Introducción
En la entrada anterior hablamos del algoritmo de la división. Dados dos números enteros
La divisibilidad se da cuando pasa una situación especial en el algoritmo de la división: cuando el residuo obtenido es igual a cero. Es decir, cuando podemos escribir
Definición de divisibilidad
La noción fundamental que estudiaremos en esta entrada es la de divisibilidad. La definición crucial es la siguiente.
Definición. Sean
Ejemplo. El número
Por otro lado, el
Propiedades básicas de divisibilidad
La siguiente proposición habla de algunas de las propiedades básicas de la divisibilidad. Las enunciaremos y daremos sus demostraciones para poner en práctica nuestra definición de divisibilidad.
Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.
- Los enteros
y dividen a cualquier otro entero. - El entero
es divisible por cualquier entero. - Es reflexiva, es decir para cualquier entero
se tiene que . - Es transitiva, es decir si
son enteros tales que y , entonces .
Demostración. A continuación demostramos la demostración, inciso por inciso.
- Recordemos que si
es un entero, entonces . Esto nos dice que divide a . Además, por las propiedades de las operaciones en los números enteros tenemos lo siguiente:
Aquí estamos usando que , la asociatividad del producto en los números enteros y que . En resumen, obtenemos que , lo cual nos dice que . - Aquí notamos que para cualquier entero
tenemos que . Así, . - Anteriormente usamos que
para concluir . Así mismo, al usar obtenemos que . - Veamos la transitividad. Supongamos que
son enteros tales que y . Por definición de divisibilidad podemos encontrar enteros y tales que y . Substituyendo el valor de de la primera igualdad en la segunda y usando asociatividad obtenemos que: Esto precisamente nos dice que .
Divisibilidad y operaciones en los enteros
La divisibilidad se comporta bien con las operaciones en los números enteros. En la siguiente proposición encontramos algunas de las propiedades que vuelven esto un poco más preciso.
Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.
- Para enteros
, si y , entonces . - Para enteros
, si , entonces . - Para enteros
, , , , se cumple que si y , entonces .
Demostración. Daremos la demostración inciso por inciso:
- Como
y , por definición existen enteros y tales que y . Al hacer la suma y usar la distributividad del producto sobre la suma obtenemos que Esto por definición está diciendo que divide a . - Aquí podemos utilizar una propiedad anterior. Tenemos que
, por lo cual es divisible entre . Es decir, tenemos y . Así, por la transitividad de la divisibilidad, que ya probamos anteriormente, tenemos que . - Este inciso es consecuencia de los dos anteriores y, de hecho, ya no tenemos que usar la definición. Por el segundo inciso, como
, entonces . Así mismo, como , entonces . Finalmente, por el primer inciso, como y , entonces .
Observa que si ponemos
Divisibilidad y orden en los enteros
Hay una tercera clase de propiedades que cumple la noción de divisibilidad: aquellas relacionadas con el orden en los enteros. Veamos esto.
Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.
- Si
y son enteros distintos de cero tales que , entonces . - Si
y son enteros positivos tales que , entonces . - Si
y son enteros tales que y , entonces .
Demostración. Demostraremos la primera afirmación a detalle, pues a partir de ella salen las otras dos de manera prácticamente inmediata.
Tomemos dos enteros
Esto es lo que queríamos demostrar.
Para el segundo inciso, como
En el tercer inciso primero tenemos que descartar algunos casos. Si
Un ejemplo que usa varias propiedades de divisibilidad
¿Por qué es bueno recordar y saber cuándo usar propiedades de la divisibilidad? Porque nos permite simplificar ciertos problemas y resolverlos más fácilmente. Veamos un ejemplo.
Problema. Encuentra todos los divisores del número
Solución. Supongamos que
Por reflexividad tenemos que
De este modo, hasta ahora hemos visto que
El
Podríamos hacer lo mismo con
Más adelante…
La noción de divisibilidad da pie a varios otros conceptos en la teoría de números enteros. Dentro de algunas entradas hablaremos de dos conceptos importantes: el de máximo común divisor y mínimo común múltiplo en los enteros. Sin embargo, antes de hacer esto tomaremos una pequeña desviación para hablar de un concepto un poco abstracto pero bastante útil: los ideales.
Tarea moral
- Encuentra todos los divisores del número
(tanto los positivos, como los negativos) y verifica que en efecto cumplen con la definición dada en esta entrada. - Encuentra contraejemplos para las siguientes afirmaciones:
- Si
, y son enteros tales que y , entonces . - Si
son enteros tales que , entonces o bien o bien .
- Si
- Demuestra las siguientes dos propiedades de la noción de divisibilidad:
- Si
y son enteros positivos tales que y , entonces . - Si
es divisor de con , entonces también es divisor de .
- Si
- Sean
y enteros. Demuestra que divide a si y sólo si divide a . - Sea
un entero positivo, un entero, enteros y enteros. Demuestra que si para todo , entonces .
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Superior II
- Entrada anterior del curso: Algoritmo de la división en
- Siguiente entrada del curso: Ideales en los enteros
- Más información: Máximo común divisor de polinomios y algoritmo de euclides.
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Te felicito, Leonardo Ignacio, por tu nivel académico y por la claridad y contundencia de tus exposiciones!
Hoy comencé a leer tus obras.
Hola Manuel Humberto. Gracias por el comentario. Varias personas trabajamos en que el contenido del blog sea amplio, claro y correcto. Nos da gusto saber que llega a personas como tú que lo pueden aprovechar.