Introducción

En esta entrada daremos la definición formal de qué es un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.

Número natural

Definición. Sea $n$ un conjunto. Decimos que $n$ es un número natural si satisface las siguientes tres condiciones:

1. $n$ es un conjunto transitivo.
2. ${\in }_n$ es un orden total estricto en $n$.
3. Cualquier subconjunto no vacío $z$ de $n$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden ${\in }_n$.

Ejemplo.

Afirmamos que el conjunto $0=\mathrm{\varnothing }$ es un número natural. Veamos por qué. En la entrada anterior vimos que $\mathrm{\varnothing }$ es un conjunto transitivo.

Además, $(\mathrm{\varnothing },{\in }_{\mathrm{\varnothing }})$ es un conjunto totalmente ordenado pues ${\in }_{\mathrm{\varnothing }}=\mathrm{\varnothing }$, por lo que se satisface por vacuidad (en $\mathrm{\varnothing }$) que es una relación asimétrica y transitiva. Asimismo, los elementos de ${\in }_{\mathrm{\varnothing }}$ son comparables por vacuidad (en $\mathrm{\varnothing }$) y por lo tanto, ${\in }_{\mathrm{\varnothing }}$ es un orden total.

Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\ne \mathrm{\varnothing }$ (pues no hay tal) que cumple que $z\subseteq \mathrm{\varnothing }$, se tiene que $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden ${\in }_{\mathrm{\varnothing }}$.

Por lo tanto, $\mathrm{\varnothing }$ es un número natural.

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Elementos de números naturales son números naturales

En esta sección veremos que si $n$ es número natural y $z\in n$, entonces $z$ es número natural. Lo primero que es conveniente hacer es entender la relación ${\in }_z$ en términos de la relación ${\in }_n$.

Lema 1. Si $n$ es un conjunto transtivo, entonces para cualquier $z\in n$ se cumple que ${\in }_n\cap (z\times z)={\in }_z$..

Demostración. En efecto, tenemos que

$$\begin{array}{rl}{\in }_n\cap (z\times z)& =\{(x,y)\in n\times n:x\in y\}\cap (z\times z)\\ & =\{(x,y)\in z\times z:x\in y\}\\ & ={\in }_z.\end{array}$$

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El siguiente lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.

Lema 2. Si $n$ es un conjunto transitivo, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que ${\in }_z$ es un orden total estricto en $z$.

Demostración.

Veamos que ${\in }_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son ${\in }_z$-comparables.

1. Asimetría.
   Procedamos por contradicción. Supongamos que $x,y\in z$ tales que $x{\in }_{z}y$ y $y{\in }_{z}x$. Por el Lema 1, tendríamos que $x{\in }_{n}y$ y $y{\in }_{n}x$, lo cual no puede ocurrir pues ${\in }_n$ es una relación asimétrica. Así, no hay tales $x$ y $y$. Esto muestra que ${\in }_z$ también es una relación asimétrica.
2. Transitividad.
   Sean $x,y,w\in z$ tales que $x{\in }_{z}y$ y $y{\in }_{z}w$. Por el Lema 1, tenemos que $x{\in }_{n}y$ y $y{\in }_{n}w$, lo que implica que $x{\in }_{n}w$ con $x,w\in z$. De nuevo por el Lema 1, se tiene que $x{\in }_{z}w$. Por lo tanto, ${\in }_z$ es transitiva en $z$.
3. ${\in }_z$-comparables.
   Sean $x,y\in z$. Dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$. Como ${\in }_n$ es total, tenemos que $x{\in }_{n}y$ o $y{\in }_{n}x$ o $y=x$. Por el Lema 1, estas posibilidades implican, respectivamente, que $x{\in }_{z}y$ o $y{\in }_{z}x$ o $y=x$, es decir, los elementos de $z$ son ${\in }_z$ comparables.

Por lo tanto, ${\in }_z$ es un orden total en $z$.

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Estamos listos para ver que elementos de naturales son naturales.

Teorema.¹ Si $z\in n$ con $n$ número natural, entonces $z$ también es un número natural.

Demostración.

Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$. Veamos que en $z$ se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición de número natural.

1. $z$ es un conjunto transitivo.
   En efecto, sea $y\in z$. Como $n$ es transitivo y $z\in n$, tenemos que $y\in n$. Si tomamos $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. Como ${\in }_n$ es transitiva, y $w,y,z$ están en $n$, tenemos entonces que $w\in z$. Así, $y\subseteq z$. Concluimos que para cualquier $y\in z$ se tiene que $y\subseteq z$ y, por lo tanto, $z$ es un conjunto transitivo.
2. ${\in }_z$ es un orden total en $z$.
   Por el Lema 2 se tiene que ${\in }_z$ es un orden total estricto en $z$.
3. Subconjuntos no vacíos de $z$ tienen máximo y mínimo con respecto a ${\in }_z$.
   Sea $B\subseteq z$ con $B$ no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a ${\in }_n$. Llamemos a estos elementos $b_1$ y $b_2$, respectivamente. Recordemos que $b_1,b_2$ son elementos de $B$ y, por lo tanto, de $z$ y de $n$.
   Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a ${\in }_z$. Tomemos $b\in B\setminus \{b_1\}$. Como $b\in B$, tenemos que $b\in z$ y por lo tanto $b\in n$. Como $b_1$ es mínimo de ${\in }_n$, tenemos que $b_1{\in }_{n}b$. Por el Lema 1, tenemos entonces que $b_1{\in }_{z}b$. Así, $b_1$ es mínimo de ${\in }_z$. Una demostración análoga muestra que $b_2$ es máximo de ${\in }_z$. Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a ${\in }_z$.

Todo lo anterior nos permite concluir que $z$ es número natural.

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Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjuntos transitivos.

1. Muestra que los conjuntos $1,2,3,4$ que hemos definido previamente en efecto son conjuntos transitivos.
2. Este ejercicio consiste en probar una versión más general del Lema 2. Muestra que si $(x,<)$ es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado, entonces para cualquier subconjunto $y$ de $x$ se tiene que $(y,<\cap (y\times y))$ también es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado.
3. Prueba que si $x\ne \mathrm{\varnothing }$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transitivo.
4. Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcup x$ es un conjunto transitivo
5. Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de de buena fundación.
6. Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales, entonces no puede ocurrir que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de buena fundación.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural. A partir de este nuevo concepto, probaremos propiedades adicionales para los números naturales.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

1. También puedes consultar la prueba de este teorema en: También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998, pp. 91-92. ↩︎