Introducción
En esta entrada resolvemos más problemas para reforzar y aclarar los conceptos vistos anteriormente. Específicamente, resolvemos problemas acerca de espacios vectoriales, subespacios vectoriales y sumas directas.
Problemas resueltos
Problema 1. Muestra que el conjunto de las funciones continuas
Solución: Primero observamos que nuestras operaciones están bien definidas: sabemos que la suma de funciones continuas es continua y si
Ahora veamos que se cumplen los axiomas de espacio vectorial. Recuerda que para mostrar la igualdad de dos funciones, basta con mostrar que son iguales al evaluarlas en cada uno de los elementos de su dominio. En las siguientes demostraciones,
- Si
son parte de nuestro conjunto, entonces
Aquí estamos usando la asociatividad de la suma en - Si
son como en las condiciones, dado que la suma en números reales es conmutativa, . - La función constante
es un neutro para la suma. Sí está en el conjunto pues la función en cualquier número (en particular en ) tiene evaluación . - Dada
continua que se anula en , también es continua y se anula en y . - Si
entonces , por la asociatividad del producto en . - Es claro que la constante
satisface que , pues es una identidad para el producto en . , por la distributividad de la suma en , también por la distributividad de la suma en .
Observa como las propiedades se heredan de las propiedades de los números reales: En cada punto usamos que las operaciones se definen puntualmente, luego aplicamos las propiedades para los números reales, y luego concluimos el resultado (como por ejemplo, en la prueba de la conmutatividad).
Problema 2. Muestra que ninguno de los siguientes es un subespacio vectorial de
- El conjunto
de los vectores tales que . - El conjunto
de todos los vectores en con números enteros por coordenadas. - El conjunto
de todos los vectores en que tienen al menos una coordenada igual a cero.
Solución:
- Notamos que el conjunto
no es cerrado bajo sumas: En efecto, el vector , pues , así como , pues . Sin embargo su suma es , que no es un elemento de . - Mientras que
si es cerrado bajo sumas, no es cerrado bajo producto por escalares. Por ejemplo, , sin embargo , pues la última coordenada no es un número entero. - El conjunto si es cerrado bajo producto por escalares, pero no bajo sumas: Tomando
y en , tenemos que .
Problema 3. Sea
¿Es
Solución: En efecto, podemos verificar que
- Observamos que la función
es dos veces diferenciable y satisface
Es decir . Esto muestra que es no vacío. - Sean
. Sabemos que entonces también es dos veces diferenciable (por ejemplo, de un curso de cálculo). Además
Así . - Finalmente sea
y sea un escalar. Sabemos que es dos veces diferenciable, y además
Luego .
El ejemplo anterior es crucial para la intuición de tu formación matemática posterior. En él aparece una ecuación diferencial lineal homogénea. La moraleja es que «las soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea son un subespacio vectorial». En este curso no nos enfocaremos en cómo resolver estas ecuaciones, pues esto corresponde a un curso del tema. Sin embargo, lo que aprendas de álgebra lineal te ayudará mucho para cuando llegues a ese punto.
Problema 4. Sea
- Verifica que
es un subespacio de . - Encuentra un subespacio
de tal que .
Solución:
- Verificamos los axiomas de subespacio vectorial:
- Tenemos que
, pues . Entonces no es vacío. - Si
entonces . - Si
y entonces .
- Tenemos que
- Proponemos
como el subespacio de todas las funciones tales que con . Verifiquemos que .- Si
entonces , es decir , pero como para algún entonces . Luego . - Dada
, definimos
Observamos que , pues
Además es claro que
donde el sumando de la derecha es de la forma . Así .
- Si
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Sea
dónde
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»