Introducción

En esta serie de entradas continuaremos platicando acerca de álgebra lineal. Son una continuación a las entradas de Álgebra Lineal I que también se encuentran disponibles en el blog. En el transcurso de ellas, cubriremos los temas que establece el temario de la materia Álgebra Lineal II de la Licenciatura en Matemáticas de la UNAM.

Primero comenzaremos dando un pequeño repaso de lo que se ha visto en Álgebra Lineal I y después daremos un pequeño panorama de lo que se cubrirá en este curso.

Algunos recordatorios de Álgebra Lineal I

En el primer curso de álgebra lineal se establecieron muchos fundamentos del área, relacionados con espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices y más. A continuación damos un breve recordatorio de cada unidad temática. Usaremos letras cursivas para mencionar términos que ya deberías conocer. Si algunos de ellos no los recuerdas. Usaremos letras negritas para hacer énfasis en resultados fundamentales del primer curso, que es muy importante que recuerdes qué dicen y cómo se usan. Todo esto lo puedes encontrar en las notas anteriores.

En la primer parte de ese curso, recordamos las definiciones básicas de vector, matriz y transformación lineal, pero únicamente nos enfocamos en un espacio vectorial muy sencillo: $F^n$, que consiste de todos los vectores con $n$ entradas en un campo $F$. Se definieron operaciones de suma y producto escalar en este espacio. También hablamos de cómo multiplicar matrices. Esto fue suficiente para plantear la idea de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, pues de acuerdo al principio de superposición, esto es suficiente. Luego, vimos el algoritmo de reducción gaussiana, que nos permite llevar cualquier matriz a su forma escalonada reducida. Esto resulta fundamental para calcular todo tipo de cosas en álgebra lineal: resolver sistemas de ecuaciones, invertir matrices, encontrar determinantes, encontrar espacios generados, etc.

En la segunda parte introdujimos el concepto de espacio vectorial en general. Hablamos de $F^n$, pero también del espacio de matrices $M_{m,n}(F)$, del espacio de polinomios $F[x]$, de los espacios de polinomios de grado a lo más $n$, $F_n[x]$, y de algunos otros como los de funciones con ciertas propiedades (continuas, diferenciables, limitadas a un intervalo, acotadas, etc.) A partir de las nociones de combinación lineal, independencia lineal y generadores, desarrollamos la teoría de dimensión. Un resultado crucial en dimensión finita es el lema de Steinitz. Tras hablar de un espacio vectorial, comenzamos a hablar de «funciones bonitas» entre ellos. Las primeras que tratamos fueron las transformaciones lineales. Un resultado crucial es que, en dimensión finita y tras elegir una base cada transformación lineal corresponde a una matriz y viceversa. Como bases distintas dan matrices distintas, fue necesario discutir qué sucede al cambiar de base, por lo que se introdujeron matrices de cambio de base. Otro resultado crucial es el teorema rango-nulidad.

La tercera parte fue mucho más geométrica. En ella hablamos de las formas lineales y de las formas bilineales. A partir de las formas lineales construimos a los espacios duales y desarrollamos la teoría de dualidad. Definimos el concepto de hiperplano. Una de las principales aplicaciones de la teoría de dualidad fue mostrar que en dimensión finita todo subespacio es intersección de hiperplanos. En el caso de formas bilineales, nos enfocamos mucho más en aquellas que van a $\mathbb{R}$. A partir de ellas definimos formas cuadráticas. Estudiamos el caso muy especial de espacios euclideanos, que son, a grandes rasgos espacios vectoriales reales con una forma bilineal «bonita». En este tipo de espacios se puede hablar de normas, distancias y ángulos. Los resultados cruciales fueron la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la existencia de bases ortonormales. Para encontrarlas, hablamos del proceso de Gram-Schmidt.

Finalmente, vino la unidad 4 en la que se desarrolló de manera formal el concepto de determinante, tanto para vectores, como para matrices y transformaciones lineales. Para ello fue importante hablar de formas $n$-lineales (que en cierta forma generalizan a las bilineales) con propiedades especiales, como ser alternantes. Se vieron muchas propiedades de los determinantes para entenderlos a profundidad de manera teórica y práctica, en particular la expansión de Laplace. Se vio cómo los determinantes pueden ayudar a resolver sistemas de ecuaciones mediante las fórmulas de Cramer. También, con toda la teoría desarrollada hasta aquí pudimos finalmente entender con mucha profundidad los sistemas de ecuaciones lineales mediante el teorema de Rouché-Capelli. Para cerrar el curso, vimos muy por encima las ideas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico. Esto nos llevó a la idea de diagonalización. Juntando toda la teoría del curso, llegamos a la cereza del pastel: el teorema espectral para matrices simétricas reales.

La idea general del segundo curso

El teorema espectral para matrices simétricas reales es un resultado precioso: bajo ciertas condiciones nos permite «llevar» una transformación (o matriz) a una «forma sencilla». Nos debe de dar la intuición de que toda la teoría que se desarrolló anteriormente la podemos utilizar para demostrar muchos otros resultados lindos de ese estilo. En Álgebra Lineal II haremos precisamente esto.

En la primer parte del curso profundizaremos en la teoría de eigenespacios, que nos permitirán entender mucho mejor cómo son los eigenvectores. Para hacer eso, será importante introducir un nuevo polinomio: el polinomio mínimo. Mostraremos muchas más propiedades de eigenvectores, eigenvalores, polinomios mínimos y característicos. Usaremos estas ideas para profundizar en las nociones de diagonalización y triangulización y enunciaremos teoremas que nos permitirán saber cuándo una matriz (o transformación) se puede llevar mediante un cambio de base a una forma más sencilla. En esta primer parte también demostraremos el bello teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que cualquier matriz se anula en su polinomio característico.

Después de esto, en la segunda parte del curso trabajaremos para entender mejor a las formas bilineales que introdujimos en el primer curso. Ya no sólo nos limitaremos a aquellas que caen a los reales, sino que hablaremos también de aquellas que caen al campo $\mathbb{C}$ de los números complejos. Uno podría pensar que el tratamiento es análogo, pero esto dista mucho de la realidad: se requiere pensar en nuevas definiciones que involucren a los conjugados de las entradas de las matrices.

Tras establecer las propiedades principales que nos interesan en espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$, retomaremos la idea de demostrar teoremas de diagonalización. Ahora tendremos el teorema espectral para matrices reales y el teorema espectral para matrices complejas. Además de garantizarnos una diagonalización, estos teoremas nos garantizan que esa diagonalización es de una forma muy especial. Veremos las consecuencias teóricas que esto tiene.

Finalmente, en la última unidad temática, veremos que aunque las matrices no sean diagonalizables, en realidad no todo está perdido. Hablaremos de la forma canónica de Jordan, que es algo así como una versión débil de diagonalizar. Terminaremos el curso aprovechando todo lo visto hasta ahora para ver que cualquier matriz, sin importar sobre qué campo esté, siempre podrá ser llevada a esta forma tras un cambio de base.

Más adelante…

En la siguiente entrada ya comenzaremos con el contenido teórico del curso. Lo primero que haremos es formalizar qué quiere decir «aplicar un polinomio a una transformación lineal» y qué qué quiere decir aplicarlo a una matriz.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Recuerda el algoritmo de reducción gaussiana y úsalo para determinar si la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & -1\end{pmatrix}$ es invertible y, en caso de que sí, encontrar su inversa. Hazlo a mano y comprueba tu respuesta con alguna calculadora de forma escalonada reducida en línea.
2. Encuentra una base ortogonal para el espacio de polinomios $\mathbb{R}_4[x]$ de grado a lo más $4$ con producto bilineal $\langle p, q \rangle = \sum_{j=0}^4 p(j)q(j)$. Encuentra la forma matricial de la transformación «derivar» en esta base y da su determinante.
3. Escribe al subespacio de matrices antisimétricas en $M_3(\mathbb{R})$ como intersección de hiperplanos. ¿Qué dimensión tiene?
4. Encuentra un sistema de $4$ ecuaciones lineales en $5$ variables cuyo espacio de soluciones tenga dimensión $2$. Después, resuélvelo usando los siguientes dos métodos: reducción gaussiana y fórmulas de Cramer.
5. Explica qué nos garantiza el teorema espectral visto en el curso anterior para las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Encuentra el polinomio característico de cada una de estas matrices. Esboza (sin hacerlo) cómo encontrarías los valores y vectores propios de $A$ y $B$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»