . En un inicio podríamos pensar ¿por qué no hacemos $ψ (a H) = H a$ ? La respuesta es simple, porque esto no funcionaría. Definamos una nueva función para ejemplificar, sea $ϕ : {a H | a \in G} \to {H a | a \in G}$ tal que $ϕ (a H) = H a$ .

Tomemos $b \in G$ tal que $a H = b H$ , para que $ϕ$ esté bien definida, necesitaríamos que $ϕ (a H) = ϕ (b H)$ , es decir $H a = H b$ . Por la relación que definimos, esto implica que si $a^{- 1} b \in H$ , entonces $b a^{- 1} \in H$ , pero esto no necesariamente es cierto porque el grupo puede no ser abeliano. Lo que sí sabemos es que si $a^{- 1} b \in H$ , entonces $H a^{- 1} b = H$ , y así $H a^{- 1} = H b^{- 1}$ .

Por esto es que escogimos a $ψ$ de esa manera.

Termina paréntesis. Ahora sí comencemos con la demostración.

Sean $a, b \in G$ ,

$\begin{aligned} a H = b H & \Leftrightarrow a^{- 1} b \in H \\ \Leftrightarrow H a^{- 1} b = H \\ \Leftrightarrow H a^{- 1} = H b^{- 1} \\ \Leftrightarrow ψ (a H) = ψ (b H) . \end{aligned}$
Por tanto, $ψ$ está bien definida y es inyectiva.

Además, dada $H a, a \in G$ .

$\begin{array}{r} H a = H (a^{- 1})^{- 1} = ψ (a^{- 1} H) \end{array}$

así $ψ$ es suprayectiva.

Por lo tanto $# {a H | a \in G} = # {H a | a \in G} .$

Ahora, ya sabemos que la cantidad de clases laterales izquierdas es la misma que la de clases laterales derechas. Entonces podemos nombrar esto como el índice.

Definición. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ . El índice de $H$ en $G$ es

$\begin{array}{r} [G : H] = # {a H | a \in G} . \end{array}$

Ejemplos

Retomemos los ejemplos que ya hemos visto.

Tomemos a $Q$ como los cuaternios, $H = ⟨ i ⟩ = {\pm 1, \pm i}$
$[Q : H] = 2$ .
Ahora, tomemos $S_{3}$ , $H = {(1), (32)}$ . Como ya vimos,
$[S_{3} : H] = 3$ .
Consideremos el grupo $(Z, +)$ y $H = {6 m | m \in Z}$ .
Hay 6 clases laterales: $H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H, 5 + H$ . Que serían los múltiplos de $6$ , $6 + 1$ , $6 + 2$ , $\dots$ respectivamente.
Así, $[Z, H] = 6$ .

Tarea moral

Analizando los ejemplos que tienes hasta ahora observa si existe alguna relación entre el orden de un grupo $G$ , el orden del subgrupo $H$ y la cantidad de clases laterales de $H$ en $G$ .
Considera ${\pm 1} \leq ⟨ i ⟩ \leq Q$ . Describe las clases laterales izquierdas de ${\pm 1}$ en $⟨ i ⟩$ , las clases laterales izquierdas de $⟨ i ⟩$ en $Q$ , y las clases laterales izquierdas de ${\pm 1}$ en $Q$ . Encuentra $[Q : {\pm 1}]$ , $[Q : ⟨ i ⟩]$ y $[⟨ i ⟩ : {\pm 1}]$ .
Considera $⟨ (1 2 3) ⟩ \leq A_{4} \leq S_{4}$ . Describe las clases laterales izquierdas de $⟨ (1 2 3) ⟩$ en $A_{4}$ , las clases laterales izquierdas de $A_{4}$ en $S_{4}$ , y las clases laterales izquierdas de $⟨ (1 2 3) ⟩$ en $S_{4}$ . Encuentra $[S_{4} : ⟨ (1 2 3) ⟩]$ , $[S_{4} : A_{4}]$ y $[A_{4} : ⟨ (1 2 3) ⟩]$ .
Puedes checar el video de Mathologer.

Más adelante…

Ahora conoces el índice de $H$ en $G$ . Recúerdalo para la siguiente entrada, porque intentaremos describir el orden de $G$ en términos del orden de $H$ y del índice. Sin hacer trampa, ¿cómo crees que se puede relacionar el orden de $G$ y el índice?

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Teoría de los Conjuntos I: Conjunto cociente

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta entrada partimos de una relación de equivalencia y con ella definimos al conjunto cociente. Dicho conjunto tendrá como elementos a las clases de equivalencia de una relación. Además probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa.

Conjunto cociente

A continuación definimos un nuevo conjunto. Como parte de los ejercicios de la tarea moral, se incluye verificar que en efecto esta definición da un conjunto a partir de los axiomas.

Definición. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ . Definimos al conjunto cociente por la relación $R$ como el conjunto:

$A / R = {[a]_{R} : a \in A}$ .

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo.

Sea $A = {1, 2, 3, 4}$ y $R$ la relación identidad en $A$ . Sabemos que $R$ es de equivalencia en $A$ . Luego, siguiendo la definición de conjunto cociente tenemos que $A ╱ R = {[1]_{R}, [2]_{R}, [3]_{R}, [4]_{R}}$ , donde $[1]_{R} = {1}$ , $[2]_{R} = {2}$ , $[3]_{R} = {3}$ , $[4]_{R} = {4}$ .

Ejemplo.

Sean $A = {1, 2, 3, 4}$ y $R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 4), (4, 1)}$ . Se tiene que $R$ es una relación de equivalencia en $A$ . Luego, tenemos que

$A ╱ R = {[1]_{R}, [2]_{R}, [3]_{R}, [4]_{R}}$ ,

donde

$[1]_{R} = {1, 4}$ ,

$[2]_{R} = {2}$ ,

$[3]_{R} = {3}$ ,

$[4]_{R} = {4, 1}$ , pero este conjunto es igual a $[1]_{R}$ .

Por lo tanto, $A ╱ R = {[1]_{R}, [2]_{R}, [3]_{R}}$ .

Cada relación de equivalencia induce una partición

Teorema.¹ Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ . El conjunto cociente $A ╱ R$ es una partición de $A$ .

Demostración.

Supongamos que $R$ es una relación de equivalencia en $A$ . Veamos que $A ╱ R$ es una partición de $A$ .

Sea $a \in A$ , vimos en la entrada de particiones que $[a]_{R} \neq \emptyset$ .
Sean $[a]_{R}, [b]_{R} \in A ╱ R$ tales que $[a]_{R} \neq [b]_{R}$ y veamos que $[a]_{R} \cap [b]_{R} = \emptyset$ . En la entrada anterior probamos que $a R b$ si y sólo si $[a]_{R} = [b]_{R}$ lo cual ocurre si y sólo si $[a]_{R} \cap [b]_{R} = \emptyset$ . De este modo, si $[a]_{R} \neq [b]_{R}$ , $[a]_{R} \cap [b]_{R} = \emptyset$ .
Por último, $⋃_{a \in A} [a]_{R} = A$ pues para cada $a \in A$ , $a \in [a]_{R}$ .

Este último teorema demuestra que toda relación de equivalencia induce una partición.

Las particiones inducen una relación de equivalencia

El teorema anterior nos permitió probar que cada relación de equivalencia induce una partición y de hecho, esta partición será el conjunto cociente, Podemos preguntarnos si el resultado se cumple «de regreso», en el sentido de si dada una partición podemos inducir una relación de equivalencia. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Este ejemplo es todavía algo informal, pues no hemos introducido formalmente a los números naturales, a los pares y los impares. Haremos esto más adelante. Por el momento, puedes usar lo que ya sabes de los números naturales y de su paridad.

Sea $A = {0, 1, 2, 3, \dots}$ y sean $A_{1} = {0, 2, 4, \dots}$ y $A_{2} = {1, 3, 5, \dots}$ . Resulta que $P$ es una partición de $A$ pues tanto $A_{1}$ y $A_{2}$ son conjuntos no vacíos, además $A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$ y $A_{1} \cup A_{2} = A$ .

Queremos ver si existe la manera de relacionar a los elementos de $A$ tal que la relación que resulte sea de equivalencia. Consideremos la relación definida como sigue:

$R_{P} = {(a, b) \in A \times A : a, b \in A_{1} \lor a, b \in A_{2}}$ .

Notemos que la relación $R_{P}$ es una relación en $A$ y además relaciona a los elementos si pertenecen a un mismo conjunto de la partición.

Veamos que $R_{P}$ es una relación de equivalencia, para ello verifiquemos si es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

Sea $a \in A$ . Si $a$ es un número par (existe $k$ tal que $a = 2 k$ ), entonces $a \in A_{1}$ y por lo tanto $(a, a) \in R_{P}$ .
Si $a$ es un número impar (existe $k$ tal que $a = 2 k + 1$ ), entonces $a \in A_{2}$ y por lo tanto $(a, a) \in R_{P}$ .
Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación reflexiva.
Supongamos que $(a, b) \in R_{P}$ y veamos que $(b, a) \in R_{P}$ .
Como $(a, b) \in R_{P}$ entonces $a, b \in A_{1}$ o $a, b \in A_{2}$ , lo que es equivalente a decir que $b, a \in A_{1}$ o $b, a \in A_{2}$ , es decir, $(b, a) \in R_{P}$ .
Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación simétrica.
Supongamos que $(a, b) \in R_{P}$ y $(b, c) \in R_{P}$ .
Como $(a, b) \in R_{P}$ entonces $a, b \in A_{1}$ o $a, b \in A_{2}$ . Luego, como $(b, c) \in R_{P}$ entonces $b, c \in A_{1}$ o $b, c \in A_{2}$ . Si $a, b \in A_{1}$ , entonces $b, c \in A_{1}$ , pues de lo contrario $b, c \in A_{2}$ y, por tanto, $b \in A_{1}$ al mismo tiempo que $b \in A_{2}$ y así, $b$ es par e impar, lo cuál no puede ocurrir. Por lo tanto, $b, c \in A_{1}$ , de modo que $a, c \in A_{1}$ y así, $(a, c) \in R_{P}$ . Análogamente, si $a, b \in A_{2}$ , entonces, $b, c \in A_{2}$ y, por tanto, $a, c \in A_{2}$ y $(a, c) \in R_{P}$ . Por lo tanto $R_{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación de equivalencia.

Podemos demostrar que esto ocurre para cualquier conjunto y cualquier partición. Veamos el siguiente teorema.

Teorema.² Toda partición induce una relación de equivalencia.

Demostración.

Sea $A$ un conjunto y $P$ una partición de $A$ . Defimos a $R_{P}$ como el siguiente conjunto:

$R_{P} = {(a, b) \in A \times A : \exists p \in P tal que a, b \in p}$ .

Notemos que $R_{P}$ es una relación en $A$ pues es un subconjunto de $A \times A$ . Veamos que $R$ es de equivalencia, es decir, $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

Sea $a \in A$ . Dado que $P$ es una partición de $A$ , entonces $A = ⋃ P$ . Entonces existe $p \in P$ tal que $a \in p$ , de donde $(a, a) \in R_{P}$ . Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación reflexiva.
Supongamos que $(a, b) \in R_{P}$ y veamos que $(b, a) \in R_{P}$ .
Como $(a, b) \in R_{P}$ , existe $p \in P$ tal que $a, b \in p$ . Lo que es equivalente a decir que existe $p \in P$ tal que $b, a \in p$ , es decir, $(b, a) \in R_{P}$ . Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación simétrica.
Supongamos que $(a, b) \in R_{P}$ y $(b, c) \in R_{P}$ .
Como $(a, b) \in R_{P}$ , existe $p \in P$ tal que $a, b \in p$ . Luego, como $(b, c) \in R_{P}$ , existe $q \in P$ tal que $b, c \in q$ . Además $p = q$ pues de lo contrario, $p \neq q$ y $b \in p$ al mismo tiempo que $b \in q$ y así, $b \in p \cap q$ lo cual es una contradicción a la definición de partición. Por lo tanto, $p = q$ y así $a, c \in p$ , por lo que $(a, c) \in R_{P}$ . Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación de equivalencia en $A$ .

Con este último teorema hemos probado que en efecto, así como cada relación de equivalencia induce una partición, se cumple que cada partición induce una relación de equivalencia. Además, estas correspondencias son en cierto sentido «una la inversa de la otra» como explorarás en los ejercicios a continuación.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada:

Demuestra mediante los axiomas que si $A$ es un conjunto y $R$ es una relación de equivalencia en $A$ , entonces $A ╱ R$ es un conjunto.
Sea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ y $R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (5, 6), (6, 5), (4, 6), (6, 4), (4, 5), (5, 4)}$ relación de equivalencia en $A$ . Determina al conjunto cociente de $A$ con respecto a $R$ .
Demuestra mediante los axiomas que $R_{P}$ del último teorema en efecto es un conjunto.
Demuestra lo siguiente, en términos de la notación usada en esta entrada:
- Si $A$ es conjunto y $R$ es relación de equivalencia en $A$ , entonces $R_{A ╱ R} = R$ .
- Si $A$ es conjunto $P$ es partición de $A$ , entonces $A ╱ R_{P} = P$ .
Si $R_{1}$ y $R_{2}$ son relaciones de equivalencia en $A$ , ya demostramos que $R_{1} \cap R_{2}$ también lo es. ¿Cómo es $A ╱ (R_{1} \cap R_{2})$ con respecto a $A ╱ R_{1}$ y $A ╱ R_{2}$ ?

Más adelante…

En la siguiente entrada introduciremos el concepto de orden parcial y de orden total. Estos son otro tipo especial de relaciones. Volveremos a usar las propiedades de reflexividad y transitividad. Sin embargo, tendremos que introducir otras como la asimetría, la antisimetría y la irreflexibilidad.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13,
SMM, 1998, p. 65. ↩︎
También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13,
SMM, 1998, p. 66. ↩︎

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