Introducción

Decimos que un cuadrilátero convexo es bicéntrico si es circunscrito y cíclico al mismo tiempo. Ahora que hemos estudiado a los cuadriláteros cíclicos y cuadriláteros circunscritos por separado, nos podemos preguntar cuando un cuadrilátero cumple con ambas definiciones y que propiedades tiene, en esta entrada abordaremos este tema.

Dos caracterizaciones para el cuadrilátero bicéntrico

Teorema 1. Sea $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente, entonces $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ es bicéntrico si y solo si $EG\perp FH$.

Demostración. $\mathrm{\angle }BEF$ y $\mathrm{\angle }EFB$ son ángulos semiinscritos que abarcan el mismo arco, $\stackrel{⌢}{EF}$, por lo tanto, son iguales $\mathrm{\angle }BEF=\mathrm{\angle }EFB=\mu$.

De manera análoga tenemos que, $\mathrm{\angle }DGH=\mathrm{\angle }GHD=\nu$.

Así que en los triángulos $\mathrm{△}BEF$ y $\mathrm{△}DHG$ se tiene $\pi =\mathrm{\angle }B+2\mu =\mathrm{\angle }D+2\nu$ por lo que
$\begin{array}{}\text{(1)}& 2\pi =\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }D+2(\mu +\nu ).\end{array}$

Ahora supongamos que $EG$ y $FH$ son perpendiculares, y sea $P=EG\cap FH$, entonces $\mathrm{\angle }HPE={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, así que en $\mathrm{△}HPE$, ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\mathrm{\angle }PEH+\mathrm{\angle }EHP$.

Pero $\mathrm{\angle }EHF$ y $\mathrm{\angle }BEF$ abren el mismo arco, por lo tanto, $\mathrm{\angle }EHF=\mu$, de manera similar $\mathrm{\angle }GEH=\nu$, por lo tanto $\mu +\nu ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Sustituyendo la ultima igualdad en $(1)$ tenemos
$2\pi =\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }D+\pi$
$\iff \mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }D=\pi$
$\iff \mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ es cíclico.

La proposición reciproca se muestra tomando en sentido contrario la prueba.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Teorema 2. Sea $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ circunscrito, $I$ su incentro, $K$ y $J$ las intersecciones de los lados $AB$ con $DC$ y $AD$ con $BC$ respectivamente entonces $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ es bicéntrico si y solo si $IK\perp IJ$.

Demostración. Notemos que el incírculo de $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ es al mismo tiempo el excentro de $\mathrm{△}AJB$ y $\mathrm{△}BKC$ opuesto a los vértices $J$ y $K$ respectivamente.

Esto implica que $IJ$ e $IK$ son las bisectrices internas de $\mathrm{\angle }J$ y $\mathrm{\angle }K$ respectivamente.

Sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de contacto del incírculo con $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente, en la prueba del teorema anterior vimos que $\mathrm{\angle }JHF=\mathrm{\angle }HFJ$ y $\mathrm{\angle }EGK=\mathrm{\angle }KEG$.

Por lo tanto, $\mathrm{△}JHF$ y $\mathrm{△}KEG$ son isósceles.

Entonces las bisectrices de $\mathrm{\angle }J$ y $\mathrm{\angle }K$ son mediatrices de $FH$ y $EG$ respectivamente.

En consecuencia, $JL\perp FH$ y $KM\perp EG$, donde $L$ y $M$ son los puntos medios de $FH$ y $EG$ respectivamente.

De esto último se sigue que en el cuadrilátero $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}LPMI$, $\mathrm{\angle }LIM+\mathrm{\angle }MPL=\pi$.

Por lo tanto, $IJ\perp IK\iff FH\perp EG\iff \mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$  es bicéntrico.

La última doble implicación se da por el teorema 1.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Teorema de Fuss

Teorema 3, de Fuss. En un cuadrilátero bicéntrico el circunradio $R$, el inradio $r$ y la distancia $d$ entre el circuncentro y el incentro se relacionan mediante la siguiente expresión:
${\displaystyle \frac{1}{(R+d{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{(R–d{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{r^2}}$.

Demostración. Sean $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ bicéntrico, $(O,R)$, $(I,r)$ el circuncírculo y el incírculo respectivamente, $E$ y $F$ los puntos de tangencia de los lados $AB$ y $BC$ respectivamente con $(I,r)$.

Dado que $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$  es cíclico, entonces $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C=\pi$ y como $I$ es la intersección de las bisectrices internas de $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ tenemos lo siguiente:

$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\angle }EAI+\mathrm{\angle }ICF={\displaystyle \frac{\pi }{2}}.\end{array}$

Como $\mathrm{△}AEI$ y $\mathrm{△}CFI$ son triángulos rectángulos y tienen la misma altura desde $I$.

Al “pegar” los triángulos $\mathrm{△}AEI$ y $\mathrm{△}CFI$ por la altura formamos un triángulo rectángulo $\mathrm{△}ACI$ cuya área es :

$(\mathrm{△}ACI)={\displaystyle \frac{(AE+FC)r}{2}}={\displaystyle \frac{AI\times CI}{2}}$
$\iff (AE+FC{)}^2{r}^2=A{I}^2\times C{I}^2$.

Podemos calcular $AC$ aplicando el teorema de Pitágoras
$A{I}^2+C{I}^2=A{C}^2=(AE+FC{)}^2$.

De las últimas dos expresiones obtenemos $(A{I}^2+C{I}^2)r^2=A{I}^2\times C{I}^2\iff$
$\begin{array}{}\text{(3)}& {\displaystyle \frac{1}{A{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{C{I}^2}}={\displaystyle \frac{1}{r^2}}.\end{array}$

Consideremos $G$ y $H$ los puntos donde $AI$ y $CI$ intersecan a $(O,R)$.

$\mathrm{\angle }HAB=\mathrm{\angle }HCB=\mathrm{\angle }ICF$ pues son subtendidos por el mismo arco.

Por la ecuación $(2)$,
$\mathrm{\angle }HAG=\mathrm{\angle }HAB+\mathrm{\angle }BAG=\mathrm{\angle }ICF+\mathrm{\angle }EAI={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$,
por lo tanto, $HG$ es diámetro.

Con el teorema de Apolonio calculamos la mediana $IO$ en $\mathrm{△}IHG$
$\begin{array}{}\text{(4)}& I{H}^2+I{G}^2=2I{O}^2+{\displaystyle \frac{H{G}^2}{2}}=2d^2+{\displaystyle \frac{(2R{)}^2}{2}}=2(d^2+R^2).\end{array}$

Como $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}AHGC$ es cíclico, entonces
$\begin{array}{}\text{(5)}& AI\times GI=HI\times CI=d^2–R^2.\end{array}$

Donde la última igualdad se debe a la potencia de $I$ respecto de $(O,R)$.

De $(4)$ y $(5)$ obtenemos

${\displaystyle \frac{1}{A{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{C{I}^2}}={\displaystyle \frac{G{I}^2}{(R^2–d^2{)}^2}}+{\displaystyle \frac{H{I}^2}{(R^2–d^2{)}^2}}$
$={\displaystyle \frac{G{I}^2+H{I}^2}{(R^2–d^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{2(d^2+R^2)}{(R^2–d^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{(R+d{)}^2+(R–d{)}^2}{(R^2–d^2{)}^2}}$
$\begin{array}{}\text{(6)}& ={\displaystyle \frac{1}{(R+d{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{(R–d{)}^2}}.\end{array}$

De $(3)$ y $(6)$ obtenemos la relación buscada
${\displaystyle \frac{1}{r^2}}={\displaystyle \frac{1}{(R+d{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{(R–d{)}^2}}$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Puntos colineales en el cuadrilátero bicéntrico

Teorema 4. En un cuadrilátero bicéntrico el incentro, el circuncentro y la intersección de las diagonales son colineales.

Demostración. Sean $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ bicéntrico, $I$, $O$, su incentro y circuncentro respectivamente y consideremos $E$, $F$, $G$ y $H$ las intersecciones de $AI$, $BI$, $CI$ y $DI$ con $(O,R)$, el circuncírculo de $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$, respectivamente.

En $\mathrm{△}GDB$ la mediatriz de $BD$ pasa por $N$ el punto medio de $BD$ y $O$, y la mediana por $G$ pasa por $G$ y $N$.

Como $CG$ es bisectriz de $\mathrm{\angle }DCB$, entonces $\mathrm{\angle }DBG=\mathrm{\angle }DCG=\mathrm{\angle }GCB=\mathrm{\angle }GDB$, por tanto, $\mathrm{△}GBD$ es isósceles y así la mediatriz de $BD$ y la mediana por $G$ coinciden, por lo que $G$, $N$ y $O$ son colineales, al mismo tiempo que esta recta es diámetro pues pasa por $O$.

En la prueba del teorema de Fuss vimos que $GE$ es diámetro por lo tanto $G$, $N$, $O$ y $E$ son colineales además $\mathrm{\angle }ONP={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ donde $P$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$.

De manera análoga $F$, $M$, $O$ y $H$ son colineales donde $M$ es el punto medio de $AC$ y $\mathrm{\angle }PMO={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Se sigue que $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}PNOM$ es cíclico, por lo tanto
$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathrm{\angle }MNP=\mathrm{\angle }MOP.\end{array}$

Por otro lado, como $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}DBHF$ es cíclico e $I$ es la intersección de las diagonales, por construcción, se sigue que $\mathrm{△}IBD\sim \mathrm{△}IHF$, son semejantes.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{IB}{IH}}={\displaystyle \frac{BD}{FH}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}BD}{{\displaystyle \frac{1}{2}}FH}}={\displaystyle \frac{BN}{OH}}$ y como $\mathrm{\angle }IBN=\mathrm{\angle }OHI$, por criterio de semejanza LAL, $\mathrm{△}IBN\sim \mathrm{△}IHO$.

Por lo tanto, $\mathrm{\angle }BNI=\mathrm{\angle }IOH$ y así
$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathrm{\angle }INP=\mathrm{\angle }MOI.\end{array}$

Por el teorema de Newton, sabemos que $N$, $I$ y $M$ son colineales, además $I$ se encuentra entre $N$ y $M$.

Por las ecuaciones $(7)$ y $(8)$ tenemos
$\mathrm{\angle }MOI=\mathrm{\angle }INP=\mathrm{\angle }MNP=\mathrm{\angle }MOP$.

Es decir, el ángulo que forman las rectas $IO$ y $MO$ es el mismo ángulo que forman las rectas $PO$ y $MO$, por lo tanto $IO$ y $PO$ son la misma recta, y así los puntos $I$, $O$ y $P$ son colineales.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Acotando el área del cuadrilátero bicéntrico

Teorema 5. El área de un cuadrilátero bicéntrico $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ con inradio $r$ y circunradio $R$ cumple la siguiente desigualdad:
$4r^2\le (\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD)\le 2R^2$.

Demostración. Primero veamos que $4r^2\le (\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD)$, sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente.

Como las tangentes desde un punto a una circunferencia son iguales tenemos
$AE=AH=x$, $BE=BF=y$, $CF=CG=z$ y $DG=DH=w$.

En la demostración del teorema de Fuss vimos que $\mathrm{\angle }IAH+\mathrm{\angle }GCI={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ de esto se sigue que $\mathrm{△}IHA$ y $\mathrm{△}CGI$ son semejantes
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{r}{z}}={\displaystyle \frac{x}{r}}\iff r^2=xz$.

De manera análoga vemos que $r^2=yw$.

Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica obtenemos

$(\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD)=2((\mathrm{△}IAE)+(\mathrm{△}IBF)+(\mathrm{△}ICG)+(\mathrm{△}IDH))$
$=r(x+y+z+w)$
$=2r({\displaystyle \frac{x+z}{2}}+{\displaystyle \frac{y+w}{2}})\ge 2r(\sqrt{xz}+\sqrt{yw})$
$=(2r)(2r)=4r^2$.

Donde la igualdad se da si y solo si $x=y=z=w=r$, si esto es así entonces $\mathrm{△}ADC$ es isósceles, entonces, $\mathrm{\angle }IAH=\mathrm{\angle }GCI={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

Por lo tanto, $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }C={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Del mismo modo vemos que $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, y así, $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ es un cuadrado.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ahora veamos que $(\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD)\le 2R^2$, tracemos la diagonal $BD$ y sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares a $BD$ trazadas desde $A$ y $C$ respectivamente y $P$ la intersección de las diagonales.

Por el teorema de Pitágoras, $AE\le AP$ y $CF\le CP\Rightarrow AE+CF\le AC$
y se tiene la igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Luego,
$(\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD)=(\mathrm{△}ABD)+(\mathrm{△}CBD)$
$={\displaystyle \frac{BD}{2}}(AE+CF)\le {\displaystyle \frac{AC\times BD}{2}}$.

Como $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$  es cíclico entonces cada diagonal es menor o igual que el diámetro $2R$ del circuncírculo.

Por lo tanto $(\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD)\le 2R^2$, donde la igualdad se da si y solo si las diagonales son perpendiculares y son diámetros del circuncírculo, es decir, $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$  es un cuadrado.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos una generalización del teorema de Ptolomeo, el teorema de Casey.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Muestra que para un cuadrilátero bicéntrico $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ de lados $a$, $b$, $c$ y $d$, diagonales $p$ y $q$, inradio $r$ y circunradio $R$ se tiene:
   $i)$ $(\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD)=\sqrt{abcd}$,
   $ii)$ $8pq\le (a+b+c+d{)}^2$,
   $iii)$ $\sqrt{2}r\le R$.
2.  Sea $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente, considera los puntos medios $I$, $J$, $K$ y $L$ de los segmentos $HE$, $EF$, $FG$ y $GH$ respectivamente muestra que $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ es cíclico si y solo si $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}IJKL$ es un rectángulo.

3. Sea $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}ABCD$ bicéntrico, $(I,r)$ el incírculo y $P$ la intersección de las diagonales, muestra que:
   $i)$ ${\displaystyle \frac{1}{A{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{C{I}^2}}={\displaystyle \frac{1}{B{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{D{I}^2}}={\displaystyle \frac{1}{r^2}}$,
   $ii)$ ${\displaystyle \frac{AP}{CP}}={\displaystyle \frac{A{I}^2}{C{I}^2}}$ , $Wikipedia\dfrac{BP}{DP} = \dfrac{BI^2}{DI^2}$.
4. Construye un cuadrilátero bicéntrico.

Entradas relacionadas

• Ir a Geometría Moderna I.
• Entrada anterior del curso: Cuadrilátero circunscrito.
• Siguiente entrada del curso: Teorema de Casey.
• Otros cursos.

Fuentes

• Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 38-42.
• Alsina, C. y Nelsen, R., When less is more: visualizing basic inequalities. Mathematical Association of America. 2009, pp 64–66.
• Josefsson, M., Characterizations of Bicentric Quadrilaterals. Forum Geometricorum. 2010, vol 10, pp 165–173.
• Cut the Knot
• Wikipedia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»