Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del axioma de buena fundación. Este axioma nos permitirá mostrar que no existen conjuntos que se pertenezcan a sí mismos, y como una consecuencia, podremos dar otro argumento que muestra que la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

Acerca del axioma

Axioma de buena fundación. Para cualquier conjunto $X$ no vacío, existe $u\in X$ tal que $u\cap X=\mathrm{\varnothing }$.

En los siguiente ejemplos no será necesario invocar al axioma de buena fundación pues tendremos a todos sus elementos escritos de manera explícita. Sin embargo, ayudarán a entender qué es lo que el axioma de buena fundación siempre garantiza que existe.

Ejemplos.

• Sea $A=\{\mathrm{\varnothing }\}$. El único elemento que tiene $A$ es $\mathrm{\varnothing }$ y en efecto, $A\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$. Esto último ocurre pues no existe ningún conjunto $x$ tal que $x\in \{\mathrm{\varnothing }\}$ y $x\in \mathrm{\varnothing }$.
• Consideremos al conjunto $B=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$. Veamos que existe $u\in B$ tal que $u\cap B=\mathrm{\varnothing }$. Sea $u=\mathrm{\varnothing }\in B$. Luego, es cierto que $u\cap B=\mathrm{\varnothing }$. Por lo tanto, existe $u=\mathrm{\varnothing }\in B$ tal que $u$ y $B$ no tienen elementos en común.

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Observemos que en los ejemplos anteriores, el elemento mencionado por el axioma de buena fundación existe y además es único. Sin embargo, la unicidad de tal elemento no siempre es cierta, como lo demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Tomemos $C=\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\}$. Haciendo un análisis de los elementos del conjunto $C$ tenemos lo siguiente:
– Para $\{\mathrm{\varnothing }\}\in C$ tenemos que $\{\mathrm{\varnothing }\}\cap \{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\}=\mathrm{\varnothing }$ pues $\mathrm{\varnothing }\in \{\mathrm{\varnothing }\}$ pero $\mathrm{\varnothing }\notin \{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\}$.
– Ahora, para $\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\in C$ ocurre que $\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\cap \{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\}=\mathrm{\varnothing }$, pues $\mathrm{\varnothing }$ y $\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ son los únicos elementos de $\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$ y ninguno de ellos es elemento de $C$. Por lo tanto, todos los elementos de $C$ satisfacen lo mencionado en el axioma de buena fundación, lo que muestra que puede haber más de un elemento con tales propiedades dentro de un mismo conjunto.

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Conjuntos que no existen

El axioma de buena fundación juega un papel importante para determinar que ciertos conjuntos no pueden existir. Veamos los siguientes resultados:

Teorema. Para cualquier conjunto $x$, no es cierto que $x\in x$. Es decir, ningún conjunto puede pertenecer a sí mismo.

Demostración.
Supongamos que sí existe un conjunto $x$ tal que $x\in x$. Luego, $\{x\}$ es un conjunto por el axioma de par y su único elemento es $x$. Luego, $x\cap \{x\}\ne \mathrm{\varnothing }$ pues $x\in x\cap \{x\}$. Esto último contradice al axioma de buena fundación. Dado que la contradicción vino de suponer que existe $x$ tal que $x\in x$, resulta que no existe un conjunto que haga tal cosa.

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Teorema. Sean $a$ y $b$ conjuntos no vacíos. No existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

Demostración.
Supongamos que sí existe algún ciclo de la forma $a\in b\in a$. Luego, por el axioma de par podemos considerar al conjunto $\{a,b\}$. Dado que $\{a,b\}$ es un conjunto pequeño podemos analizar qué pasa con cada uno de sus elementos:
– Para $a\in \{a,b\}$ tenemos que $a\cap \{a,b\}\ne \mathrm{\varnothing }$ pues $b\in a$ y $b\in \{a,b\}$,
– Si tomamos a $b\in \{a,b\}$ tenemos que $b\cap \{a,b\}\ne \mathrm{\varnothing }$ pues $a\in b$ y $a\in \{a,b\}$.

Por tanto, para cada $u\in \{a,b\}$, $u\cap \{a,b\}\ne \mathrm{\varnothing }$, lo que contradice al axioma de buena fundación. Así, no existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

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Diferencias entre la pertencia y la contención

Vistos estos teoremas, nos tomaremos el tiempo para establecer las diferencias que hay entre la contención y la pertenencia.

Por un lado, $a\subseteq a$ siempre ocurre para cualquier conjunto $a$, mientras que $a\in a$ ya vimos que es imposible.

Vimos que la contención es transitiva (ver Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia), es decir, si $a\subseteq b$ y $b\subseteq c$, entonces $a\subseteq c$. Resulta que si $a\in b$ y $b\in c$, entonces $a\in c$ no siempre ocurre, es decir, la pertenencia no es transitiva.

Ejemplo.

Consideremos $a=\{\mathrm{\varnothing }\}$, $b=\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ y $c=\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$. Tenemos que $a\in b$ y $b\in c$, sin embargo, $a\notin c$.

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La colección de todos los conjuntos

Anteriormente, probamos con ayuda de la paradoja de Rusell que la colección que tiene como elementos a todos los conjuntos no es un conjunto. En esta sección, reforzaremos esta afirmación utilizando el axioma de buena fundación para demostrar una vez más que está colección no es un conjunto.

Proposición. Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)⊈x$.

Demostración.

Supongamos que $\mathcal{P}(x)\subseteq x$, entonces para cualquier $y\in \mathcal{P}(x)$, $y\in x$. Dado que $x\subseteq x$, entonces $x\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\in x$, lo cual contradice el primer teorema de la sección anterior. Por lo tanto, para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)⊈x$.

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Se puede dar otra prueba del enunciado anterior sin utilizar el axioma de buena fundación.

Proposición. Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)⊈x$.

Demostración.

Sea $X$ un conjunto. Luego, $y=\{x\in X:x\notin x\}$ es un conjunto por esquema de comprensión y está contenido en $X$, por lo que $y\in \mathcal{P}(X)$. Sin embargo, $y\notin X$. En efecto, si $y\in X$ entonces $y\in y$ o $y\notin y$. Si $y\in y$, entonces $y\notin y$ y, si $y\notin y$ entonces $y\in y$. Así, $y\in y$ si y sólo si $y\notin y$, lo cuál es una contradicción. Por lo tanto, $\mathcal{P}(X)⊈X$.

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Teorema. La colección de todos los conjuntos no es conjunto.

Demostración.

Supongamos que existe un conjunto $V$ tal que para todo conjunto $x$, $x\in V$. Por axioma de conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(V)$ es un conjunto. Veamos que $\mathcal{P}(V)\subseteq V$. Si $x\in \mathcal{P}(V)$, entonces, por definición del conjunto potencia, $x$ es un conjunto tal que $x\subseteq V$. En particular, $x$ es un conjunto y, por tanto, $x\in V$. Lo anterior muestra que $\mathcal{P}(V)\subseteq V$, lo cual contradice la proposición anterior.

Por lo tanto, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

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La intersección del conjunto vacío

Si bien la definición de la intersección de un conjunto se hizo únicamente para conjuntos no vacíos, ocurre un hecho interesante sí aplicamos esta definición al conjunto vacío. Al contrario de un conjunto no vacío, la intersección del conjunto vacío no es un conjunto y en realidad describe a la colección de todos los conjuntos. Dejamos plasmado esto en la siguiente afirmación.

Afirmación. $\bigcap \mathrm{\varnothing }$ no es un conjunto.¹

Demostración.

Recordemos que $x\in \bigcap \mathrm{\varnothing }$ si y sólo si para cualquier $y$ tal que $y\in \mathrm{\varnothing }$, $x\in y$. Sea $x$ un conjunto. Luego, por vacuidad, para todo $y\in \mathrm{\varnothing }$, $x\in y$. Consecuentemente, $x\in \bigcap \mathrm{\varnothing }$. De acuerdo al último teorema que probamos en esta entrada podemos concluir que $\bigcap \mathrm{\varnothing }$ no es un conjunto.

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Tarea moral

• Prueba que para $A_0,A_1,A_2,\cdots A_n$ conjuntos, el ciclo $A_0\in A_1\in A_2\in \cdots \in A_n\in A_0$ no existe (Estrictamente hablando, esta demostración requerirá que formalicemos estos «puntos suspensivos». De cualquier forma, intenta dar una demostración inductiva con lo que sabes de este tipo de demostraciones.)
• Sea $A=\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\}$. Exhibe $u\in A$ tal que $u\cap A=\mathrm{\varnothing }$.
• Sea $B=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\}$. Exhibe $u\in B$ tal que $u\cap B=\mathrm{\varnothing }$.
• Da otro ejemplo de una propiedad que describa a la colección de todos los conjuntos.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Asimismo veremos cómo dichos axiomas junto con el esquema de comprensión implican los axiomas que hemos visto hasta ahora. De modo que la siguiente entrada nos servirá para hacer un recordatorio sobre todo lo que hemos visto hasta este momento.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

1. Puedes encontrar una justificación similar de este hecho en: Gómez L. C, Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos (cardinales y ordinales). Las prensas de ciencias, 2011, p. 4. ↩︎