Archivo del Autor: Karen González Cárdenas

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones exponenciales y logarítmicas

Por Karen González Cárdenas

Introducción

En esta entrada veremos un par de tipos de funciones muy particulares: las exponenciales y las logarítmicas. Probablemente en alguno de tus cursos anteriores te encontraste con funciones del tipo:
$\begin{aligned} f (x) & = 3^{x} & g (x) & = l n (x) \end{aligned}$

Aquí veremos su representación gráfica, ejercicios relacionados y algunos resultados importantes, como las leyes de los exponentes y de los logaritmos. Se profundizará más en este conjunto de funciones en el curso de Cálculo Diferencial e Integral II.

Funciones exponenciales

Definición (función exponencial): Sea $f$ una función. Decimos que $f$ es una función exponencial si está definida como:
$f : R \to (0, \infty)$
$f (x) = a^{x}$
con $a \in R$ y $a > 0$ .
En este tipo de funciones tenemos que la variable $x$ está como exponente.
Observemos que tenemos los siguientes casos:

Veamos que al tomar $a = 1$ tenemos que su gráfica se vería:
$f (x) = 1^{x}$

Leyes de los exponentes

Teorema (Leyes de los exponentes): Consideremos a $a, m, n \in R$ y $a > 0$ . Vemos que se cumplen las siguientes propiedades:

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$
$(a^{n})^{m} = a^{(n \cdot m)}$
$a^{0} = 1$
$a^{- 1} = \frac{1}{a}$
$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
$a^{n - m} = \frac{a^{n}}{a^{m}}$
$a^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{a}$
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}$

Por el momento no daremos las pruebas pertinentes, ya que las herramientas necesarias se verán durante el próximo curso de cálculo. Así pasaremos a revisar otros resultados relacionados a las funciones exponenciales.

Otros resultados sobre funciones exponenciales

Proposición: Consideremos $a > 0$ y $r = \frac{p}{q} \in Q$ .

Si $a > 1$ y $r > 0$ entonces $a^{r} > 1$
Si $0 < a < 1$ y $r > 0$ entonces $a^{r} < 1$
Si $a > 1$ y $r < 0$ entonces $a^{r} < 1$
Si $0 < a < 1$ y $r < 0$ entonces $a^{r} > 1$

Demostración:

Como $a > 1$ se sigue que:
$\begin{aligned} a > 1 & \Rightarrow \sqrt[q]{a} > \sqrt[q]{1} \\ \Rightarrow (\sqrt[q]{a})^{p} > (\sqrt[q]{1})^{p} \\ \Rightarrow a^{\frac{p}{q}} > 1 \\ \Rightarrow a^{r} > 1 \end{aligned}$
Ahora tenemos que $0 < a < 1$ :
$\begin{aligned} \Rightarrow \sqrt[q]{a} < \sqrt[q]{1} \\ \Rightarrow (\sqrt[q]{a})^{p} < (\sqrt[q]{1})^{p} \\ \Rightarrow a^{r} < 1 \end{aligned}$
Tarea moral
Ya que $0 < a < 1$ observamos que:
$1 < \frac{1}{a}$
Adicionalmente como $r < 0$ se sigue:
$\begin{aligned} \Rightarrow {(\frac{1}{a})}^{r} < 1 \\ \Rightarrow (a^{- 1})^{r} < 1 \\ \Rightarrow a^{- r} < 1 \\ \Rightarrow \frac{1}{a^{r}} < 1 \\ \Rightarrow 1 < a^{r} \end{aligned}$

Teorema: Sea $f : A \subseteq R \to R$ .

Si $f$ es una función creciente $\Rightarrow f$ es inyectiva.
Si $f$ es una función decreciente $\Rightarrow f$ es inyectiva.

Demostración de 1:
Tomemos $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que $x_{1} \neq x_{2}$ por lo que tenemos los siguientes casos:
Caso 1: Si $x_{1} > x_{2}$ entonces al aplicar la función $f$ tenemos
$f (x_{1}) > f (x_{2}) .$
Por lo que:
$f (x_{1}) \neq f (x_{2}) .$

Caso 2: Ahora si $x_{1} < x_{2}$ y aplicamos la función $f$
$f (x_{1}) < f (x_{2}) .$
Así:
$f (x_{1}) \neq f (x_{2}) .$
De los casos anteriores concluimos que $f$ es inyectiva.

Afirmación: Si tenemos $a > 0$ y $f : R \to R^{+}$
$f (x) = a^{x}$

Si $a > 1$ entonces $f$ es creciente.
Si $0 < a < 1$ entonces $f$ es decreciente.

Demostración:

Si $a > 1$ y tomamos $x < y$ entonces $y - x > 0$
$\begin{aligned} \Rightarrow a^{y - x} > 1 \\ \Rightarrow \frac{a^{y}}{a^{x}} > 1 \\ \Rightarrow a^{y} > a^{x} \end{aligned}$
En cambio si $0 < a < 1$ y ahora consideramos $x < y$ . Queremos probar que:
$f (x) > f (y)$
$\begin{aligned} x < y & \Rightarrow y - x > 0 \\ \Rightarrow a^{y - x} < 1 \\ \Rightarrow \frac{a^{y}}{a^{x}} < 1 \\ \Rightarrow a^{y} < a^{x} \\ \Rightarrow f (y) < f (x) \end{aligned}$

Observación: Si $a > 0$ y $a \neq 1$ entonces $f (x) = a^{x}$ es inyectiva.
Observación: $f (x) = a^{x}$ es sobreyectiva.

Ahora hablemos del número $e$

Si consideramos $a = e$ donde:
$e = 2.718282 \dots$
que es llamado el número de Euler.
Obtenemos la función:
$f (x) = e^{x},$
llamada función exponencial, ésta es quizá las más conocida de este tipo de funciones.

Su gráfica se ve del siguiente modo:

¿Y su función inversa?

Si tomas la función $f (x) = a^{x}$ , la función identidad y reflejamos su gráfica, obtenemos que $f^{- 1}$ se ve como:

Observamos que $f^{- 1}$ esta definida como:
$f^{- 1} : (0, \infty) \to R$
que vemos también cumple ser inyectiva.
A $f^{- 1} (x)$ la denotaremos por:
$f^{- 1} (x) = l o g_{a} (x) .$

Funciones logarítmicas

Definición (función logarítmica): Sea $g$ una función en los reales. Decimos que $g$ es una función logarítmica si:
$g : (0, \infty) \to R$
$g (x) = l o g_{a} (x)$
donde $l o g_{a} (x)$ se lee como logaritmo base $a$ de $x$ .
Notación:

Si tomamos $a = e$ :
$l o g_{e} (x) := l n (x)$
llamado logaritmo natural de $x$ .
Si tomamos $a = 10$ escribiremos:
$l o g_{10} (x) := l o g (x)$

Leyes de los logaritmos

Teorema (Leyes de los logaritmos): Sean $a \in (0, \infty)$ con $a \neq 1$ , $x, y \in (0, \infty)$ y $r \in R$ . Tenemos que se cumplen las siguientes igualdades:

$l o g_{a} (x \cdot y) = l o g_{a} (x) + l o g_{b} (y)$
$r l o g_{a} (x) = l o g_{a} (x^{r})$
$l o g_{a} (\frac{x}{y}) = l o g_{a} (x) - l o g_{a} (y)$

Demostración:
Tomemos $l o g_{a} (x) = z$ y $l o g_{a} (y) = w$ y notemos que:
$\begin{aligned} a^{z} & = x & a^{w} & = y \end{aligned}$

Para este punto consideremos el producto de $x$ con $y$ :
$\begin{aligned} x \cdot y & = a^{z} \cdot a^{w} \\ = a^{z + w} \end{aligned}$
Así sustituyendo al logaritmo del producto tenemos:
$\begin{aligned} l o g_{a} (x \cdot y) & = l o g_{a} (a^{z + w}) \\ = z + w \\ = l o g_{a} (x) + l o g_{a} (y) \end{aligned}$
Ahora si elevamos $a^{z} = x$ a la $r$ obtenemos:
$(a^{z})^{r} = x^{r} \Rightarrow a^{r z} = x^{r}$
Tomando el $l o g_{a} (x^{r})$ se sigue:
$\begin{aligned} l o g_{a} (x^{r}) & = l o g_{a} (a^{r z}) \\ = r z \\ = r l o g_{a} (x) \end{aligned}$
Por último veamos que:
$x = \frac{x}{y} \cdot y$
Tomando lo anterior y aplicando logaritmo:
$\begin{aligned} l o g_{a} (x) & = l o g_{a} (\frac{x}{y} \cdot y) \\ = l o g_{a} (\frac{x}{y}) + l o g_{a} (y) \end{aligned}$
Reacomodando obtenemos:
$l o g_{a} (\frac{x}{y}) = l o g_{a} (x) - l o g_{a} (y)$

Cambio de base de logaritmos

Proposición (Cambio de base): Consideremos $a, b \in (0, \infty)$ donde $a \neq 1, b \neq 1$ , $x \in R$ y $y > 0$ . Se cumplen las siguientes propiedades:

$a^{x} = b^{x l o g_{b} (a)}$
$l o g_{a} (y) = \frac{l o g_{b} (y)}{l o g_{b} (a)}$

Demostración:

Si aplicamos la segunda ley de los logaritmos en la siguiente igualdad y simplificamos tenemos:
$\begin{aligned} b^{x l o g_{b} (a)} & = b^{l o g_{b} (a^{x})} \\ = a^{x} . \end{aligned}$
Como $y > 0$ entonces podemos considerar $x = l o g_{a} (y)$ . Así sustituyendo en el punto 1:
$\begin{aligned} a^{l o g_{a} (y)} & = b^{l o g_{a} (y) l o g_{b} (a)} . \end{aligned}$
De lo anterior tenemos:
$y = b^{l o g_{a} (y) l o g_{b} (a)} .$
Tomando el logaritmo base $b$ en ambos lados de la igualdad:
$\begin{aligned} l o g_{b} (y) & = l o g_{b} (b^{l o g_{a} (y) l o g_{b} (a)}) \\ = l o g_{a} (y) \cdot l o g_{b} (a) \end{aligned}$
$∴ l o g_{a} (y) = \frac{l o g_{b} (y)}{l o g_{b} (a)} .$

Ejercicio

Resuelve la ecuación:
$l o g_{4} (l o g_{3} (l o g_{2} (x))) = 0.$
Solución:
Comenzaremos realizando un cambio de variable considerando:
$β = l o g_{3} (l o g_{2} (x)) .$
Por lo que tendríamos:
$l o g_{4} (β) = 0.$
Lo anterior implica que:
$4^{l o g_{4} (β)} = 4^{0} = 1.$
$∴ β = 1$
$∴ l o g_{3} (l o g_{2} (x)) = 1$
Procedemos con un razonamiento similar para $l o g_{3} (l o g_{2} (x)) = 1$ :
$3^{l o g_{3} (l o g_{2} (x))} = 3^{1} = 3.$
Por lo que concluimos:
$l o g_{2} (x) = 3.$
Finalmente, de $l o g_{2} (x) = 3$ obtenemos:
$2^{l o g_{2} (x)} = 2^{3} = 8.$
Así tenemos que el valor para $x$ sería:
$x = 8.$

Realizando la comprobación vemos que se cumple:
$\begin{aligned} l o g_{4} (l o g_{3} (l o g_{2} (x))) & = l o g_{4} (l o g_{3} (l o g_{2} (8))) \\ = l o g_{4} (l o g_{3} (3)) \\ = l o g_{4} (1) \\ = 0 \end{aligned}$
$∴ l o g_{4} (l o g_{3} (l o g_{2} (x))) = 0.$

Más adelante

Ahora que hemos terminado la unidad de funciones, en la próxima entrada comenzaremos con la unidad dedicada al estudio de un tipo especial de funciones: las sucesiones de números reales. Encontrarás una introducción intuitiva sobre el concepto de sucesión para luego pasar a su definición formal y una serie de ejemplos.

Tarea moral

Demuestra el punto 3 de la Proposición.
Grafica las siguientes funciones:
- $f (x) = l n (x - 2)$
- $f (x) = 1 - e^{x}$
Demuestra que dado $a \in (0, \infty) - {1}$ :
$l o g_{\frac{1}{a}} (x) = - l o g_{a} (x)$
Resuelve los siguientes ejercicios:
- $l o g_{2} (l o g_{3} (l o g_{2} (x))) = 1$
- $l o g_{16} (x) + l o g_{4} (x) + l o g_{2} (x) = 7$

Entradas relacionadas

Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas (Parte 2)
Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones de números reales.
Resto de cursos: Cursos

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas (Parte 2)

Por Karen González Cárdenas

Deja un comentario

Introducción

Ahora que hemos comenzado a revisar las funciones trigonométricas de seno y coseno, en esta entrada veremos las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. De igual manera, revisaremos las funciones inversas y su representación gráfica.

Hablemos de la tangente y la cotangente

Recordemos de la entrada anterior las definiciones:

$\begin{aligned} t a n (θ) & = \frac{s e n (θ)}{c o s (θ)} & c o t (θ) & = \frac{c o s (θ)}{s e n (θ)} \end{aligned}$

Para la función tangente tenemos que su gráfica se vería como:

Observación: La tangente presenta asíntotas en los valores $x = \frac{k π}{2}$ con $k \in Z$ .

Y su rama principal la consideramos definida en el dominio:
$t a n : (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \to R$

Y para la función cotangente su gráfica sería:

Observación: La cotangente presenta asíntotas en los valores $x = k π$ con $k \in Z$ .

Para esta función consideraremos como su rama principal en el siguiente dominio:
$c o t : (0, π) \to R$ .

Ahora la secante y la cosecante

Ya vimos que están definidas como:
$\begin{aligned} s e c (θ) & = \frac{1}{c o s (θ)} & c s c (θ) & = \frac{1}{s e n (θ)} . \end{aligned}$

Comencemos con la gráfica para la función secante:

Observación: La secante presenta asíntotas en los valores $x = \frac{k π}{2}$ con $k \in Z$ .

Notemos que esta función se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función $c o s (θ)$ :

Tomaremos como domino donde la función es invertible a:
$D = [0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π] .$

Para la función cosecante vemos que se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función $s e n (θ)$ :

Observación: La cosecante presenta asíntotas en los valores $x = k π$ con $k \in Z$ .

Para esta función consideraremos al dominio donde es invertible a:
$D = [- \frac{π}{2}, 0) \cup (0, \frac{π}{2}] .$

¿Quiénes son las funciones inversas?

Para poder visualizar las gráficas de cada una de las funciones trigonométricas utilizaremos el método descrito previamente de reflejar la gráfica de la función respecto de la función identidad en el dominio donde es biyectiva o invertible.

Comenzaremos con la inversa de la función $f (x) = s e n (x)$ en el dominio $D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ :

A $f^{- 1} (x)$ la llamaremos arcoseno de $x$ :
$f^{- 1} (x) = a r c s e n (x),$
geométricamente esta función nos da el arco cuyo seno es $x$ valor.

Procederemos de la misma manera con $g (x) = c o s (x)$ en el dominio $D_{g} = [0, π]$ :

Ahora a $g^{- 1}$ la llamaremos arcocoseno de $x$ :
$g^{- 1} (x) = a r c c o s (x)$
y su interpretación geométrica sería el arco cuyo coseno es el valor $x$ .

Dejaremos como ejercicio de Tarea moral realizar la gráfica para la función inversa de $h (x) = t a n (x)$ en el dominio $D_{h} = (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ :
$h^{- 1} (x) = a r c t a n (x),$
la función arcotangente nos da el arco cuya tangente es el valor $x$ .

Más adelante

En la siguiente entrada veremos al conjunto de funciones exponenciales y logarítmicas, sus representaciones gráficas, la relación que existe entre ellas y algunos resultados que cumplen, como las leyes de los exponentes y las leyes de los logaritmos.

Tarea moral

Obtener la gráfica de las siguientes funciones:
- $f (x) = - t a n (x)$
- $f (x) = - 2 s e c (x) + 1$
- $f (x) = a r c t a n (x)$
- $f (x) = 3 - c s c (x)$

Entradas relacionadas

Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas (Parte 1)
Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones exponenciales y logarítmicas.
Resto de cursos: Cursos

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas (Parte 1)

Por Karen González Cárdenas

Deja un comentario

Introducción

De las clases en el bachillerato recordarás las siguientes definiciones, utilizando el triángulo rectángulo de la imagen siguiente:

$\begin{aligned} s e n θ & = \frac{cat op}{hip} = \frac{b}{c} & c s c θ & = \frac{hip}{cat op} = \frac{c}{b} \\ c o s θ & = \frac{cat ad}{hip} = \frac{a}{c} & s e c θ & = \frac{hip}{cat ad} = \frac{c}{a} \\ t a n θ & = \frac{cat op}{cat ad} = \frac{b}{a} & c o t θ & = \frac{cat ad}{cat op} = \frac{a}{b} \end{aligned}$
donde:
cat op = cateto opuesto ; cat ad = cateto adyacente e hip= hipotenusa.

También recordemos que tenemos la siguiente equivalencia:

$360 °$ es equivalente a $2 π$ .

A lo largo de esta entrada veremos las principales características de este conjunto de funciones, sus gráficas y algunas identidades trigonométricas.

Identidades trigonométricas Pitagóricas

Si tomamos a la circunferencia unitaria y un triángulo rectángulo como en la imagen:

Observamos que al sustituir el valor hip $= 1$ en las definiciones anteriores para el $s e n θ$ y el $c o s θ$ tenemos:
$\begin{aligned} s e n θ & = \frac{cat op}{1} & c o s θ & = \frac{cat ad}{1} \\ = cat op & = cat ad \\ = b & = a \end{aligned}$

Dadas las igualdades obtenidas e hip $= 1$ al sustituir para el resto de las funciones tenemos:
$\begin{aligned} t a n θ & = \frac{s e n θ}{c o s θ} & c o t θ & = \frac{c o s θ}{s e n θ} \\ s e c θ & = \frac{1}{c o s θ} & c s c θ & = \frac{1}{s e n θ} \end{aligned}$

Recordemos el conocido Teorema de Pitágoras que nos da una relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo:
$a^{2} + b^{2} = c^{2} .$

Si lo aplicamos al triángulo rectángulo obtenido en la imagen anterior donde:
$\begin{aligned} a & = c o s θ & b & = s e n θ & c & = 1 \end{aligned}$
entonces tenemos la siguiente igualdad:
$\begin{matrix} (1) & c o s^{2} θ + s e n^{2} θ = 1. \end{matrix}$
Si dividimos $(1)$ entre $c o s^{2} θ$ obtenemos:
$\frac{c o s^{2} θ}{c o s^{2} θ} + \frac{s e n^{2} θ}{c o s^{2} θ} = \frac{1}{c o s^{2} θ} .$
Que simplificando sería:
$\begin{matrix} (2) & 1 + t a n^{2} θ = s e c^{2} θ . \end{matrix}$

Ahora bien si decidimos dividir $(1)$ entre $s e n^{2} θ$ :
$\frac{c o s^{2} θ}{s e n^{2} θ} + \frac{s e n^{2} θ}{s e n^{2} θ} = \frac{1}{s e n^{2} θ} .$
Que finalmente sería:
$\begin{matrix} (3) & c o t^{2} θ + 1 = c s c^{2} θ . \end{matrix}$

Las igualdades $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ son llamadas Identidades Pitagóricas:
$\begin{aligned} c o s^{2} θ + s e n^{2} θ & = 1, \\ 1 + t a n^{2} θ & = s e c^{2} θ, \\ c o t^{2} θ + 1 & = c s c^{2} θ . \end{aligned}$

Otras identidades trigonométricas

Otras identidades trigonométricas que son de utilidad son las de suma de ángulos:
$\begin{aligned} c o s (α + β) & = c o s (α) c o s (β) - s e n (α) s e n (β), \\ s e n (α + β) & = c o s (α) s e n (β) + c o s (β) s e n (α) . \end{aligned}$
Para la resta de ángulos tendríamos un par similar:
$\begin{aligned} c o s (α - β) & = c o s (α) c o s (β) + s e n (α) s e n (β), \\ s e n (α - β) & = c o s (α) s e n (β) - c o s (β) s e n (α) . \end{aligned}$
Ahora veremos cómo obtener las identidades para los ángulos dobles:
$\begin{aligned} c o s (2 α) & = c o s (α + α) \\ = c o s (α) c o s (α) - s e n (α) s e n (α) \\ = c o s^{2} α - s e n^{2} α \end{aligned}$
Por lo tanto tendríamos para el coseno de $2 α$ :
$\begin{matrix} (4) & c o s (2 α) = c o s^{2} α - s e n^{2} α . \end{matrix}$
Si procedemos análogamente para el seno de $2 α$ :
$\begin{aligned} s e n (2 α) & = s e n (α + α) \\ = c o s (α) s e n (α) + c o s (α) s e n (α) \\ = 2 s e n (α) c o s (α) \end{aligned}$
Así concluimos que:
$\begin{matrix} (5) & s e n (2 α) = 2 s e n (α) c o s (α) . \end{matrix}$
También tenemos un par de identidades que relacionadas con el $s e n^{2} θ$ y el $c o s^{2} θ$ :
$\begin{aligned} s e n^{2} θ & = \frac{1}{2} (1 - c o s (2 θ)), & c o s^{2} θ & = \frac{1}{2} (1 + c o s (2 θ)) . \end{aligned}$
Se dejará como ejercicios en la Tarea moral obtener este par de igualdades.

Simetrías

Retomando la imagen anterior, si ahora reflejamos al triángulo respecto al eje $x$ , tenemos lo siguiente:

donde observamos los siguiente:
$\begin{aligned} β & = - θ & c_{2} & = 1 & b_{2} = s e n (- θ) \end{aligned}$

Así al considerar a los puntos $p_{1}$ y $p_{2}$ tenemos que estarían definidos de la siguiente manera:
$\begin{aligned} p_{1} & = (c o s (θ), s e n (θ)) & p_{2} & = (c o s (- θ), s e n (- θ)) \end{aligned}$
Resaltamos para $p_{2}$ que:
$p_{2} = (c o s (- θ), s e n (- θ)) = (c o s (θ), - s e n (θ)) .$
de esta igualdad podemos determinar si las funciones seno y coseno son pares o impares, este ejercicio formará parte de la Tarea moral.

Función periódica

Definición (función periódica): Decimos que una función $f$ es periódica si existe $N \in R$ tal que para todo $x \in D_{f}$ cumple que:
$f (x) = f (x + N)$
y $| N |$ se llama periodo de $f$ .
En la siguiente imagen observamos que $α = π$ por lo que tendríamos que el nuevo triángulo agregado es en realidad el original rotado:

Así tendríamos la siguiente definición para los puntos $p_{1}$ y $p_{3}$ :

$\begin{aligned} p_{1} & = (c o s (θ), s e n (θ)) & p_{3} & = (c o s (θ + π), s e n (θ + π)) \end{aligned}$

Si rotamos el triángulo ahora $α = 2 π$ tenemos que $p_{4}$ estaría definido como:
$p_{4} = (c o s (θ + 2 π), s e n (θ + 2 π)) .$

¡Y observamos que obtenemos el triángulo original! Consecuentemente tenemos las siguientes igualdades:
$\begin{aligned} s e n (θ) & = s e n (θ + 2 π), \\ c o s (θ) & = c o s (θ + 2 π) . \end{aligned}$
Aplicando la definición decimos que las funciones seno y coseno son periódicas con periodo $N = 2 π$ .
En las gráficas de las funciones observamos el comportamiento anterior, cada $2 π$ se comienzan a repetir los valores:

Observación: Vemos que para todo $x \in R$ ocurre:
$- 1 \leq s e n (x) \leq 1$
$- 1 \leq c o s (x) \leq 1$
por lo que las funciones seno y coseno son acotadas.

Consideraremos los siguientes dominios donde cada una de las funciones cumple ser inyectiva :
$\begin{array}{r} s e n : [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \to [- 1, 1] \end{array}$

$\begin{array}{r} c o s : [0, π] \to [- 1, 1] \end{array}$

Más adelante

En la próxima entrada, continuaremos con las definiciones de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Por lo tanto, realizaremos un análisis similar al dado para las funciones seno y coseno.

Tarea moral

Obtener las siguientes identidades trigonométricas:
- $s e n^{2} θ = \frac{1}{2} (1 - c o s (2 θ)) .$
- $c o s^{2} θ = \frac{1}{2} (1 + c o s (2 θ)) .$
- $t a n (α + β) = \frac{t a n (α) + t a n (β)}{- t a n (α) t a n (β)} .$
  Sugerencia.-Considera la igualdad:
  $t a n θ = \frac{s e n θ}{c o s θ}$
Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las opciones anteriores:
- $s e n (θ) .$
- $c o s (θ) .$
Obtén la gráfica de las siguientes funciones:
- $f (x) = s e n (x + \frac{π}{2}) .$
- $f (x) = - 2 c o s (x) + 1.$

Entradas relacionadas

Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones polinomiales y racionales. Análisis geométrico de funciones.
Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I:Funciones trigonométricas (Segunda parte)
Resto de cursos: Cursos

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones polinomiales y racionales. Análisis geométrico de funciones

Por Karen González Cárdenas

Deja un comentario

Introducción

Quizás en algunos de tus cursos anteriores te presentaron funciones parecidas a las siguientes:
$\begin{aligned} f (x) & = 4 x^{2} - 3 x + 1, & t (x) & = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{x^{3} + 3}, & k (x) & = x^{3} . \end{aligned}$
Todas pertenecen al conjunto de las funciones algebraicas. A lo largo de esta entrada, veremos las definiciones formales para cada una y comenzaremos a realizar un análisis geométrico con este conjunto de funciones.

Funciones polinomiales

Definición (función polinomial): Sea $f$ una función. Decimos que $f$ es una función polinomial si está definida como:
$p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}$
donde $n \in N \cup {0}$ y los coeficientes $a_{i} \in R$ .

Definición (grado de una función polinomial): Llamamos grado de p(x) a la potencia mayor de $x$ con un coeficiente $a_{i} \neq 0$ .
Ejemplos:

$g (x) = 120 x^{10} + 34 x^{6} + 14$
el grado de $g (x)$ es $10$
$h (x) = π x^{3} + 2 π x^{2} + x$
el grado de $h (x)$ es $3$

Una observación importante es que las funciones del tipo $f (x) = x^{n}$ con $n \in N$ , mejor conocidas como potencias de $x$ , son un caso particular de las funciones polinomiales.

Funciones racionales

Definición (función racional): Consideremos $g$ una función. Diremos que $g$ es una función racional si está definida como el cociente de dos polinomios:
$g (x) = \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}}{b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{0}}$
donde $n \in N \cup {0}$ , los coeficientes $a_{i}, b_{i} \in R$ y $b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{0} \neq 0$ .

Ejemplos:

$h (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 3}$
$g (x) = \frac{x}{x^{3} + 1}$

Análisis geométrico

En numerosas ocasiones tendremos la necesidad de realizar un bosquejo de la gráfica de una función. Para ello nos basaremos en la gráfica de una función conocida previamente y la siguiente serie de elementos donde consideremos a $f (x)$ una función en los reales y a $α$ una constante:
Traslaciones

Para $h (x) = f (x) + α$ con $α > 0$ tenemos que la gráfica de $h$ es la gráfica de $f$ trasladada verticalmente $α$ unidades hacia arriba (sobre el eje $y$ ).
Y para $h (x) = f (x) - α$ con $α > 0$ la gráfica de $h$ es la gráfica de $f$ trasladada verticalmente $α$ unidades hacia abajo (sobre el eje $y$ ).
Ahora si $h (x) = f (x - c)$ con $α > 0$ entonces la gráfica de $h$ sería la gráfica de $f$ trasladada horizontalmente $α$ unidades hacia la derecha (sobre el eje $x$ ).
En cambio si $h (x) = f (x + c)$ con $α > 0$ entonces la gráfica de $h$ sería la gráfica de $f$ trasladada horizontalmente $α$ unidades hacia la izquierda (sobre el eje $x$ ).

Consideremos los siguientes ejemplos para $f (x) = x^{2}$ :

Ampliaciones y reducciones

Si $g (x) = f (α x)$ con $α > 1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ comprimida horizontalmente (sobre el eje $x$ ).
Para $g (x) = f (α x)$ con $0 < α < 1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ expandida horizontalmente (sobre el eje $x$ ).
Y para $g (x) = f (α x)$ con $α < - 1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ comprimida horizontalmente (sobre el eje $x$ ) y reflejada respecto del eje $y$ .
Finalizamos con $g (x) = f (α x)$ con $- 1 < α < 0$ su gráfica sería la gráfica de $f$ expandida horizontalmente (sobre el eje $x$ ) y reflejada respecto del eje $y$ .

Observación: Si $α = 1$ vemos que $f ((1) x) = f (x)$ por lo que no hay cambios.

Ahora bien si $g (x) = α f (x)$ donde $α > 1$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ expandida verticalmente (sobre el eje $y$ ).
Cuando $g (x) = α f (x)$ donde $0 < α < 1$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ comprimida verticalmente (sobre el eje $y$ ).
Si $g (x) = α f (x)$ donde $- 1 < α$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ expandida verticalmente (sobre el eje $y$ ) y reflejada respecto del eje $x$ .
Para $g (x) = α f (x)$ donde $- 1 < α < 0$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ comprimida verticalmente (sobre el eje $y$ ) y reflejada respecto del eje $x$ .

Observación: Para $α = 1$ tenemos que $(1) (f (x)) = f (x)$ .

Hablemos sobre la función inversa

Recordemos que si tenemos $f : A \to B$ una función esto significa que:
$G r a f (f) = {(x, f (x)) : x \in A} .$

Ahora si consideramos a $f$ una función invertible, vemos que para $f^{- 1} : B \to A$ ocurre:
$G r a f (f^{- 1}) = {(f (x), x) : f (x) \in B} .$
Esto nos permite observar que un punto $(y, x) \in G r a f (f^{- 1})$ es la reflexión ortogonal del punto $(x, y) \in G r a f (f)$ respecto a la función identidad.

De este modo podemos obtener la gráfica de $f^{- 1}$ reflejando ortogonalmente la gráfica de $f$ respecto a la identidad.

En este ejemplo tomamos la función $f (x) = x^{2}$ en el dominio donde cumple ser biyectiva por lo que su función inversa sería $h (x) = \sqrt{x}$ :

En la sección de Tarea moral encontrarás algunos ejercicios que te ayudarán a poner en práctica lo desarrollado en esta entrada.

Más adelante

En la siguiente entrada, comenzaremos a revisar el conjunto de las funciones trigonométricas. Veremos sus definiciones, algunas identidades trigonométricas que serán de utilidad y sus gráficas.

Tarea moral

Realiza las gráficas de las siguientes funciones dado que $f (x) = x^{3}$ :

$f (x) + 4$
$f (x - 3) + 2$
$f^{- 1} (x)$
$f (2 x)$
$2 f (x)$

Entradas relacionadas

Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones crecientes y decrecientes. Funciones acotadas.
Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas. (Primera parte)
Resto de cursos: Cursos

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones crecientes y decrecientes. Funciones acotadas

Por Karen González Cárdenas

Deja un comentario

Introducción

Continuando ahora con las funciones crecientes y decrecientes, veremos qué condiciones se deben cumplir para determinar si una función crece o decrece en un intervalo. De igual manera, veremos cuándo una función es no creciente o no decreciente para finalizar con la definición de función acotada.

Definición de función creciente y decreciente

Definición: Sea $f : A \to B$ una función con $A, B \subseteq R$ .

Decimos que $f$ es una función creciente si y sólo si para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que
$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}) .$
Decimos que $f$ es una función decreciente si y sólo si para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que
$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{2}) < f (x_{1}) .$

Definición de función no creciente y no decreciente

Definición: Consideremos a la función $f : A \to B$ .

Llamamos a $f$ una función no creciente (que decrece o permanece igual) si y sólo si para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ que cumplen
$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{2}) \leq f (x_{1}) .$
Llamamos a $f$ una función no decreciente (que crece o permanece igual) si y sólo si para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ que cumplen
$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2}) .$

Ejemplo 1

Veamos que para la función definida como:
$f (x) = x^{2}$

Tenemos las siguientes observaciones:

Es creciente en el intervalo $[0, \infty)$ .
Es decreciente en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Demostración:

Sea $0 \leq x_{1} < x_{2}$ así se sigue que:
$\begin{aligned} \Rightarrow x_{1}^{2} < x_{2}^{2} \\ \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}) \end{aligned}$
$∴ f$ es creciente en $[0, \infty)$ .
Ahora tomemos $x_{1} < x_{2} < 0$
$\begin{aligned} (Multiplicando por - 1) & \Rightarrow 0 < - x_{2} < - x_{1} \\ (por 1.) & \Rightarrow f (- x_{2}) < f (- x_{1}) \\ \Rightarrow (- x_{2})^{2} < (- x_{1})^{2} \\ \Rightarrow x_{2}^{2} < x_{1}^{2} \\ \Rightarrow f (x_{2}) < f (x_{1}) \end{aligned}$
$∴ f$ es decreciente en $(- \infty, 0)$ .

Ejemplo 2

Para la función $g (x) = x^{2} - 5 x + 2$ probaremos que es creciente en el intervalo $[0, \infty)$ .

Tomemos $x_{1}, x_{2} \in [0, \infty)$ tales que $x_{1} < x_{2}$ . Queremos demostrar que $g (x_{1}) < g (x_{2})$ por lo que desarrollamos lo siguiente:
$\begin{aligned} (restando - 5) & x_{1} < x_{2} & \Rightarrow x_{1} - 5 < x_{2} - 5 \\ (multiplicando por x_{1} y x_{2}) & \Rightarrow x_{1} (x_{1} - 5) < x_{2} (x_{2} - 5) \\ \Rightarrow x_{1}^{2} - 5 x_{1} < x_{2}^{2} - 5 x_{2} \\ (sumado 2) & \Rightarrow x_{1}^{2} - 5 x_{1} + 2 < x_{2}^{2} - 5 x_{2} + 2 \\ \Rightarrow g (x_{1}) < g (x_{2}) \end{aligned}$
Así concluimos que $g$ es creciente en el intervalo $[0, \infty)$ .

Algunos teoremas

Teorema: Sean $f, g : D \subseteq R \to R$ si $f$ y $g$ son crecientes en $D$ tales que
$f (x) > 0$ y $g (x) > 0$ para todo $x \in D \Rightarrow f g$ es creciente en D.
Demostración:
Tomemos $x_{1}, x_{2} \in D$ tales que $x_{1} < x_{2}$ . Queremos probar que:
$(f g) (x_{1}) < (f g) (x_{2}) .$
Es decir, queremos ver que se cumple la siguiente desigualdad:
$f (x_{1}) g (x_{1}) < f (x_{2}) g (x_{2}) .$
Observemos que por hipótesis tenemos que se cumplen para todo $x \in D$ las siguientes desigualdades:

$f (x) > 0$ y $g (x) > 0$ .
$f (x_{1}) < f (x_{2})$ ya que $f$ es creciente.
$g (x_{1}) < g (x_{2})$ ya que $g$ es creciente.

De los puntos 2 y 3 al realizar el producto obtenemos:
$f (x_{1}) g (x_{1}) < f (x_{2}) g (x_{2}) .$

Teorema: Si tenemos una función $f$ tal que:

$f$ par y creciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es decreciente en $(- \infty, 0)$ .
$f$ par y decreciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es creciente en $(- \infty, 0)$ .
$f$ impar y creciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es creciente en $(- \infty, 0)$ .
$f$ impar y decreciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es decreciente en $(- \infty, 0)$ .

La demostración de los puntos 1,2 y 3 se dejarán como ejercicios para el lector en la Tarea moral de esta entrada.

Demostración del punto 4:

Queremos probar que $f$ es decreciente en $(- \infty, 0)$ .
Tenemos por hipótesis que $f$ es una función impar, así por definición:
$f (- x) = - f (x) .$
Ahora si tomamos $0 < x_{1} < x_{2}$ ocurre que:
$\begin{aligned} f (- x_{1}) & = - f (x_{1}) & f (- x_{2}) & = - f (x_{2}) \end{aligned}$
Vemos que si multiplicamos por $- 1$ las igualdades anteriores tenemos la siguiente equivalencia:
$\begin{aligned} (6) & - f (- x_{1}) & = f (x_{1}) & - f (- x_{2}) & = f (x_{2}) \end{aligned}$

Como $f$ es una función decreciente en $[0, \infty)$ para $x_{1}$ y $x_{2}$ se sigue:
$f (x_{2}) < f (x_{1}) .$
Aplicando $(1)$ tendríamos la siguiente desigualdad:
$- f (- x_{2}) < - f (- x_{1}) .$
donde $- x_{1}, - x_{2} \in (- \infty, 0)$ .

Definición de función acotada

Definición: Sea $f : A \to B$ . Decimos que:

$f$ está acotada superiormente $\Leftrightarrow$ existe $M \in R$ tal que $f (x) \leq M$ para todo $x \in A$ .

La gráfica de $f$ queda por debajo del valor $M$ .

$f$ está acotada inferiormente $\Leftrightarrow$ existe $m \in R$ tal que $m \leq f (x)$ para todo $x \in A$ .

La gráfica de $f$ queda por arriba del valor $m$ .

$f$ está acotada $\Leftrightarrow$ existe $m, M \in R$ tal que $m \leq f (x) \leq M$ para todo $x \in A$ .

La gráfica de $f$ queda entre los valores de $M$ y $m$ .

Una equivalencia para la última definición sería:
$f$ está acotada $\Leftrightarrow$ existe $N \in R$ tal que $| f (x) | \leq N$ para todo $x \in A$ .

La gráfica de $f$ queda entre los valores de $N$ y $- N$ .

$f$ no está acotada $\Leftrightarrow$ para toda $M > 0$ existe $x_{M} \in A$ tal que $| f (x_{M}) | > M$ .

Ejemplo 1

Si tenemos la función $f : R^{+} \to R$ definida como:
$f (x) = \sqrt{x} .$

Probaremos que $f$ no es acotada en su dominio.
Demostración: Consideremos a $M > 0$ y a $x_{M} = (M + 1)^{2}$ donde $x_{M} \in D_{f}$ . Así al evaluar la función en $x_{M}$ tenemos:
$\begin{aligned} f (x_{M}) & = f ((M + 1)^{2}) \\ = \sqrt{(M + 1)^{2}} \\ = M + 1 \end{aligned}$
aquí observamos siempre ocurre que: $M + 1 > M$
$∴ f$ es no acotada en su dominio.

Ejemplo 2

Ahora si consideramos la función $g : (0, \infty) \to R^{+}$ definida como:
$g (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} .$

Veremos ahora que $g$ no es acotada en su dominio.
Demostración: Sea $N > 0$ y a $x_{N} \in D_{g}$ definida como:
$x_{N} = \frac{1}{(N + 1)^{\frac{3}{2}}} .$
Al tomar $g (x_{N})$ tenemos:
$\begin{aligned} g (x_{N}) & = g (\frac{1}{(N + 1)^{\frac{3}{2}}}) \\ = \frac{1}{{(\frac{1}{(N + 1)^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{2}{3}}} \\ = \frac{1}{\frac{1}{N + 1}} \\ = N + 1 \end{aligned}$
donde $N + 1 > N$ por lo que conluimos que $g$ es no acotada en su dominio.

Más adelante

En la siguiente entrada, veremos un conjunto de funciones muy particular: las funciones polinomiales. Adicionalmente, revisaremos las funciones racionales. Para ambos tipos de funciones, examinaremos su definición y algunos ejemplos.

Tarea moral

Dada la función $f (x) = x^{3}$ . Demuestra que:
- $f$ es creciente en $[0, \infty)$ .
- $f$ es creciente en $(- \infty, 0)$ .
Demuestra los puntos 1, 2 y 3 del Teorema:
- $f$ par y creciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es decreciente en $(- \infty, 0)$ .
- $f$ par y decreciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es creciente en $(- \infty, 0)$ .
- $f$ impar y creciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es creciente en $(- \infty, 0)$ .
Demuestra que la función $h : (0, 1) \to R$ definida como:
$h (x) = \frac{1}{x^{3}}$
no es acotada en su dominio.

Entradas relacionadas

Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones pares e impares.
Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones polinomiales y racionales. Análisis geométrico de funciones.
Resto de cursos: Cursos

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Introducción

Funciones exponenciales

Leyes de los exponentes

Otros resultados sobre funciones exponenciales

Ahora hablemos del número e

¿Y su función inversa?

Funciones logarítmicas

Leyes de los logaritmos

Cambio de base de logaritmos

Ejercicio

Más adelante

Tarea moral

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Introducción

Hablemos de la tangente y la cotangente

Ahora la secante y la cosecante

¿Quiénes son las funciones inversas?

Más adelante

Tarea moral

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Introducción

Identidades trigonométricas Pitagóricas

Otras identidades trigonométricas

Simetrías

Función periódica

Más adelante

Tarea moral

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Introducción

Funciones polinomiales

Funciones racionales

Análisis geométrico

Hablemos sobre la función inversa

Más adelante

Tarea moral

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Introducción

Definición de función creciente y decreciente

Definición de función no creciente y no decreciente

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Algunos teoremas

Definición de función acotada

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Más adelante

Tarea moral

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Ahora hablemos del número $e$