(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
¡Un curso salvaje de Álgebra Moderna ha aparecido!
El concepto de grupo como tal se da en el siglo XIX. Nace de varios problemas que se estaban trabajando en distintas áreas de las matemáticas, como por ejemplo, en la Teoría de los números, en la Geometría de transformaciones lineales y en el Análisis de las transformaciones continuas.
Un origen alternativo del término grupo está en la búsqueda de soluciones para ecuaciones de distintos grados. Desde el siglo XVIII a.C. los babilonios tenían su propia manera de encontrar las soluciones de ecuaciones de 1ro y 2do grado. Más adelante, en el siglo III d.C. el matemático Diofanto introduce en Grecia una notación algebraica y avanza con el estudio del problema de las soluciones de ecuaciones de grados mayores a dos.
Siglos después, en el siglo VIII, el árabe Al-Juarismi da métodos básicos para resolver ecuaciones polinomiales usando justificaciones geométricas. Después de él, se da un estancamiento para resolver ecuaciones de grado mayor.
En el siglo XVI se da un avance gracias a cuatro matemáticos: Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano, su alumno Lodovico Ferrari y Scipione del Ferro. La historia cuenta que Tartaglia encuentra la forma de resolver ecuaciones de grado tres usando radicales, es decir, una fórmula general para resolverlas a partir de los coeficientes usando operaciones básicas como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Después de contarle a Cardano, Tartaglia le pide que guarde el secreto. Pero Del Ferro también encuentra una solución al problema y al igual que Tartaglia se le dice a Cardano, así que Cardano piensa que ya no es necesario guardar el secreto de Tartaglia y decide publicar en su libro Ars Magna las soluciones a las ecuaciones de tercer grado, así como la solución a las ecuaciones de grado cuatro descubiertas por su discípulo Ferrari.
Para las ecuaciones de grado cinco no hay avance en mucho tiempo. Fue en el siglo XVIII Joseph-Louis Lagrange retoma el problema y utiliza permutaciones de las raíces de un polinomio para crear una ecuación auxiliar y tratar de encontrar así la solución a ecuaciones de quinto grado usando radicales. A pesar de que no logra resolver el problema, su trabajo es muy importante y retomado más adelante.
A finales de este mismo siglo, Niels Henrik Abel y Paolo Ruffini retoman el trabajo de Lagrange y se dan cuenta que existen ecuaciones de grado cinco que no son solubles con radicales, su trabajo se resume en el Teorema de Abel-Ruffini.
Quién sí logra entender completamente el problema y definir qué ecuaciones de grado cinco (o mayor) tienen soluciones y cuáles no se pueden resolver con radicales fue Évariste Galois. En este camino descubre lo que ahora conocemos como Teoría de grupos, aunque es hasta 1844 que Augustin Louis Cauchy introduce la notación actual que usamos para esta rama del Álgebra.
Esto es precisamente lo que vamos a estudiar en este semestre, no en sí la resolución de ecuaciones, si no la parte básica de la Teoría de grupos. Es posible que ya estés familiarizado con alguna de las estructuras que trataremos porque daremos por hecho que posees conocimientos de Álgebra Superior I, Álgebra Superior II, Álgebra Lineal I y Álgebra Lineal II.
Sobre la estructura del curso
El curso consiste en 48 entradas divididas por temas importantes y agrupadas en cinco unidades:
- Unidad 1: Grupos y Subgrupos
- Unidad 2: Permutaciones
- Unidad 3: Grupo cociente y Homomorfismos
- Unidad 4: Acciones y Teoremas de Sylow
- Unidad 5: Jordan Hölder y el Teorema fundamental
Cada una de las entradas está dividida en cuatro secciones importantes: Introducción, Tarea moral, Más adelante… y Entradas relacionadas.
En la Introducción se pretende dar una motivación a los temas que se verán, además de relacionar la entrada actual con la entrada anterior. Luego, durante el desarrollo de la entrada, el contenido también se divide en secciones, estas secciones dependen de la duración y de los temas que se traten.
En la sección de Tarea moral se dejan ejercicios para que repases los temas de la entrada en la que están. Más adelante… es una sección en la que queremos relacionar los temas vistos con futuras entradas.
Por último, la sección de Entradas relacionadas se explica por sí sola. Ahí podrás encontrar las entradas anterior y siguiente inmediatas a la entrada que estás leyendo, un enlace que te llevará directamente a la lista de otros cursos que pueden serte de utilidad y uno para ir a la página de presentación de este curso.
Materiales o videos recomendados
A lo largo de las entradas dejamos algo de material extra porque te puede proporcionar mejor perspectiva y parecer interesante. Aquí recopilamos todo ese material y agregamos algo más para que puedas acceder a él de manera más fácil.
Unidad 1:
Grupos de Transformadores p(112-115)
Grupo Diédrico – Socratica
Visualización de cuaterniones – 3Blue1Brown (subtítulos en español)
Unidad 2:
¿Cómo tocar un cubo de Rubik como si fuera un piano? – M. Staff
Juego del 15 – Mathologer
Lagrange – Universidad de la Sorbona (subtítulos en español)
Grupo cociente – Mathemaniac
Unidad 3:
Homomorphism – Socratica
Homomorphism – Mathemaniac
Unidad 4:
Teorema de Cayley – Mathemaniac
Unidad 5:
Simple Groups – Socratica
La mitad de este video toca los temas vistos en la unidad 5. El resto del video te puede abrir el panorama sobre otros temas del Álgebra Moderna interesantes que no se cubren en este curso y además sirve como un cierre del curso ya que retoma lo que se menciona en esta introducción y vuelve a mencionar a Galois.
Más adelante…
Esta sección está en cada entrada para motivarte a seguir adelante con el curso y te proporciona vistazos de futuros usos a lo que hayas estudiado en la entrada. En este caso ¡tienes todo un maravilloso curso de Álgebra Moderna por explorar!
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Moderna I.
- Siguiente entrada del curso: Guía de Notación.
- Resto de cursos: Cursos.
