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Álgebra Superior II: Introducción a estructuras algebraicas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

Finalmente terminamos de construir a los números naturales, sus operaciones y su orden. El siguiente conjunto que nos interesa construir es $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números enteros. Haremos esto en breve. Sin embargo, primero haremos un paréntesis para hablar de estructuras algebraicas.

Quizás hayas escuchado hablar de varias de ellas. En cálculo y geometría analítica se habla de los números reales y se comenta que es muy importante que sea un campo. En geometría moderna se habla de transformaciones geométricas y cómo algunas de ellas forman un grupo. También es común escuchar de los anillos de enteros o de polinomios (que estudiaremos más adelante). Y por supuesto, también están los espacios vectoriales, que están fuertemente conectados con resolver sistemas de ecuaciones lineales y hacer cálculo y geometría en altas dimensiones.

Todos estos conceptos (campos, grupos, anillos, espacios vectoriales, etc.) son ejemplos de estructuras algebraicas. Cada tipo de estructura algebraica es muy especial por sí misma y sus propiedades se estudian por separado en distintas materias, notablemente aquellas relacionadas con el álgebra moderna. La idea de esta entrada es dar una muy breve introducción al tema, para que te vayas acostumbrando al uso del lenguaje. Esto te servirá más adelante en tu formación matemática.

Intuición de estructuras algebraicas

De manera intuitiva, una estructura algebraica consiste de tomar un conjunto, algunas operaciones en ese conjunto, y ciertas propiedades que tienen que cumplir las operaciones. Eso suena mucho a lo que hemos trabajado con $\mathbb{N}$: es un conjunto, con las operaciones de suma y producto. Y ya demostramos que estas operaciones tienen propiedades especiales como la conmutatividad, la distributividad y la existencia de neutros.

En realidad podríamos tomar cualquier conjunto y cualquier operación y eso nos daría una cierta estructura.

Ejemplo. Consideremos el conjunto $\mathbb{N}$ con la operación binaria $\star$ tal que $$a\star b=ab+a+b.$$ Tendríamos entonces que $$3\star 1=3\cdot 1+3+1= 7,$$ y que $$10\star 10=10\cdot 10 + 10 + 10 = 120.$$

Es posible que la operación $\star$ tenga ciertas propiedades especiales, y entonces algunas proposiciones matemáticas interesantes consistirían en enunciar las propiedades de $\star$.

$\triangle$

Aunque tenemos mucha libertad en decidir cuál es el conjunto, cuáles son las operaciones que le ponemos y qué propiedades vamos a pedir, hay algunos ejemplos que se aparecen muy frecuentemente en las matemáticas. Aparecen de manera tan frecuente, que ameritan nombres especiales. Comencemos a formalizar esto.

Operaciones binarias y magmas

Dado un conjunto $S$, una operación binaria toma parejas de elementos de $S$ y los lleva a otro elemento de $S$. En símbolos, es una función $\star: S\times S\to S$. Cuando usamos la notación de función, tendríamos que escribir todo el tiempo $\times(a,b)$ para referirnos a lo que esta operación le hace a cada pareja de elementos $a$ y $b$ en $S$. Sin embargo, esto resulta poco práctico, y es por esta razón que se usa mucho más la notación $a\times b:=\times (a,b)$.

Ejemplo. En $\mathbb{N}$ ya definimos la operación binaria $+$, que toma dos enteros $a$ y $b$ y los manda a $s_a(b)$, donde $s_a:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es la función que construimos usando el teorema de recursión estableciendo que $s_a(0)=a$ y $s_a(\sigma(n))=\sigma(s_a(n))$.

$\triangle$

Aquí lo único que nos importa es establecer una operación binaria. No nos importa si tiene otras propiedades adicionales.

Definición. Un magma consiste de un conjunto $S$ con una operación binaria $\ast$.

Otros ejemplos de magma son $\mathbb{N}$ con la operación que dimos en la parte de intuición, o bien $\mathbb{N}$ con el producto que ya definimos. También podemos tener magmas en conjuntos que no sea el de los enteros. Por ejemplo, si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$, y le damos la operación que manda $A$ y $B$ a $A\cup B\cup \{0\}$, entonces también obtenemos un magma.

Conmutatividad

Cuando tenemos un conjunto $S$ y una operación binaria $\star$ en $S$, puede suceder que de lo mismo hacer $a\star b$ que $b\star a$. Esto ya es una propiedad especial que pueden cumplir las operaciones binarias, y tiene un nombre.

Definición. Decimos que una operación binaria $\star$ en un conjunto $S$ es conmutativa si para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $S$ se cumple que $a\star b=b\star a$.

Observa que la igualdad debe suceder para cualesquiera dos elementos. Basta con que falle para una pareja para que la operación ya no sea conmutativa.

Ejemplo. Una de las propiedades que demostramos de la operación de suma en $\mathbb{N}$ es que $s_a(b)=s_b(a)$, es decir, que $a+b=b+a$. En otras palabras, la operación binaria $+$ en $\mathbb{N}$ es conmutativa. Así mismo, vimos que el producto era conmutativo, es decir, que $p_a(b)=p_b(a)$, que en términos de la operación binaria $\cdot$ quiere decir que $a\cdot b=b\cdot a$.

$\triangle$

Más adelante veremos que otras funciones de suma y producto también son conmutativas, por ejemplo, las de los enteros, racionales, reales y complejos. Sin embargo, hay algunas operaciones binarias muy importantes en matemáticas que no son conmutativas. Un ejemplo de ello es el producto de matrices. Otro ejemplo es la diferencia de conjuntos.

Ejemplo. Si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$ y le damos la operación binaria $\setminus$ tal que dados $A$ y $B$ en $P$ los manda a $A\setminus B$, entonces obtenemos un magma. Sin embargo, la operación $\setminus$ no es conmutativa pues, por ejemplo, $$\{1,2,3\}\setminus\{2,3,4\}=\{1\},$$ pero $$\{2,3,4\}\setminus\{1,2,3\}=\{4\}.$$

$\triangle$

En $\mathbb{N}$ no tenemos una operación de resta, como discutiremos en breve. Pero en el conjunto de los enteros sí, y ese sería otro ejemplo de una operación que no es conmutativa.

Asociatividad y semigrupos

Otra de las propiedades importantes que demostramos de la suma y producto de naturales es que son operaciones asociativas. En general, podemos definir la asociatividad para una operación binaria como sigue.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Decimos que $\star$ es asociativa si $a\star (b\star c)=(a\star b)\star c$ para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$.

Tanto la suma como el producto de naturales dan una operación asociativa pues ya demostramos que si $a,b,c$ son naturales, entonces $a+(b+c)=(a+b)+c$ y $a(bc)=(ab)c$. Esta propiedad también la tendremos para la suma y producto de enteros, racionales, reales, complejos, polinomios, etc.

A partir de la asociatividad podemos definir la primer estructura algebraica que requiere un poco más de propiedades.

Definición. Un semigrupo es un conjunto $S$ con una operación asociativa $\star$.

Si además $\star$ es una operación conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. En realidad, en cualquiera de las definiciones que daremos a continuación podemos agregar el adjetivo «conmutativo» y esto querrá decir que además de las propiedades requeridas, también se cumple que la operación es conmutativa.

En los semigrupos (y demás estructuras con asociatividad) tenemos la ventaja de que podemos «olvidarnos de los paréntesis» sin la preocupación de que haya ambigüedad. Por ejemplo, en los naturales la expresión $3+((2+4)+8)$ se puede escribir simplemente como $3+2+4+8$, pues cualquier otra forma de poner paréntesis, como $(3+2)+(4+8)$, debe dar exactamente el mismo resultado por asociatividad.

Ejemplo. Una operación que no es asociativa es la resta en los enteros. Aunque no hemos definido formalmente esta operación, es intuitivamente claro que $3-(2-1)$ no es lo mismo que $(3-2)-1$.

$\triangle$

Unidades y magmas unitales

A veces sucede que algunos elementos de un conjunto «no afectan a nadie» bajo una cierta operación binaria dada. Por ejemplo, en los naturales «sumar cero» no cambia a ningún entero.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Una unidad o neutro para $\star$ es un elemento $e$ en $S$ para el cual se cumple que para cualquier elemento $a$ de $S$ se tenga $a\star e = a$ y $e\star a = a$.

Observa que es muy importante pedir las dos igualdades de la definición. Si una se cumple, no necesariamente tiene que pasar la otra, pues no necesariamente la operación es conmutativa. Por supuesto, si ya se sabe que la operación es conmutativa, entonces basta con ver una de ellas.

En $\mathbb{Z}$ tenemos las operaciones de suma y producto. Para no confundir a sus neutros, a $0$ le llamamos el neutro aditivo para hacer énfasis que es el neutro de la suma. Y a $1$ le llamamos el neutro multiplicativo para hacer énfasis que es el neutro del producto. Entre las propiedades que probamos, en efecto vimos que $a+0=a=0+a$ y que $a\cdot 1 = a = 1\cdot a$ para cualquier entero $a$.

Definición. Un magma unital es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que tiene un neutro.

El conjunto de naturales con la operación $\star$ que dimos en la sección de intuición también es un magma unital. ¿Puedes decir quién es su neutro?

Monoides

Se puede pedir más de una propiedad a una operación binaria y entonces obtenemos estructuras algebraicas más especiales.

Definición. Un monoide es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que es asociativa y que tiene un neutro.

En otras palabras, un monoide es un magma unital con operación asociativa. O bien, un semigrupo cuya operación tiene unidad. Por supuesto, si la operación además es conmutativa entonces decimos que es un monoide conmutativo.

Ejemplo. Por todo lo que hemos visto en esta entrada, tenemos que $\mathbb{N}$ con la suma es un monoide conmutativo. Así mismo, $\mathbb{N}$ con el producto es un monoide conmutativo.

$\triangle$

Semianillos

La última idea importante para discutir en esta entrada es que una estructura algebraica puede tener más de una operación binaria, y además de pedir propiedades para cada operación, también se pueden pedir propiedades que satisfagan ambas operaciones en igualdades que las involucran a las dos.

Definición. Un seminanillo es un conjunto $S$ con dos operaciones binarias $\square$ y $\star$ que satisfacen las siguientes propiedades:

  • $\square$ es un monoide conmutativo
  • $\star$ es un monoide
  • Se cumple distributividad, es decir, que para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$ se tiene $a\star(b\square c) = (a\star b)\square(a\star c)$ y $(a\square b)\star c = (a\star c)\square(b\star c)$.
  • El neutro $e$ de $\square$ aniquila a los elementos bajo $\star$, es decir, para cualquier elemento $a$ de $S$ se tiene que $a\star 0=0$ y $0\star a = 0$.

Un semianillo conmutativo es un semianillo en donde la operación $\star$ también es conmutativa. Las propiedades que hemos de los números naturales nos permiten enunciar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ con las operaciones binarias de suma y producto es un semianillo conmutativo.

Más adelante…

Este sólo fue un pequeño paréntesis para comenzar a hablar de operaciones binarias y de estructuras algebraicas. Ahora regresaremos a seguir construyendo de manera formal los sistemas numéricos con los que se trabaja usualmente: los enteros, los racionales, los reales y los complejos.

Un poco más adelante haremos otro paréntesis de estructuras algebraicas, en el que hablaremos de otras propiedades más que puede tener una operación binaria. Una muy importante es la existencia de inversos para la operación binaria. Esto llevará a las definiciones de otras estructuras algebraicas como los grupos, los anillos, los semigrupos con inversos, los quasigrupos y los campos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra el neutro de la operación $\star$ dada en la sección de intuición. Verifica que en efecto es un neutro.
  2. Demuestra que el conjunto de los naturales pares $\{0,2,4,6,\ldots\}$ sí tiene un neutro para la operación de suma, pero no para la operación de producto.
  3. Considera el conjunto $P(S)$ de subconjuntos de un conjunto $S$. Considera las operaciones binarias de unión e intersección de elementos de $P(S)$. Muestra que $P(S)$ con estas operaciones es un semianillo conmutativo.
  4. Da un ejemplo de un magma que no sea un magma unital. Da un ejemplo de un magma unital que no sea un monoide.
  5. Da o busca un ejemplo de un semianillo que no sea un semianillo conmutativo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Moderna I: Operación binaria asociativa y conmutativa

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

3 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior definimos el concepto de operación binaria, en esta entrada veremos dos tipos más específicos de operaciones binarias: las operaciones binarias asociativas y las operaciones conmutativas. Éstas nos interesan ya que hacen que las operaciones sean más sencillas de manejar.

Nuevas definiciones

Definición. Una operación binaria $*$ en un conjunto $\mathcal{S}$ es asociativa si, para todos $a, b, c \in \mathcal{S}$

$(a*b)*c = a*(b*c)$.

Definición. Una operación binaria $*$ en un conjunto $\mathcal{S}$ es conmutativa si, para todos $a,b \in \mathcal{S}$

$a*b=b*a$.

Ejemplos de operaciones binarias asociativas y conmutativas

Repasemos los ejemplos vistos en la entrada anterior. Ahora los analizaremos con mayor profundidad.

  • Consideremos $\mathcal{S} := \mathbb{R}$ con la operación $a*b=ab-2$. Entonces $*$ no es asociativa.

Demostración. Sean $a,b,c \in \mathbb{R}$.

Si sustituimos los valores de acuerdo a la forma en que está definida $*$, por un lado obtenemos

$\begin{align}(a * b)*c = (ab-2)c -2 = (ab)c -2c-2\end{align}$

y por otro,

$\begin{align}a*(b*c) = a*(bc -2) = a(bc-2)-2 = a(bc)-2a-2. \end{align}$

Observamos que $(1)$ y $(2)$ en general son distintos. Por lo tanto $*$ no es asociativa.

Ejemplo. Si hacemos la operación con $1, 2, 3$ obtenemos:

$(1*2)*3 = 0 * 3 = -2$

$1*(2*3)= 1 *4 = +2$

Así, claramente no es asociativa.

$\blacksquare$

Sin embargo, sí es conmutativa.

Demostración. Por la conmutatividad de la multiplicación de reales,

$a*b = ab-2 = ba-2 = b*a \qquad \forall a,b \in \mathbb{R}$.

$\blacksquare$

  • Consideremos ahora el conjunto $\mathcal{S} := \mathbb{R}^+$ (los reales positivos), con la operación $a*b=\frac{a}{b}$. Entonces $*$ no es asociativa.

Demostración. Sean $a,b,c \in \mathbb{R}^+$.

Si sustituimos de acuerdo a la definición de nuestra operación binaria, obtenemos

$(a*b)*c = \frac{a}{b}*c =\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{bc}$

por otro lado,

$a*(b*c)= a* \frac{b}{c} = \frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{ac}{b}$.

En general, $(a*b)*c \neq a*(b*c)$, por lo que esta operación binaria no es asociativa.

$\blacksquare$

Ejemplo. Tomemos $3,4$ y $5$:

$(3*4)*5 = \frac{3}{4} * 5 = \frac{\frac{3}{4}}{5} = \frac{3}{20}$.

$3*(4*5) = 3* \frac{4}{5} = \frac{3}{\frac{4}{5}} = \frac{15}{4}$.

Claramente, $$\frac{3}{20} \neq \frac{15}{4}.$$

$\blacksquare$

Esta operación tampoco es conmutativa.

Demostración. Sean $a,b \in \mathbb{R}^+$.

Sustituyendo nuestra definición, en general tenemos que,

$a*b = \frac{a}{b} \neq \frac{b}{a} = b*a$.

Por lo tanto, nuestra operación binaria no es conmutativa.

$\blacksquare$

Ejemplo. Un ejemplo sencillo y claro,

$1*2 = \frac{1}{2} \neq 2 = 2*1$.

$\blacksquare$

  • En $\mathcal{S} := \mathbb{Z}^+$, $a*b = \text{máx} \{a,b\}$ es asociativa y conmutativa.
  • En $\mathcal{S} := \mathbb{Z}^+$, $a*b = a$ es asociativa y no conmutativa.
  • En $\mathcal{S} := \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{Z})$, $A*B = A + B$ es asociativa y conmutativa.
  • En $\mathcal{S}:= \{f \; | \; f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \}$, $f*g := f\circ g$ es asociativa pero no conmutativa.
  • En $\mathcal{S}:= S_3$, $f*g = f\circ g$. Es asociativa pero no conmutativa.

Ejemplo con tablas

En esta sección analizaremos algunas operaciones binarias definidas con tablas. El hecho de que una función sea conmutativa se ve reflejado en la tabla. Cuando la operación es conmutativa, si nos fijamos en la línea diagonal que divide a la tabla (la diagonal principal), podemos observar que la tabla es simétrica con respecto a la diagonal.

Demostrar la asociatividad a partir de la tabla es un poco más complicado. Se tendrían que escoger todas las distintas combinaciones de tres elementos del conjunto, lo que lo haría muy largo, incluso para conjuntos pequeños. Por eso conviene definir la operación de otra manera. En los siguientes ejemplos encontrarás la función definida de ambas maneras, con la tabla y con una regla de correspondencia.

  • En $\mathcal{S} = \{2,4,6\}$, la operación $a*b = \text{máx}\{a,b\}$ se vería como
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$4$$6$
$4$$4$$4$$6$
$6$$6$$6$$6$

La tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal, por lo tanto esta operación sí es conmutativa. Queda como ejercicio demostrar que es asociativa.

  • En $\mathcal{S} = \{2,4,6\}$, la operación $a*b = a$ se vería como
$*$$2$$4$$6$
$2$$2$$2$$2$
$4$$4$$4$$4$
$6$$6$$6$$6$

De la misma manera, si nos fijamos en la diagonal principal, observamos que esta operación no es conmutativa. Pero, será tu trabajo demostrar que sí es asociativa.

  • En $\mathcal{S} = \{1, -1\}$, la operación $a*b = ab$ se vería como
$*$$1$$-1$
$1$$1$$-1$
$-1$$-1$$1$

A diferencia de los anteriores dos ejemplos, esta operación sí es conmutativa y también asociativa.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra o da contraejemplos de las propiedades (conmutatividad y asociatividad) que quedaron pendientes en los ejemplos.
  2. Con ayuda de las tablas, verifica las propiedades de conmutatividad y asociatividad que quedaron pendientes en los ejemplos correspondientes.
  3. Para el conjunto $\mathcal{S}:= \{\bigstar, \blacktriangledown, \blacklozenge, \clubsuit \}$, define
    • una operacion binaria conmutativa (pero no asociativa),
    • una operación asociativa (pero no conmutativa),
    • una operación asociativa y conmutativa,
    • una operación que no sea ni asociativa ni conmutativa.
  4. De los ejemplos que hiciste en la tarea moral anterior, determina si son conmutativas, asociativas o ambas.
  5. Del ejercicio 5 de la tarea moral anterior, determina si las operaciones binarias son conmutativas, asociativas, ambas o ninguna de las dos.

Más adelante…

Ahora sí, ya estás listo para que comencemos con los grupos. En la siguiente entrada comenzaremos a definirlos y a dar algunos ejemplos. Verás que las operaciones binarias tienen un papel importante a la hora de definir esta estructura algebraica.

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Álgebra Moderna I: Operación binaria

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Bienvenido al curso de Álgebra Moderna I. Antes de comenzar de lleno con el tema principal del curso, los grupos, es necesario sentar ciertas bases, así que en esta primera entrada comenzaremos con la definición de una operación binaria.

El objetivo de una operación binaria, como dice su nombre, es tomar dos elementos de un conjunto, operarlos y obtener un resultado que también pertenezca al mismo. La suma (+) y la multiplicación (•) de números reales son operaciones binarias que conocemos desde hace tiempo. Además de ellas, veremos ejemplos de varias operaciones binarias definidas en diversos conjuntos, no sólo en los reales.

¿Qué es una Operación Binaria?

Como mencionamos en la introducción, la operación binaria es una función que toma dos elementos de un conjunto y devuelve un elemento del mismo. Formalmente escrito, quedaría de la siguiente manera:

Definición. Una operación binaria en un conjunto $\mathcal{S}$ es una función $\mu : \mathcal{S} \times \mathcal{S} \to \mathcal{S}$, es decir una forma de asignar a cada par ordenado $(a,b) \in \mathcal{S} \times \mathcal{S}$ un elemento $\mu (a,b) \in \mathcal{S}$.

Sin embargo, normalmente no trabajamos la notación de función. Así que hacemos la siguiente aclaración:

Notación. Nuestra operación binaria $\mu$ será denotada por $*$ y al elemento asignado a la pareja $(a,b)$. En lugar de ser denotado por $\mu (a,b)$ será denotado por $a*b$, más adelante será denotada simplemente por $ab$ o por $a+b$.

Además, necesitamos las siguientes observaciones para que nuestra función sea una operación binaria:

Observación 1. A cada par de elementos en $\mathcal{S}$ se le asigna exactamente un elemento de $\mathcal{S}$, es decir, $*$ es una función bien definida.

Observación 2. Para cada par de elementos en $\mathcal{S}$ el elemento debe estar en $\mathcal{S}$, es decir, $*$ es una operación cerrada en $\mathcal{S}$.

Ejemplos de operaciones binarias

Para ilustrar los ejemplos, tomaremos el símbolo $:=$ como una asignación de valor, y lo usaremos para definir y al símbolo $=$ como la igualdad usual, que indica eso, una igualdad entre dos valores.

  1. En $\mathcal{S} := \mathbb{R}$, podemos definir la siguiente operación binaria, $a*b := ab – 2$, es decir, la multiplicación de ambos números, menos dos unidades.
  2. En $\mathcal{S} := \mathbb{R}^+$, observemos que es posible tomar la operación $a*b := \frac{a}{b}$ como la división usual. Es importante considerar el conjunto $\mathcal{S}$ en el que estamos trabajando. Por ejemplo, esta operación no se podría considerar en $\mathbb{Z}^+$ porque no podemos asegurar que siempre nos dé un entero, por lo tanto no sería una operación binaria.
  3. Ahora, si tomamos $\mathcal{S} := \mathbb{Z}^+$ y definimos $a*b := \text{máx}{\{a,b\}}$, es decir, una operación binaria no tiene que ser siempre aritmética.
  4. En $\mathcal{S} := \mathbb{Z}^+$, podemos definir $a*b = a$, es decir, la operación asigna a cada par de números el primero de los dos.
  5. También podemos trabajar con matrices, por ejemplo $\mathcal{S} := \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{Z})$ (el conjunto de matrices $2\times 2$ con entradas enteras), definida como $A*B := A + B$, es decir, la suma de matrices.
  6. Si pensamos en funciones, podemos considerar $\mathcal{S}:=\{f \;| f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$ y definir la composición de funciones, $f*g:= f\circ g$. Como todas las funciones comparten dominio y codominio, tiene sentido componer. Recordemos que esa notación se lee de derecha a izquierda, es decir, primero se aplica $g$ y luego $f$.
  7. En $\mathcal{S}:= S_3$, con $S_3 := \{f | f: \{1,2,3\} \to \{1,2,3\}, f \text{ es biyectiva}\}$, también podemos considerar $f*g := f\circ g$ y sería una operación binaria en el conjunto.

Para este último ejemplo, recordemos que como el dominio de $f$ es finito podemos denotar a $f$ como una matriz de la forma,

$f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ f(1) & f(2) & f(3) \end{pmatrix}.$

Ejemplo:

Si $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, entonces la composición $f \circ g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. Puesto que $g$ manda el $1$ al $3$ y $f$ manda el $3$ al $1$, $g$ manda el $2$ al $1$ y $f$ manda el $1$ al $2$ y $g$ manda el $3$ al $2$ y $f$ manda el $2$ al $3$.

$\blacksquare$

De modo más general, si $f$ es una función cuyo dominio es un conjunto finito con $n$ elementos $a_1,a_2,\dots, a_n,$ la regla de correspondencia de $f$ se puede describir con el arreglo

$f = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n\\ f(a_1) & f(a_2)&\dots & f(a_n) \end{pmatrix}.$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Como calentamiento, piensa por qué ocurren las dos observaciones dadas.
  2. Investiga cómo se pueden definir operaciones binarias con tablas.
  3. De los ejemplos dados, busca conjuntos en donde la operación binaria deje de serlo por no cumplir con la cerradura.
  4. Da cinco ejemplos de conjuntos y operaciones binarias sobre ellos.
  5. Determina si las siguientes operaciones son binarias o no y en caso de no serlo, ¿qué le cambiarías al conjunto para que lo sea?
    • En $\mathcal{S} = \mathbb{R}^+$, $a*b = ab-2$.
    • En $\mathcal{S} = \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{Z})$, $A*B = A^{-1}B$.
    • En $\mathcal{S} = \mathbb{Z}\setminus \{-1\}$, $a*b = 1 + ab$.
    • En $\mathcal{S} = \mathbb{Z}_5$, $a*b = ab(\text{mód } 7)$.

Más adelante…

Con el fin de trabajar con operaciones que sean más manejables, continuaremos expandiendo nuestro concepto de operación binaria agregándole las propiedades de conmutatividad y asociatividad.

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