Introduccion

En esta sección veremos la relación de la aproximación de Taylor y los extremos locales de una función ya que la serie de Taylor (especialmente de bajo orden) puede ayudar a identificar, clasificar y entender el comportamiento de una función alrededor de un punto crítico (donde la derivada o el gradiente, según sea el caso, vale cero).

Aproximación de Taylor para funciones $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$

El caso de la aproximación con $n=2$ nos queda
$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\textcolor{Blue}{\frac{1}{1!}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot (x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot (y-y_{0})\right)}+$$

$$\textcolor{Red}{\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})^{2}\right)}+R_{2}$$
Donde la expresión azul se puede escribir

$$\textcolor{Blue}{\frac{1}{1!}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot (x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot (y-y_{0})\right)=\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (h_{1},h_{2},h_{3})}$$
y la expresión en rojo

$$\textcolor{Red}{\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial
x^{2}}{p}(x-x{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial
x}{p}(x-x{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2}f}{\partial
y^{2}}{p}(y-y{0})^{2}\right)}$$ Define una forma cuadratica que
podemos escribir

$$\textcolor{Red}{\frac{1}{2!}(x-x_{0}\quad y-y_{0})\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}&\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}\\
\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y }&\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x-x_{0} \\y-y_{0} \end{array}\right)}$$

Por lo que el desarrollo de Taylor se puede escribir
$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (h_{1},h_{2},h_{3})+\frac{1}{2!}(x-x_{0}\quad y-y_{0})\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}&\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x} \\
\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y }&\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x-x_{0} \\y-y_{0} \end{array}\right)$$

A la matriz

$$\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}&\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x} \\
\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y }&\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{array}\right)$$

se le conoce como matriz Hessiana y se denota $H(x_{0},y_{0})$ por lo que el desarrollo de Taylor se puede escribir
$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (h_{1},h_{2},h_{3})+\frac{1}{2!}(x-x_{0}\quad y-y_{0})(H(x_{0},y_{0}))\left(\begin{array}{c}
x-x_{0} \\y-y_{0} \end{array}\right)$$

$\textcolor{Red}{\textbf{Aproximación de Taylor para funciones $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$}}$

Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ y sea $F(t)=f(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t,z_{0}+h_{3}t)$ con $t\in[0,1]$, de esta manera f recorre el segmento de $[x_{0},y_{0},z_{0}]$ a $[x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t,z_{0}+h_{3}t]$. Se tiene entonces que usando la regla de la cadena

$$F'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t,z_{0}+h_{3}t)\cdot \frac{d(x_{0}+h_{1}t)}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t,z_{0}+h_{3}t)\cdot \frac{d(y_{0}+h_{2}t)}{dt}+$$

$$\frac{\partial f}{\partial z}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t,z_{0}+h_{3}t)\cdot \frac{d(z_{0}+h_{3}t)}{dt}=$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t,z_{0}+h_{3})\cdot h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t,z_{0}+h_{3})\cdot h_{2}+\frac{\partial f}{\partial z}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t,z_{0}+h_{3})\cdot h_{3}$$

Vamos ahora a calcular $F^{´´}(t)$

$$F^{´´}(t)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}h_{1}+ \frac{\partial f}{\partial y}h_{2}+\frac{\partial f}{\partial z}h_{3}\right)h_{1}+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}h_{1}+ \frac{\partial f}{\partial y}h_{2}+\frac{\partial f}{\partial z}h_{3}\right)h_{2}+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial x}h_{1}+ \frac{\partial f}{\partial y}h_{2}+\frac{\partial f}{\partial z}h_{3}\right)h_{3}=$$

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}h_{2}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}h_{3}h_{1}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}h_{3}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}h_{3}^{2}$$
Ahora bien si se aplica la fórmula de Taylor con la forma del residuo de Lagrange a la función $$F(t)=f(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t)$$ y ponemos $t=0$, y $n=2$ se tiene

$$F(t)=F(0)+\frac{1}{1!}F'(0)t+\frac{1}{2!}F^{´´}(0)t^{2}+R_{2}$$

ahora bien con $t=1$, $x=x_{0}+h_{1}$, $y=y_{0}+h_{2}$, $z=z_{0}+h_{3}$

$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\textcolor{Blue}{\left(\frac{\partial f}{\partial
x}\right){p}(x-x_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial
y}\right){p}(y-y_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial
z}\right){p}(z-z_{0})}+$$

$$\textcolor{Red}{\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial
x^{2}}{p}(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial
y}{p}(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2}f}{\partial
y^{2}}{p}(y-y_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial
x\partial z}{p}(z-z_{0})(x-x_{0})+2\frac{\partial^{2}f}{\partial
y\partial z}{p}(z-z_{0})(y-y_{0})\right)}$$

$$\textcolor{Red}{+\frac{\partial^{2}f}{\partial
z^{2}}{p}(z-z_{0})}+R_{2}$$
Donde la expresión en azul se puede escribir

$$\textcolor{Blue}{\left(\frac{\partial f}{\partial
x}\right){p}(x-x_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial
y}\right){p}(y-y_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial
z}\right){p}(z-z_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (h_{1},h_{2},h_{3})}$$

y la expresión en rojo
$$\textcolor{Red}{\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}h_{2}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}h_{3}h_{1}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}h_{3}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}h_{3}^{2}\right)}$$

se puede ver como producto de matrices

$$\frac{1}{2!}(h_{1}~h_{2}~h_{3})\left(\begin{matrix}\frac{\partial^{2}f}{\partial
x^{2}}&\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}&\frac{\partial^{2}f}{\partial z \partial x}\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
y^{2}}&\frac{\partial^{2}f}{\partial z \partial y}\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial
x \partial z}&\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial z}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
z^{2}}\end{matrix}\right)_{p}\left(\begin{matrix}h{1}\\h_{2}\\h_{3}\end{matrix}\right)$$

La matriz
$$\left(\begin{matrix}\frac{\partial^{2}f}{\partial
x^{2}}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
y\partial x}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
z\partial x}\\\frac{\partial^{2}f}{\partial
x \partial y}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
y^{2}}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
z \partial y}\\\frac{\partial^{2}f}{\partial
x \partial z}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
y \partial z}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
z^{2}}\end{matrix}\right)$$
se le conoce como matriz Hessiana y se le denota $H(x_{0},y_{0},z_{0})$, por lo que la aproximación de Taylor se puede escribir

$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (h_{1},h_{2},h_{3})+\frac{1}{2!}(h_{1}~h_{2}~h_{3})H(x_{0},y_{0},z_{0})\left(\begin{matrix}h_{1}\\h_{2}\\h_{3}\end{matrix}\right)$$

$\textbf{Ejemplo}$ Considere la función $f(x,y)=e^{2x+3y}$
$f[(0,0)+(x,y)]=f(0,0) +\nabla f(0,0)\cdot(x,y)+\frac{1}{2}[xy]H(0,0)\left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]+r_2(x,y)$

donde $\displaystyle\lim _{(x,y)\rightarrow(0,0)} \displaystyle\frac{r(x,y)}{x^2+y^2}=0$

$\nabla f=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(2e^{2x+3y},3e^{2x+3y})~~~~ \therefore \nabla f(0,0)=(2,3)$

$$
H(x,y)=\left[\begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{\partial ^2f}{\partial x^2} & \displaystyle\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}\\
\displaystyle\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y} & \displaystyle\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cc}
4e^{2x+3} & 6e^{2x+3y}\\
6e^{2x+3y} & 9e^{2x+3y}\end{array}\right] ~~~~ \therefore H(0,0)= \left(\begin{array}{cc} 4&6\\6&9\end{array}\right)
$$

Así

Así $f(x,y)=f(0,0)+(2,3)\cdot (x,y) +\frac{1}{2}[xy]\left(\begin{array}{cc} 4&6\\6&9 \end{array}\right)\left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]+r(x,y)$
$\therefore e^{2x+3y}=1+2x+3y+2x^2+6xy\frac{9}{2}y^2+r(x,y)$

$\textcolor{Red}{\textbf{Extremos Locales}}$

Entre las caracteristicas geometricas básicas de la gráficas de una función estan sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza sus valores mayor y menor.

$\textbf{Definición 1.}$ Si $f:u\subset \mathbb{R}^n \rightarrow
\mathbb{R}$ es una función escalar, dado un punto $x_0 \in u$
se llama mínimo local de $f$ si existe una vecindad $v$ de $x_0$ tal que $\forall x \in v$ ,$f(x)>f(x_0)$. De manera analoga, $x_0 \in u$ es un máximo local si existe una vecindad $v$ de $x_0$ tal que $f(x)<f(x_0)$, $\forall \quad x \in v$. El punto $x_0 \in u$ es un extremo local o relativo, si es un mínimo local o máximo
local.

En la expresión del desarrollo de Taylor
$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (h_{1},h_{2},h_{3})+\frac{1}{2!}(x-x_{0}\quad y-y_{0})(H(x_{0},y_{0}))\left(\begin{array}{c}
x-x_{0} \\y-y_{0} \end{array}\right)$$
Si consideramos los valores para los cuales

$$\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})=(0,0,0)$$
es decir los puntos críticos del gradiente entonces nuestra aproximación de Taylor nos queda

$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\frac{1}{2!}(x-x_{0}\quad y-y_{0})(H(x_{0},y_{0}))\left(\begin{array}{c}
x-x_{0} \\y-y_{0} \end{array}\right)$$
que se puede escribir
$$f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=\frac{1}{2!}(x-x_{0}\quad y-y_{0})(H(x_{0},y_{0}))\left(\begin{array}{c}
x-x_{0} \\y-y_{0} \end{array}\right)$$

por lo que el signo del lado izquierdo $f(x,y)-f(x_{0},y_{0})$ dependerá del signo de la expresión
$$\frac{1}{2!}(x-x_{0}\quad y-y_{0})(H(x_{0},y_{0}))\left(\begin{array}{c}
x-x_{0} \\y-y_{0} \end{array}\right)$$

es decir dependerá del signo de la forma
$$\frac{1}{2!}(h_{1}~h_{2})\left(\begin{matrix}\frac{\partial^{2}f}{\partial
x^{2}}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
y\partial x}\\\frac{\partial^{2}f}{\partial
x\partial y}&\frac{\partial^{2}f}{\partial
y^{2}}\end{matrix}\right)_{p}\left(\begin{matrix}h{1}\\h_{2}\\h_{3}\end{matrix}\right)$$

$\textbf{Teorema 1.}$ Sea $B=\left[\begin{array}{cc}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right]$ y $H(h)=\frac{1}{2}[h_1,h_2]\left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right]\left(
\begin{array}{c}
h_1 \\
h_2
\end{array}
\right)$ entonces $H(h)$ es definida positiva si y solo si $a>0$ y $ac-b^2>0$

$\small{Demostración.}$ Tenemos $$H(h)=\frac{1}{2}[h_1,h_2]\left[
\begin{array}{cc}
a h_1& bh_2 \\
b h_1& ch_2 \
\end{array}
\right]=\frac{1}{2}(ah_1^2+2bh_1h_2+ch_1^2)$$
si completamos el cuadrado
$$H(h)=\frac{1}{2}a\left(h_1+\frac{b}{a}h_2\right)^2+\frac{1}{2}\left(c-\frac{b^2}{a}\right)h_2^2$$
supongamos que $h$ es definida positiva. Haciendo
$h_2=0$ vemos que $a>0$. Haciendo $h_1=-\frac{b}{a}h_2$ $c-\frac{b^2}{a}>0$ ó $ac-b^2>0$. De manera analoga $H(h)$ es definida negativa si y solo si $a<0$ y $ac-b^2>0$. $\square$

Criterio del máximo y del mínimo para funciones de dos variables Sea $f(x,y)$ de clase
$C^3$ en un conjunto abierto $u$ de $\mathbb{R}^2$. Un punto $x_0,y_0$ es un mínimo local (Estricto) de $f$ si se cumple las siguientes tres condiciones:

$I)$ $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$
$II)$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)> 0$
$III)$ $\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)\left(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)-\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2> 0$ en $(x_0,y_0)$ (Discriminante). Si en II) tenemos $<0$ en lugar de $>0$ sin cambiar III)
hay un máximo local.

Mas adelante

Veremos la forma linela algebraica que nos ayuda a la clasificación de puntos extremos locales, también veremos como no todo punto crítico es un valor extremo. Esta conclusión se driva del análisis o comportamiento de la función alrededor del punto que queremos clasificar.

Tarea Moral

1.- Halla los máximos y mínimos de $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x,y)=x^2+y^2-xy$

2.- Halla los puntos críticos de $z=x^2y+y^2+3xy$

3.-Clasifica los puntos críticos de $f(x,y)=(x-y)(xy-1)$

4.-Halla los máximos y mínimos de la función $f(x,y)=log(x^2+y^2+1)$

5.-Sea $f(x,y)= Ax^2 +E$ donde $A$ y $E$ son constantes, indica cuáles son los puntos críticos de $f$. ¿Son máximos locales o mínimos locales?

Enlaces

La siguiente gráfica está construida a partir de la forma cuadrática, puedes jugar con los valores de los deslizadores y obsvervar algunas cosas importantes:
cuando
a=1
b=0
c=1
podemos observar un paraboloide
de forma que el punto crítico es un mínimo local
cuando
a=-1
b=0
c=-1
de trata de un paraboloide pero con la «cúpula» hacia arriba de manera que se trata de un máximo local
finalmente cuando
a=1
b=0
c=-1
se trata de un punto silla

Todos los resultados sujetos al signo de su determinante anexado en la descripción de la calculadora.

https://www.geogebra.org/3d/tmbdfkrr

Introducción

Este apartado considera algunos casos reales en los que podemos aplicar los conocimientos adquiridos a lo largo de éstas notas. Son ejemplos que nos permiten conocer qué tipo de inversiones nos convienen más, como lo es cuando queremos invertir en CETES, ante dicha situación podemos usar el conocimiento adquirido para determinar, el valor de uno de sus títulos, y poner en práctica de forma real, para conocer mejor cual es el manejo real de algunas una de las formulas, evidenciando la forma en la que se pueden utilizar de forma aplicada en alguna situación real.

Aplicación en CETES

Como se estuvo exponiendo a lo largo del desarrollo de éstas notas, las matemáticas financieras son una poderosa herramienta, que nos sirve para determinar el valor del dinero a través del tiempo. Para realizar dicho análisis, vimos una cierta cantidad de conceptos que nos permitieron comprender mejor cómo funciona el mundo de las finanzas, aspectos que la afectan como lo es la inflación, partiendo desde el ejemplo más simple de interés compuesto, hasta llegar al punto de elaborar tablas de amortización, cálculo de valor de bonos, temas en los que se combinaban una enorme cantidad de conceptos para su construcción.

En este apartado, lo que se va a realizar es, mostrar algunos ejemplos con aplicaciones reales, de los conceptos que en éstas notas se estuvieron abordando, para que se pueda tener una mejor comprensión de la importancia del uso de las matemáticas financieras, en el mundo real.

Un ejemplo práctico del uso de las matemáticas financieras, en un caso real es el siguiente:

El precio de un CETE se puede calcular, conociendo su tasa de rendimiento, o su tasa de descuento, y se obtiene utilizando la siguiente ecuación¹:

$$P=\frac{VN}{\left(1+\frac{i*t}{360}\right)}$$

donde:

P = Valor del CETE (redondeado a 7 decimales)

VN = Valor Nominal del título en pesos

i = Tasa de rendimiento

t = tiempo o plazo en días del CETE

Si $d$ es la tasa de descuento de un CETE se tiene que:

$$d=\frac{i}{\left(1+\frac{i*t}{360}\right)}$$

despejando $i$,

$$i=\frac{d}{\left(1-\frac{d*t}{360}\right)}$$

Al sustituir éste resultado en la primera ecuación se obtiene el precio de un CETE a partir de su tasa de descuento:

$$P=VN*\left(1-\frac{d*t}{360}\right)$$

Por lo que se tiene que el precio de un CETE está compuesto por el valor presente de su valor nominal.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. El 31 de agosto del año 2000, un inversionista compra CETES con las siguientes características:

• Valor nominal: \$10 pesos
• Fecha de colocación: 31 de agosto del año 2020
• Fecha de vencimiento: 28 de septiembre del año 2020
• Días por vencer del título: 28 días

Suponiendo que está sujeto a una tasa de rendimiento anual del 15%, obtener el valor del CETE.

Ejercicio. Supongamos ahora, el siguiente caso: un inversionista compra CETES con las siguientes características:

• Valor nominal: \$10 pesos
• Fecha de colocación: 24 de marzo de 2023
• Fecha de vencimiento: 23 de junio de 2023
• Duración del título: 91 días
• Tasa de rendimiento: 4.39%

Aplicación para calcular el Costo Anual Total (CAT)

Otra aplicación bastante útil, para la que nos sirve las Matemáticas financieras, es cuando nosotros contratamos una tarjeta de crédito, y deseamos saber el costo real que vamos a tener que pagar por la línea de crédito que no otorgan, dicho en otras palabras, deseamos saber cuánto dinero nos va a costar tener a nuestra disposición dichos recursos económicos.

Primero que nada, la definición del CAT, es una forma de poder medir el total de costos y gastos que se tienen que hacer, cuando algún banco nos otorga un crédito, en este caso particular, se va a analizar el caso de una tarjeta de crédito (lo que incluye intereses, comisiones, anualidad, comisiones por apertura, gastos de investigación, seguros, etc.). La importancia de conocer ésta herramienta, nos permite comparar y poder elegir cuál es la mejor opción de banco o institución financiera que nos ofrece la opción con un menor costo.

Para poder calcular el Costo Anual Total, de acuerdo con la circular 21/2009³ emitida por el Banco de México, la metodología utilizada para calcular el CAT es la siguiente:

$$\sum_{j=1}^M\frac{A_j}{(1+i)^{t_j}}=\sum_{k=1}^N\frac{B_k}{(1+i)^{S_k}}$$

donde:

$i =$ CAT, expresado como decimal

$M =$ Número total de disposiciones de crédito

$j =$ Número consecutivo que identifica cada crédito

$A_j =$ Monto de la j-ésima disposición de crédito

$N =$ Número total de pagos

$k =$ Número consecutivo que identifica cada pago

$B_k =$ Monto del k-ésimo pago

$t_j =$ Intervalo de tiempo, expresado en años y fracciones de año, que transcurre entre la fecha en que surte efecto el contrato y la fecha j-ésima disposición del crédito

$s_k =$ Intervalo de tiempo, expresado en años y fracciones de año, que transcurre entra la fecha que surte efecto el contrato y la fecha del k-ésimo pago

$\sum =$ Símbolo utilizado para expresar la suma de las cantidades indicadas

Notemos que dentro de la ecuación que se acaba de presentar, se está usando el concepto de valor presente en la expresión $(1+i)^{t_j}$, aunque de forma general, la expresión para calcular el CAT, del lado izquierdo considerando la sumatoria, nos permite obtener la sumas del valor presente de las disposiciones del crédito.

Por otra parte, el lado derecho de la fórmula para calcular el CAT, representa la suma del valor presente de los pagos que se realizaran para liquidar el crédito. Si hacemos un pequeño recordatorio, en general la fórmula que estamos usando, tanto el lado izquierdo como el derecho, ambas en conjunto son una ecuación de valor, concepto que también, fue abordado en su momento, para explicar cómo se realizan las operaciones financieras, es decir, los derechos que tiene el deudor, deben de ser iguales a los del prestamista o acreedor.

Ejercicios resueltos

Para mostrar la forma en que se utiliza la fórmula para calcular el CAT, se propone el siguiente ejemplo³:

Un banco otorga una tarjeta de crédito al señor Luis, por una línea de crédito disponible de \$15,000 pesos, cantidad que el decide gastar, inmediatamente después de haberla recibido. La cantidad de \$15 mil pesos es el valor de $A$ que es una disposición del crédito. Dicho crédito, el señor Luis, considera pagarlo dentro de 2 años, de forma mensual mediante pagos de \$962.33, sin embargo el banco le cobra una comisión por apertura de \$100 pesos.

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1. Información obtenida de https://www.banxico.org.mx/mercados/d/%7B0DE0044F-662D-09D2-C8B3-4F1A8E43655F%7D.pdf ↩︎
2. información obtenida de: https://www.banxico.org.mx/elib/mercado-valores-gub-en/OEBPS/Rsc/anexo0201.pdf ↩︎
3. Información obtenida de: https://www.banxico.org.mx/marco-normativo/normativa-emitida-por-el-banco-de-mexico/circular-21-2009/%7B29285862-EDE0-567A-BAFB-D261406641A3%7D.pdf ↩︎

Introduccion

El diferencial de orden n es una extensión del diferencial de orden 2 y se utiliza cuando se quiere aproximar el cambio de una función de manera más detallada respecto al cambio lineal. También veremos el Teorema de Taylor para varias variables, recordemos que la expansión de Taylor es una aproximación a una función que es siempre diferencialbe mediante polinomios.

Diferencial de orden n

$$d^{n}f=\frac{\partial^{n} f}{\partial x^{n}}dx^{n}+\left(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n-1} f}{\partial x^{n-1}\partial y}dx^{n-1}dy+\left(\begin{matrix}n\\2\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n-2} f}{\partial x^{n-2}\partial y^{2}}dx^{n-2}dy^{2}+\cdots+$$ $$\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n-k} f}{\partial x^{n-k}\partial y^{k}}dx^{n-k}dy^{k}+\cdots+\frac{\partial^{n}f}{\partial y^{n}}dy^{n}$$
que se puede escribir
$$d^{n}f=\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}dx^{n-j}dy^{j}$$

Ejercicio. Probar usando inducción
$$d^{n}f=\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}dx^{n-j}dy^{j}$$

Solución. Para n=1 se tiene
$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$
Suponemos valido para n

$$d^{n}f=\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}dx^{n-j}dy^{j}$$
Por demostrar que es valida para n+1
$$d^{n+1}f=d(d^{n}f)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}dx^{n-j}dy^{j}\right)dx+\frac{\partial}{\partial y}\left(\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}dx^{n-j}dy^{j}\right)dy=$$

$$\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1-j}\partial y^{j}}dx^{n+1-j}dy^{j}+\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j+1}}dx^{n-j}dy^{j+1}=$$
$$\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1-j}\partial y^{j}}dx^{n+1-j}dy^{j}+\sum_{j=1}^{n+1}\left(\begin{matrix}n\\j-1\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1-j}\partial y^{j}}dx^{n+1-j}dy^{j}=$$

$$\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1}}dx^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1-j}\partial y^{j}}dx^{n+1-j}dy^{j}+\sum_{j=1}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j-1\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1-j}\partial y^{j}}dx^{n+1-j}dy^{j}+\frac{\partial^{n+1}f}{\partial y^{n+1}}dy^{n+1}=$$

$$\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1}}dx^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\left(\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}n\\j-1\end{matrix}\right)\right)\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1-j}\partial y^{j}}dx^{n+1-j}dy^{j}+\frac{\partial^{n+1}f}{\partial y^{n+1}}dy^{n+1}=$$

$$\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1}}dx^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\left(\begin{matrix}n+1\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1-j}\partial y^{j}}dx^{n+1-j}dy^{j}+\frac{\partial^{n+1}f}{\partial y^{n+1}}dy^{n+1}=\sum_{j=0}^{n+1}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}dx^{n-j}dy^{j}$$

La última fórmula puede expresarse simbólicamente por la ecuación
$$d^{n}f=\left(\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy\right)^{n}f$$

donde primero debe desarrollarse le expresión de la derecha formalmente por medio del teorema del binomio y, a continuación deben sustituirse los términos
$$\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n}}dx^{n},\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-1}\partial y}dx^{n-1}dy,\cdots,\frac{\partial^{n}f}{\partial y^{n}}dy^{n}$$
por los términos
$$\left(\frac{\partial}{\partial x}dx\right)^{n}f,\left(\frac{\partial}{\partial x}dx\right)^{n-1}\left(\frac{\partial}{\partial y}dy\right)f,\cdots,\left(\frac{\partial}{\partial y}dy\right)^{n}f$$

Teorema de Taylor para funciones $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$

Recordando el Teorema de Taylor para funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

Teorema. Si $f(x)$ tiene n-ésima derivada continua en una vecindad de $x_{0}$, entonces en esa vecindad
$$f(x)=f(x_{0})+\frac{1}{1!}f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{1}{2!}f»(x_{0})(x-x_{0})^{2}+\frac{1}{3!}f»'(x_{0})(x-x_{0})^{3}+…+\frac{1}{n!}f^{n}(x_{0})(x-x_{0})^{n}+R_{n}$$
donde
$$R_{n}=\frac{f^{n+1}(\epsilon)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1},~donde~\epsilon\in(x_{0},x)$$

Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ y sea $F(t)=f(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t)$ con $t\in[0,1]$, de esta manera f recorre el segmento de $[x_{0},y_{0}]$ a $[x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t]$. Se tiene entonces que usando la regla de la cadena
$$F'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t)\cdot \frac{d(x_{0}+h_{1}t)}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t)\cdot \frac{d(y_{0}+h_{2}t)}{dt}=$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t)\cdot h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t)\cdot h_{2}$$
Vamos ahora a calcular $F^{´´}(t)$

$$F^{´´} ( t )=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}h_{1}+ \frac{\partial f}{\partial y}h_{2}\right)h_{1}+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}h_{1}+ \frac{\partial f}{\partial y}h_{2}\right)h_{2}=$$
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}h_{2}^{2}$$

simbólicamente se puede escribir
$$F^{»}(t)=\left(\frac{\partial }{\partial x}\cdot h_{1}+\frac{\partial }{\partial y}\cdot h_{2}\right)^{2}f$$
y en general

$$F^{n}(t)=\frac{\partial^{n} f}{\partial x^{n}}h_{1}^{n}+\left(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n-1} f}{\partial x^{n-1}\partial y}h_{1}^{n-1}h_{2}+\left(\begin{matrix}n\\2\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n-2} f}{\partial x^{n-2}\partial y^{2}}h_{1}^{n-2}h_{2}^{2}+\cdots+\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n-k} f}{\partial x^{n-k}\partial y^{k}}h_{1}^{n-k}h_{2}^{k}+\cdots+\frac{\partial^{n}f}{\partial y^{n}}h_{2}^{n}$$

que simbólicamente se puede escribir
$$F^{n}=\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}h_{1}^{n-j}h_{2}^{j}=\left(\frac{\partial }{\partial x}\cdot h_{1}+\frac{\partial }{\partial y}\cdot h_{2}\right)^{n}f$$

Ahora bien si se aplica la fórmula de Taylor con la forma del residuo de Lagrange a la función $$F(t)=f(x_{0}+h_{1}t,y_{0}+h_{2}t)$$ y ponemos $t=0$, se tiene
$$F(t)=F(0)+\frac{1}{1!}F'(0)t+\frac{1}{2!}F^{»}(0)t^{2}+\frac{1}{3!}F»'(0)t^{3}+…++\frac{1}{n!}F^{^{n}}(0)t^{n}+R_{n}$$
ahora bien con $t=1$
$$f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})=f(x_{0},y_{0})+\frac{1}{1!}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot h_{2}\right)+\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x_{0},y_{0})h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})h_{2}^{2}\right)$$
$$+\cdots+\frac{1}{n!}\left(\sum_{j=0}^{n+1}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}(x_{0},y_{0})h_{1}^{n-j}h_{2}^{j}\right)$$

$x=x_{0}+h_{1}$, $y_{0}+h_{2}=y$ por lo que $h_{1}=x-x_{0}$ y $h_{2}=y-y_{0}$ entonces

$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\frac{1}{1!}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot (x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot (y-y_{0})\right)+$$

$$\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})^{2}\right)+$$

$$\cdots+\frac{1}{n!}\left(\sum_{j=0}^{n+1}\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{n-j}(y-y_{0})^{j}\right)+R_{n}$$

donde
$$R_{n}=\frac{1}{n+1!}\left((x-x_{0})^{n+1}\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1}}(\xi,\eta)+\cdots+(y-y_{0})^{n+1}\frac{\partial^{n+1}f}{\partial y^{n+1}}(\xi,\eta)\right)$$ donde $\xi\in(x_{0},x_{0}+h_{1})$ y $\eta\in(y_{0},y_{0}+h_{2})$\En general el residuo $R_{n}$ se anula en un orden mayor que el término $d^{n}f$

Ejemplo. Desarrollar la fórmula de Taylor en $(x_{0},y_{0})=(0,0)$ con $n=3$ para la función $$f(x,y)=e^{y}\cos x$$

Solución. En este caso tenemos que
$$f(0,0)=e^{0}\cos(0)=1$$
Para la diferencial de orden 1
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)~\Rightarrow~\frac{\partial (e^{y}\cos(x))}{\partial x}(0,0)~\Rightarrow~-e^{y} sen\left( x\right) \big{|}{(0,0)}=0$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)~\Rightarrow~\frac{\partial (e^{y} \cos x)}{\partial y}(0,0)~\Rightarrow~-e^{y}\cos(x)\big{|}{(0,0)}=1$$
por lo tanto
$$\frac{1}{1!}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot (x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot (y-y_{0})\right)=\frac{1}{1!}\left((0)(x)+(1)(y)\right)=y$$
Para la diferencial de orden 2
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (e^{y}\ cos x)}{\partial x^{2}}(0,0)~\Rightarrow~-e^{y} \cos~x\big{|}{(0,0)}=-1$$ $$\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (e^{y} \cos x)}{\partial y^{2}}(0,0)~\Rightarrow~e^{y} \cos~x\big{|}{(0,0)}=1$$ $$\frac{\partial^{2} f}{\partial x~\partial y}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (e^{y}\cos x)}{\partial x~\partial y}(0,0)~\Rightarrow~-e^{y} sen~x~ \big{|}{(0,0)}=0$$ Por lo tanto $$\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x_{0},y_{0})h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})h_{2}^{2}\right)=\frac{1}{2!}((-1)x^{2}+2(0)xy+(1)y^{2})$$
Para la diferencial de orden 3

$$\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~e^{y} sen~x\big{|}_{(0,0)}=0$$

$$\frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (e^{y}\cos x)}{\partial y^{3}}(0,0)~\Rightarrow~e^{y}\cos~x\big{|}_{(0,0)}=1$$

$$\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}~\partial y}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (e^{y}\cos x)}{\partial x^{2}~\partial y}(0,0)~\Rightarrow~-e^{y}\cos~x\big{|}_{(0,0)}=-1$$

$$\frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (e^{y}\cos x)}{\partial y^{3}}(0,0)~\Rightarrow~e^{y}\cos~x\big{|}_{(0,0)}=1$$

$$\frac{\partial^{3} f}{\partial x~\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (e^{y}\cos x)}{\partial x~\partial y^{2}}(0,0)~\Rightarrow~-e^{y} sen~x\big{|}_{(0,0)}=0$$

Por lo tanto
$$\frac{1}{3!}\left(\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}h_{1}^{3}+3\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}h_{}1^{2}h_{2}+3\frac{\partial^{3} f}{\partial x\partial y^{2}}h_{1}h_{2}^{2}+\frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}}h_{}2^{3}\right)=$$

$$\frac{1}{3!}\left((0)(x^{3})+3(-1)x^{2}y+3(0)xy^{2}+(1)y^{3}\right)$$
Finalmente para el residuo se tiene

$$\frac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{4} (e^{y}\cos(x))}{\partial y^{3}}(0,0)~\Rightarrow~e^{y}\cos~x\big{|}_{(\xi,\eta)}=e^{\eta}\cos~\xi$$

$$\frac{\partial^{4} f}{\partial x^{2}\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{4} (e^{y}\cos x)}{\partial x^{2}\partial y^{2}}(0,0)~\Rightarrow~-e^{y}\cos~x\big{|}_{(\xi,\eta)}=-e^{\eta}\cos~\xi$$

$$\frac{\partial^{4} f}{\partial x\partial y^{3}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{4} (e^{y}\cos x)}{\partial x\partial y^{3}}(0,0)~\Rightarrow~-e^{y} sen~x\big{|}_{(\xi,\eta)}=-e^{\eta} sen~\xi$$

$$\frac{\partial^{4} f}{\partial y^{4}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{4} (e^{y}\cos x)}{\partial y^{4}}(0,0)~\Rightarrow~e^{y}\cos~x\big{|}_{(\xi,\eta)}=e^{\eta}\cos~\xi$$

$$R_{3}=\frac{1}{4!}\left(\frac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}}h_{1}^{4}+4\frac{\partial^{4} f}{\partial x^{3}\partial y}h_{1}^{3}h_{2}+6\frac{\partial^{4} f}{\partial x^{2}\partial y^{2}}h_{1}^{2}h_{2}^{2}+4\frac{\partial^{4} f}{\partial x\partial y^{3}}h_{1}h_{2}^{3}+\frac{\partial^{4} f}{\partial h_{2}^{4}}dy^{4}\right)$$

$$=\frac{1}{4!}\left(x^{4}e^{\eta}\cos~\xi+4x^{3}ye^{\eta} sen~xi-6x^{2}y^{2}e^{\eta}\cos~\xi-4xy^{3}e^{\eta} sen~\xi+y^{4}e^{\eta}\cos~\xi\right)$$

Por lo que nuestro desarrollo de Taylor nos queda
$$e^{y}\cos~x=1+y+\frac{1}{2}(x^{2}-y^{2})+\frac{1}{6}(x^{3}-3xy^{2})+R_{3}$$
donde
$$R_{3}=\frac{1}{4!}\left(x^{4}e^{\eta}\cos~\xi+4x^{3}ye^{\eta} sen~\xi-6x^{2}y^{2}e^{\eta}\cos~\xi-4xy^{3}e^{\eta} sen~\xi+y^{4}e^{\eta}\cos~\xi\right)$$

$\textbf{Ejercicio}$ Use la fórmula de Taylor en
$$f(x,y)=\cos~(x+y)$$
en el punto $(x_{0},y_{0})=(0,0)$ con $n=2$ para comprobar que
$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{1-\cos~(x+y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{1}{2}$$

En este caso para
$$f(x,y)=\cos(x+y)$$
se tiene
$$f(0,0)=\cos(0+0)=1$$
Para la diferencial de orden 1
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)~\Rightarrow~\frac{\partial (\cos x+y)}{\partial x}(0,0)~\Rightarrow~- sen(x+y)\big{|}{(0,0)}=0$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)~\Rightarrow~\frac{\partial (\cos x+y)}{\partial y}(0,0)~\Rightarrow~- sen(x+y)\big{|}{(0,0)}=0$$
por lo tanto

$$\frac{1}{1!}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\cdot (x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\cdot (y-y_{0})\right)=\frac{1}{1!}\left((0)(x)+(0)(y)\right)=0$$

Para la diferencial de orden 2
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (\cos x+y)}{\partial x^{2}}(0,0)~\Rightarrow~-\cos~x+y\big{|}{(0,0)}=-1$$ $$\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (\cos x+y)}{\partial y^{2}}(0,0)~\Rightarrow~-\cos~x+y\big{|}{(0,0)}=-1$$ $$\frac{\partial^{2} f}{\partial x~\partial y}(x{0},y_{0})~\Rightarrow~\frac{\partial^{2} (\cos x+y)}{\partial x~\partial y}(0,0)~\Rightarrow~-\cos~x+y\big{|}_{(0,0)}=-1$$
Por lo tanto

$$\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x_{0},y_{0})h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})h_{2}^{2}\right)=\frac{1}{2!}((-1)x^{2}-2xy+(-1)y^{2})$$
Por lo que nuestro desarrollo de Taylor nos queda
$$\cos(x+y)=1-\frac{x^{2}}{2}-xy-\frac{y^{2}}{2}$$
De manera que

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{1-\cos~(x+y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{1-(1-\frac{x^{2}}{2}-xy-\frac{y^{2}}{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$$
$$=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{1}{2}\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{1}{2}$$

Mas adelante

Ya vimos que la expansión de Taylor es una expresión que determina cómo es el comportamiento local de una función cerca de un punto. Sin embargo en un extremo local sabemos que las derivadas parciales se hacen cero de forma que su expansión se ve como un término cuadrático, En la siguiente entrada analizaremos estas expresiones y veremos los resultados alrededor de esto.

Tarea Moral

Determina la expansión de Taylor de segundo orden en $(x_0, y_0)=(0,0)$ para las siguientes funciones:

1.- $f(x,y)=sen(x+2y)$

2.-$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}$

3.-$f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}$

4.-$f(x,y)=sen(xy)+cos(xy)$

5.- $f(x,y)=e^{(x-1)^{2}}$

Enlaces

El polinomio de Taylor es una aproximación mediante …. a una función capturando su comportamiento local alrededor de un punto.

La expansión de Taylor convierte una función complicada en un polinomio que se comporta igual cerca del punto. Esto ayuda cuando dos funciones se comportan de manera muy similar alrededor de un punto porque tienen el mismo límite. Sin embargo la idea de aproximar debe realizarse correctamente ya que por ejemplo, podría pensarse que como $x^2+y^2 \approx x^2$ entonces debe ocurrir que $\frac{x^2}{x^2+y^2}\approx \frac{x^2}{x^2}=1$ concluyendo que el ímite es 1 pero esto no es correcto porque en sentido estricto $x^2+y^2$ no es equivalente a $x^2$ en todas las direcciones.

La siguiente liga muestra una superficie en geogebra donde puedes observar lo siguiente. Al acercarnos con distintas trayectorias al origen puedes observar que bajo la función esas trayectorias tienden a alturas distintas, es decir, por un camino llegamos a altura 0, por otro a 1/2 y por un último a 1.

https://www.geogebra.org/3d/njuzsa3u

La siguiente liga muestra como ejemplo la representación del ejemplo de esta entrada para la función $f(x,y)=\cos~(x+y)$, a diferencia del caso anterior, en este ejemplo distintas trayectorias se acercan al mismo valor $\dfracc{1}{2}$ bajo la función. Sin embargo hay que tener en cuenta que geogebra permite visualizar gráficas, sin tomar en cuenta todo el proceso de un límite.

https://www.geogebra.org/3d/y5xwvtm4