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Álgebra Lineal I: Transformaciones lineales en bases, conjuntos independientes y generadores

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

11 respuestas

Introducción

El objetivo de esta entrada es entender qué efecto tienen las transformaciones lineales en bases, en conjuntos linealmente independientes y en conjuntos generadores. En la siguiente lista recordamos brevemente estas nociones:

  • Una transformación lineal $T:V\to W$ entre espacios vectoriales $V$ y $W$ es una función que «abre sumas» (es decir $T(x+y)=T(x)+T(y)$) y «saca escalares» (es decir $T(cx)=cT(x)$). Recuerda que es necesario que $V$ y $W$ estén sobre el mismo campo, cosa que asumiremos cuando hablemos de transformaciones lineales.
  • Un conjunto de vectores $\{v_1,\ldots, v_n\}$ en $V$ es linealmente independiente si la única combinación lineal de ellos que da $0$ es la trivial, osea en la que todos los coeficientes son $0$.
  • Si cualquier vector de un espacio vectorial $V$ puede escribirse como combinación lineal de un conjunto de vectores $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$, entonces decimos que $S$ genera a $V$.
  • Un conjunto de vectores en $V$ es base si es linealmente independiente y genera a $V$.

La idea de esta entrada es entender lo siguiente:

  • ¿Cuándo las imágenes de linealmente independientes/generadores/bases son linealmente independientes/generadores/bases tras aplicar una transformación lineal?
  • ¿Cómo saber si una transformación lineal es inyectiva?
  • ¿Cómo el efecto de transformaciones lineales en bases nos permite determinar exactamente qué le hacen al resto de los vectores?

Exploración

Tomemos espacios vectoriales $V$, $W$ y una transformación lineal $T:V\to W$. Si comenzamos con un conjunto $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$ de vectores en $V$ que es linealmente independiente (o generador, o base) en $V$, ¿cuándo sucede que $T(S)=\{T(v_1),\ldots,T(v_n)\}$ es linealmente independiente (o generador, o base, respectivamente) en $W$?

Esto definitivamente no sucede siempre. La tranformación $Z:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}[x]$ que manda a todo vector $(x,y,z)$ al polinomio $0$ es una transformación lineal. Sin embargo, a la base canónica $\{e_1,e_2,e_3\}$ la manda al conjunto $\{0,0,0\}=\{0\}$, que no es un conjunto ni linealmente independiente, ni generador de los polinomios con coeficientes reales.

De esta forma, tenemos que pedirle más a la transformación $T$ para que preserve las propiedades mencionadas.

Intuitivamente, si la imagen de $T$ no cubre a todo $W$, entonces los vectores de la forma $T(v)$ con $v$ en $V$ no deberían de poder generar a $W$. Así, para que $T$ mande generadores a generadores, tiene que pasar que «$T$ pase por todo $W$». Esta noción queda capturada formalmente al pedir que $T$ sea suprayectiva.

Del mismo modo, también intuitivamente si «$T$ manda elementos distintos al mismo elemento», entonces perderemos familias linealmente independientes al aplicarla. Así, para preservar conjuntos linealmente independientes, necesitamos que vectores distintos vayan a valores distintos. En términos formales, necesitamos que $T$ sea inyectiva.

Resultados principales de transformaciones lineales en bases, generadores y linealmente independientes

El primer resultado es que los requisitos que descubrimos intuitivamente en la sección pasada son suficientes.

Teorema. Sea $T:V\to W$ una transformación lineal y $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$ un conjunto de vectores de $V$. Entonces:

  • Si $T$ es inyectiva y $S$ es linealmente independiente, entonces $T(S)$ es linealmente independiente.
  • Cuando $T$ es suprayectiva y $S$ es generador, entonces $T(S)$ es generador.
  • Si $T$ es biyectiva y $S$ es base, entonces $T(S)$ es base.

Demostración. Comencemos suponiendo que $T$ es inyectiva y $S$ es linealmente independiente. Entonces $T(v_1),\ldots,T(v_n)$ son todos distintos. Tomemos una combinación lineal de elementos de $T(S)$ igual a cero, es decir, $$a_1T(v_1)+a_2T(v_2)+\ldots+a_nT(v_n)=0.$$ Debemos mostrar que todos los coeficientes son iguales a cero. Como $T$ es transformación lineal, podemos juntar las sumas y productos escalares como sigue: $$T(a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n)=0=T(0).$$

Como $T$ es inyectiva, esto implica que $$a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n=0,$$ pero como $S$ es linealmente independiente, concluimos que $$a_1=\ldots=a_n=0.$$ Así, $T(S)$ es linealmente independiente.

Supongamos ahora que $T$ es suprayectiva y $S$ es generador. Tomemos un $w\in W$. Como $T$ es suprayectiva, existe $v\in V$ tal que $T(v)=w$ y como $S$ es generador, existen $a_1,\ldots,a_n$ tales que $$a_1v_1+\ldots+a_nv_n=v.$$ Aplicando $T$ en ambos lados, abriendo las sumas y sacando escalares obtenemos que $$a_1T(v_1)+\ldots+a_nT(v_n)=T(v)=w.$$ Así, todo elemento de $W$ se puede escribir como combinación lineal de elementos de $T(S)$, como queríamos.

Finalmente, supongamos que $T$ es biyectiva y $S$ es base. Como $T$ es inyectiva y $S$ linealmente independiente, entonces $T(S)$ es linealmente independiente. Como $T$ es suprayectiva y $S$ generador, entonces $T(S)$ es generador. Así, $T(S)$ es base.

$\square$

Una consecuencia fudamental del resultado anterior es que si $V$ y $W$ son espacios de dimensión finita y existe una transformación lineal inyectiva $T:V\to W$, entonces $\dim(V)\leq \dim(W)$. En efecto, si $B$ es base de $V$ y $T$ es inyectiva, entonces $T(B)$ es linealmente independiente en $W$ y sabemos que $W$ tiene a lo más $\dim(W)$ vectores linealmente independientes, así que $\dim(V)=|B|=|T(B)|\leq \dim(W)$. De manera similar, si existe una transformación lineal $T:V\to W$ suprayectiva, entonces $\dim(V)\geq \dim(W)$. Demuestra esto. ¿Qué pasa con las dimensiones si existe una transformación lineal biyectiva entre $V$ y $W$?

¿Cuándo una transformación lineal es inyectiva?

El teorema anterior también sugiere que es importante saber cuándo una transformación lineal es inyectiva, suprayectiva o ambas. Resulta que en el caso de la inyectividad hay un criterio que nos ayuda.

Proposición. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales. Una transformación lineal $T:V\to W$ es inyectiva y si sólo si el único vector $v$ de $V$ tal que $T(v)=0$ es el vector $v=0$. En otras palabras $T$ es inyectiva si y sólo si $\ker(T)=\{0\}$.

Demostración. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales y $T:V\to W$ una transformación lineal. Recordemos que sabemos que $T(0)=0$.

Si $T$ es inyectiva y $T(x)=0$, entonces $T(x)=T(0)$ y por inyectividad $x=0$, de modo que $x$ es el único vector que va a $0$ bajo $T$.

Si el único vector que bajo $T$ va a $0$ es el $0$ y tenemos que $T(x)=T(y)$, entonces usando que $T$ es lineal tenemos que $0=T(y)-T(x)=T(y-x)$. Así, por hipótesis $y-x=0$, es decir, $x=y$. Con esto queda mostrado que $T$ es inyectiva.

$\square$

Transformaciones lineales en bases dan toda la información

Conociendo los valores de una transformación lineal en algunos vectores, es posible determinar el valor de la transformación en otros vectores que son combinación lineal de los primeros. Considera el siguiente ejemplo.

Problema. La transformación lineal $T:M_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2$ cumple que $T\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}=(1,0)$, $T\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}=(0,-1)$, $T\begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}=(-1,0)$ y $T\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 0
\end{pmatrix}=(0,1)$. Determina el valor de $T\begin{pmatrix} 3 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}$.

Intenta resolver el problema por tu cuenta antes de ver la solución. Para ello, intenta poner a la matriz $\begin{pmatrix} 3 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}$ como combinación lineal de las otras matrices y usar que $T$ es lineal.

Solución. Sean $A$, $B$, $C$ y $D$ las matrices de las cuales conocemos cuánto vale $T$ en ellas y $E$ la matriz con puros $3$’s. Queremos determinar el valor de $T(E)$. Notemos que $E=\frac{3}{2}(A+B+C+D)$. Como $T$ es transformación lineal, tenemos que

\begin{align*}
T(E)&=\frac{3}{2}(T(A)+T(B)+T(C)+T(D))\\
&=\frac{3}{2}((1,0)+(0,-1)+(-1,0)+(0,1))\\
&=(0,0).
\end{align*}

$\square$

En este problema lo que sirvió para encontrar el valor de $T(E)$ fue poner a la matriz $E$ como combinación lineal de las matrices $A,B,C,D$. De hecho, para cualquier matriz que sea combinación lineal de las matrices $A,B,C,D$, pudiéramos haber hecho lo mismo.

A partir de esta observación, podemos intuir que al conocer el efecto de transformaciones lineales en bases, podemos saber qué le hacen a cada elemento del espacio vectorial. El siguiente teorema enuncia esto de manera formal y dice un poco más.

Teorema. Sean $V$, $W$ espacios vectoriales, $B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ una base de $V$ y $w_1,w_2,\ldots, w_n$ vectores cualesquiera de $W$. Entonces, existe una y sólo una transformación lineal $T:V\to W$ tal que $$T(v_1)=w_1,\quad T(v_2)=w_2, \quad \ldots, \quad T(v_n)=w_n.$$

Demostración. Probemos primero la parte de existencia. Como $B$ es base, cualquier vector $v$ de $V$ se puede escribir como $$a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n.$$ Construyamos la función $T:V\to W$ tal que $$T(v)=a_1w_1+a_2w_2+\ldots+a_nw_n.$$

Como para cada $i=1,\ldots,n$ tenemos que la combinación lineal de $v_i$ en términos de $B$ es $v_i=1\cdot v_i$, tenemos que $T(v_i)=1\cdot w_i=w_i$, que es una de las cosas que queremos. La otra que queremos es que $T$ sea lineal. Mostremos esto. Si $$v=a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n$$ y $$w=b_1v_1+b_2v_2+\ldots+b_nv_n,$$ entonces $$v+w=(a_1+b_1)v_1+
(a_2+b_2)v_2+\ldots+ (a_n+b_n)v_n,$$ y por definición $$T(v+w)=(a_1+b_1)w_1+ (a_2+b_2)w_2+\ldots+ (a_n+b_n)w_n.$$ Notemos que el lado derecho es igual a $T(v)+T(w)$, de modo que $T$ abre sumas. De manera similar se puede mostrar que $T$ saca escalares.

Esbocemos ahora la demostración de la unicidad. Supongamos que $T$ y $T’$ son transformaciones lineales de $V$ a $W$ tales que $T(v_i)=T'(v_i)=w_i$ para toda $i=1,\ldots,n$. Tenemos que mostrar que $T(v)=T'(v)$ para toda $v$. Para ello procedemos como en el problema antes de este teorema: escribimos a $v$ como combinación lineal de elementos de $B$. Esto se puede hacer de una única forma. El valor de $T(v)$ a su vez depende únicamente de $w_1,\ldots,w_n$ y de la los coeficientes en combinación lineal. El de $T'(v)$ también. Por lo tanto son iguales.

$\square$

Una consecuencia del teorema anterior, en la que no es necesario enunciar a las imágenes de la base, es la siguiente.

Corolario. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales, $B$ una base de $V$, y $T$ y $T’$ transformaciones lineales de $V$ a $W$. Si $T(v)=T'(v)$ para toda $v\in B$, entonces $T(v)=T'(v)$ para toda $v\in V$.

Más adelante…

Las propiedades que demostramos en esta entrada se usan con tanta frecuencia que muchas veces se aplican sin siquiera detenerse a argumentar por qué son válidas. Por esta razón, es importante que te familiarices con ellas. Otra ventaja de conocerlas a profundidad es que muchas veces ayudan a dar demostraciones sencillas o elegantes para algunos problemas. Finalmente, los hechos que aquí mostramos los usaremos prácticamente sin demostración en las siguientes entradas, en donde desarrollaremos la teoría de la forma matricial de transformaciones lineales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra qué le hace al vector $(7,3)$ una transformación lineal $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ tal que $T(2,1)=20$ y $T(7,2)=5$.
  • Determina si las matrices $A,B,C,D$ del problema de la entrada son una base para $M_2(\mathbb{R})$. Si no son una base, ¿cuál es la dimensión del subespacio que generan?
  • En el último teorema se afirma que la función que construimos saca escalares. Muestra esto.
  • De ese mismo teorema, escribe los detalles de que dicha función es única.
  • Demuestra el corolario enunciado en la entrada.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

El lema de intercambio de Steinitz

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

7 respuestas

Introducción

En esta entrada platicaré de un lema muy útil en álgebra lineal, sobre todo cuando se están definiendo las nociones de base y de dimensión para espacios vectoriales de dimensión finita. Se trata del lema de intercambio de Steinitz.

Supondré que el lector ya sabe un poco de álgebra lineal, pero muy poquito. Basta con saber la definición de espacio vectorial. Lo demás lo definiremos sobre el camino.

El nombre del lema es en honor al matemático alemán Ernst Steinitz. Sin embargo, personalmente a mi me gusta pensarlo como el lema del «regalo de vectores», por razones que ahorita platicaremos. El enunciado es el siguiente:

Teorema (Lema de intercambio de Steinitz). Sea $V$ un espacio vectorial. Tomemos un conjunto finito y linealmente independiente $L$ de $V$, y un conjunto finito y generador $S$ de $V$. Supongamos que $L$ tiene $m$ elementos y que $S$ tiene $n$ elementos. Entonces:

  • $m\leq n$
  • Se puede tomar un subconjunto $T$ de $S$ de tamaño $n-m$ tal que $L\cup T$ sea generador de $V$.

En pocas palabras, «cualquier conjunto linealmente independiente tiene a lo mucho tantos elementos como cualquier conjunto generador y, además, cualquier generador le puede regalar vectores al linealmente independiente para volverlo generador».

De manera esquemática, está pasando lo siguiente:

Diagrama del lema de intercambio de Steinitz
Diagrama del lema de intercambio de Steinitz

Lo que haremos es hablar de las definiciones necesarias para entender el lema, hablar de la intuición detrás, dar un par de ejemplos y luego dar la demostración. La presentación está ligeramente basada en el libro de álgebra lineal de Titu Andreescu.

Definiciones e intuición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$.

Si tenemos vectores $v_1,\ldots,v_n$ de $V$ y escalares $a_1,\ldots,a_n$ en $F$, podemos considerar al vector formado por multiplicar los vectores por los escalares correspondientes y sumarlos todos, es decir al vector $v$ dado por la expresión $a_1v_1+\cdots+a_nv_n$ . En este caso, decimos que $v$ es una combinación lineal de $v_1,\ldots,v_n$, o a veces que $v_1,\ldots,v_n$ generan a $v$.

Un conjunto $S=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ de vectores de $V$ es generador si para cualquier $v$ de $V$ existen escalares $a_1,\ldots,a_n$ en $F$ para los cuales $v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n$. Dicho de otra forma, «$S$ es generador si cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de vectores de $S$».

De esta definición es fácil ver que si $S$ es un conjunto generador y $T$ es un conjunto que contiene a $S$ (es decir, $T\supset S$), entonces $T$ también es generador: simplemente para cualquier $v$ usamos la combinación lineal que tenemos en $S$ y al resto de los vectores (los de $T\setminus S$) les ponemos coeficientes cero.

Un conjunto $L=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\}$ de vectores de $V$ es linealmente independiente si la única combinación lineal de vectores de $L$ que da $0$ es aquella en la que todos los escalares son $0$. Dicho de otra forma, «$L$ es linealmente independiente si $a_1w_1+\ldots+a_mw_m=0$ implica que $a_1=a_2=\ldots=a_m=0$.»

Con los conjuntos linealmente independientes pasa lo contrario a lo de los generadores. Si $L$ es un conjunto linealmente independiente y $M$ está contenido en $L$ (es decir, ahora $M\subset L$), entonces $M$ es linealmente independiente. Esto sucede pues cualquier combinación lineal de $M$ también es una combinación lineal de $L$. Como no hay ninguna combinación lineal no trivial de elementos de $L$ que sea igual a cero, entonces tampoco la hay para $M$.

Los párrafos anteriores dejan la idea de que «los conjuntos generadores tienen que ser grandes» y que «los conjuntos linealmente independientes tienen que ser chiquitos». El lema de intercambio de Steinitz es una manera en la que podemos formalizar esta intuición.

Como los conjuntos generadores son «grandes», entonces son bien buena onda y bien generosos. Tienen muchos elementos. Como los conjuntos linealmente independientes son «chiquitos», entonces necesitan elementos. Lo que dice el lema de intercambio de Steinitz es que si tenemos a un generador $S$ y a un linealmente independiente $L$, entonces $S$ tiene más elementos y que puede regalar al linealmente independiente $L$ algunos elementos $T$ para que ahora $L\cup T$ tenga tantos elementos como tenía $S$ y además se vuelva generador. Una cosa importante es que no cualquier subconjunto $T$ funciona. Este tiene que estar bien elegido.

Ejemplo concreto del lema de intercamio de Steinitz

Veamos un ejemplo muy concreto. Supongamos que nuestro espacio vectorial es $\mathbb{R}^3$, osea, los vectores con $3$ entradas reales. Tomemos a los siguientes conjuntos de vectores:

  • $L=\{(1,2,3), (0,3,0)\}$
  • $S=\{(0,1,0), (1,0,0), (0,0,-1), (2,4,6)\}$

Por un lado, el conjunto $L$ es linealmente idependiente. Una combinación lineal $a(1,2,3)+b(0,3,0)=(0,0,0)$ implica de manera directa que $a=0$ (por la primer o tercer coordenadas) y de ahí $b=0$ (por la segunda coordenada).

Por otro lado, el conjunto $S$ es generador, pues con $(0,0,-1)$ podemos obtener a $(0,0,1)$ como combinación lineal, de modo que $S$ genera a los tres de la base canónica y por tanto genera a todo $\mathbb{R}^3$.

Notemos que en efecto $L$ tiene menos elementos que $S$. Además, el lema de intercambio de Steinitz garantiza que $S$ puede pasarle $|S|-|L|=4-2=2$ elementos a $L$ para volverlo generador. Pero hay que ser cuidadosos. Si le regala los elementos $(0,1,0)$ y $(2,4,6)$, entonces no funciona (se puede verificar que este conjunto no genera a $\mathbb{R}^3$). Pero si le regala, por ejemplo, los elementos $(1,0,0)$ y $(0,0,-1)$ entonces ahora sí generará (se puede argumentar viendo que entonces ahora genera a los tres de la base canónica).

Demostración del lema de intercambio de Steinitz

Pasemos ahora a la demostración del lema de Steinitz. Lo demostraremos por inducción en la cantidad de elementos que tiene $L$, el linealmente independiente. Si $|L|=m=0$, entonces claramente $m=0\leq n$, y además $S$ le puede pasar $n-0=n$ elementos (todos) a $L$ y volverlo generador.

Supongamos entonces que es cierta la siguiente afirmación.

Hipótesis inductiva Sea $V$ un espacio vectorial. Tomemos un conjunto finito y linealmente independiente $L$ de $V$, y un conjunto finito y generador $S$ de $V$. Supongamos que $L$ tiene $m$ elementos y que $S$ tiene $n$ elementos. Entonces:

  • $m\leq n$
  • Se puede tomar un subconjunto $T$ de $S$ de tamaño $n-m$ tal que $L\cup T$ sea generador de $V$.

Para el paso inductivo, tomemos $L=\{w_1,w_2,\ldots,w_m,w_{m+1}\}$ un linealmente independiente de $V$ y $S=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ un generador de $V$. Aplicándole la hipótesis inductiva al linealmente independiente $L’=L\setminus \{w_{m+1}\}=\{w_1,\ldots,w_m\}$ y al generador $S$, tenemos que:

  • $m\leq n$
  • Se puede tomar un subconjunto $T’=\{s_1,s_2,\ldots,s_{n-m}\}$ de $S$ tal que $L’\cup T’= \{w_1,w_2,\ldots,w_m,s_1,\ldots,s_{n-m}\}$ sea generador de $V$.

Como $L’\cup T’$ es generador, entonces podemos poner a $w_{m+1}$ como combinación lineal de elementos de $L’\cup T’$, es decir, existen $a_1,\ldots, a_m, b_1,\ldots,b_{n-m}$ tales que $$w_{m+1}=a_1w_1+\ldots+a_mw_m+b_1s_1+\ldots+b_{n-m}s_{n-m}.$$

Ya sabemos que $m\leq n$. Si $m=n$, la combinación lineal anterior no tendría ningún $s_i$, y entonces sería una combinación lineal no trivial para los elementos de $L$, lo cual es una contradicción pues $L$ es linealmente independiente. Entonces $m\neq n$ y $m\leq n$, así que $m+1\leq n$, que era el primer punto que queríamos probar.

También, como $L$ es linealmente independiente, no se vale que todos los $b_i$ sean iguales a cero. Sin perder generalidad, podemos suponer que $b_1\neq 0$. Así, $s_1$ se puede despejar como combinación lineal en términos de $w_1,\ldots,w_n,w_{n+1}, s_2,\ldots,s_{n-m}$ y por lo tanto $L\cup (T’\setminus \{s_1\})$ genera lo mismo que $L’\cup T’$, que era todo $V$. Así, $T:=T’\setminus \{s_1\}$ es el subconjunto de $S$ de tamaño $n-(m+1)$ tal que $L\cup T$ es generador. Esto termina la prueba del lema.

Algunas aplicaciones

El lema de intercambio de Steinitz se puede utilizar para probar varias afirmaciones con respecto a bases de un espacio vectorial de dimensión finita.

Un espacio vectorial es de dimensión finita si tiene un conjunto generador con una cantidad finita de elementos. Una base de un espacio vectorial es un conjunto que sea simultáneamente generador y linealmente independiente.

Las siguientes afirmaciones se siguen directamente del lema de Steinitz.

  1. Todas las bases de un espacio vectorial finito tienen la misma cantidad de elementos.
  2. En un espacio vectorial de dimensión $d$:
    • Todo conjunto linealmente independiente tiene a lo más $d$ elementos.
    • Todo conjunto generador tiene al menos $d$ elementos.
  3. Si $S$ es un conjunto con $n$ vectores de un espacio vectorial de dimensión $n$, entonces las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
    • El conjunto $S$ es base.
    • $S$ es linealmente independiente.
    • $S$ es generador.

Como primer ejemplo, haremos (1). Tomemos $B_1$ y $B_2$ bases de un espacio vectorial de dimensión finita $B$. Pensando a $B_1$ como linealmente independiente y a $B_2$ como generador, tenemos $|B_1|\leq |B_2|$. Pensando a $B_2$ como linealmente independiente y a $B_1$ como generador, tenemos $|B_2|\leq |B_1|$. Así, $|B_1|=|B_2|$.

Como segundo ejemplo, haremos una parte de (3). Suponiendo que $S$ es un conjunto de $n$ vectores de un espacio vectorial de dimensión $n$, veremos que su independencia lineal implica $S$ es base. Sea $B$ una base de $V$. Por el lema de Steinitz, podemos pasar $|B|-|S|=n-n=0$ elementos de $B$ a $S$ para volverlo generador. Es decir, $S$ ya es generador. Como además es linealmente independiente, entonces es base.

El resto de las demostraciones son igual de sencillas, como puedes verificar.

Más adelante…

El lema de Steinitz es la herramienta clave para definir dar la definición de dimensión de espacios vectoriales en el caso de dimensión finita. Lo usaremos una y otra vez. Por esta razón, es muy recomendable repasar su demostración y entender a profundidad qué dice.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Replica por tu cuenta la demostración del lema de Steinitz hasta que te sientas cómodo con los argumentos.
  • En el ejemplo que se dio de la aplicación del lema de Steinitz, ¿cuáles son todas las posibilidades de $2$ elementos que se pueden pasar para que $L$ se convierta en generador?
  • Usa el lema de Steinitz para demostrar el resto de consecuencias que mencionamos.
  • ¿Qué te dice el lema de Steinitz cuando $L$ y $S$ son inicialmente del mismo tamaño?
  • Muestra que en el lema de Steinitz la hipótesis de que $L$ sea finito no es necesaria, es decir, que incluso sin esta hipótesis se pueden mostrar todas las conclusiones.

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¿Ahora qué?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»