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Geometría Analítica I: Encontrar el centro y los ejes de una cónica

Introducción

En esta entrada, continuaremos con el estudio de las cónicas, pero en esta ocasión, vamos a encontrar su centro y ejes, a partir de dos grupos de isometrías que ya son familiares para nosotros, las rotaciones y traslaciones y usando otro tema que ya ha sido estudiado con anterioridad, la equivalencia de polinomios y reducción de términos lineales y cuadráticos.

Encontrando el centro de las traslaciones

Para cualquier vector $h \in \mathbb R^2$, consideremos la traslación $g(x)=x+h$ y veamos cómo se escribe el polinomio $P \circ g$ con $P(x)=x*Ax+k*x+f$:

\begin{equation}\left(P\circ g\right)(x)= P(x+h)=(x+h)*A(x+h)+k*(x+h)+f\end{equation}

Factorizando y desarrollando un poco la expresión anterior, obtenemos:

\begin{equation}\left(P\circ g\right)(x)=x*Ax+x*Ah+h*Ax+k*x+(h*Ah+k*h+f)\end{equation}

Donde $h*Ah+k*h+f=P(h)$

Lo que nos lleva, finalmente, a:

\begin{equation}\left(P\circ g\right)(x)=x*Ax+x*Ah+h*Ax+k*x+P(h)\end{equation}

La pregunta ahora es, ¿hay una forma de encontrar el centro de la traslación g a partir de esta expresión? Lo que, por muy extraño que parezca, es cierto, pero, ¿cómo?

Enunciemos unos lemas que nos ayudarán a encontrar la respuesta a la pregunta anterior.

Lema 4.4: Dadas $A$ y $B$ dos matrices que se puedan multiplicar, se cumple que $(AB)^T=B^TA^T$

Lema 4.5: Si tenemos una matriz simétrica $A$ (recordemos que una matriz $A$ es simétrica si $A=A^T$), entonces, para todo par de vectores $x,y$ en $\mathbb R$, se cumple que $x*Ay=Ax*y$

Demostración

Sean $x,y$ vectores, recordemos que $x=x^T$ y que $y=y^T$, por esto y el lema anterior, tenemos que:

\begin{equation}x*Ay=x^TAy=\left(x^TAy\right)^T=\left(Ay\right)^T\left(x^T\right)^T=y^TA^Tx=y*Ax=Ax*y\end{equation}

Ahora sí podemos encontrar el centro de la traslación considerando:

\begin{equation}\left(P\circ g\right)(x)=x*Ax+x*Ah+h*Ax+k*x+P(h)\end{equation}

Ya que, considerando el lema anterior, podemos simplificar $\left(P\circ g\right)(x)$ de la siguiente manera:

\begin{equation}\left(P\circ g\right)(x)=x*Ax+x*Ah+h*Ax+k*x+P(h)=2(Ah*x)+k*x+P(h)\end{equation}

Y, finalmente:

\begin{equation}\left(P\circ g\right)(x)=(2Ah+k)*x+P(h)\end{equation}

Donde $(2Ah+k)*x$ es la parte lineal de esta composición por lo que, si podemos encontrar una $h \in \mathbb R^2$ que cumpla que $2Ah+k=0$, entonces habremos encontrado una traslación que no contenga la parte lineal del polinomio. Si esta $h$ existe, es el centro de la traslación (en el caso de este capítulo, estaremos hablando de traslaciones de cónicas).

Lo anterior lo podemos resumir en el siguiente lema:

Lema 4.6: Sea $P(x)=x*Ax+k*x+f$ un polinomio cuadrático (es decir que $A=A^T$) tal que $det(A)\neq 0$. Si definimos $c:=-\frac{A^{-1}}{k}$, $c$ es el centro de la curva asociada al polinomio $P$, $C(P)$ donde:

\begin{equation}P(x+c)=x*Ax+P(c)\end{equation}

Como buena conclusión de este apartado, observa que las traslaciones afectan la parte lineal de los polinomios cuadráticos.

Encontrando los ejes de las rotaciones

Ahora considera la rotación $g(x)=Bx$ con $B$ en el general lineal de $\mathbb R^2$, es decir, $B \in Gl(2)$ y $P$ el polinomio cuadrático general. Entonces:

\begin{equation}(P\circ g)(x) = P(Bx)=(Bx)*A(Bx)+k(Bx)+f\end{equation}

Si desarrollamos y simplificamos esta expresión, obtenemos:

\begin{equation}(P\circ g)(x) = x*(B^TAB)x+(B^Tk)*x+f\end{equation}

La pregunta en este caso es, ¿existe una forma de encontrar los ejes de la rotación a partir de esta expresión? La respuesta es sí.

A diferencia de las traslaciones, en las que se afectaba la parte lineal, para las rotaciones nos vamos a enfocar en la parte cuadrática. Debemos encontrar una manera de simplificar la expresión $B^TAB$.

Considera a $B$ como matriz ortogonal $(B \in O(2))$, esto implica que $B^TAB=B^{-1}AB$ que es la matriz que expresa la función $A$ en la base de las columnas de $B$.

Finalmente, toma a $u,v$ columnas de $B$ que forman una base ortonormal y que $A$ alarga estas columnas en factores $\lambda, \mu$, es decir, que $Au=\lambda u$ y $Av=\mu v$. Entonces, las siguientes igualdades se cumplen:

\begin{equation}A=\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\
0 & \mu\end{pmatrix}\end{equation}

\begin{equation}B^TAB=\begin{pmatrix} u,&v \end{pmatrix}^T*A\begin{pmatrix} u,&v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u^TAu & u^TAv\\ v^TAu & v^TAv\end{pmatrix}\end{equation}

Si desarrollamos esta última igualdad, obtenemos:

\begin{equation}B^TAB=\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\
0 & \mu\end{pmatrix}\end{equation}

Si encontramos una matriz B que cumpla $(3)$, podemos eliminar el término mixto del polinomio $P$ y acercarnos a los polinomios canónicos.

Tarea moral

  1. Demuestra el Lema 4.4.
  2. Demuestra que, para $A,B,C$ matrices que se pueden multiplicar, se tiene que: $\left(ABC\right)^T=C^TB^TA^T$
  3. Encuentra el centro, si es que tienen, de las curvas asociadas a los siguientes polinomios:
    • $xy-3x-2y-2$,
    • $x^2+2y^2-6x+4y+3$
    • $9x^2-4xy+6y^2-58x+24y+59$

Más adelante…

Continuaremos con el estudio de la equivalencia y reducción de polinomios, con valores y vectores propios.