$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Para probar el teorema de Arzelá-Ascoli que veremos más adelante, usaremos familias de funciones que tienen la propiedad de enviar puntos muy cercanos del dominio a puntos muy cercanos en el contradominio. Suena a funciones continuas, ¿verdad? No obstante, en esta ocasión será el mismo valor de delta el que haga válida la cercanía para cualquier función.

Ejemplo: Considera el conjunto de funciones $\{f_k \, | \, f_k \in \mathcal{C}^0[-1,1], \, k \in \mathbb{N}\}, \,$ donde

\begin{equation*}
f_k(x) := \begin{cases}
-1 \, &\text{ si $x \in [-1, – \frac{1}{k}]$},\\
kx \, &\text{ si $x \in [-\frac{1}{k}, \frac{1}{k}]$}, \\
1 \, &\text{ si $x \in [\frac{1}{k},1]$}.
\end{cases}
\end{equation*}

Estas funciones son continuas en $\mathbb{R}$, más aún, son uniformemente continuas en $\mathbb{R}.$ Sea $\varepsilon >0.$ Cada una de las funciones tiene una $\delta>0$ que hace que puntos a distancia menor que esa delta sean enviados, bajo la función, a puntos de distancia menor que $\varepsilon.$ ¿Será posible encontrar un valor de $\delta$ que cumpla la propiedad para cualquier función $f_k$?

No, no es así. Dejaremos como ejercicio demostrar que para cada $\delta >0$ (y menor que $1$) existe una función $f_k$ tal que $|f_k(0) \, – \, f_k(\frac{\delta}{2})|> \varepsilon = \frac{1}{2}$ de modo que no es posible encontrar un valor de $\delta$ que funcione para todas las funciones del conjunto.

La propiedad que estamos describiendo se conoce como equicontinuidad. Presentamos la definición de:
Simon, B., Real Analysis A Comprehensive Course in Analysis, Part 1,. USA: American Mathematical Society, 2015, pág 70.

Definición. Familia uniformemente equicontinua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos y $\mathcal{H} \,$ una familia de funciones de $X$ en $Y.$ Diremos que $\mathcal{H} \,$ es uniformemente equicontinua si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tales que para cualesquiera $x_1, x_2 \in X$ que cumplen que $d_X(x_1,x_2)< \delta\, $ entonces para cualquier $f \in \mathcal{H}, \,$ $d_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon.$

En particular, si $Y$ es el espacio de los complejos con la métrica euclidiana tenemos la definición de:
Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3a ed.). México: McGraw–Hill, 1980, pág 156.

Definición. Familia equicontinua de funciones complejas. Sea $\mathcal{H}$ una familia de funciones complejas con dominio en un espacio métrico $(X,d_X).$ Diremos que $\mathcal{H} \,$ es equicontinua en $X$ si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tales que para cualesquiera $x_1, x_2 \in X$ que cumplen que $d_X(x_1,x_2)< \delta\, $ entonces para cualquier $f \in \mathcal{H}, \,$ $\norm{f(x_1) \, – \, f(x_2)} < \varepsilon.$

Nota que toda función de una familia equicontinua es uniformemente continua.

Ejemplo: Ahora tomemos una sucesión de funciones en $\mathcal{C}^0[-1,1]\,$ donde para cada $k \in \mathbb{N} \,$ la función $f_k \,$ se define como

\begin{equation*}
f_k(x) := \begin{cases}
\frac{1}{k}(x+\frac{1}{k}) \, &\text{ si $x \in [-1, – \frac{1}{k}]$},\\
0 \, &\text{ si $x \in [-\frac{1}{k}, \frac{1}{k}]$}, \\
\frac{1}{k}(x-\frac{1}{k}) \, &\text{ si $x \in [\frac{1}{k},1]$}.
\end{cases}
\end{equation*}

Dejaremos como ejercicio probar que la sucesión converge uniformemente a la función constante cero y que la familia $\{f_k\}_{k \in \mathbb{N}} \,$ es uniformemente equicontinua.

Las condiciones de esta sucesión se generalizan según expresa la siguiente:

Proposición. Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico compacto y $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de funciones en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{C})$ (continuas) tal que la sucesión converge uniformemente en $X.$ Entonces $\{ f_n \} _{n \in \mathbb{N} \,}$ (el conjunto de las funciones de la sucesión) es uniformemente equicontinua sobre $X.$

Demostración:
Sea $\varepsilon >0.$ Como la sucesión de funciones $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge uniformemente en $X,$ de acuerdo con la entrada Convergencia puntual y convergencia uniforme, como $\mathbb{C}$ es completo, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ es uniformemente de Cauchy, por lo tanto existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cada $n \geq N$ se cumple que

\begin{align}
\norm{f_n \, – \, f_N} _\infty < \frac{\varepsilon}{3}.
\end{align}

En la entrada Continuidad uniforme vimos que cada función continua con dominio compacto es uniformemente continua. En particular, para cada una de las primeras funciones de la sucesión, $f_1, \, f_2, …, f_N,$ existe su correspondiente $\delta_i, \, i=1,…,N$ tal que para cada $i = 1,…,N, \,$ siempre que $d_X(x_1,x_2) < \delta_i,$ tenemos:

\begin{align}
\norm{f_i(x_1) \, – \, f_i(x_2)} < \frac{\varepsilon}{3}.
\end{align}

Si hacemos
$$\delta < \text{min} \{d_i \, | \, i=1,…,N\}$$
se sigue cumpliendo (2) para $i = 1,…,N$

mientras que si $n>N$ se concluye de la desigualdad del triángulo, de (1) y de (2) que

\begin{align*}
\norm{f_n(x_1) \, – \, f_n(x_2)} &\leq \norm{f_n(x_1) \, – \, f_N(x_1)} + \norm{f_N(x_1) \, – \, f_N(x_2)} + \norm{f_N(x_2) \, – \, f_n(x_2)} \\
&< \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} \\
&= \varepsilon.
\end{align*}

Por lo tanto el conjunto de funciones en $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es equicontinuo.

La definición a considerar en el teorema de Arzelá-Ascoli

En la sección Teorema de Arzelá-Ascoli nuestra familia de funciones tendrá un dominio compacto y consideraremos la definición de equicontinuidad que aparece en
Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2015, pág 125.
Nota que la propiedad se fija en un punto:

Definición. Familia equicontinua en un punto. Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico compacto y $(Y,d_Y)$ un espacio métrico. Sea $\mathcal{H} \subset \mathcal{C^0}(X,Y)$ es decir, $\mathcal{H}$ es una familia de funciones continuas con dominio en $X$ e imagen en $Y.$ Diremos que $\mathcal{H}$ es equicontinuo en el punto $x_0 \in X$ si para todo $\varepsilon>0,$ existe $\delta>0$ tal que para toda función $f$ en $\mathcal{H}$ se cumple que si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon.$

Esta definición se relaciona con la primera en el siguiente sentido:

Proposición. Si $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua entonces es equicontinua en cada punto de $X.$

Demostración:
Sea $x_0 \in X$ y $\varepsilon > 0. \,$ Como $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua, existe $\delta >0$ tal que para cada $x_1, x_2 \in X$ si $d_X(x_1,x_2)< \delta$ entonces $d_Y(f(x_1),f(x_2))< \varepsilon$ para cualquier $f \in \mathcal{H}.$ En particular para cada $x \in X,$ si $d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $d_Y(f(x),f(x_0))< \varepsilon$ para cualquier $f \in \mathcal{H} \,$ lo cual prueba que la familia de funciones es equicontinua en $x_0.$

La última definición pide que el dominio de las funciones sea compacto. Esto permite elegir una delta que funcione para todos los elementos de $\mathcal{H}.$

Proposición: Si $\mathcal{H}$ es es equicontinua en cada punto de $X,$ como en la definición entonces es uniformemente equicontinua.

Demostración: Se dejará como ejercicio.

El recíproco no es cierto si quitamos la compacidad de $X$. Ser equicontinua puntualmente no implica ser uniformemente equicontinua. Se te pedirá un contraejemplo.

Más adelante…

Usaremos las nociones aprendidas recientemente para conocer y probar el teorema de Arzelá-Ascoli.

Tarea moral

1. Resuelve los dos ejemplos de esta sección.
2. Prueba que si $\mathcal{H}$ es es equicontinua en cada punto de $X,$ como en la definición (con $X$ compacto) entonces es uniformemente equicontinua.
3. Muestra un ejemplo de una familia equicontinua puntualmente en todos los puntos del dominio pero que no sea uniformemente equicontinua.

Bibliografía

• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2015. Págs: 125 y 126.
• Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3a ed.). México: McGraw–Hill, 1980, pág 156-158.
• Simon, B., Real Analysis A Comprehensive Course in Analysis, Part 1,. USA: American Mathematical Society, 2015, pág 70.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

Introducción

El contenido de esta sección se basa predominantemente en el libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 30-34.

Continuaremos viendo condiciones bajo las cuales sea posible afirmar la existencia de la integral $\int_{a}^{b}f \, d\alpha.$ Comencemos con la siguiente:

Proposición. Sean $f, \alpha:[a,b] \to \mathbb{R}.$ Si $\, \int_{a}^{b}\textcolor{RoyalBlue}{f} \, d\textcolor{magenta}{\alpha} \,$ existe, entonces también $\, \int_{a}^{b}\textcolor{magenta}{\alpha} \, d\textcolor{RoyalBlue}{f} \,$ existe y además

\begin{align}
\int_{a}^{b}f \, d\alpha = [f(b)\alpha(b) \, – \, f(a)\alpha(a)] \, – \int_{a}^{b} \alpha \, df.
\end{align}

Demostración:
Considera $P= \{x_0=a,…,x_n=b\}$ una partición de $[a,b] \,$ y sean $\xi_i \in [x_{i-1},x_i], \, i=1,…,n.$ Entonces se siguen las siguientes igualdades:

\begin{align*}
S(P,f,\alpha)&= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))\\
&= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha(x_i) \, – \, \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha(x_{i-1})\\
&= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha(x_i) \, – \, \sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_{i+1})\alpha(x_i)\\
&= \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)\alpha(x_i)+ f(\xi_n)\alpha(x_n)\, – \, \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_{i+1})\alpha(x_i) \, – \, f(\xi_1)\alpha(x_0)\\
&=- \sum_{i=1}^{n-1}\alpha(x_i)(f(\xi_{i+1}) \, – \, f(\xi_i))) + f(\xi_n)\alpha(b) \, – \, f(\xi_1)\alpha(a).
\end{align*}

Nota que el lado derecho de la igualdad coincide con

$$[f(b)\alpha(b) \, – \, f(a)\alpha(a)] \, – \, \textcolor{blue}{T_P}$$

donde

$$\textcolor{blue}{T_P}= \sum_{i=1}^{n-1}\alpha(x_i)(f(\xi_{i+1}) \, – \, f(\xi_i))+\alpha(a)(f(\xi_1) \, – \, f(a))+\alpha(b)(f(b) \, – \, f(\xi_n)). $$

Por lo tanto

\begin{align}
S(P,f,\alpha) = [f(b)\alpha(b) \, – \, f(a)\alpha(a)] \, – \, \textcolor{blue}{T_P}.
\end{align}

Observa que $\textcolor{blue}{T_P}$ es una suma de Riemann-Stieltjes para $\textcolor{blue}{\int_{a}^{b} \alpha \, df.}$ Tomando el límite cuando $|P| \to 0$ en (2) vemos que $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe si y solo si $\int_{a}^{b} \alpha \, df$ existe y que

\begin{align*}
\int_{a}^{b}f \, d\alpha = [f(b)\alpha(b) \, – \, f(a)\alpha(a)] \, – \int_{a}^{b} \alpha \, df,
\end{align*}

que es lo que queríamos demostrar.

Ya que el valor de las sumas de Riemann-Stieltjes depende de los valores $\xi_i$ elegidos, cuando la función $f$ es acotada, podemos delimitar el valor de $f(\xi_i)$ y, por tanto, acotar las sumas como muestra la siguiente:

Definición. Suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes. Sea $f$ acotada, $\alpha$ una función monótona creciente en $[a,b]$ y $P=\{x_0=a,…,x_n=b\}.$ Definimos los términos:

Las siguientes sumas

\begin{align}
\underline{S}_P := \sum_{i=1}^{n} m_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))\\
\nonumber \\
\overline{S}_P := \sum_{i=1}^{n} M_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))
\end{align}

reciben el nombre de suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes, respectivamente.

Dado que $-\infty < m_i \leq M_i < \infty \,$ y $\, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))\geq 0, \,$ (pues $\alpha$ es creciente), podemos ver que

$$\underline{S}_P \leq S(P,f,\alpha) \leq \overline{S}_P.$$

Esta forma de definir sumas permite conocer el comportamiento de la función, como sugiere el siguiente:

Lema: Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ creciente. Se cumplen:

a) Si $Q$ es un refinamiento de $P \in \mathcal{P}_{[a,b]},$ entonces

$$\underline{S}_P \leq \underline{S}_Q \leq \overline{S}_Q \leq \overline{S}_P.$$

b) Si $P_1$ y $P_2$ son dos particiones, entonces
$$\underline{S}_{P_1} \leq \overline{S}_{P_2},$$
es decir, cualquier suma inferior de Riemann-Stieltjes es menor igual que cualquier suma superior de Riemann-Stieltjes.

Demostración:
a) Vamos a probar que $\overline{S}_Q \leq \overline{S}_P.$ El argumento para las sumas inferiores es análogo y lo dejaremos como ejercicio.

Sea $P=\{x_0=a,…,x_n=b\} \,$ y $\, P \subset Q.$ Para fines prácticos supongamos que $Q$ tiene apenas un punto más que $P.$ Sea $x^*$ ese punto.
Entonces $x^* \in [x_{j-1},x_j]$ para algún $j \in \{1,…,n\}$

entonces

en consecuencia
$$\underset{x \in [x_{j-1},x^*]}{sup} \, f(x) \, \, (\alpha(x^*) \, – \, \alpha(x_{i-1})) + \underset{x \in [x^*,x_j]}{sup} \, f(x) \, \, (\alpha(x_j) \, – \, \alpha(x^*)) \leq M_j (\alpha(x_j) \, – \, \alpha(x_{j-1})). $$

Este razonamiento se puede repetir añadiendo uno a uno cada punto de $\, Q \setminus P \,$ hasta obtener $Q.$ Finalmente,

$$\overline{S}_Q \leq \overline{S}_P.$$

b) Nota que $P_1 \cup P_2$ es un refinamiento tanto de $P_1$ como de $P_2.$ Aplicando a) obtenemos:

$$\underline{S}_{P_1} \leq \underline{S}_{P_1 \cup P_2} \leq \overline{S}_{P_1 \cup P_2} \leq \overline{S}_{P_2}$$

con lo cual terminamos la prueba.

El siguiente enunciado muestra condiciones suficientes para la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes.

Proposición. Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ de variación acotada en $[a,b],$ entonces $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe. Más aún

$$\left|\int_{a}^{b}f \, d\alpha \right|\leq \left(\underset{x \in [a,b]}{sup}|f(x)|\right) V[\alpha;a,b]. $$

Demostración:
Para demostrar la existencia recordemos que el teorema de Jordan visto en la entrada Funciones de variación acotada dice que $\alpha, \, $ al ser de variación acotada, puede expresarse como $\alpha = \alpha_1 \, – \, \alpha_2\, $ con $\alpha_1$ y $\alpha_2$ funciones crecientes acotadas en $[a,b].$ Si probamos que existe tanto $\int_{a}^{b}f \, d\alpha_1$ como $\int_{a}^{b}f \, d\alpha_2, \,$ entonces, por lo visto en la entrada anterior también existe la integral buscada pues

\begin{align}
\nonumber \int_{a}^{b}f \, d\alpha_1 \, – \int_{a}^{b}f \, d\alpha_2 &= \int_{a}^{b}f \, d\alpha_1 \, + \int_{a}^{b}f \, d(-\alpha_2) \\
\nonumber&=\int_{a}^{b}f \, d(\alpha_1- \alpha_2)\\
&=\int_{a}^{b}f \, d\alpha.
\end{align}

Sin pérdida de generalidad, probemos que $\int_{a}^{b}f \, d\alpha_1\, $ existe. Sea $P=\{x_1=a,…,x_n=b\}.$ De acuerdo con la proposición que acabamos de ver

$$\underline{S}_P \leq S(P,f, \alpha_1) \leq \overline{S}_P.$$

A continuación vamos a demostrar que $\underset{|P| \to 0}{lim}\, \underline{S}_P \,$ y $\, \underset{|P| \to 0}{lim}\, \overline{S}_P$ existen y son iguales. La condición es evidente si $\alpha_1$ es constante así que supongamos que no lo es.

Sea $\varepsilon>0.$ Ya que $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ sabemos que existe $\delta>0$ tal que si $|P|< \delta,$ entonces

\begin{align*}
\textcolor{PineGreen}{M_i-m_i < \frac{\varepsilon}{\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)}}.
\end{align*}

Nota que $\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)$ es distinto de cero, pues $\alpha_1$ es monótona no constante.

Si $|P|< \delta \,$ se sigue:

\begin{align*}
0 \leq \overline{S}_P \, – \, \underline{S}_P &= \sum_{i=1}^{n}\textcolor{PineGreen}{(M_i\, – \, m_i)}(\alpha_1(x_i) \, – \, \alpha_1(x_{i-1}))\\
&< \sum_{i=1}^{n}\textcolor{PineGreen}{\left( \frac{\varepsilon}{\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)} \right)}(\alpha_1(x_i) \, – \, \alpha_1(x_{i-1}))\\
&= \frac{\varepsilon}{\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)} \sum_{i=1}^{n} (\alpha_1(x_i) \, – \, \alpha_1(x_{i-1}))\\
&=\left( \frac{\varepsilon}{\cancel{\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a)}} \right) \cancel{(\alpha_1(b) \, – \, \alpha_1(a))}\\
&= \varepsilon.
\end{align*}

Por lo tanto
\begin{align}
\underset{|P| \to 0}{lim} \, (\overline{S}_P \, – \, \underline{S}_P) = 0.
\end{align}

A continuación probaremos que existe $\underset{|P| \to 0}{lim} \, \overline{S}_P$ en $\mathbb{R}.$ Si suponemos que no existe entonces, por el criterio de Cauchy visto en la entrada anterior, existen $\varepsilon >0$ y $(P’_k)_{k \in \mathbb{N}} \,$ y $(P ^{\prime \prime} _k)_{k \in \mathbb{N}} \,$ sucesiones de particiones cuyas normas tienden a cero tales que

$$\textcolor{purple}{\overline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P^{\prime \prime}_k} > \varepsilon}.$$

Por (6) sabemos que para $k$ suficientemente grande

\begin{align*}
&& \overline{S}_{P’_k} \, – \, \underline{S}_{P’_k} &< \frac{\varepsilon}{2} \\
&\Rightarrow& \underline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P’_k} &>-\frac{\varepsilon}{2} \\
&\Rightarrow& \textcolor{purple}{\overline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P^{\prime \prime}_k}}+ \underline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P’_k} &> \textcolor{purple}{\varepsilon}\, -\frac{\varepsilon}{2}\\
&\Rightarrow& \underline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P^{\prime \prime}_k} &> \frac{\varepsilon}{2}\\
&\Rightarrow& \underline{S}_{P’_k} \, – \, \overline{S}_{P^{\prime \prime}_k} &> 0
\end{align*}

lo que contradice el hecho de que $\underline{S}_{P’} \leq \overline{S}_{P^{\prime \prime}}$ para cualquier $P’$ y $P^{\prime \prime}.$

Por lo tanto $\underset{|P| \to 0}{lim} \, \overline{S}_P$ existe y en consecuencia $\int_{a}^{b}f \, d \alpha_1$ existe. Análogamente, $\int_{a}^{b}f \, d \alpha_2 \,$ existe, por lo tanto $\int_{a}^{b}f \, d \alpha \,$ también existe.

Para terminar la prueba nota que la desigualdad

$$\left|\int_{a}^{b}f \, d\alpha \right|\leq \left(\underset{x \in [a,b]}{sup}|f(x)|\right) V[\alpha;a,b] $$

se sigue de una suma de Riemann-Stieltjes similar y haciendo tender el límite a cero. La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.

Finalizaremos esta sección con un teorema conocido, pero ahora en la versión con la integral de Riemann-Stieltjes.

Teorema. Del valor medio para la integral de Riemann-Stieltjes. Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y creciente. Entonces existe $\xi \in [a,b]$ tal que

\begin{align}
\int_{a}^{b} f \, d\alpha = f(\xi) \, (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)).
\end{align}

Demostración:
Dado que $\alpha$ es creciente, se satisface para cualquier $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}$

$$\left(\underset{x \, \in \, [a,b]}{min} f(x)\right) (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)) \leq S(P,f,\alpha) \leq \left(\underset{x \, \in \, [a,b]}{max} f(x)\right)(\alpha(b)\, – \, \alpha(a))$$

El resultado anterior nos permite afirmar que $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe, entonces también se cumple

$$\left(\underset{x \, \in \, [a,b]}{min} f(x)\right) (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)) \leq \int_{a}^{b} f \, d\alpha \leq \left(\underset{x \, \in \, [a,b]}{max} f(x)\right) (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)),$$

y como $f$ es continua en $[a,b]$ se sigue del teorema del valor intermedio que existe $\xi \in [a,b]$ tal que

$$\int_{a}^{b} f \, d\alpha = f(\xi) \, (\alpha(b)\, – \, \alpha(a)),$$

que es lo que queríamos demostrar.

Así como definimos la integral de Riemann-Stieltjes en intervalos cerrados, también podemos hacerlo en intervalos abiertos $(a,b) \in \mathbb{R}$ de esta forma: Si $[a’,b’] \subset (a,b)$ y existe $\int_{a’}^{b’}f \, d\alpha,$ haciendo $a’ \to a$ y $b’ \to b$ definimos

$$\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \underset{a’ \to a \, ; \, b’ \to b}{lim}\int_{a’}^{b’}f \, d\alpha$$

cuando el límite existe. Así mismo

$$\int_{-\infty}^{\infty}f \, d\alpha = \underset{a \to -\infty \, ; \, b \to \infty}{lim}\int_{a}^{b}f \, d\alpha,$$

cuando el límite existe.

Más adelante…

Hasta el momento no es muy evidente la relacion entre la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes con los limites de las sumas inferior y superior de Riemann-Stieltjes, pese a que en Cálculo llegan incluso a considerarse equivalentes cuando coinciden. En la próxima entrada veremos bajo qué condiciones el resultado es válido en la integral que estamos estudiando.

Tarea moral

1. Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ creciente. Sea $Q$ un refinamiento de $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}.$ Demuestra que
   $$\underline{S}_P \leq \underline{S}_Q.$$
2. Demuestra la desigualdad pendiente
   $$\left|\int_{a}^{b}f \, d\alpha \right|\leq \left(\underset{x \in [a,b]}{sup}|f(x)|\right) V[\alpha;a,b] $$
   donde $f$ es continua y $\alpha$ es de variación acotada.
3. Sean $f, \alpha:[a,b] \to \mathbb{R}.$ Prueba que se cumplen:
   a) Si $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe y $\alpha$ no es constante en ningún subintervalo de $[a,b]$ muestra que $f$ es acotada en $[a,b].$
   b) Si $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe y $\alpha$ es creciente, muestra que para cada $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}$ tenemos $\underline{S}_P \leq \int_{a}^{b}f \, d\alpha \leq \overline{S}_P.$

Bibliografía

• Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015. Págs: 30-34.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

Introducción

Hemos llegado al punto en que presentaremos la integral de Riemann-Stieltjes. Antes de abordar el tema con resultados más abstractos y formales (que expondremos en las siguientes dos entradas del blog) motivaremos la definición con funciones distribución de probabilidad. Aunque no requerimos más que la idea de dicha función para entender esta sección, para un conocimiento más profundo podrías consultar las entradas:
Probabilidad I: Funciones de Distribución de Probabilidad,
Probabilidad I: Variables Aleatorias Discretas y
Probabilidad I: Variables Aleatorias Continuas.

Dada $\mathcal{X}$ una variable aleatoria, se conoce como función de distribución de $\mathcal{X}$ a la función $F_{\mathcal{X}}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \,$ definida como:
$$F_{\mathcal{X}}(x) := \mathbb{P}(\mathcal{X} \leq x)$$
es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales que $x.$ Satisface lo siguiente:

1. Para todo $ \, x \in \mathbb{R}, \, 0 \leq F_{\mathcal{X}}(x) \leq 1$
2. Es continua por la derecha y tiene límite por la izquierda.
3. Es no decreciente, es decir, si $x_1 \leq x_2$ entonces $F_{\mathcal{X}}(x_1) \leq F_{\mathcal{X}}(x_2).$
4. $\underset{x \to \, -\infty}{F_{\mathcal{X}}(x)} = 0.$
5. $\underset{x \to \, \infty}{F_{\mathcal{X}}(x)} = 1.$

Dependiendo las propiedades de la variable aleatoria, la función $F_\mathcal{X}$ puede ser de dos formas:

Si $\mathcal{X}$ es variable aleatoria discreta, entonces

$$F_{\mathcal{X}}(x) = \underset{t \leq x}{\sum}f(t).$$

Donde $f(t)$ es la probabilidad de que $\mathcal{X}$ tome el valor $t$, la cual es distinta de cero solamente para un conjunto a lo más numerable de valores $t.$

Si $\mathcal{X}$ es variable aleatoria continua, entonces

$$F_{\mathcal{X}}(x) = \int_{- \infty}^{x}f(t)dt.$$

Donde $f(t)$ es la función de densidad de probabilidad de $\mathcal{X}.$

Podríamos preguntarnos si es posible definir una integral que muestre el valor de la función, sin importar el tipo de variable aleatoria.

En los cursos de cálculo se habla del concepto de integral de Riemann de una función $f:[a,b] \to \mathbb{R}, \, a,b \in \mathbb{R}.$ A partir de una partición $P= \{x_0= a,…, x_n = b\}$ se define la suma de Riemann como
$$S(P,f) := \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(x_i \, – \, x_{i-1})$$
donde $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i] \,$ y
$$\, S(P,f) \to \int_{a}^{b}f(x) \, dx \,$$
cuando $\, n \to \infty.$

La integral de Riemann-Stieltjes generaliza esta idea, modificando los intervalos generados por la partición a través de una función $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}.$

Definición. Suma de Riemann-Stieltjes. Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}, \,$ $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R} \,$ funciones y $P= \{x_0=a,…,x_n=b\}$ una partición de $[a,b].$ Definimos la suma de Riemann-Stieltjes de $P$ con respecto a $f$ y $\alpha$ como

\begin{align}
S(P,f,\alpha) := \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))
\end{align}

donde $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i].$

Idea intuitiva de la integral de Riemann-Stieltjes. Sean $f, \, \alpha$ y $P\, $ como en la definición anterior. Si existe el límite en $S(P,f, \alpha)$ cuando $n \to \infty,$ pensamos en la integral de Riemann-Stieltjes como

\begin{align}
\int_{a}^{b}f(x) \, d \alpha = \underset{n \to \infty}{lim} \, \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})).
\end{align}

Para visualizar las ideas, consideremos los siguientes:

Ejemplos

En cualquier caso, $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}.$

• $\alpha(x) = x.$ En este caso coincide con la integral de Riemann. Evidentemente:
  \begin{align*}
  \int_{a}^{b}f(x) \, d \alpha := \underset{n \to \infty}{lim} \, \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) = \underset{n \to \infty}{lim} \, \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(x_i \, – \, x_{i-1}).
  \end{align*}
• Si $\alpha(x) = F_{\mathcal{X}}(x)$ es la función de distribución de $\mathcal{X},$ entonces la integral de Riemman-Stieltjes es la esperanza de la variable aleatoria $Y=f(\mathcal{X}).$

Analicemos más esta última función. Sea $P= \{x_0 = a,…,x_n =b\}.$ Entonces para cada $i=0,…,n$

$$\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}) = \lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil$$

Si suponemos que los intervalos son muy pequeños, podemos pedir que $|P|<1.$ En esta situación dos puntos consecutivos de la partición podrían estar entre dos enteros consecutivos o bien, tener un entero entre ellos. Así tenemos dos casos:

1. \begin{align*}
   \lceil x_i \rceil &= \lceil x_{i-1} \rceil\\
   \Rightarrow \, \lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil &= 0
   \end{align*}
   o bien
2. \begin{align*}
   \lceil x_i \rceil &> \lceil x_{i-1} \rceil \, \\
   \Rightarrow \, \lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil &= 1.
   \end{align*}

En consecuencia, si $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ entonces cada sumando toma los siguientes valores:

En el caso 1. $f(\xi_i)(\lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil) = 0.$
En el caso 2. $f(\xi_i)(\lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil) = f(\xi_1).$

La siguiente imagen permite visualizar este comportamiento.

Calculemos $\int_{0}^{10}1 \, d \, \lceil x \rceil.$

En las siguientes entradas veremos que se satisface:

Proposición: Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $\alpha$ es monótona, existe $\int_{a}^{b} f(x) \, d \alpha.$

Con la integral de Riemann-Stieltjes es posible identificar las funciones de distribución de variables aleatorias, sin importar si la variable es discreta, continua o una «mezcla» de ambas.

Entonces, si $F_{\mathcal{X}}$ es la función distribución de la variable aleatoria descrita se satisface:

$F_{\mathcal{X}}(b) \, – \, F_{\mathcal{X}}(a) = \text{Probabilidad de que } \mathcal{X} \text{ tome valores en } [a,b] = \int_{a}^{b}1 \, d \alpha.$

La esperanza de una variable aleatoria puede expresarse con una integral de Riemann-Stieltjes

A continuación presentamos una definición de la esperanza con la integral que estamos conociendo y es equivalente a la usada convencionalmente. Para profundizar en la teoría, visitar Probabilidad I: Valor Esperado de una Variable Aleatoria

Definición. Esperanza de $\mathcal{X}.$ Sea $\mathcal{X}$ una variable aleatoria con función de distribución $\alpha(x).$ La esperanza de $\mathcal{X}$ es
$$E(\mathcal{X}) = \int_{-\infty}^{\infty}x \, d\alpha.$$

Ejemplos

Sea $\mathcal{X}$ variable aleatoria con distribución binomial, $n=3, \, p= \frac{1}{2}.$ Dado que

$$\mathbb{P}(\mathcal{X} = k) = \binom{3}{k}\frac{1}{2}^k\frac{1}{2}^{3-k}$$

Se sigue:

$\mathbb{P}(\mathcal{X} = 0) = \frac{1}{8}$

$\mathbb{P}(\mathcal{X} = 1) = \frac{3}{8}$

$\mathbb{P}(\mathcal{X} = 2) = \frac{3}{8}$

$\mathbb{P}(\mathcal{X} = 3) = \frac{1}{8}$

Y la esperanza es

\begin{align*}
\sum_{k=0}^{3}k \, \mathbb{P}(\mathcal{X} = k) &= (0)\left(\frac{1}{8}\right) + (1)\left(\frac{3}{8}\right) + (2)\left(\frac{3}{8}\right) + (3)\left(\frac{1}{8}\right) \\
&=\frac{6}{4}
\end{align*}

Dejaremos como $\textcolor{orange}{\text{ejercicio de tarea moral,}}$ verificar la integral de Riemann-Stieltjes

\begin{align*}
\int_{\infty}^{\infty}x \, d\alpha &= \int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha + \int_{0}^{3}x \, d\alpha + \int_{3}^{\infty}x \, d\alpha\\
&=0 + \dfrac{6}{4} +0\\
&= \dfrac{6}{4}.
\end{align*}

Como sugerencia, verifica que en una partición de $[0,3]$ con intervalos muy pequeños $(\delta< 1)$ los únicos sumandos que no se anulan en la suma de Riemann-Stieltjes serán los correspondientes a intervalos que tienen algún entero en $\{0,1,2,3\}.$

Otro ejemplo para terminar esta sección

Ahora supongamos que la función de distribución de una variable aleatoria está dada por:

Vamos a calcular la esperanza de $\mathcal{X}$ por medio de:

$$\int_{-\infty}^{\infty}x \, d\alpha.$$

Los detalles se dejarán como $\textcolor{orange}{\text{ejercicios de tarea moral.}}$ Nota que

$$\int_{-\infty}^{\infty}x \, d\alpha= \textcolor{PineGreen}{\int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha} \textcolor{blue}{+ \int_{0}^{\frac{1}{2}}x \, d\alpha + \int_{\frac{1}{2}}^{1}x \, d\alpha} \textcolor{PineGreen}{+ \int_{1}^{\infty}x \, d\alpha}.$$

Primero vamos a obtener

$$ \textcolor{blue}{\int_{0}^{\frac{1}{2}}x \, d\alpha}.$$

Sea $P= \{x_0=0,…,x_{n-1},x_n= \frac{1}{2}\}$ una partición de $[0,\frac{1}{2}].$ Calculemos

\begin{align}
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))= \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) + f(\xi_n)(\alpha(\frac{1}{2}) \, – \, \alpha(x_{n-1}))
\end{align}

Entonces

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) &= \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)\left( \frac{x_i \, – \, x_{i-1}}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)(x_i \, – \, x_{i-1})
\end{align*}

De modo que
\begin{align}
\nonumber \underset{n\to \infty}{lim}\, \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}x \, dx \\
\nonumber &= \frac{1}{2} \frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{\frac{1}{2}}\\
&= \frac{1}{16}.
\end{align}

En cuanto al último intervalo, cuando el tamaño de este tiende a $0$ se satisface

\begin{align}
f(\xi_n)(\alpha(\frac{1}{2}) \, – \, \alpha(x_{n-1})) \, \, \to \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4} \, – \, \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8}
\end{align}

Por lo tanto, haciendo $n \to \infty$ en (3) por (4) y (5) tenemos:

\begin{align}
\textcolor{blue}{\int_{0}^{\frac{1}{2}}x \, d\alpha}= \frac{1}{16}+\frac{1}{8} = \frac{3}{16}
\end{align}

Análogamente se puede verificar que también

\begin{align}
\textcolor{blue}{\int_{\frac{1}{2}}^{1}x \, d\alpha}= \frac{3}{16}
\end{align}

En cuanto a la integral $\int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha \,$ nota que eligiendo $\frac{1}{k}$ muy pequeñito podemos separarla como

\begin{align}
\int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha = \int_{-\infty}^{-\frac{1}{k}}x \, d\alpha + \int_{-\frac{1}{k}}^{0}x \, d\alpha
\end{align}

Evidentemente, la primera parte $\int_{-\infty}^{-\frac{1}{k}}x \, d\alpha \,$ se anula. La otra integral $\int_{-\frac{1}{k}}^{0}x \, d\alpha \,$ se puede calcular con sumas de Riemann-Stieltjes: Si $P=\{x_0= \frac{1}{k},…,x_n=0\}$ es una partición de $[\frac{1}{k},0]$ el único sumando significativo es el último donde $f(\xi_n)(\alpha(x_{0}) \, – \, \alpha(x_{n-1})) \, \to \, 0(\frac{1}{4} \, – \, 0)=0.$

Por lo tanto

\begin{align}
\textcolor{PineGreen}{\int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha = 0}.
\end{align}

Es sencillo comprobar que también

\begin{align}
\textcolor{PineGreen}{\int_{1}^{\infty}x \, d\alpha = 0}.
\end{align}

Y así, de (6), (7),(9) y (10) concluimos que
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}x \, d\alpha = \frac{6}{16}= \frac{3}{8}.
\end{align}

Más adelante…

Veremos resultados formales de la integral de Riemann-Stieltjes y algunas de sus propiedades.

Tarea moral

1. Resuelve los detalles pendientes de esta entrada que se fueron indicando.
2. Sea $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}\, $ una función escalonada, calcula $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ con $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua.

Bibliografía

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.