Introducción

En esta entrada, continuaremos con el estudio de las cónicas, pero en esta ocasión, vamos a encontrar su centro y ejes, a partir de dos grupos de isometrías que ya son familiares para nosotros, las rotaciones y traslaciones y usando otro tema que ya ha sido estudiado con anterioridad, la equivalencia de polinomios y reducción de términos lineales y cuadráticos.

Encontrando el centro de las traslaciones

Para cualquier vector $h\in {\mathbb{R}}^2$, consideremos la traslación $g(x)=x+h$ y veamos cómo se escribe el polinomio $P\circ g$ con $P(x)=x\ast Ax+k\ast x+f$:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (P\circ g)(x)=P(x+h)=(x+h)\ast A(x+h)+k\ast (x+h)+f\end{array}$$

Factorizando y desarrollando un poco la expresión anterior, obtenemos:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& (P\circ g)(x)=x\ast Ax+x\ast Ah+h\ast Ax+k\ast x+(h\ast Ah+k\ast h+f)\end{array}$$

Donde $h\ast Ah+k\ast h+f=P(h)$

Lo que nos lleva, finalmente, a:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (P\circ g)(x)=x\ast Ax+x\ast Ah+h\ast Ax+k\ast x+P(h)\end{array}$$

La pregunta ahora es, ¿hay una forma de encontrar el centro de la traslación g a partir de esta expresión? Lo que, por muy extraño que parezca, es cierto, pero, ¿cómo?

Enunciemos unos lemas que nos ayudarán a encontrar la respuesta a la pregunta anterior.

Lema 4.4: Dadas $A$ y $B$ dos matrices que se puedan multiplicar, se cumple que $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

Lema 4.5: Si tenemos una matriz simétrica $A$ (recordemos que una matriz $A$ es simétrica si $A=A^T$), entonces, para todo par de vectores $x,y$ en $\mathbb{R}$, se cumple que $x\ast Ay=Ax\ast y$

Demostración

Sean $x,y$ vectores, recordemos que $x=x^T$ y que $y=y^T$, por esto y el lema anterior, tenemos que:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x\ast Ay=x^{T}Ay={\left(x^{T}Ay\right)}^T={\left(Ay\right)}^T{\left(x^T\right)}^T=y^T{A}^{T}x=y\ast Ax=Ax\ast y\end{array}$$

Ahora sí podemos encontrar el centro de la traslación considerando:

$$\begin{array}{}\text{(5)}& (P\circ g)(x)=x\ast Ax+x\ast Ah+h\ast Ax+k\ast x+P(h)\end{array}$$

Ya que, considerando el lema anterior, podemos simplificar $(P\circ g)(x)$ de la siguiente manera:

$$\begin{array}{}\text{(6)}& (P\circ g)(x)=x\ast Ax+x\ast Ah+h\ast Ax+k\ast x+P(h)=2(Ah\ast x)+k\ast x+P(h)\end{array}$$

Y, finalmente:

$$\begin{array}{}\text{(7)}& (P\circ g)(x)=(2Ah+k)\ast x+P(h)\end{array}$$

Donde $(2Ah+k)\ast x$ es la parte lineal de esta composición por lo que, si podemos encontrar una $h\in {\mathbb{R}}^2$ que cumpla que $2Ah+k=0$, entonces habremos encontrado una traslación que no contenga la parte lineal del polinomio. Si esta $h$ existe, es el centro de la traslación (en el caso de este capítulo, estaremos hablando de traslaciones de cónicas).

Lo anterior lo podemos resumir en el siguiente lema:

Lema 4.6: Sea $P(x)=x\ast Ax+k\ast x+f$ un polinomio cuadrático (es decir que $A=A^T$) tal que $det(A)\ne 0$. Si definimos $c:=-\frac{A^{-1}}{k}$, $c$ es el centro de la curva asociada al polinomio $P$, $C(P)$ donde:

$$\begin{array}{}\text{(8)}& P(x+c)=x\ast Ax+P(c)\end{array}$$

Como buena conclusión de este apartado, observa que las traslaciones afectan la parte lineal de los polinomios cuadráticos.

Encontrando los ejes de las rotaciones

Ahora considera la rotación $g(x)=Bx$ con $B$ en el general lineal de ${\mathbb{R}}^2$, es decir, $B\in Gl(2)$ y $P$ el polinomio cuadrático general. Entonces:

$$\begin{array}{}\text{(9)}& (P\circ g)(x)=P(Bx)=(Bx)\ast A(Bx)+k(Bx)+f\end{array}$$

Si desarrollamos y simplificamos esta expresión, obtenemos:

$$\begin{array}{}\text{(10)}& (P\circ g)(x)=x\ast (B^{T}AB)x+(B^{T}k)\ast x+f\end{array}$$

La pregunta en este caso es, ¿existe una forma de encontrar los ejes de la rotación a partir de esta expresión? La respuesta es sí.

A diferencia de las traslaciones, en las que se afectaba la parte lineal, para las rotaciones nos vamos a enfocar en la parte cuadrática. Debemos encontrar una manera de simplificar la expresión $B^{T}AB$.

Considera a $B$ como matriz ortogonal $(B\in O(2))$, esto implica que $B^{T}AB=B^{-1}AB$ que es la matriz que expresa la función $A$ en la base de las columnas de $B$.

Finalmente, toma a $u,v$ columnas de $B$ que forman una base ortonormal y que $A$ alarga estas columnas en factores $\lambda ,\mu$, es decir, que $Au=\lambda u$ y $Av=\mu v$. Entonces, las siguientes igualdades se cumplen:

$$\begin{array}{}\text{(11)}& A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& B^{T}AB={\left(\begin{array}{cc}u,& v\end{array}\right)}^T\ast A\left(\begin{array}{cc}u,& v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{u}^{T}Au& u^{T}Av\\ v^{T}Au& v^{T}Av\end{array}\right)\end{array}$$

Si desarrollamos esta última igualdad, obtenemos:

$$\begin{array}{}\text{(13)}& B^{T}AB=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}\right)\end{array}$$

Si encontramos una matriz B que cumpla $(3)$, podemos eliminar el término mixto del polinomio $P$ y acercarnos a los polinomios canónicos.

Tarea moral

1. Demuestra el Lema 4.4.
2. Demuestra que, para $A,B,C$ matrices que se pueden multiplicar, se tiene que: ${\left(ABC\right)}^T=C^T{B}^T{A}^T$
3. Encuentra el centro, si es que tienen, de las curvas asociadas a los siguientes polinomios:
   • $xy-3x-2y-2$,
   • $x^2+2y^2-6x+4y+3$
   • $9x^2-4xy+6y^2-58x+24y+59$

Más adelante…

Continuaremos con el estudio de la equivalencia y reducción de polinomios, con valores y vectores propios.