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Geometría Moderna I: Circunferencias tritangentes

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta ocasión estudiaremos algunas propiedades de las circunferencias tritangentes de un triángulo, esto nos permitirá entre otras cosas, derivar formulas para el área del triángulo.

Definición 1. El incírculo $(I, r)$ y los tres excírculos $(I_{a}, r_{a})$ , $(I_{b}, r_{b})$ y $(I_{c}, r_{c})$ de un triángulo a veces son referidos como las circunferencias tritangentes del triángulo, sus centros como centros tritangentes y sus radios, radios tritangentes.

Centros tritangentes

Teorema 1. El segmento que une dos centros tritangentes de un triángulo es el diámetro de una circunferencia que contiene dos de los vértices del triángulo, los cuales no son colineales con los centros tritangentes considerados.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $Γ$ su circuncírculo, $I$ , $I_{a}$ , $I_{b}$ y $I_{c}$ sus centros tritangentes.

Consideremos la circunferencia $Γ (I I_{b})$ cuyo diámetro es $I I_{b}$ , como las bisectrices internas y externas de $∠ A$ , $A I$ y $A I_{b}$ son perpendiculares entonces $A \in Γ (I I_{b})$ , de manera análoga vemos que $C \in Γ (I I_{b})$ .

Como $A C$ es cuerda de $Γ (I I_{b})$ , entonces su mediatriz interseca a $I I_{b}$ en el centro $P$ de $Γ (I I_{b})$ . Ya que $A C$ es cuerda de $Γ$ , entonces su mediatriz interseca al circuncírculo de $△ A B C$ en el punto medio del arco $\overset{⌢}{C A}$ que no contiene a $B$ .

Como $I I_{b}$ es bisectriz de $∠ B$ entonces $I I_{b}$ interseca al circuncírculo de $△ A B C$ en el punto medio del arco $\overset{⌢}{C A}$ que no contiene a $B$ .

Por lo tanto, el centro $P$ de $Γ (I I_{b})$ pertenece al circuncírculo de $△ A B C$ .

Ahora consideremos la circunferencia $Γ (I_{a} I_{c})$ , cuyo diámetro es $I_{a} I_{c}$ , como las bisectrices interna y externa de $∠ A$ , son perpendiculares entonces $A \in Γ (I_{a} I_{c})$ , con un razonamiento análogo vemos que $C \in Γ (I_{a} I_{c})$ .

Considera el punto diametralmente opuesto a $P$ , $P^{'}$ en el circuncírculo de $△ A B C$ entonces $∠ P B P^{'}$ es ángulo recto y como $B P$ es la bisectriz interna de $∠ B$ entonces $B P^{'}$ es la bisectriz externa de $∠ B$ .

Como $A C$ es cuerda de $Γ (I_{a} I_{c})$ entonces su mediatriz $P P^{'}$ interseca a $I_{a} I_{c}$ en su punto medio.

Por lo tanto, el punto medio, $P^{'}$ , del arco $\overset{⌢}{A C}$ , es el punto medio del diámetro, $I_{a} I_{c}$ , de $Γ (I_{a} I_{c})$ .

Del mismo modo podemos ver que $Γ (I I_{c})$ , $Γ (I_{b} I_{a})$ pasan por los vértices $A$ , $B$ y que $Γ (I I_{a})$ , $Γ (I_{b} I_{c})$ pasan por los vertices $C$ , $B$ .

Puntos de contacto

Notación. Nos referiremos a los puntos de tangencia de los círculos tritangentes $(I, r)$ , $(I_{a}, r_{a})$ , $(I_{b}, r_{b})$ y $(I_{c}, r_{c})$ con el lado $B C$ de un triángulo $△ A B C$ como $X$ , $X_{a}$ , $X_{b}$ y $X_{c}$ respectivamente. Usaremos las letras $Y$ y $Z$ para los lados $A C$ y $A B$ respectivamente.

Emplearemos la letra $s$ para referirnos al semiperímetro $\frac{a + b + c}{2}$ de un triángulo $△ A B C$ donde $B C = a$ , $A C = b$ y $A B = c$ .

Proposición 1. La distancia desde el vértice de un triángulo al punto de tangencia de su circuncírculo en uno de sus lados adyacentes es igual al semiperímetro menos la longitud del lado opuesto.

Demostración. Sea $△ A B C$ y $(I, r)$ su circuncírculo. Como las tangentes desde un punto exterior a una circunferencia son iguales entonces $A Z = A Y$ , $B Z = B X$ y $C X = C Y$ .

Por otra parte, $A Z + B Z + B X + C X + C Y + A Y = c + a + b = 2 s$ .

Por lo tanto, $A Z + B X + C X = s$ .

Y así, $A Y = A Z = s - a$ .

Similarmente, $B Z = B X = s - b$ y $C X = C Y = s - c$ .

Proposición 2. La distancia desde el vértice de un triángulo al punto de tangencia del excírculo opuesto, a uno de los lados adyacentes al vértice considerado es igual al semiperímetro del triángulo.

Demostración. Sea $△ A B C$ y $(I_{a}, r_{a})$ , $(I_{b}, r_{b})$ y $(I_{c}, r_{c})$ sus excentros (figura 2). Como las tangentes desde un punto exterior a una circunferencia son iguales entonces
$A Z_{a} = A Y_{a}$ , $B X_{b} = B Z_{b}$ y $C X_{c} = C Y_{c}$ .

Por otro lado,
$A Z_{a} + A Y_{a} = A B + B Z_{a} + A C + C Y_{a}$
$= A B + A C + B X_{a} + C X_{a} = A B + A C + B C = 2 s$ .

Por lo tanto, $A Z_{a} = A Y_{a} = s$ .

Igualmente, $B X_{b} = B Y_{b} = C X_{c} = C Y_{c} = s$ .

Corolario 1. $A Z_{c} = A Y_{c} = s - b$ , y $A Y_{b} = A Z_{b} = s - c$ .

Demostración. En la figura 2 tenemos lo siguiente:
$A Y_{c} = C Y_{c} - A C = s - A C$ ,
$A Z_{b} = B Z_{b} - A B = s - A B$ .

Similarmente,
$B Z_{c} = B X_{c} = s - a$ , $B X_{a} = B Z_{a} = s - c$ ,
$C X_{a} = C Y_{a} = s - b$ , $C Y_{b} = C X_{b} = s - a$ .

Puntos isotómicos

Definición 2. Si dos puntos en uno de los lados de un triángulo equidistan al punto medio del lado considerado decimos que son puntos isotómicos.

Proposición 3. El punto de tangencia del incírculo con uno de los lados de un triángulo y el punto de tangencia del excírculo relativo al lado considerado, son puntos isotómicos.

Demostración. Por la proposición 1 y el corolario 1, tenemos que $B X = s - b = C X_{a}$ (figura 2).

Esto implica que el punto medio de $X X_{a}$ es el punto medio de $B C$ , por lo tanto, $X$ y $X_{a}$ son puntos isotómicos.

Análogamente vemos que $Z$ , $Z_{c}$ e $Y$ , $Y_{b}$ son pares de puntos isotómicos.

Proposición 4. Los dos puntos de contacto de un lado de un triángulo con los dos excírculos opuestos a los vértices que pasan por ese lado son isotómicos, además la distancia entre estos dos puntos es igual a la suma de los otros dos lados.

Demostración. En la figura 2, tenemos lo siguiente:
$B X_{c} = C X_{c} - B C = s - a$ , $C X_{b} = B X_{b} - B C = s - a$ .

Por lo tanto, el punto medio de $X_{c} X_{b}$ coincide con el punto medio de $B C$ .

Por otro lado, $X_{c} X_{b} = B X_{c} + a + C X_{b} = a + 2 (s - a) = 2 s - a = c + b$ .

Igualmente, $Y_{a} Y_{c} = a + c$ , $Z_{a} Z_{b} = a + b$ .

Radios tritangentes y área del triangulo

Proposición 5. El área de un triángulo es igual al producto del semiperímetro por el inradio.

Demostración. De la figura 2,
$(△ A B C) = (△ A I B) + (△ B I C) + (△ A I C) = \frac{c r}{2} + \frac{a r}{2} + \frac{b r}{2} = s r$ .

Proposición 6. El área de un triángulo es igual al producto de un exradio por la diferencia entre el semiperímetro y el lado relativo al excírculo considerado.

Demostración. En la figura 2,
$(△ A B C) = (△ A I_{a} B) + (△ A I_{a} C) - (△ B I_{a} C)$
$= \frac{c r_{a}}{2} + \frac{b r_{a}}{2} - \frac{a r_{a}}{2} = \frac{r_{a}}{2} (2 s - 2 a) = r_{a} (s - a)$ .

Corolario 2. El reciproco del inradio es igual a la suma de los recíprocos de los exradios.

Demostración. De las proposiciones 5 y 6 se sigue que
$\frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{c}} = \frac{(s - a) + (s - b) + (s - c)}{(△ A B C)} = \frac{s}{(△ A B C)} = \frac{1}{r}$ .

Proposición 7. El área de un triángulo es igual al producto de sus lados sobre cuatro veces su circunradio.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $(O, R)$ su circuncírculo, $D$ el pie de la altura por $A$ , y $A^{'}$ el punto diametralmente opuesto a $A$ .

$∠ A B D = ∠ A A^{'} C$ , pues abarcan el mismo arco y $∠ A C A^{'} = \frac{π}{2}$ es recto ya que $A A^{'}$ es diámetro, así que $△ A B D \sim △ A A^{'} C$ , por criterio de semejanza AA.

Esto es, $\frac{A B}{A A^{'}} = \frac{A D}{A C}$ .

Se sigue que, $b c = 2 R A D$ y $a b c = a 2 R A D = 4 R (△ A B C)$ .

Por lo tanto, $\frac{a b c}{4 R} = (△ A B C)$ .

Formula de Herón y teorema de Carnot

Teorema 2, fórmula de Herón. Podemos calcular el área de un triángulo mediante la fórmula
$(△ A B C) = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$ .

Demostración. Como $∠ Y C I$ y $∠ I_{A} C Y_{a}$ son suplementarios, por criterio de semejanza AAA $△ Y C I \sim △ Y_{a} I_{a} C$ ,
por lo tanto, $\frac{Y_{a} I_{a}}{Y C} = \frac{Y_{a} C}{Y I}$ ,
es decir, $\frac{r_{a}}{s - c} = \frac{s - b}{r}$ .

También $△ A Y I \sim △ A Y_{a} I_{a}$ ,
por lo tanto, $\frac{Y_{a} I_{a}}{Y I} = \frac{A Y_{a}}{A Y}$ ,
es decir, $\frac{r_{a}}{r} = \frac{s}{s - a}$ ,
entonces $\frac{r s}{s - a} = \frac{(s - b) (s - c)}{r}$ .

Por la proposición 5, $(△ A B C) = r s$ ,
por lo tanto, $(△ A B C) = \frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{\frac{(△ A B C)}{s}}$ ,
así que $(△ A B C)^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c)$ .

En conclusión, $(△ A B C) = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$ .

Teorema 3, de Carnot. La suma de las distancias desde el circuncentro a los lados del triángulo es igual a la suma del circunradio y el inradio.

Demostración. Sea $△ A B C$ un triángulo acutángulo, $(O, R)$ su circuncírculo y $D$ , $E$ , $F$ las proyecciones de $O$ en $B C$ , $A C$ y $A B$ respectivamente.

Aplicando el teorema de Ptolomeo a $A F O E$ , $F B D O$ y $O D C E$ tenemos:
$A F \times O E + A E \times O F = O A \times E F$ ,
$B F \times O D + B D \times O F = O B \times D F$ ,
$C E \times O D + C D \times O E = O C \times D E$ .

Por otra parte, como $O$ está en la mediatriz de $B C$ , $A C$ y $A B$ entonces $D$ , $E$ y $F$ son los respectivos puntos medios y podemos aplicar el teorema del segmento medio. Si nombramos $O D = x$ , $O E = y$ , $O F = z$ , entonces:

$\frac{c y}{2} + \frac{b z}{2} = \frac{R a}{2}$ ,
$\frac{c x}{2} + \frac{a z}{2} = \frac{R b}{2}$ ,
$\frac{b x}{2} + \frac{a y}{2} = \frac{R c}{2}$ .

Sumamos las tres expresiones,

$x (c + b) + y (a + c) + z (a + b) = R (a + b + c)$
$\Rightarrow x (2 s - a) + y (2 s - b) + z (2 s - c) = R 2 s$
$\Rightarrow 2 s (x + y + z) - (a x + b y + c z) = R 2 s$
$\Rightarrow 2 s (x + y + z) - 2 (△ A B C) = R 2 s$ .

De la proposición 5 tenemos $(△ A B C) = r s$ ,
por lo tanto, $2 s (x + y + z) - 2 r s = R 2 s$ .

Como resultado, $x + y + z = R + r$ .

Más adelante…

Con la ayuda de las formulas para el calculo del área de un triángulo vistas en esta entrada, en la próxima entrada mostraremos algunas desigualdades geométricas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que:
$i)$ la bisectriz interna del ángulo de un triángulo es perpendicular al segmento que une los puntos donde las otras bisectrices internas intersecan al circuncírculo del triangulo,
$i i)$ la bisectriz externa del ángulo de un triángulo es paralela al segmento que une los puntos donde las bisectrices externas (internas) de los otros dos ángulos intersecan al circuncírculo del triángulo.
Demuestra que:
$i)$ la suma de los catetos de un triángulo rectángulo menos la hipotenusa es igual al diámetro de su incírculo,
$i i)$ el área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los segmentos en los cuales la hipotenusa es dividida por el punto de tangencia de su incírculo.
Muestra que en la figura 2 se tienen las siguientes igualdades:
$i)$ $X X_{a} = b - c$ , $Y Y_{b} = a - c$ , $Z Z_{c} = a - b$ ,
$i i)$ $Z Z_{a} = Y Y_{a} = a$ , $X X_{b} = Z Z_{b} = b$ , $Y Y_{c} = X X_{c} = c$ ,
$i i i)$ $Y_{b} Y_{c} = Z_{b} Z_{c} = a$ , $X_{a} X_{c} = Z_{a} Z_{c} = b$ , $X_{a} X_{b} = Y_{a} Y_{b} = c$ .
Prueba que:
$i)$ el producto de los cuatro radios tritangentes de un triángulo es igual al cuadrado del área del triángulo $(△ A B C)^{2} = r r_{a} r_{b} r_{c}$
$i i)$ el reciproco del inradio de un triángulo es igual a la suma de los recíprocos de las alturas del triangulo, $\frac{1}{r} = \frac{1}{h_{a}} + \frac{1}{h_{b}} + \frac{1}{h_{c}}$ ,
$i i i)$ en la figura 2, $\frac{A Z \times B X \times C Y}{r} = (△ A B C)$ .
Demuestra que la razón entre el área de un triangulo y el area del triángulo formado por los puntos de contacto de su circuncírculo con sus lados es igual a la razón entre el inradio y el circundiámetro. En la figura 2, $\frac{(△ X Y Z)}{(△ A B C)} = \frac{r}{2 R}$ .
Muestra que en el teorema de Carnot, cuando $∠ A$ es obtuso (figura 4), entonces $y + z - x = R + r$ .
Sean $△ A B C$ , $α = ∠ B A C$ , $β = ∠ C B A$ , $γ = ∠ A C B$ , $R$ el circunradio y $r$ el inradio, muestra que:
$i)$ $\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{(s - b) (s - c)}{b c}}$ , $\sin \frac{β}{2} = \sqrt{\frac{(s - a) (s - c)}{a c}}$ , $\sin \frac{γ}{2} = \sqrt{\frac{(s - a) (s - b)}{a b}}$
$i i)$ $\cos α + \cos β + \cos γ = 1 + \frac{r}{R}$ .

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 73-79, 87-91.
Coxeter, H. y Greitzer, L., Geometry Revisited. Washington: The Mathematical Association of America, 1967, pp 11-13.
Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 86-89, 97-98.
Quora
Cut the Knot

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Puntos notables del triángulo

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada estudiamos la concurrencia de rectas importantes en el triangulo, a saber, las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas. Mencionamos también consecuencias inmediatas de los puntos de concurrencia.

Centroide

Teorema 1. Las medianas de todo triángulo concurren en un punto que las triseca.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $B^{'}$ y $C^{'}$ los puntos medios de $A C$ y $A B$ respectivamente, por el teorema del segmento medio sabemos que $C^{'} B^{'} = \frac{B C}{2}$ y $C^{'} B^{'} ∥ B C$ .

Sea $G$ la intersección de las medianas $B B^{'}$ y $C C^{'}$ , en $△ G B C$ consideremos $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $G B$ y $G C$ respectivamente, entonces
$M N = \frac{B C}{2}$ y $M N ∥ B C$ .

Por transitividad $C^{'} B^{'} = M N$ y $C^{'} B^{'} ∥ M N$ , esto implica que $C^{'} M N B^{'}$ es un paralelogramo y por lo tanto sus diagonales se bisecan, es decir,
$C^{'} G = G N$ y $M G = G B^{'}$ .

Por construcción, $M G = B M$ y $G N = N C$
$\Rightarrow G B^{'} = \frac{B B^{'}}{3}$ y $C^{'} G = \frac{C C^{'}}{3}$ ,
esto es, la medianas $B B^{'}$ y $C C^{'}$ se trisecan

Si repetimos el mismo procedimiento pero ahora con las medianas $A A^{'}$ y $B B^{'}$ encontraremos un punto $G^{'}$ en donde las medianas se trisecaran, $G^{'} B^{'} = \frac{B B^{'}}{3}$ y $G^{'} A^{'} = \frac{A A^{'}}{3}$ .

Como $G B^{'} = \frac{B B^{'}}{3} = G^{'} B^{'}$ , concluimos que $G^{'} = G$ .

Por lo tanto, las medianas de un triángulo concurren en un punto que las triseca.

Definición 1. Decimos que el punto en que concurren las medianas de un triángulo es el gravicentro, baricentro o centroide del triángulo y lo denotamos con la letra $G$ mayúscula.

Circuncentro

Teorema 2. Las mediatrices de los lados de todo triángulo son concurrentes.

Demostración. Sea $△ A B C$ , consideremos las mediatrices $l_{c}$ y $l_{b}$ de $A B$ y $A C$ respectivamente y $O = l_{b} \cap l_{c}$ .

En la entrada desigualdad del triángulo y lugar geométrico mostramos que un punto está en la mediatriz de un segmento si y solo si equidista a los puntos extremos del segmento.

Ya que $O \in l_{c}$ y $O \in l_{b}$ , entonces $O A = O B$ y $O A = O C$
$\Rightarrow O B = O C$ .

Por el resultado mencionado anteriormente $O B = O C$ implica que $O \in l_{a}$ , la mediatriz de $B C$ .

Por lo tanto, las mediatrices de un triángulo son concurrentes.

Corolario. Tres puntos distintos y no colineales se encuentran en una única circunferencia.

Demostración. Sea $△ A B C$ , por el teorema anterior las mediatrices de los segmentos determinados por los vértices del triángulo concurren en un punto $O$ cuya distancia a cada uno de los vértices es la misma $R = O A = O B = O C$ .

Por definición de circunferencia, $A$ , $B$ y $C$ pertenecen a la circunferencia con centro en $O$ y radio $R$ , $A$ , $B$ , $C \in (O, R) = Γ$ .

Ahora supongamos que existe $Γ^{'} = (O^{'}, R^{'})$ tal que $A$ , $B$ , $C \in Γ^{'}$ , entonces, por definición, $O^{'} A = O^{'} B = O^{'} C = R^{'}$ .

Esto implica que $O^{'} \in l_{a}$ , $O^{'} \in l_{b}$ y $O^{'} \in l_{c}$ , las mediatices de $B C$ , $A C$ y $A B$ respectivamente,
$\Rightarrow O \in l_{a} \cap l_{b} \cap l_{c}$ .

Como ya probamos que las mediatrices son concurrentes entonces $O^{'} = O$ y $R^{'} = R$ , así que $Γ$ es única.

Definición 2. Al punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo le llamamos circuncentro y lo denotamos como $O$ .

A la distancia constante de $O$ a los vértices del triángulo le llamamos circunradio denotado con la letra $R$ mayúscula.

A la circunferencia única $(O, R)$ determinada por los vértices del triángulo se le conoce como circuncírculo.

Incentro

Teorema 3. Las bisectrices interiores de todo triángulo son concurrentes.

Demostración. Sean $l_{B}$ y $l_{C}$ las bisectrices de los ángulos interiores en $∠ B$ y $∠ C$ respectivamente e $I = l_{B} \cap l_{C}$ .

En la entrada desigualdad del triángulo y lugar geométrico mostramos que un punto está en la bisectriz de un ángulo si y solo si equidista a los lados que forman el ángulo. Recordemos que la distancia de un punto a una recta es la longitud del punto al pie de la perpendicular a la recta trazada desde el punto.

Denotamos la distancia de un punto $P$ a una recta $l$ como $(P, l)$ .

Como $I \in l_{b}$ e $I \in l_{c}$ , entonces $(I, A B) = (I, B C)$ y $(I, B C) = (I, A C)$ ,
$\Rightarrow (I, A B) = (I, A C)$ .

Por el resultado citado anteriormente, $(I, A B) = (I, A C)$ implica que $I \in l_{A}$ , la bisectriz interior de $∠ A$ .

Por tanto, las bisectrices interiores de un triángulo son concurrentes.

Si consideramos los pies de las perpendiculares a los lados del triángulo trazados desde el punto en que concurren las bisectrices, encontramos tres puntos distintos que equidistan a un punto fijo y por el corolario anterior estos determinan una única circunferencia, esto motiva la siguiente definición.

Definición 3. Al punto de concurrencia de las bisectrices interiores de un triángulo se le conoce como incentro del triángulo y lo denotamos con la letra $I$ mayúscula.

A la distancia de $I$ a los lados del triángulo le llamamos inradio y lo denotamos como $r = (I, A B) = (I, B C) = (I, A C)$ .

La circunferencia con centro en $I$ y radio $r$ , $(I, r)$ , se llama incírculo.

Excentros

Teorema 4. En todo triángulo las bisectrices exteriores de dos ángulos y la bisectriz interior del tercer ángulo son concurrentes.

Demostración. Sea $△ A B C$ , $l_{A}$ y $l_{C}$ las bisectrices exteriores de $∠ A$ y $∠ C$ respectivamente e $I_{b} = l_{A} \cap l_{C}$ .

De manera análoga al caso de las bisectrices internas tenemos que
como $I_{b} \in l_{A}$ e $I_{b} \in l_{C}$ , entonces $(I_{b}, A B) = (I_{b}, A C)$ y $(I_{b}, A C) = (I_{b}, B C)$ ,
$\Rightarrow (I_{b}, A B) = (I_{b}, B C)$ .

Como $I_{b}$ está en la región acotada por el ángulo $∠ C B A$ entonces $I \in l_{B}$ , la bisectriz interior de $∠ B$ .

Por lo tanto, la bisectriz interna de $∠ B$ y las bisectrices externas de $A$ y $C$ son concurrentes.

De manera análoga probamos que las bisectrices externas de $∠ A$ y $∠ B$ concurren con la bisectriz interna de $∠ C$ , y las bisectrices externas de $∠ B$ y $∠ C$ concurren con la bisectriz interna de $∠ A$ .

Similarmente a como lo hicimos con el incentro, notamos que, para cada uno de estos tres puntos de concurrencia, existen tres puntos distintos, uno en cada lado del triángulo que equidistan a un punto fijo y por lo tanto determinan una única circunferencia.

Definición 4. A los puntos en que concurren dos bisectrices externas y una bisectriz interna de un triángulo les llamamos excentros del triángulo y los denotamos como $I_{a}$ , $I_{b}$ e $I_{c}$ de acuerdo a si se encuentran en la bisectriz interna de $∠ A$ , $∠ B$ o $∠ C$ respectivamente y decimos que son opuestos a dichos vértices.

Las distancias de $I_{a}$ , $I_{b}$ e $I_{c}$ a los lados del triángulo son los exradios y se les denota como $r_{a}$ , $r_{b}$ y $r_{c}$ respectivamente.

A las circunferencias $(I_{a}, r_{a})$ , $(I_{b}, r_{b})$ y $(I_{c}, r_{c})$ se les conoce como excírculos del triángulo.

Ortocentro

Teorema 5. Las alturas de todo triángulo son concurrentes.

Demostración. Sea $△ A B C$ , tracemos en cada vértice la paralela al lado opuesto.

Sean $A^{'}$ la intersección de la paralela a $A B$ trazada en $C$ con la paralela a $A C$ trazada en $B$ , de manera análoga definimos $B^{'}$ y $C^{'}$ .

Por construcción, $A B C B^{'}$ es un paralelogramo por lo que $A B^{'} = B C$ , también $C^{'} B C A$ es paralelogramo así que $C^{'} A = B C$ ,
$\Rightarrow A B^{'} = B C = C^{'} A \Rightarrow A$ es el punto medio de $C^{'} B^{'}$ .

De manera similar podemos ver que $B$ es el punto medio de $C^{'} A^{'}$ y $C$ es el punto medio de $A^{'} B^{'}$ .

En consecuencia, las alturas del triángulo $△ A B C$ son las mediatrices del triángulo $△ C^{'} A^{'} B^{'}$ y ya probamos que las mediatrices de los lados de todo triangulo son concurrentes, por lo tanto, las alturas de $△ A B C$ son concurrentes.

Definición 5. Al punto en común en que las tres alturas de un triángulo se intersecan le llamamos ortocentro y lo denotamos con la letra $H$ mayúscula.

Más adelante…

En la siguiente entrada demostraremos algunos teoremas que nos permitirán calcular la magnitud de ángulos relativos a una circunferencia.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

¿Qué puntos notables vistos en esta entrada, caen siempre dentro del triangulo y cuales siempre fuera?
Muestra que una recta paralela a un lado de un triangulo a través del centroide divide el área del triangulo en dos partes tal que la razón de esta áreas es $\frac{4}{5}$ .
Considera un triangulo rectángulo $△ A B C$ con $∠ B = \frac{π}{2}$ , sean $C C^{'}$ la mediana por $C$ y $D$ el pie de la perpendicular a $C C^{'}$ trazada desde $B$ (figura 11), calcula la distancia de $D$ al centroide $G$ del triangulo en términos de los catetos.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior de $\frac{π}{3}$ , calcula la distancia del vértice donde se intersecan los catetos al incentro $I$ del triángulo en términos de la hipotenusa.
Sea $△ A B C$ un triángulo tal que la mediana $A D$ es perpendicular a la mediana $B E$ , encuentra $A B$ si $B C = a$ y $A C = b$ .

Entradas relacionadas

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Entrada anterior del curso: Segmentos dirigidos y teorema de Stewart.
Siguiente entrada del curso: Ángulos en la circunferencia.

Fuentes

Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 29-34.
Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 65-94.
Geometría interactiva

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

Archivo de la etiqueta: circuncírculo

Geometría Moderna I: Circunferencias tritangentes

Introducción

Centros tritangentes

Puntos de contacto

Puntos isotómicos

Radios tritangentes y área del triangulo

Formula de Herón y teorema de Carnot

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos

Geometría Moderna I: Puntos notables del triángulo

Introducción

Centroide

Circuncentro

Incentro

Excentros

Ortocentro

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos