Geometría Analítica I: Equivalencia de polinomios y reducción de polinomios cuadráticos

Introducción

En las entradas anteriores, estuvimos hablando de la clasificación de las curvas cuadráticas módulo transformaciones afines (las $G$-equivalencias), en esta entrada, vamos a responder preguntas para saber cuándo tienen sentido estas clasificaciones. Estas preguntas, principalmente derivan en la equivalencia de polinomios y la reducción de polinomios cuadráticos.

Equivalencia de polinomios

Antes de definir la equivalencia de polinomios, es importante preguntarnos si las imágenes afínes de curvas cuadráticas son de nuevo curvas cuadráticas.

Para responder la pregunta anterior, considera una curva cuadrática $C$ y una transformación afín $g \in Af(2)$. Entonces, existe un polinomio $P$ que define a $C$, es decir, que se cumple la siguiente igualdad:

\begin{equation} C=C(P)=\{x\in \mathbb R^2|P(x)=0\}\end{equation}

Dado lo anterior, podemos afirmar que:

\begin{equation} g(C)=\{y \in \mathbb R^2|(P\circ g^{-1})(y)=0\}\end{equation}

Demostración

$\subset$

Observemos que cualquier punto en $g(C)$ es de la forma $g(x)$ con $x\in C$, esto implica que $P(x)=0$. Entonces:

\begin{equation} (P\circ g^{-1})(g(x))=P(g^{-1}(g(x)))=P(x)=0\end{equation}

Entonces $g(x)\in\{y \in \mathbb R^2|(P\circ g^{-1})(y)=0\}$ y, finalmente,

\begin{equation} g(C)\subset\{y \in \mathbb R^2|(P\circ g^{-1})(y)=0\}\end{equation}

$\supset$

Sea $Y$ tal que $(P\circ g^{-1})(y)=0$, si definimos $x:=g^{-1}(y)$, entonces $P(x)=(P\circ g^{-1})(y)=0$.

Entonces, $x\in C$, lo que implica que $y=g(x)\in g(C)$. Finalmente:

\begin{equation} g(C)\supset\{y \in \mathbb R^2|(P\circ g^{-1})(y)=0\}\end{equation}

Lo que termina la demostración.

Observa que en la demostración anterior, solo se usó que $C$ estuviera definida como los ceros de una función y que $g$ fuera invertible, pero, ¿$g(C)$ es una curva cuadrática? Sí, lo anterior lo vemos en el siguiente lema:

Lema 4.1: Sea $C$ una curva cuadrática y $g\in Af(2)$, entonces $g(C)$ también es una curva cuadrática. Además, si $C=C(P)$, entonces $g(C)=C(P\circ g^{-1})$

Demostración

Si $P$ es un polinomio cuadrático y $g$ una transformación afín, entonces, $(P\circ g):\mathbb R^2 \to \mathbb R$ también es un polinomio cuadrático.

Y como las dos coordenadas de $g$ son polinomios lineales y $P\circ g$ es cuadrático, al sustituir ambos polinomios, obtendremos un polinomio con monomios de grado a lo más $2$.

Entonces $g(C)$ también es una curva cuadrática.

Con lo que termina la demostración.

Definición: Sea $G$ un subgrupo de $Af(2)$.

Decimos que dos polinomios cuadráticos $P_1$ y $P_2$ son $G-equivalentes$ o equivalentes módulo $G$ ($P_1\sim^G P_2$), si existen $g\in G$ y $k\in \mathbb R$, con $k\neq 0$, tales que $kP_1=P_2\circ g$. $(*)$

Finalmente, tenemos el siguiente teorema que relaciona esta entrada con la entrada anterior en la que se clasificó a las curvas cuadráticas:

Teorema 4.2: Sea $P$ un polinomio cuadrático en dos variables $x, y$. Entonces $P$ es afinmente equivalente a uno y solo uno de los polinomios que clasificamos en la entrada anterior.

Reducción de polinomios cuadráticos

Ahora veremos cómo reducir o simplificar un polinomio cuadrático, usando coordenadas afines. Para esto, vamos a simplificar los polinomios con matrices y vectores.

Recordemos que el polinomio general de segundo grado se puede escribir como:

\begin{equation}P(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f\end{equation}

Ahora considera un vector variable $x^T=(x,y)$ y a la matriz $A$ y un vector $k$ definidos de la siguiente forma:

\begin{equation}A:=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}, \hspace{1cm} k=\begin{pmatrix} d \\ e\end{pmatrix}\end{equation}

Con estos datos, podemos escribir $P$ como:

\begin{equation} P(x)=x*Ax+k*x+f\end{equation}

Con $A=A^T\neq 0$.

A esta expresión se le conoce como la expresión vectorial del P.

Tarea moral

  1. Demuestra que, la relación definida en $(*)$ es de equivalencia.
  2. Demuestra el Teorema 4.2.
  3. Muestra que, la expresión en $(8)$, es cierta.
  4. Demuestra que, para un subgrupo $G$ de $Af(2)$, la relación de ser $G$-equivalentes, es una relación de equivalencia en los polinomios cuadráticos de dos variables.
  5. Da una expresión general para un polinomio cuadrático en tres variables $x,y,z$ y luego define una expresión vectorial para él.
  6. Encuentra la matriz simétrica $A$ y el vector constante $k$ que dan la expresión vectorial de los siguientes polinomios cuadráticos:
    • $x^2+2y^2-6x+4y+3$
    • $2xy-6x-4y-4$

Más adelante

En la siguiente entrada, vamos a usar los conocimientos adquiridos de esta entrada, para encontrar el centro y los ejes de las cónicas.

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