$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En la entrada Funciones continuas en espacios métricos vimos que una función $f: X \to \mathbb{R}\, $ con $X$ espacio métrico, es continua en un punto $x_0 \in X$ si dado $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $x$ está en la bola abierta $B(x_0, \delta)$ entonces $f(x) \in B(f(x_0), \varepsilon).$

Nota que esto significa que existe una bola abierta con centro $x_0$ que cumple que cualquiera de sus elementos $x$ satisface las siguientes desigualdades:

\begin{align}
f(x_0) \, – \, \varepsilon < &f(x). \\
&f(x) < f(x_0)+ \varepsilon.
\end{align}

Si bien, una función que no cumple ambas desigualdades en $x_0$ no es continua en $x_0, \,$ es posible concluir propiedades si hace valer al menos una de las dos desigualdades:

Supongamos que una función $f$ satisface en el punto $x_0, \,$ para cualquier $\varepsilon >0\,$ la desigualdad (1). Entonces
$$f(x_0) \, – \, \varepsilon < f(x).$$
Como estamos considerando $\varepsilon >0$ se sigue que $f(x_0) – \varepsilon$ es siempre un número $\, c \,$ menor que $f(x_0),$ entonces que se cumpla la desigualdad (1) significa que
$$c < f(x).$$

Esto muestra que el valor de la función $f$ en puntos muy cercanos a $x_0$ darán saltos arriba de $f(x_0)$ (cuando hay discontinuidad). Dicho formalmente, tenemos:

Definición. Función semicontinua inferiormente. Sea $f:X \to (-\infty, \infty]$ una función, (nota que admite el valor $\infty$). Decimos que $f$ es semicontinua inferiormente en el punto $x_0 \in X$ si para toda $c<f(x_0)$ existe $\delta>0$ tal que si $d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $c<f(x).$

Diremos que $f$ es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de $X.$

Nota que esta definición permite valores infinitos.

Por otro lado, si una función $f$ satisface en el punto $x_0, \,$ para cualquier $\varepsilon >0\,$ la desigualdad (2). Entonces
$$f(x)< f(x_0) \, + \, \varepsilon.$$
Como estamos considerando $\varepsilon >0$ se sigue que $f(x_0) + \varepsilon$ es siempre un número $\, c \,$ mayor que $f(x_0),$ entonces que se cumpla la desigualdad (2) significa que
$$f(x) < c.$$

Esto muestra que el valor de la función $f$ en puntos muy cercanos a $x_0$ darán saltos abajo de $f(x_0)$ (cuando hay discontinuidad). Dicho formalmente, tenemos:

Definición. Función semicontinua superiormente. Sea $f:X \to [-\infty, \infty)$ una función, (nota que admite el valor $-\infty$). Decimos que $f$ es semicontinua superiormente en el punto $x_0 \in X$ si para toda $c>f(x_0)$ existe $\delta>0$ tal que si $d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $f(x)<c.$

Diremos que $f$ es semicontinua superiormente si lo es en todo punto de $X.$

Ejemplos:

$\textcolor{orange}{\text{Queda como ejercicio al lector verificar que las funciones mencionadas son semicontinuas.}}$

Definición. Límite superior y límite inferior de $f$ en un punto $x_0.$ Considera $f:X \to \mathbb{R}.\, $ Sea $x_0 \in X.$ Pensemos en todos los valores que toma la función $f$ en puntos «muy cerquita» de $x_0 \,$ identificando así que es «lo más» que podría valer. Nos referimos al valor de
$$\overline{f}(x_0)= \underset{\varepsilon \to 0}{lim}\, \left[ \underset{x \in B(x_0, \varepsilon)}{sup} \, f(x) \right]$$
que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite superior de $f$ en $x_0.$

Análogamente, si pensamos en todos los valores que toma la función $f$ en puntos «muy cerquita» de $x_0 \,$ identificando así que es «lo menos» que podría valer. Nos referimos al valor de
$$\underline{f}(x_0)= \underset{\varepsilon \to 0}{lim}\, \left[ \underset{x \in B(x_0, \varepsilon)}{inf} \, f(x) \right]$$
que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite inferior de $f$ en $x_0.$

Definición. Oscilación de la función $f$ en el punto $x_0.$ Sean $f:X \to \mathbb{R} \,$ y $\, x_0 \in X.$ La diferencia

$$\omega f(x_0) = \overline{f}(x_0) \, – \, \underline{f}(x_0)$$

si es que tiene sentido, es decir si al menos uno de los números $\overline{f}(x_0)$ o bien $\underline{f}(x_0)$ es finito, se llama oscilación de la función $f$ en el punto $x_0.$

Ejemplo

Proposición: Sean $f:X \to \mathbb{R} \,$ y $\, x_0 \in X.$ Entonces $f$ es continua en $x_0 \,$ si y solo si $\omega f(x_0) = 0,$ es decir
$$-\infty < \underline{f}(x_0) \,= \, \overline{f}(x_0) < \infty.$$

$\textcolor{orange}{\text{La demostración queda como ejercicio al lector.}}$

Nota que para cualquier función $f:X \to \mathbb{R} \,$ la función $\overline{f}(x)$ es semicontinua superiormente mientras que la función $\underline{f}(x)$ es semicontinua inferiormente. $\textcolor{orange}{\text{La demostración de estos hechos también se deja como ejercicio.}}$

Antes de continuar recordemos la entrada Espacios métricos de caminos. Vimos que un camino es una función continua $\gamma: [a,b] \to X$ con $X$ un espacio topológico. En algunos libros, como el de Mónica Clapp, esta definición se indica como trayectoria.

Si $X$ es un espacio métrico entonces a cada trayectoria $\gamma:[a,b] \to X$ se le puede asociar el valor dado por

$$L(\gamma) : = sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} d(\gamma(t_{k-1}), \gamma(t_k)) : a=t_0 \leq t_1 \leq …\leq t_n = b, \, n \in \mathbb{N} \right\}$$

lo cual define una función $L:(\mathcal{C}^0[a,b],X) \to (-\infty, \infty]$ que satisface los axiomas de una longitud de caminos.

Otra cosa que podemos observar de $L$ es que no es continua cuando $X = \mathbb{R}^2.$ Como ejemplo un ejercicio al final de esta sección. La cuestión es que dada una trayectoria $\gamma$ puede haber trayectorias con longitud muy grande pese a ser cercanas a $\gamma$ en la métrica uniforme. No obstante, puede asegurarse que si las trayectorias son suficientemente cercanas a $\gamma$ entonces su longitud no podrá ser arbitrariamente menor que la de $\gamma$. En otras palabras:

La función $L$ es semicontinua inferiormente en $(\mathcal{C}^0[a,b],X)$

Proposición: Sean $\gamma \in (\mathcal{C}^0[a,b],X)\,$ y $c < L(\gamma).$ Entonces existe $\delta>0$ tal que si $d_\infty(\gamma,\sigma) < \delta$ se satisface
$$c < L(\sigma).$$
Demostración:
Tomemos $d_0 >0$ tal que $c+ \delta_0 < L(\gamma).$ Por definición de $L,$ existen $a=t_0, \leq t_1 \leq … \leq t_n = b\,$ en $\mathbb{R}$ tales que

$$c + \delta_0 < \sum_{k=1}^{n} d(\gamma(t_{k-1}), \gamma(t_k)).$$

Sea $\delta := \frac{\delta_0}{2m}. \,$ Si $\delta_\infty (\gamma, \sigma,) < \delta$ se sigue

\begin{align*}
d(\gamma(t_{k-1}), \gamma(t_k)) &\leq d(\gamma(t_{k-1}), \sigma(t_{k-1})) + d(\sigma(t_{k-1}),\gamma(t_k)) \\
&\leq d(\gamma(t_{k-1}), \sigma(t_{k-1})) + d(\sigma(t_{k-1}),\sigma (t_k)) + d(\sigma(t_k),\gamma(t_k)) \\
< \delta + d(\sigma(t_{k-1}),\sigma (t_k)) + \delta \\
= d(\sigma(t_{k-1}),\sigma (t_k)) + 2 \delta\\
= d(\sigma(t_{k-1}),\sigma (t_k)) + \frac{\delta_0}{m}.
\end{align*}

Si sumamos las desigualdades para todo $k = 1,…,n$ tenemos lo siguiente

\begin{align}
c + \delta_0 &< \sum_{k=1}^{n} d(\gamma(t_{k-1}), \gamma(t_k))\\
&< \sum_{k=1}^{n} d(\sigma(t_{k-1}), \sigma(t_k)) + \delta_0 \\
&\leq L(\sigma) + \delta_0.
\end{align}

De modo que $\, c< L(\sigma)$ que es lo que queríamos demostrar.

En la entrada Funciones en espacios topológicos compactos vimos que toda función continua $\, f:A \to \mathbb{R} \,$ en un espacio compacto $A$ alcanza su mínimo y máximo en $A.$ Los resultados siguientes muestran la generalización al caso de funciones semicontinuas.

Proposición: Sea $f:A \to \mathbb{R} \,$ una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto $A, \, $ entonces la imagen de $f$ está acotada inferiormente.

Demostración:
Supón por el contrario que $\underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x) = – \infty.$ Entonces existe una sucesión $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \,$ de elementos en $A$ tal que para cada $n \in \mathbb{N}, \, f(x_n) < -n.$ Puesto que el espacio $A$ es compacto, el subconjunto infinito $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} \,$ tiene al menos un punto de acumulación $x_0, \,$ en $A. \,$(Recuerda el problema 3 de la tarea moral de la entrada Compacidad en espacios métricos). Ya que $f$ es semicontinua inferiormente en $x_0, \,$ existe $\delta >0$ tal que para cada $x \in B(x_0, \delta)$ se cumple que $f(x) > f(x_0) \, – \, 1.$ Observa que $B(x_0, \delta)$ contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que $x_0$ sea punto de acumulación de $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} \,$ por lo tanto la imagen de $f$ está acotada inferiormente.

Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente. $\textcolor{orange}{\text{Queda como ejercicio.}}$

Proposición: Sea $f:A \to \mathbb{R} \,$ una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto $A, \, $ entonces $f$ alcanza su mínimo en $A.$

Demostración:
Como $f$ es semicontinua inferiormente y por el resultado anterior, $f(A)$ tiene ínfimo en $\mathbb{R},$ podemos construir una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de elementos en $A$ tal que para cada $n \in \mathbb{N}, \, f(x_n) \leq \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x) \, + \, \frac{1}{n}.$

Como $A$ es compacto, el conjunto $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} \,$ tiene un punto de acumulación $x_0 \in A.$

Vamos a probar que $f$ alcanza su mínimo en $x_0,$ es decir que $f(x_0) = \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x).$
Supón por el contrario que $f(x_0) > \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x).$ Entonces existe $\varepsilon>0$ tal que $\underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x) + \varepsilon \leq f(x_0).$ Como $f$ es semicontinua inferiormente en $x_0,$ existe $\delta>0$ tal que para cada $x \in B(x_0, \delta), \, f(x > \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x) + \varepsilon).$ Observa que $B(x_0, \delta)$ contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que $x_0$ sea punto de acumulación de $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} \,$ por lo tanto $f(x_0) = \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x)$ y así, $f$ alcanza su mínimo en $A.$

Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente. $\textcolor{orange}{\text{Queda como ejercicio.}}$

Más adelante…

Conoceremos otro «tipo de continuidad» en las funciones. Esta vez lo haremos con una colección de ellas cuando la misma bola de radio $\delta$ y centro en $x_0$ asegura la cercanía con los puntos que cada función asigna a $x_0.$ Este concepto es equicontinuidad y se verá formalmente en la siguiente entrada.

Tarea moral

1. Demuestra los resultados que se fueron indicando a lo largo de esta entrada.
2. a) Prueba que la sucesión de trayectorias $\gamma_k: [0,1] \to \mathbb{R}^2,$
   $$\gamma_k = \left(x, \frac{1}{\sqrt{k}}sen(\pi k x) \right),$$
   converge a la trayectoria $\gamma(x) = (x,0)$ en el conjunto de funciones acotadas de $[0,1]$ en $\mathbb{R}^2$
   b) Prueba que $L(\gamma_k) \to \infty$
   c) Concluye que $L$ no es continua en $\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R}).$

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Para probar el teorema de Arzelá-Ascoli que veremos más adelante, usaremos familias de funciones que tienen la propiedad de enviar puntos muy cercanos del dominio a puntos muy cercanos en el contradominio. Suena a funciones continuas, ¿verdad? No obstante, en esta ocasión será el mismo valor de delta el que haga válida la cercanía para cualquier función.

Ejemplo. Considera el conjunto de funciones $\{f_k: f_k \in \mathcal{C}^0([-1,1], \mathbb{R}), \, k \in \mathbb{N}\}, \,$ donde

\begin{equation*}
f_k(x) = \begin{cases}
-1 \, &\text{ si $x \in [-1, – \frac{1}{k}]$},\\
kx \, &\text{ si $x \in [-\frac{1}{k}, \frac{1}{k}]$}, \\
1 \, &\text{ si $x \in [\frac{1}{k},1]$}.
\end{cases}
\end{equation*}

Estas funciones son continuas en $\mathbb{R}$, más aún, son uniformemente continuas en $\mathbb{R}.$ Sea $\varepsilon >0.$ Cada una de las funciones tiene una $\delta>0$ que hace que puntos a distancia menor que esa delta sean enviados, bajo la función, a puntos de distancia menor que $\varepsilon.$ ¿Será posible encontrar un valor de $\delta$ que cumpla la propiedad para cualquier función $f_k$?

No, no es así. Dejaremos como ejercicio demostrar que para cada $\delta >0$ (y menor que $1$) existe una función $f_k$ tal que $|f_k(0) \, – \, f_k(\frac{\delta}{2})|> \varepsilon = \frac{1}{2}$ de modo que no es posible encontrar un valor de $\delta$ que funcione para todas las funciones del conjunto.

La propiedad que estamos describiendo se conoce como equicontinuidad. Presentamos la definición de:
Simon, B., Real Analysis A Comprehensive Course in Analysis, Part 1,. USA: American Mathematical Society, 2015, pág 70.

Definición. Familia uniformemente equicontinua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos y $\mathcal{H} \,$ una familia de funciones de $X$ en $Y.$ Diremos que $\mathcal{H} \,$ es uniformemente equicontinua si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tales que para cualesquiera $x_1, x_2 \in X$ que cumplen que $d_X(x_1,x_2)< \delta\, $ entonces para cualquier $f \in \mathcal{H}, \,$ $d_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon.$

En particular, si $Y$ es el espacio de los complejos con la métrica euclidiana tenemos la definición de:
Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3a ed.). México: McGraw–Hill, 1980, pág 167.

Definición. Familia equicontinua de funciones complejas. Sea $\mathcal{H}$ una familia de funciones complejas con dominio en un espacio métrico $(X,d_X).$ Diremos que $\mathcal{H} \,$ es equicontinua en $X$ si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tales que para cualesquiera $x_1, x_2 \in X$ que cumplen que $d_X(x_1,x_2)< \delta\, $ entonces para cualquier $f \in \mathcal{H}, \,$ $\norm{f(x_1) \, – \, f(x_2)} < \varepsilon.$

Nota que toda función de una familia equicontinua es uniformemente continua.

Ejemplo. Ahora tomemos una sucesión de funciones en $\mathcal{C}^0([-1,1], \mathbb{R})\,$ donde para cada $k \in \mathbb{N} \,$ la función $f_k \,$ se define como

\begin{equation*}
f_k(x) = \begin{cases}
\frac{1}{k}(x+\frac{1}{k}) \, &\text{ si $x \in [-1, – \frac{1}{k}]$},\\
0 \, &\text{ si $x \in [-\frac{1}{k}, \frac{1}{k}]$}, \\
\frac{1}{k}(x-\frac{1}{k}) \, &\text{ si $x \in [\frac{1}{k},1]$}.
\end{cases}
\end{equation*}

Dejaremos como ejercicio probar que la sucesión converge uniformemente a la función constante cero y que la familia $\{f_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ es uniformemente equicontinua.

Las condiciones de esta sucesión se generalizan según expresa la siguiente:

Proposición. Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico compacto y $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{C})$ (continuas) tal que la sucesión converge uniformemente en $X.$ Entonces $\{ f_n \} _{n \in \mathbb{N} \,}$ (el conjunto de las funciones de la sucesión) es uniformemente equicontinua sobre $X.$

Demostración:
Sea $\varepsilon >0$. Como la sucesión de funciones $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge uniformemente en $X,$ de acuerdo con la entrada Convergencia puntual y convergencia uniforme, como $\mathbb{C}$ es completo, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ es uniformemente de Cauchy, por lo tanto existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cada $n \geq N$ se cumple que

\begin{align}
\norm{f_n \, – \, f_N} _\infty < \frac{\varepsilon}{3}.
\end{align}

En la entrada Continuidad uniforme vimos que cada función continua con dominio compacto es uniformemente continua. En particular, para cada una de las primeras funciones de la sucesión, $f_1, \, f_2, …, f_N,$ existe su correspondiente $\delta_i, \, i=1,…,N$ tal que para cada $i = 1,…,N, \,$ siempre que $d_X(x_1,x_2) < \delta_i,$ tenemos:

\begin{align}
\norm{f_i(x_1) \, – \, f_i(x_2)} < \frac{\varepsilon}{3}.
\end{align}

Si hacemos
$$\delta < \text{mín} \{d_i : i=1,…,N\}$$
se sigue cumpliendo (2) para $i = 1,…,N$

mientras que si $n>N$ se concluye de la desigualdad del triángulo, de (1) y de (2) que

\begin{align*}
\norm{f_n(x_1) \, – \, f_n(x_2)} &\leq \norm{f_n(x_1) \, – \, f_N(x_1)} + \norm{f_N(x_1) \, – \, f_N(x_2)} + \norm{f_N(x_2) \, – \, f_n(x_2)} \\
&\leq \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} \\
&= \varepsilon.
\end{align*}

Por lo tanto el conjunto de funciones en $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es equicontinuo.

La definición a considerar en el teorema de Arzelá-Ascoli

En la sección Teorema de Arzelá-Ascoli nuestra familia de funciones tendrá un dominio compacto y consideraremos la definición de equicontinuidad que aparece en
Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2015, pág 125.
Nota que la propiedad se fija en un punto:

Definición. Familia equicontinua en un punto: Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico compacto y $(Y,d_Y)$ un espacio métrico. Sea $\mathcal{H} \subset \mathcal{C^0}(X,Y)$ es decir, $\mathcal{H}$ es una familia de funciones continuas con dominio en $X$ e imagen en $Y$. Diremos que $\mathcal{H}$ es equicontinuo en el punto $x_0 \in X$ si para todo $\varepsilon>0,$ existe $\delta>0$ tal que para toda función $f$ en $\mathcal{H}$ se cumple que si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$.

Esta definición se relaciona con la primera en el siguiente sentido:

Proposición: Si $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua entonces es equicontinua en cada punto de $X.$

Demostración:
Sea $x_0 \in X$ y $\varepsilon > 0. \,$ Como $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua, existe $\delta >0$ tal que para cada $x_1, x_2 \in X$ si $d_X(x_1,x_2)< \delta$ entonces $d_Y(f(x_1),f(x_2))< \varepsilon$ para cualquier $f \in \mathcal{H}.$ En particular para cada $x \in X,$ si $d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $d_Y(f(x),f(x_0))< \varepsilon$ para cualquier $f \in \mathcal{H} \,$ lo cual prueba que la familia de funciones es equicontinua en $x_0$.

El recíproco no es cierto. Ser equicontinua puntualmente no implica ser uniformemente equicontinua, la demostración queda como ejercicio.

Más adelante…

Anteriormente vimos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, en la siguiente sección mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones, presentando así, los últimos conceptos necesarios para conocer el teorema de Arzelá-Ascoli.

Tarea moral

1. Resuelve los dos ejemplos de esta sección.
2. Muestra un ejemplo de una familia equicontinua puntualmente en todos los puntos del dominio pero que no sea uniformemente equicontinua.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

Introducción

El contenido de esta sección se basa predominantemente en el libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 30-34.

Continuaremos viendo condiciones bajo las cuales sea posible afirmar la existencia de la integral $\int_{a}^{b}f \, d\alpha.$ Comencemos con la siguiente:

Proposición: Sean $f, \alpha:[a,b] \to \mathbb{R}.$ Si $\, \int_{a}^{b}\textcolor{RoyalBlue}{f} \, d\textcolor{magenta}{\alpha} \,$ existe, entonces también $\, \int_{a}^{b}\textcolor{magenta}{\alpha} \, d\textcolor{RoyalBlue}{f} \,$ existe y además

\begin{align}
\int_{a}^{b}f \, d\alpha = [f(b)\alpha(b) \, – \, f(a)\alpha(a)] \, – \int_{a}^{b} \alpha \, df.
\end{align}

Demostración:
Considera $P= \{x_0=a,…,x_n=b\}$ una partición de $[a,b] \,$ y sean $\xi_i \in [x_{i-1},x_i], \, i=1,…,n.$ Entonces se siguen las siguientes igualdades:

\begin{align*}
S(P,f,\alpha)&= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))\\
&= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha(x_i) \, – \, \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha(x_{i-1})\\
&= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha(x_i) \, – \, \sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_{i+1})\alpha(x_i)\\
&= \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)\alpha(x_i)+ f(\xi_n)\alpha(x_n)\, – \, \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_{i+1})\alpha(x_i) \, – \, f(\xi_1)\alpha(x_0)\\
&=- \sum_{i=1}^{n-1}\alpha(x_i)(f(\xi_{i+1}) \, – \, f(\xi_i))) + f(\xi_n)\alpha(b) \, – \, f(\xi_1)\alpha(a).
\end{align*}

Nota que el lado derecho de la igualdad coincide con

$$[f(b)\alpha(b) \, – \, f(a)\alpha(a)] \, – \, \textcolor{blue}{T_P}$$

donde

$$\textcolor{blue}{T_P}= \sum_{i=1}^{n-1}\alpha(x_i)(f(\xi_{i+1}) \, – \, f(\xi_i))+\alpha(a)(f(\xi_1) \, – \, f(a))+\alpha(b)(f(b) \, – \, f(\xi_n)). $$

Por lo tanto

\begin{align}
S(P,f,\alpha) = [f(b)\alpha(b) \, – \, f(a)\alpha(a)] \, – \, \textcolor{blue}{T_P}.
\end{align}

Observa que $\textcolor{blue}{T_P}$ es una suma de Riemann-Stieltjes para $\textcolor{blue}{\int_{a}^{b} \alpha \, df.}$ Tomando el límite cuando $|P| \to 0$ en (2) vemos que $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe si y solo si $\int_{a}^{b} \alpha \, df$ existe y que

\begin{align*}
\int_{a}^{b}f \, d\alpha = [f(b)\alpha(b) \, – \, f(a)\alpha(a)] \, – \int_{a}^{b} \alpha \, df,
\end{align*}

que es lo que queríamos demostrar.

Ya que el valor de las sumas de Riemann-Stieltjes depende de los valores $\xi_i$ elegidos, cuando la función $f$ es acotada, podemos delimitar el valor de $f(\xi_i)$ y, por tanto, acotar las sumas como muestra la siguiente:

Definición: Suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes. Sea $f$ acotada, $\alpha$ una función monótona creciente en $[a,b]$ y $P=\{x_0=a,…,x_n=b\}.$ Definimos los términos:

Las siguientes sumas

\begin{align}
\underline{S}_P = \sum_{i=1}^{n} m_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))\\
\nonumber \\
\overline{S}_P = \sum_{i=1}^{n} M_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))
\end{align}

reciben el nombre de suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes, respectivamente.

Dado que $-\infty < m_i \leq M_i < \infty \,$ y $\, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))\geq 0, \,$ (pues $\alpha$ es creciente), podemos ver que

$$\underline{S}_P \leq S(P,f,\alpha) \leq \overline{S}_P.$$

Esta forma de definir sumas permite conocer el comportamiento de la función, como sugiere el siguiente:

Lema: Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ creciente. Se cumplen:

a) Si $Q$ es un refinamiento de $P \in \mathcal{P}_{[a,b]},$ entonces

$$\underline{S}_P \leq \underline{S}_Q \leq \overline{S}_Q \leq \overline{S}_P.$$

b) Si $P_1$ y $P_2$ son dos particiones, entonces
$$\underline{S}_{P_1} \leq \overline{S}_{P_2},$$
es decir, cualquier suma inferior de Riemann-Stieltjes es menor igual que cualquier suma superior de Riemann-Stieltjes.

Demostración:
a) Vamos a demostrar que $\overline{S}_Q \leq \overline{S}_P.$ El argumento para las sumas inferiores es análogo y lo dejaremos como ejercicio.

Sea $P=\{x_0=a,…,x_n=b\} \,$ y $\, P \subset Q.$ Para fines prácticos supongamos que $Q$ tiene apenas un punto más que $P.$ Sea $x^*$ ese punto.
Entonces $x^* \in [x_{j-1},x_j]$ para algún $j \in \{1,…,n\}$

entonces

en consecuencia
$$\underset{[x_{j-1},x^*]}{sup} \, f(x) \, \, (\alpha(x^*) \, – \, \alpha(x_{i-1})) + \underset{[x^*,x_j]}{sup} \, f(x) \, \, (\alpha(x_j) \, – \, \alpha(x^*)) \leq M_j (\alpha(x_j) \, – \, \alpha(x_{j-1})). $$

Este razonamiento se puede repetir añadiendo uno a uno cada punto de $\, Q \setminus P \,$ hasta obtener $Q.$ Finalmente,

$$\overline{S}_Q \leq \overline{S}_P.$$

b) Nota que $P_1 \cup P_2$ es un refinamiento tanto de $P_1$ como de $P_2.$ Aplicando a) obtenemos:

$$\underline{S}_{P_1} \leq \underline{S}_{P_1 \cup P_2} \leq \overline{S}_{P_1 \cup P_2} \leq \overline{S}_{P_2}$$

con lo cual terminamos la prueba.

El siguiente enunciado muestra condiciones suficientes para la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes.

Proposición: Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ de variación acotada en $[a,b],$ entonces $\int_{a}^{b}$ existe. Más aún

$$\left|\int_{a}^{b}f \, d\alpha \right|\leq \left(\underset{x \in [a,b]}{sup}|f(x)|\right) V[\alpha;a,b]. $$

Demostración:
Para demostrar la existencia recordemos que el teorema de Jordan visto en la entrada Funciones de variación acotada dice que $\alpha, \, $ al ser de variación acotada, puede expresarse como $\alpha = \alpha_1 \, – \, \alpha_2\, $ con $\alpha_1$ y $\alpha_2$ funciones crecientes acotadas en $[a,b].$ Si probamos que existe tanto $\int_{a}^{b}f \, d\alpha_1$ como $\int_{a}^{b}f \, d\alpha_2, \,$ entonces, por lo visto en la entrada anterior también existe la integral buscada pues

\begin{align}
\nonumber \int_{a}^{b}f \, d\alpha_1 \, – \int_{a}^{b}f \, d\alpha_2 &= \int_{a}^{b}f \, d\alpha_1 \, + \int_{a}^{b}f \, d(-\alpha_2) \\
\nonumber&=\int_{a}^{b}f \, d(\alpha_1- \alpha_2)\\
&=\int_{a}^{b}f \, d\alpha.
\end{align}

Sin pérdida de generalidad, probemos que $\int_{a}^{b}f \, d\alpha_1\, $ existe. Sea $P=\{x_1=a,…,x_n=b\}.$ De acuerdo con la proposición que acabamos de ver

$$\underline{S}_P \leq S(P,f, \alpha_1) \leq \overline{S}_P.$$

A continuación vamos a demostrar que $\underset{|P| \to 0}{lim}\, \underline{S}_P \,$ y $\, \underset{|P| \to 0}{lim}\, \overline{S}_P$ existen y son iguales. La condición es evidente si $\alpha_1$ es constante así que supongamos que no lo es.

Sea $\varepsilon>0.$ Ya que $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ sabemos que existe $\delta>0$ tal que si $|P|< \delta,$ entonces

\begin{align*}
\textcolor{PineGreen}{M_i-m_i < \frac{\varepsilon}{\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)}}.
\end{align*}

Nota que $\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)$ es distinto de cero, pues $\alpha_1$ es monótona no constante.

Si $|P|< \delta \,$ se sigue:

\begin{align*}
0 \leq \overline{S}_P \, – \, \underline{S}_P &= \sum_{i=1}^{n}\textcolor{PineGreen}{(M_i\, – \, m_i)}(\alpha_1(x_i) \, – \, \alpha_1(x_{i-1}))\\
&< \sum_{i=1}^{n}\textcolor{PineGreen}{\left( \frac{\varepsilon}{\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)} \right)}(\alpha_1(x_i) \, – \, \alpha_1(x_{i-1}))\\
&= \frac{\varepsilon}{\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)} \sum_{i=1}^{n} (\alpha_1(x_i) \, – \, \alpha_1(x_{i-1}))\\
&=\left( \frac{\varepsilon}{\cancel{\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)}} \right) \cancel{(\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a))}\\
&= \varepsilon.
\end{align*}

Por lo tanto
\begin{align}
\underset{|P| \to 0}{lim} \, (\overline{S}_P \, – \, \underline{S}_P) = 0.
\end{align}

A continuación probaremos que existe $\underset{|P| \to 0}{lim} \, \overline{S}_P$ en $\mathbb{R}.$ Si suponemos que no existe entonces, por el criterio de Cauchy visto en la entrada anterior, existen $\varepsilon >0$ y $(P’_k)_{k \in \mathbb{N}}$ y $(P ^{\prime \prime} _k)_{k \in \mathbb{N}} \,$ sucesiones de particiones cuyas normas tienden a cero tales que

$$\textcolor{purple}{\overline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P^{\prime \prime}_k} > \varepsilon}.$$

Por (6) sabemos que para $k$ suficientemente grande

\begin{align*}
&& \overline{S}_{P’_k} \, – \, \underline{S}_{P’_k} &< \frac{\varepsilon}{2} \\
&\Rightarrow& \underline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P’_k} &>-\frac{\varepsilon}{2} \\
&\Rightarrow& \textcolor{purple}{\overline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P^{\prime \prime}_k}}+ \underline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P’_k} &> \textcolor{purple}{\varepsilon}\, -\frac{\varepsilon}{2}\\
&\Rightarrow& \underline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P^{\prime \prime}_k} &> \frac{\varepsilon}{2}\\
&\Rightarrow& \underline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P^{\prime \prime}_k} &> 0
\end{align*}

lo que contradice el hecho de que $\underline{S}_{P’} \leq \overline{S}_{P^{\prime \prime}}$ para cualquier $P’$ y $P^{\prime \prime}.$

Por lo tanto $\underset{|P| \to 0}{lim} \, \overline{S}_P$ existe y en consecuencia $\int_{a}^{b}f \, d \alpha_1$ existe. Análogamente, $\int_{a}^{b}f \, d \alpha_2 \,$ existe, por lo tanto $\int_{a}^{b}f \, d \alpha \,$ también existe.

Para terminar la prueba nota que la desigualdad

$$\left|\int_{a}^{b}f \, d\alpha \right|\leq \left(\underset{x \in [a,b]}{sup}|f(x)|\right) V[\alpha;a,b] $$

se sigue de una suma de Riemann-Stieltjes similar y haciendo tender el límite a cero. La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.

Finalizaremos esta sección con un teorema conocido, pero ahora en la versión con la integral de Riemann-Stieltjes.

Teorema. Del valor medio para la integral de Riemann-Stieltjes. Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y creciente. Entonces existe $\xi \in [a,b]$ tal que

\begin{align}
\int_{a}^{b} f \, d\alpha = f(\xi) \, (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)).
\end{align}

Demostración:
Dado que $\alpha$ es creciente, se satisface para cualquier $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}$

$$\left(\underset{x \, \in \, [a,b]}{\text{mín}} f(x)\right) (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)) \leq S(P,f,\alpha) \leq \left(\underset{x \, \in \, [a,b]}{\text{máx}} f(x)\right)(\alpha(b)\, – \, \alpha(a))$$

El resultado anterior nos permite afirmar que $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe, entonces también se cumple

$$\left(\underset{x \, \in \, [a,b]}{\text{mín}} f(x)\right) (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)) \leq \int_{a}^{b} f \, d\alpha \leq \left(\underset{x \, \in \, [a,b]}{\text{máx}} f(x)\right) (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)),$$

y como $f$ es continua en $[a,b]$ se sigue del teorema del valor intermedio que existe $\xi \in [a,b]$ tal que

$$\int_{a}^{b} f \, d\alpha = f(\xi) \, (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)),$$

que es lo que queríamos demostrar.

Así como definimos la integral de Riemann-Stieltjes en intervalos cerrados, también podemos hacerlo en intervalos abiertos $(a,b) \in \mathbb{R}$ de esta forma: Si $[a’,b’] \subset (a,b)$ y existe $\int_{a’}^{b’}f \, d\alpha,$ haciendo $a’ \to a$ y $b’ \to b$ definimos

$$\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \underset{a’ \to a \, ; \, b’ \to b}{lim}\int_{a’}^{b’}f \, d\alpha$$

cuando el límite existe. Así mismo

$$\int_{-\infty}^{\infty}f \, d\alpha = \underset{a \to -\infty \, ; \, b \to \infty}{lim}\int_{a}^{b}f \, d\alpha,$$

cuando el límite existe.

Más adelante…

Hasta el momento no es muy evidente la relacion entre la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes con los limites de las sumas inferior y superior de Riemann-Stieltjes, pese a que en Cálculo llegan incluso a considerarse equivalentes cuando coinciden. En la próxima entrada veremos bajo qué condiciones el resultado es válido en la integral que estamos estudiando.

Tarea moral

1. Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ creciente. Sea $Q$ un refinamiento de $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}.$ Demuestra que
   $$\underline{S}_P \leq \underline{S}_Q.$$
2. Demuestra la desigualdad pendiente
   $$\left|\int_{a}^{b}f \, d\alpha \right|\leq \left(\underset{x \in [a,b]}{sup}|f(x)|\right) V[\alpha;a,b] $$
   donde $f$ es continua y $\alpha$ es de variación acotada.
3. Sean $f, \alpha:[a,b] \to \mathbb{R}.$ Prueba que se cumplen:
   a) Si $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe y $\alpha$ no es constante en ningún subintervalo de $[a,b]$ muestra que $f$ es acotada en $[a,b].$
   b) Si $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe y $\alpha$ es creciente, muestra que para cada $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}$ tenemos $\underline{S}_P \leq \int_{a}^{b}f \, d\alpha \leq \overline{S}_P.$

Enlaces

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