A lo largo de los teoremas vistos en geometría moderna se han demostrado y visto propiedades, pero gracias a la inversión se pueden deducir y demostrar nuevos teoremas de los ya vistos. A esto se le denomina Inversión de un Teorema.
Inversión de un Teorema y circunferencia de antisimilitud
Ejemplo. Dado un teorema referente a las alturas de un triángulo, se puede demostrar usando inversión y referente a circunferencias. Sean $Z$ y $Z’$ dos circunferencias que se intersecan en $A$ y $O$, de $O$ se tiene los diámetros $OE$ de $Z’$ y $OF$ de $Z$ donde intersecan a $Z$ en $B$ y $Z’$ en $C$; Por lo cual el eje radical $AO$ pasa por el centro de la circunferencia de los puntos $O$, $B$ y $C$ la cual llamaremos $Z’$$’$.
Usando el Teorema. El inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión: Por lo cual, usando $O$ como centro de inversión, se tiene que los inversos de $A$, $B$ y $C$ son $A’$, $B’$ y $C’$ respectivamente. Las circunferencias $Z$, $Z’$ y $Z’$$’$ se invierten en $A’B’$, $A’C’$ y $B’C’$ correspondientemente. Y las líneas $AO$, $FO$ y $EO$ se invierten en sí mismas por Teorema de inversión de línea que pasa por el centro de inversión. Se tiene la inversión:
Ahora como un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, entonces $B’O$ y $C’O$ por la propiedad de conservación de ángulos en la inversión son las alturas del triángulo $A’B’C’$, entonces $A’O \perp B’C’$. Por lo tanto, $AO \perp $ $Z’$$’$ entonces $AO$ pasa por el centro de $Z’$$’.$
$\triangle$
Circunferencia de Antisimilitud
Definición. La circunferencia de antisimilitud es una circunferencia respecto a la cual dos circunferencias son mutuamente inversas.
Recordemos dos propiedades:
El centro de inversión de dos circunferencias inversas es el centro de similitud.
Dado un par de puntos inversos son antihomologos con respecto al centro de similitud.
Teorema. Sean dos circunferencias de las cuales existen tres posibles casos ($O$ y $O’$ centros de similitud).
Caso 1. Si se intersecan, entonces tienen dos circunferencias de antisimilitud tal que sus centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y que pasan por sus puntos de intersección.
Caso 2. Si no se intersecan (o son tangentes), entonces solo tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud exterior si las circunferencias son mutuamente excluyentes.
Caso 3. Si no se intersecan, entonces solo tiene una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud interior si las circunferencias son internas una a la otra.
Lema. Una circunferencia $C_1$ y dos puntos inversos respecto a ella los llamaremos $S$ y $S’$ los cuales se invierten en una recta $C’_1$ y en dos puntos simétricos $P$ y $Q$ respecto a $C_1$, cuando el centro de inversión es un punto $A$ en $C_1$.
Teorema. Dos circunferencias que no se intersecan se pueden invertir en dos circunferencias iguales.
Demostración. Sean $C_1$ y $C’_1$ circunferencias y $C$ la circunferencia de antisimilitud de dichas circunferencias. Sea $A \in C$ y sea $C_2$ con centro $A$. Las inversas de $C_1$ y $C’_1$ respecto a $C_2$ son dos circunferencias simétricas respecto al inverso de $C$ (Por el Lema anterior).
$\square$
Más adelante…
Es hora de ver algunas construcciones respecto a la inversión.
Ya analizadas en el tema anterior la inversión de rectas y circunferencias, es momento de ver cómo la inversión conserva ángulos. En esta entrada estudiaremos la propiedad de conservación de ángulos, veremos cómo se relaciona con distancias, y finalmente presentaremos dos aplicaciones importantes: el teorema de Ptolomeo y el teorema de Feuerbach.
Conservación de ángulos
El siguiente resultado es fundamental para entender la inversión como transformación geométrica.
Teorema. La inversión es una transformación que preserva ángulos e invierte orientación.
Demostración. Presentaremos dos demostraciones distintas de este resultado.
Primera demostración:
Sea $\mathcal{C}(O,r)$ la circunferencia de inversión. Sean $A$ y $B$ dos circunferencias que se intersecan, y sea $P$ uno de los puntos de intersección. Sea $P’$ el inverso de $P$.
Construyamos la circunferencia $C$ tangente a $A$ en $P$ y que pase por $P’$. De igual forma, construyamos $D$ tangente a $B$ en $P$ y que pase por $P’$. Sea $L_1$ la recta tangente a $A$ en $P$, la cual también es tangente a $C$ en $P$. Sea $L_2$ la recta tangente a $B$ en $P$, la cual es tangente a $D$ en $P$. Entonces el ángulo entre $A$ y $B$ es el mismo que el ángulo entre $C$ y $D$.
Como $C$ y $D$ pasan por puntos inversos $P$ y $P’$, entonces son ortogonales a $\mathcal{C}$, la circunferencia de inversión. Sean $A’$ y $B’$ las circunferencias inversas de $A$ y $B$ respectivamente. Dado que $P$ y $P’$ son inversos, se tiene que el ángulo entre $A’$ y $B’$ es el mismo que el ángulo entre $C$ y $D$, y por lo tanto es el mismo que el ángulo entre $A$ y $B$.
Por lo tanto, la inversión preserva ángulos e invierte orientación.
$\square$
Segunda demostración:
Sean dos curvas que se intersecan en $P$, con $P\neq O$. Tracemos una línea por $OP$ y otra por $O$ que corte a las curvas en $Q$ y $R$, con $O$, $Q$ y $R$ colineales.
Los puntos $P$, $Q$ y $R$ tienen inversos $P’$, $Q’$ y $R’$ respectivamente. Las inversas de las curvas que pasan por $P$, $Q$ y $P$, $R$ tendrán que intersecarse en $P’$, $Q’$ y $P’$, $R’$ respectivamente. Por definición de inversión: $$OP\cdot OP’=OQ\cdot OQ’=OR\cdot OR’=r^2.$$
Por lo tanto, $\triangle OPQ \sim \triangle OQ’P’$ y también $\triangle OPR \sim \triangle OR’P’$. Si trazamos las secantes que corten a las curvas en $P$ y que pasen por $Q$ y $R$, y análogamente en $P’$ que pasen por $Q’$ y $R’$, entonces $$\angle OPQ = \angle P’Q’O \quad \text{y} \quad \angle OPR = \angle P’R’O.$$
Por lo cual, $\angle QPR= \angle R’P’Q’$ y $\angle RPQ= – \angle R’P’Q’$. Ahora, si tomamos el límite cuando $Q$ y $R$ tienden a $P$, entonces $Q’$ y $R’$ tienden a $P’$. Por lo tanto, $\angle RPQ$ y $\angle R’P’Q’$ tienden a ser los ángulos límite de la intersección de las curvas.
Por lo tanto, los ángulos bajo inversión se preservan en magnitud pero son opuestos en signo.
$\square$
Observación. Es por esto que se dice que la inversión es una transformación isogonal.
Consecuencias de la conservación de ángulos
El teorema anterior tiene varias consecuencias importantes que enunciaremos a continuación.
Corolario. Si dos curvas son tangentes una a la otra en $P$, sus inversas son tangentes una a la otra en $P’$.
Corolario. Objetos ortogonales se invierten en objetos ortogonales.
Corolario. Rectas paralelas se invierten en circunferencias tangentes en el centro de inversión.
Teorema. Sea $A$ una circunferencia y $A’$ su inversa. Entonces son homotéticas desde el centro de inversión.
Inversión y distancias
Aunque la inversión no preserva distancias, podemos relacionar las distancias antes y después de una inversión mediante las siguientes fórmulas.
Teorema. Sean $P$ y $P’$ puntos inversos con respecto a una circunferencia de inversión de radio $r$. Sea $B$ un punto colineal a $P$ y $P’$ que intersecta a la circunferencia de inversión. Entonces: $$BP’ = \frac{BP}{1+BP/r} \quad \text{y} \quad BP=\frac{BP’}{1-BP’/r}.$$
Demostración. Tenemos que $BP’=r-OP’$. Por definición de inversión, $OP\cdot OP’=r^2$, de modo que $OP’= \frac{r^2}{OP}$. Entonces:
El siguiente resultado es más general y no requiere que los puntos sean colineales con el centro.
Teorema. Sea $\mathcal{C}(O,r)$ una circunferencia de inversión. Sean $P$ y $Q$ dos puntos con inversos $P’$ y $Q’$ respectivamente. Entonces: $$P’Q’= \frac{r^2 \cdot PQ}{OP \cdot OQ}.$$
Demostración. Por definición de inversión: $$OP \cdot OP’=r^2 \quad \text{y} \quad OQ \cdot OQ’=r^2.$$
Veamos una primera aplicación importante de la teoría de inversión.
Teorema de Ptolomeo. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Entonces: $$AC \cdot BD = BC \cdot AD + CD \cdot AB.$$
Demostración. Sea $\mathcal{C}(A,r)$ una circunferencia de inversión con centro en $A$. Consideremos la circunferencia circunscrita del cuadrilátero cíclico. La inversión transforma esta circunferencia (que pasa por $A$) en una línea recta $L$. Sean $B’$, $C’$ y $D’$ los inversos de $B$, $C$ y $D$ respectivamente. Estos puntos forman la línea $L$, como se muestra en la siguiente figura:
En la línea $L$ se tiene que $B’D’=B’C’+C’D’$. Por el teorema anterior sobre distancias bajo inversión:
Cancelando $r^2$ y multiplicando por $AB \cdot AC \cdot AD$:
$$BD \cdot AC = BC \cdot AD + CD \cdot AB.$$
Por lo tanto, $AC \cdot BD = BC \cdot AD + CD \cdot AB$.
$\square$
Aplicación: Teorema de Feuerbach
Veamos otra aplicación notable de la inversión: el teorema de Feuerbach, que relaciona la circunferencia de los nueve puntos con los círculos asociados a un triángulo.
Teorema de Feuerbach. La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente al incírculo y a los tres excírculos.
Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo con incírculo $C_I$ y excírculo $C_E$ (el excírculo correspondiente a $A$). Sea $BC$ la tangente común a $C_I$ y $C_E$. Tracemos otra tangente $B’C’$ simétrica a $BC$ con respecto a la bisectriz $AI$. De lo anterior, tenemos que $C \in AB$, $B’ \in AC$ y $A’=BC \cap B’C’$.
Los puntos $A$ y $A’$ son centros de homotecia de $C_I$ y $C_E$ respectivamente. Entonces el segmento $IE$ es dividido por $A’$ y $A$ interna y externamente en la razón de sus radios. Sea $r$ el radio de $C_I$ y $r_A$ el radio de $C_E$. Entonces: $$\frac{IA’}{A’E}=-\frac{IA}{AE}=\frac{r}{r_A}.$$
Por lo tanto, $A$ y $A’$ son conjugados armónicos respecto a $I$ y $E$. Tracemos perpendiculares desde $E$, $I$ y $A$ sobre la recta $BC$, y llamemos $P_e$, $P_i$ y $P_a$ a sus respectivos pies. Los triángulos $\triangle EP_eA’$, $\triangle IP_iA’$ y $\triangle AP_aA’$ son semejantes. Por lo tanto, $P_a$ y $A’$ son conjugados armónicos respecto a $P_i$ y $P_e$.
Sea $M_A$ el punto medio de $BC$. Entonces también es punto medio de $P_i$ y $P_e$. Tracemos la circunferencia $Z$ con centro $M_A$ y radio $M_AP_i$. Entonces $A’$ y $P_a$ son inversos respecto a $Z$.
Calculemos el radio de $Z$. Sean $a$, $b$, $c$ las longitudes de los lados opuestos a $A$, $B$, $C$ respectivamente, y sea $s$ el semiperímetro. Entonces:
$$P_eP_i=BC-2P_iC=a-2(s-c)=c-b.$$
Por lo tanto, el radio de $Z$ es $\frac{c-b}{2}$ y $M_AM_B=\frac{c}{2}$.
Sea $S=B’C’ \cap M_AM_B$. Entonces:
$$M_AS=M_AM_B – M_BS.$$
Como $M_AM_B$ es paralela a $BA$, entonces $\triangle B’SM_B \sim \triangle B’C’A$. Por lo tanto, sus lados son proporcionales: $$\frac{SM_B}{C’A}=\frac{M_BB’}{AB’}.$$
Por lo tanto, $S$ y $M_B$ son inversos respecto a la circunferencia $Z$ con diámetro $P_iP_e$. La inversa de la recta $B’C’$ es una circunferencia que pasa por $M_A$ (el centro de inversión), por $P_a$ y por $M_B$. Como una circunferencia está determinada por tres puntos y la circunferencia de los nueve puntos cumple esto, entonces $C_N$ (la circunferencia de los nueve puntos) es la inversa de la recta $B’C’$ con respecto a la circunferencia $Z$.
El inverso de $C_I$ con respecto a $Z$ es $C_I$ mismo, ya que $C_I$ es ortogonal a $Z$. De igual forma, el inverso de $C_E$ con respecto a $Z$ es $C_E$. Como $B’C’$ es tangente a $C_I$ y $C_E$, y la inversión conserva ángulos, se sigue que la circunferencia $C_N$ es tangente a las circunferencias $C_I$ y $C_E$. El mismo razonamiento aplica para los otros dos excírculos.
$\square$
Invarianza de la razón cruzada bajo inversión
Finalmente, veamos una propiedad proyectiva importante que se preserva bajo inversión.
Teorema. La razón cruzada es invariante bajo inversiones.
Demostración. Este resultado debe interpretarse tanto para la razón cruzada entre puntos colineales como para rectas concurrentes.
Sea $\mathcal{C}(O, r)$ una circunferencia de inversión. Sean $A$, $B$, $C$ y $D$ cuatro puntos colineales distintos de $O$, con inversos $A’$, $B’$, $C’$ y $D’$ con respecto a $\mathcal{C}$. Denotemos $a’=OA’$, $b’=OB’$, $c’=OC’$ y $d’=OD’$.
Queremos demostrar que las razones cruzadas coinciden: $$O(A’B’, C’D’)=O(AB, CD).$$
Como la razón cruzada es una propiedad proyectiva y las inversiones preservan ángulos e invierten orientación, tenemos:
Veremos cómo la inversión es una forma alternativa de resolver problemas ya demostrados, facilitando su comprensión. Además, revisaremos un tema de gran importancia: la circunferencia de antisimilitud.
En esta primera unidad abordaremos varios los temas relacionados con las circunferencias coaxiales. Para ello, iniciaremos hablando de la potencia de un punto con respecto a una circunferencia. A grandes rasgos, esto trata de lo siguiente.
Tomemos una circunferencia $\mathcal{C}$. Tomemos $P$ un punto cualquiera. Tomemos una recta $l$ por $P$ y llamemos $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ con $\mathcal{C}$. Bajo estas elecciones, la potencia de $P$ será $PA\cdot PB$. Lo que veremos en esta entrada es que dicho producto es constante sin importar la elección de $l$. Para mostrar esto, introduciremos algunas definiciones y posteriormente haremos una demostración por casos.
Definición de potencia de un punto
Comenzaremos dando una primer definición de potencia, que dependerá de cierto punto, circunferencia y recta que elijamos.
Definición. Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia, $P$ un punto y $l$ una recta que intersecta a $\mathcal{C}$. Sean $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ y $\mathcal{C}$ ($A=B$ si $l$ es tangente a $\mathcal{C}$). La potencia de $P$ con respecto a $\mathcal{C}$ en la recta $l$ es la cantidad $PA\cdot PB$. Usaremos la siguiente notación: $$\text{Pot}(P,\mathcal{C},l):=PA\cdot PB.$$
En esta definición y de aquí en adelante, a menos que se diga lo contrario, se estará trabajando con segmentos dirigidos. Es decir, estamos pensando que cada segmento tiene una dirección del primer punto al segundo. Así, por ejemplo, el valor de $PA$ dependerá de la longitud del segmento y su signo dependerá de una dirección (usualmente implícita) que se le asigne a la recta por $A$ y $P$. De este modo, tendremos, por ejemplo, que $PA=-AP$.
La definición de potencia de un punto puede simplificarse notablemente en vista de la siguiente proposición.
Proposición. La potencia de un punto con respecto a una circunferencia no depende de la recta elegida. Es decir, tomemos $\mathcal{C}$ una circunferencia, $P$ un punto y $l,m$ rectas. Supongamos que los puntos de intersección de $l$ con $\mathcal{C}$ son $A$ y $B$; y que los puntos de intersección de $m$ con $\mathcal{C}$ son $C$ y $D$ (en caso de tangencias, repetimos los puntos). Entonces: $$PA\cdot PB = PC\cdot PD.$$
Demostración. Haremos la demostración por casos de acuerdo a cuando $P$ está dentro o fuera de la circunferencia, o sobre ella.
Dentro de la circunferencia:
Tomemos las cuerdas $AB$ y $CD$ en la circunferencia, las cuales se cortan en $P$. Los triángulos $\triangle APC$ y $\triangle DPB$ son semejantes ya que:
$\angle PAC = \angle PDB $ por abrir el mismo arco $\overline{BC}$.
$\angle APC = \angle BPD $ por ser opuestos al vértice.
$\angle PCA = \angle PBD $ por abrir mismo arco $\overline{AD}$.
Entonces de la semejanza $\triangle APC \cong \triangle DPB $ tenemos que
$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB},$
de donde obtenemos la igualdad $PA\cdot PB =PC \cdot PD$ deseada.
Fuera de la circunferencia:
Ahora, $AB$ y $CD$ son dos secantes que se intersecan en $P$, pero con $P$ exterior a $\mathcal{C}$. Tenemos que $\triangle APC $ y $\triangle DPB $ son semejantes, ya que:
El cuadrilátero $\square ABDC$ es cíclico, entonces: $\angle ACD + \angle ABD = 180^\circ$ y $\angle ABD + \angle DBP = 180^\circ $, de donde $\angle DBP = \angle ACD$.
$\angle BPD$ y $\angle CPA$ son los mismos ángulos.
Entonces $\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB},$ de donde se obtiene la igualdad buscada $PA\cdot PB=PC\cdot PD.$
Sobre la circunferencia:
Este caso es sencillo pues sin importar las secantes tomadas, en cada una hay un punto igual a $P$ y por lo tanto una distancia igual a cero. De este modo, $PA\cdot PB=0=PC\cdot PD$.
$\square$
Nota que las demostraciones anteriores sirven aunque $l$ ó $m$ sean tangentes, sólo que hay que hacer ligeras adaptaciones sobre los ángulos usados y los motivos por los que son iguales. Enunciaremos el caso de la tangencia un poco más abajo.
En vista de la proposición anterior, podemos simplificar nuestra definición notablemente.
Definición. Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia y $P$ un punto. Tomemos $l$ una recta que intersecta a $\mathcal{C}$. Sean $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ y $\mathcal{C}$ ($A=B$ si $l$ es tangente a $\mathcal{C}$). La potencia de $P$ con respecto a $\mathcal{C}$ es la cantidad $PA\cdot PB$. Usaremos la siguiente notación: $$\text{Pot}(P,\mathcal{C}):=PA\cdot PB.$$
La potencia queda bien definida sin importar la recta $l$, debido a la proposición anterior.
El signo de la potencia
En esta definición estamos usando segmentos dirigidos, y eso nos lleva a que la potencia de un punto puede tener distintos signos. El comportamiento queda determinado por el siguiente resultado.
Proposición. La potencia de un punto $P$ con respecto a una circunferencia $\mathcal{C}$ es positiva, negativa o cero, de acuerdo a si el punto $P$ está fuera de $\mathcal{C}$, dentro de ella, o sobre ella, respectivamente.
Demostración. Veamos esto caso por caso.
Sea $P$ un punto externo a $\mathcal{C}$. Entonces $PA$ y $PB$ tienen la misma orientación y por lo tanto el mismo signo. Además, como $P$ no está sobre $\mathcal{C}$, ninguno de ellos es cero. Así, $\text{Pot}(P,\mathcal{C})> 0$.
Sea $P$ un punto interno a $\mathcal{C}$. Entonces $PA$ está dirigido hacia un lado y $PB$ está dirigido hacia el otro, de modo que tienen signo contrario. Además, ninguno de ellos es cero. Así, $\text{Pot}(P,\mathcal{C})<0$.
Finalmente, sea $P$ un punto sobre $\mathcal{C}$. Esto quiere decir que alguno de los puntos $A$ o $B$ es $P$ (quizás ambos, si $l$ es tangente). Así, $PA=0$ ó $PB=0$. De este modo $\text{Pot}(P,\mathcal{C})=0$.
$\square$
Otras fórmulas para la potencia
La potencia es invariante sin importar la recta elegida. De este modo, podemos elegir a una recta tangente y obtener una fórmula para la potencia en términos de la longitud de dicha tangente.
Proposición. Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia. Para un punto $P$ fuera de $\mathcal{C}$, su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.
Es decir, sea $T$ un punto sobre la circunferencia tal que $PT$ sea tangente a $\mathcal{C}$. Entonces, $\text{Pot}(P,\mathcal{C})=PT^2$.
El resultado se sigue de llevar al límite lo que ya probamos en la proposición de invarianza de la potencia. Pero a continuación damos un argumento alternativo.
Demostración. Tracemos otra recta por $P$ que no sea tangente a $\mathcal{C}$ y cuyos puntos de intersección con $\mathcal{C}$ son $A$ y $B$ como en la figura. Tenemos que mostrar que $PA\cdot PB =PT^2$.
El ángulo $\angle PTA$ es semi-inscrito y es igual al ángulo inscrito $ \angle TBA$, pues ambos tienen el mismo arco $\overline{AT}$.
Entonces los triángulos $\triangle APT$ y $\triangle TPB$ comparten el ángulo con vértice en $P$ y $\angle PTA=\angle TBA$. Por ello, se tiene que $\triangle APT \cong \triangle TPB $ son semejantes y sus lados son proporcionales: $\frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB}$. De aquí, $$PT^2=PT\cdot PT=PA\cdot PB=\text{Pot}(P,\mathcal{C}).$$
$\square$
También es posible conocer la potencia de un punto hacia una circunferencia si conocemos el radio de la circunferencia y la distancia del punto al centro.
Proposición. Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia de centro $O$ y radio $r$. Sea $P$ un punto en cualquier posición. La potencia de $P$ con respecto a $\mathcal{C}$ es $$\text{Pot}(P,\mathcal{C}) = OP^2 – r^2.$$
Demostración. Haremos la demostración por casos
Dentro de la circunferencia:
Sea $AB$ la cuerda que pasa por el centro $O$ y $P$ (si $O=P$, tomamos cualquier cuerda $AB$ por el centro). Supongamos sin pérdida de generalidad que la recta está dirigida de $A$ a $B$. Tenemos que $AO=r>0$ y llamemos $d=OP>0$. De aquí, $PB=r-d>0$. La siguiente figura resume estas igualdades.
La potencia desde $P$ sería entonces, cuidando los signos:
Ahora desde $P$ tracemos una tangente $PT$ a $\mathcal{C}$ con $T$ sobre $\mathcal{C}$. Como $\angle PTO =90^o$, entonces $\triangle POT$ es un triángulo rectángulo.
Por el teorema de Pitágoras y la expresión de potencia en términos de la tangente: $$OP^2=r^2+PT^2=r^2+\text{Pot}(P,\mathcal{C}).$$ Despejando, obtenemos la expresión deseada: $$\text{Pot}(P,\mathcal{C})=OP^2-r^2.$$
Sobre la circunferencia:
Este caso es sencillo, pues sabemos que la potencia de $P$ debe ser cero. Pero además, como $P$ está en la circunferencia, entonces $OP=r$, de modo que $OP^2-r^2=0$, y entonces la expresión también es lo que queremos.
$\square$
Más adelante…
Seguiremos abordando el tema de potencia de un punto y veremos cómo a partir de él se define el eje radical de dos circunferencias.
