Introducción

En la entradas anteriores se trataron algunos temas de identidades algebraicas y se profundizó en el binomio de Newton y la identidad de Gauss. En esta y la siguiente entrada hablaremos de polinomios. Por ahora, comenzaremos recordando las nociones básicas de la aritmética de polinomios y hablando un poco de la factorización de polinomios. Más adelante hablaremos del poderoso teorema de la identidad.

Recordatorio de polinomios

Tenemos que un polinomio de grado $n$, donde $n$ es un número entero no negativo, es una expresión algebraica de la forma

$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0.$$

Dicha expresión también podemos denotarla como

$$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,$$

en donde $a_n$ es distinto de $0$.

Los elementos $\{a_n,a_{n-1},\dots ,a_0\}$ se conocen como coeficientes. Si $a_n=1$, decimos que el polinomio es mónico.

Nota: El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros, se le conoce como el polinomio cero y no tiene grado.

Si dos polinomios son idénticos coeficiente por coeficiente, decimos que dichos polinomios son iguales. Esta noción será de utilidad más adelante en la entrada del teorema de la identidad.

Si todos los coeficientes de un polinomio son enteros, decimos que es un polinomio sobre los enteros. Si los coeficientes son números reales, entonces es un polinomio sobre los reales. De manera similar definimos a los polinomios sobre los racionales, los complejos o incluso sobre ${\mathbb{Z}}_n$. Aunque parezca irrelevante, conocer las características de los coeficientes de un polinomio, nos da mucha información sobre su constitución. Hay resultados que, por ejemplo, se valen para los polinomios sobre los complejos, pero no para los polinomios sobre los reales.

Otra cosa que es de nuestro interés son las operaciones en los polinomios, y es que al igual que los números enteros, podemos sumar, multiplicar y dividir polinomios.

Algoritmo de la división para polinomios

Para los polinomios, al igual que en los números enteros, existe un algoritmo de la división. Este nos ayudará posteriormente para cuando queramos hacer factorización en polinomios.

Teorema. Sean los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ definidos sobre un campo $\mathbb{K}$ con $Q(x)$ distinto de cero. Entonces existen dos únicos polinomios $C(x)$ y $R(x)$ tales que

$$P(x)=C(x)Q(x)+R(x),$$

donde $C(x)$ y $R(x)$ son el coeficiente y el residuo respectivamente, resultado de dividir $P(x)$ entre $Q(x)$, y se tiene que $R(x)$ es el polinomio $0$ o bien tiene grado menor o igual al grado de $C(x)$.

Ejemplo. Dados los polinomios $P(x)=x^2-3x-28$ y $Q(x)=x-5$, tenemos que $C(x)=x+2$ y $R(x)=-18$.

En efecto,

$$x^2-3x-28=(x+2)(x-5)-18.$$

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Algoritmo de Euclides para polinomios

Al igual que en los enteros, el algoritmo de la división es de ayuda para determinar el máximo común divisor entre dos polinomios: simplemente seguimos los pasos del algoritmo de Euclides. Es por ello que tenemos el siguiente resultado.

Teorema. Si tenemos dos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ sobre un campo $\mathbb{K}$, tenemos que existen polinomios $S(x)$ y $T(x)$ tales que

$$\text{MCD}(P,Q)=PS+QT.$$

Aquí $\text{MCD}(P,Q)$ es el máximo común divisor de $P(x)$ y $Q(x)$.

Otra forma de ver o de entender el máximo común divisor entre dos polinomios es como el producto de todos aquellos factores que tienen en común.

Problema: Encuentra polinomios $F(x)$ y $G(x)$ tales que

$$(x^8-1)F(x)+(x^5-1)G(x)=x-1.$$

Sugerencia pre-solución. Recuerda cómo encontrar el máximo común divisor de dos enteros usando el algoritmo de Euclides. Además, usa una factorización para cancelar el factor $x-1$ de la derecha.

Solución. Definamos

$$\begin{array}{rl}A(x)& =x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ B(x)& =x^4+x^3+x^2+x+1.\end{array}$$

Notemos que la ecuación es equivalente a

$$A(x)F(x)+B(x)G(x)=1.$$

Tendría que suceder entonces que $A(x)$ y $B(x)$ sean primos relativos.

Aplicando el algoritmo de la división repetidamente, tenemos lo siguiente:

$$\begin{array}{rl}A(x)& =x^{3}B(x)+(x^2+x+1)\\ B(x)& =x^2(x^2+x+1)+(x+1)\\ x^2+x+1& =x(x+1)+1.\end{array}$$

Esto muestra que $A(x)$ y $B(x)$ son primos relativos, así que la combinación lineal que buscamos debe existir. Para encontrarla de manera explícita, invertimos los pasos. Trabajando hacia atrás, tenemos que

$$\begin{array}{rl}1& =(x^2+x+1)-x(x+1)\\ & =(x^2+x+1)-x(B(x)-x^2(x^2+x+1))\\ & =(x^2+x+1)(x^3+1)-xB(x)\\ & =(x^3+1)(A(x)-x^3(B(x))-xB(x)\\ & =(x^3+1)A(x)-x^3(x^3+1)B(x)-xB(x)\\ & =(x^3+1)A(x)+(-x^6-x^3-x)B(x)\end{array}$$

Así que podemos tomar a $F(x)=x^3+1$ y $G(x)=-x^6-x^3-x$.

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El teorema del factor

Sea $P(x)$ un polinomio sobre un dominio entero $D$. Decimos que un elemento $a$ de $D$ es raíz del polinomio $P(x)$ si $P(a)=0$. Si aplicamos el algoritmo de la división en los polinomios $P(x)$ y $x-a$ obtenemos el siguiente teorema, que es fundamental en la factorización de polinomios.

Teorema El elemento $a$ es raíz de $P(x)$ si y solo si $(x-a)$ es factor de $P(x)$.

Veamos cómo aplicar este teorema en un ejemplo concreto.

Problema. Dado $\omega =\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)$, prueba que

$$x^{n-1}+\dots +x+1=(x-\omega )(x-{\omega }^2)\cdot \dots \cdot (x-{\omega }^{n-1}).$$

Sugerencia pre-solución. Recuerda los resultados básicos de aritmética de los números complejos.

Solución. Por De Moivre tenemos que si

$$\omega =\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)=e^{\frac{2\pi i}{n}}$$

entonces $\{1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}\}$ son raíces de $x^n-1=0$. Además, como $e^{\pi i}=-1$, tenemos que ${\omega }^n=1$.

Así, tenemos que ${\omega }^{n+1}=\omega$ y de manera general ${\omega }^{n+k}={\omega }^k$.

Por otro lado,

$$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+\dots +x+1)$$

Y como $\{1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}\}$ son raíces de $x^n-1$, tenemos entonces que $\{\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}\}$ deben de ser las raíces de $$x^{n-1}+\dots +x+1.$$

Aplicando repetidamente el teorema del factor, tenemos que

$$x^{n-1}+\dots +x+1=(x-\omega )(x-{\omega }^2)\cdot \dots \cdot (x-{\omega }^{n-1}).$$

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Un problema para números algebraicos

Un número real es algebraico si es raíz de un polinomio sobre los números enteros.

Problema. Prueba que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es un número algebraico.

Sugerencia pre-solución. Realiza operaciones de suma, resta y producto con $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ y con enteros. Ve si puedes encontrar un patrón de cómo se comportan.

Solución. Tenemos que encontrar un polinomio $P(x)$ sobre los número enteros de tal forma que $P(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0$.

Si consideramos $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, entonces $x^2=5+2\sqrt{6}$

Para $P(x)=x^2-5$, tenemos que $P(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{6}$

Así,

$$(P(\sqrt{2}+\sqrt{3}){)}^2=(2\sqrt{6}{)}^2=144.$$

Ahora, si consideramos el polinomio

$$Q(x)=(P(x){)}^2-144.$$

Tenemos que

$$Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})=(P(\sqrt{2}+\sqrt{3}){)}^2-144=0.$$

Por lo tanto como el polinomio $Q(x)=x^4-10x^2-119$ es un polinomio sobre los enteros, y como $Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0$ concluimos que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es un número algebraico.

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Más problemas

Puedes encontrar más problemas de aritmética y factorización de polinomios en la Sección 4.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.