En la entrada anterior demostramos el teorema de existencia y unicidad de Picard. Antes de finalizar con el estudio a las ecuaciones diferenciales de primer orden vamos a regresar un momento a la teoría cualitativa de ecuaciones de primer orden, en específico, al estudio de soluciones de ecuaciones autónomas de la forma $$\frac{dy}{dt}=f(y).$$
En muchas ocasiones las ecuaciones diferenciales involucran constantes. Si hacemos variar esta constante obtendremos una familia de ecuaciones diferenciales que dependen de este nuevo parámetro que llamaremos $\lambda$. A esta familia de ecuaciones la denotaremos por $$\frac{dy}{dt}=f_{\lambda}(y).$$
Estudiaremos entonces a esta familia de ecuaciones, y el cambio cualitativo de las soluciones conforme varía el parámetro. Nos interesará conocer el comportamiento de las soluciones de equilibrio, y los cambios que estas tienen dependiendo del valor de $\lambda$. En particular, estudiaremos el cambio en el número de soluciones de equilibrio bajo pequeñas perturbaciones del parámetro $\lambda$. A este tipo de problemas los llamaremos bifurcaciones. Definiremos el concepto de valor de bifurcación, y mostraremos cómo encontrar este valor, tanto de manera gráfica mediante un diagrama, como de manera analítica.
Bifurcaciones y valor de bifurcación
En este video damos una pequeña introducción al concepto de bifurcación, definimos la familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas y el valor de bifurcación, todo mediante un ejemplo sencillo.
Diagrama de bifurcaciones
Mostramos un diagrama geométrico para hallar los valores de bifurcación de una familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas, y para conocer el comportamiento de las soluciones a las ecuaciones de la familia, sin dibujarlas explícitamente. A este diagrama lo llamamos diagrama de bifurcaciones.
Determinación de los valores de bifurcación
En el último video de esta entrada hallamos los valores bifurcación mediante un análisis a las gráficas de las funciones $f_{\lambda}(y)$ y con ayuda también de la derivada de dichas funciones en determinados puntos.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Verifica que para toda $\lambda <0$ la ecuación $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda$$ tiene dos soluciones de equilibrio, y para toda $\lambda>0$, la ecuación $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda$$ no tiene soluciones de equilibrio.
Prueba que $\lambda=0$ es el único valor de bifurcación para la familia $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda.$$
Muestra, según la definición, que $\lambda=-1$ es valor de bifurcación para la familia de ecuaciones $$\frac{dy}{dt}=\sin{y}+\lambda.$$
Gráficas de la familia $sen (y)+\lambda$. Elaboración propia.
Considera la familia uniparamétrica $$\frac{dy}{dt}=\lambda y-y^{3}.$$ Encuentra las soluciones de equilibrio para todos los valores de $\lambda$, y esboza el diagrama de bifurcaciones.
Encuentra los valores de bifurcación para la familia uniparamétrica $$\frac{dy}{dt}=y^{4}+\lambda y^{2}$$ con ayuda de la derivada y las gráficas de $f_{\lambda}(y)$. Dibuja el diagrama de bifurcaciones.
Gráficas de la familia $y^{4}+\lambda y^{2}$. Elaboración propia.
Para encontrar los valores de bifurcación, buscamos valores de $\lambda_{0}$ y $y_{0}$ tales que $$f_{\lambda_{0}}(y_{0})=0 ; \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{df_{\lambda_{0}}}{dy}(y_{0})=0. $$ Sin embargo existen casos donde esto último ocurre pero $\lambda_{0}$ no es un valor de bifurcación.
Prueba que las siguientes familias de ecuaciones no tienen valores de bifurcación y dibuja algunas gráficas de estas familias:
$\frac{dy}{dt}=y^{3}+\lambda$
$\frac{dy}{dt}=(y+\lambda)^{2}$
Así, en los dos casos, ocurre que $$f_{0}(0)=0 ; \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{df_{0}}{dy}(0)=0$$ pero $0$ no es valor de bifurcación.
Más adelante
Con este tema damos por terminado la primera unidad del curso. En la siguiente entrada comenzamos la segunda unidad que tratará de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.
En particular, en la siguiente entrada comenzamos con el análisis a las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
¿Cómo es posible un error en las matemáticas?. – Henri Poincare
Introducción
Continuando con la descripción cualitativa de las ecuaciones diferenciales, en esta entrada estudiaremos las ecuaciones diferenciales en las que la función razón no depende explícitamente de la variable independiente $x$.
En la entrada anterior vimos una propiedad geométrica interesante de las ecuaciones diferenciales de la forma
$$\dfrac{dy}{dx} = f(y) \label{1} \tag{1}$$
dicha propiedad es que los elementos lineales en dos puntos distintos del plano $XY$, pero con la misma coordenada $y$, tienen la misma pendiente, esta propiedad tiene interesantes consecuencias y las estudiaremos en esta entrada.
Ecuaciones de primer orden autónomas
Definición: Una ecuación diferencial ordinaria en la que no aparece explícitamente la variable independiente $$F(y, y^{\prime}) = 0 \label{2} \tag{2}$$ se llama autónoma.
Una ecuación autónoma en su forma normal se ve como (\ref{1}).
La ecuación diferencial
$$\dfrac{dy}{dx} = 1 + 2y$$
es una ecuación diferencial autónoma, mientras que la ecuación
$$\dfrac{dy}{dx} = 2xy$$
es una ecuación no autónoma ya que la función razón
$$f(x, y) = 2xy$$
sí depende de la variable independiente $x$.
Hay muchos procesos físicos que son modelados con ecuaciones diferenciales autónomas donde la variable independiente puede ser por ejemplo el tiempo $t$, en estos casos dichos procesos no cambiarían en el tiempo.
Puntos críticos
En la ecuación diferencial autónoma (\ref{1}) las raíces de la función razón son de especial importancia.
Definición: Un número real $k$ es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (\ref{1}) si es una raíz de la función razón $f$ igualada a cero, es decir, si $f(k) = 0$.
Un punto crítico también es llamado punto de equilibrio o punto estacionario.
Definición: Una solución constante $y(x) = k$ de la ecuación diferencial autónoma (\ref{1}) se llama solución de equilibrio.
Con estas dos definiciones podemos observar que si $k$ es un punto crítico de la ecuación (\ref{1}), entonces $y(x) = k$ es una solución constante de la ecuación diferencial autónoma.
Esquema de fases
En la entrada anterior vimos que una propiedad geométrica de las ecuaciones autónomas es que los elementos lineales son paralelos a lo largo de líneas horizontales en el plano $XY$, esto quiere decir que si conocemos el campo de pendientes a lo largo de una sola línea vertical $x = x_{0}$, entonces lo conocemos para todo el plano $XY$. Esta propiedad nos permite, en lugar de dibujar todo el plano, dibujar una sola línea que contiene la misma información. Esta línea se llama línea fase para la ecuación autónoma.
Definición: La línea fase de una ecuación diferencial autónoma es un diagrama en forma de línea recta que contiene la información del comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial.
Para ver cómo obtener los puntos críticos, soluciones de equilibrio y líneas fase realicemos el siguiente ejemplo con una ecuación logística.
Ejemplo: Obtener los puntos críticos, soluciones de equilibrio y línea fase de la siguiente ecuación diferencial autónoma.
Solución: Para obtener las soluciones de equilibrio y los puntos críticos igualamos la función razón a cero.
$$f(y) = y(\alpha -\beta y) = 0$$
La ecuación se satisface si $y = 0$ o $\alpha -\beta y = 0$, es decir, si
$$y(x) = 0 \hspace{1cm} o \hspace{1cm} y(x) = \dfrac{\alpha}{\beta}$$
Estas funciones corresponden a las soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial y los puntos críticos no son más que las constantes $k_{1} = 0$ y $k_{2} = \dfrac{\alpha}{\beta} > 0$.
Para esbozar la línea fase comencemos por colocar dos puntos sobre una línea vertical, dichos puntos corresponden a los puntos críticos obtenidos.
Puntos críticos en la línea fase.
La línea fase es paralela al eje $Y$, o bien puede ser el mismo eje $Y$.
En este caso los puntos críticos dividen a la línea fase en tres intervalos:
Por definición los puntos críticos son los valores en los que
$$\dfrac{dy}{dx} = f(k) = 0$$
esto significa que la pendiente de los elementos lineales en los puntos críticos debe ser cero, mientras que por encima y por debajo de los puntos críticos la pendiente tiene que ser distinta de cero, así que puede haber elementos lineales con pendiente negativa o pendiente positiva.
Veamos en cada uno de los intervalos de nuestro ejemplo que signo tiene la pendiente de los elementos lineales, como se trata de un diagrama unidimensional dicho valor lo representaremos con flechas sobre la línea fase, si la pendiente es positiva colocaremos una flecha apuntando hacia arriba y si es una pendiente negativa colocaremos una flecha apuntando hacia abajo.
Para ver si la pendiente es positiva o negativa estudiemos el signo de la función razón (que es equivalente al signo de la derivada $\dfrac{dy}{dx}$) en cada uno de los intervalos. Comencemos con el intervalo $(-\infty, 0)$, en este caso $-\infty < y < 0$.
\begin{align*} y &< 0 \\ \beta y &< 0 \\ -\beta y &> 0 \\ -\beta y + \alpha > \alpha &> 0 \\ f(y) = y(\alpha -\beta y) &< 0 \\ \dfrac{dy}{dx} &< 0 \end{align*}
Este análisis nos indica que la pendiente de los elementos lineales en el intervalo $(-\infty, 0)$ es negativa.
Haciendo un análisis similar en los intervalos $\left( 0, \dfrac{\alpha}{\beta} \right)$ y $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}, \infty \right)$ obtenemos los siguientes resultados:
En $(-\infty, 0)$ $\hspace{0.2cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es negativa
En $\left( 0, \dfrac{\alpha}{\beta} \right)$ $\hspace{0.2cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) > 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es positiva.
En $\left( \dfrac{\alpha}{\beta}, \infty \right)$ $\hspace{0.05cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es negativa.
Como mencionamos antes, en el intervalo $(-\infty, 0)$ de la línea fase colocaremos una flecha apuntando hacia abajo debido a que la pendiente es negativa. En el intervalo $\left( 0, \dfrac{\alpha}{\beta} \right)$ colocaremos una flecha apuntando hacia arriba ya que la pendiente es positiva y finalmente en el intervalo $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}, \infty \right)$ colocaremos nuevamente una flecha hacia abajo debido a que la pendiente vuelve a ser negativa. La línea fase de la ecuación diferencial dada se muestra en la siguiente figura.
Línea fase de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha-\beta y)$.
Como caso particular consideremos la ecuación diferencial autónoma
$$\dfrac{dy}{dx} = y(6 -3y)$$
Las soluciones de equilibrio son $y(x) = 0$ y $y(x) = \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{6}{3} = 2$. A continuación se muestra el campo de pendientes de esta ecuación.
Campo de pendientes de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = y(6 -3y)$.
Notamos que, en efecto, el valor de la pendiente de los elementos lineales en las soluciones de equilibrio es cero, por encima de $y(x) = 2$ y por debajo de $y(x) = 0$ la pendiente es negativa y entre las soluciones de equilibrio la pendiente de los elementos lineales es positiva, tal como lo mostramos en la línea fase del caso general.
$\square$
Como podemos ver, la línea fase es una gran herramienta que nos permite analizar el comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial autónoma gracias a que las pendientes de los elementos lineales en líneas horizontales del plano $XY$ son siempre iguales.
Con el ejemplo en mente ahora podemos establecer los pasos necesarios para dibujar una línea fase de una ecuación diferencial autónoma.
Comenzamos por dibujar una línea vertical paralela al eje $Y$ para cualquier valor de $x$.
Determinamos las soluciones de equilibrio y los puntos críticos, marcamos los puntos críticos sobre la línea vertical.
Determinamos los intervalos de $y$ en los que $f(y) > 0$ y dibujamos flechas apuntando hacia arriba en esos intervalos.
Determinamos los intervalos de $y$ en los que $f(y) < 0$ y dibujamos flechas apuntando hacia abajo en esos intervalos.
Las líneas fase nos permiten obtener una aproximación cualitativa de las curvas solución de una ecuación diferencial autónoma.
Nota: En ocasiones se usan de forma indistinta los términos puntos críticos y soluciones de equilibrio, sin embargo podemos pensar a un punto crítico como el punto $c = k$ que se coloca en la línea fase, mientras que una solución de equilibrio $y(x) = k$ como la gráfica en el plano $XY$ de una función constante para toda $x$. Cuando estamos analizando líneas fase puede ser que al punto crítico también se le llame solución de equilibrio y es correcto debido a que la línea fase representa al eje de la variable dependiente $y$ para cualquier valor de la variable independiente $x$. Lo importante es que tengamos presente las definiciones de punto crítico y de solución de equilibrio que establecimos al inicio para evitar confusiones.
Ahora veamos que nos dice esta descripción cualitativa acerca de la forma de una curva solución de una ecuación diferencial autónoma.
Curvas solución de una ecuación diferencial autónoma
En la ecuación diferencial autónoma (\ref{1}) la función $f$ es independiente de la variable $x$, esto nos permite suponer que $f$ está definida en $x \in (-\infty, \infty)$, o en $x \in [0, \infty)$. Consideremos una región $U$ en el plano $XY$ en el que se cumple el teorema de existencia y unicidad de una solución, por este teorema sabemos que existe una solución que pasa por el punto $(x_{0}, y_{0})$. En la región $U$ supongamos que una ecuación diferencial autónoma tiene dos puntos críticos $c_{1}$ y $c_{2}$ tales que $c_{1} < c_{2}$. Las gráficas de las soluciones
$$y(x) = c_{1} \hspace{1cm } y \hspace{1cm} y(x) = c_{2}$$
son rectas horizontales que dividen a la región $U$ en tres regiones: $U_{1}, U_{2}$ y $U_{3}$, esto se puede visualizar en la siguiente figura.
Subregiones $U_{1}, U_{2}$ y $U_{3}$ de $U$.
Con estas condiciones podemos establecer las siguientes propiedades.
Si el punto $(x_{0}, y_{0})$ está en alguna subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$ y $y(x)$ es una solución cuya curva solución pasa por $(x_{0}, y_{0})$, entonces $y(x)$ debe permanecer en esa subregión $U_{i}$ para toda $x$.
Esto indica que una solución $y(x)$ no puede cruzar la grafica de una solución de equilibrio $y(x) = c$. Para argumentar este hecho consideremos a $k$ como un punto crítico de una ecuación diferencial autónoma tal que $f(k) = 0$, considerando que $f(y)$ es continua, si las soluciones $y(x)$ son cercanas a $k$, entonces el valor de $f$ debe ser pequeño, esto nos indica que las soluciones se están desplazando lentamente cuando están próximas a los puntos críticos, dicho de otra manera, una solución que se acerca a un punto crítico cuando $x$ crece (o decrece) se mueve cada vez más lento al acercarse a éste. Por el teorema de existencia y unicidad, una solución que se acerca a un punto crítico nunca llega realmente a él, es decir, la solución de equilibrio se vuelve una asíntota para todas las soluciones $y(x)$ que se aproximan al punto crítico.
En la figura anterior, por ejemplo, la curva $y(x)$ que pasa por el punto $(x_{0}, y_{0})$ debe mantenerse dentro de $U_{2}$ para toda $x$, $y(x)$ está acotada por arriba con $c_{2}$ y por abajo con $c_{1}$, esto es, $c_{1} < y(x) < c_{2}$.
Otra propiedad es la siguiente.
Por continuidad de la función $f$, debe ser $f(y) > 0$ o $f(y) < 0$ para toda $x$ en una subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$.
Vimos anteriormente que el signo de la pendiente se mantiene igual dentro de toda la región limitada por los puntos críticos, esto nos permite deducir que una curva solución $y(x)$ no puede oscilar o tener extremos relativos (máximos o mínimos) dentro de una misma región. Esto lo podemos describir con la siguiente propiedad.
Debido a que $\dfrac{dy}{dx} = f(y(x))$ es positiva o negativa en una subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$, una solución $y(x)$ es estrictamente monótona, por lo tanto no puede oscilar ni tener extremos relativos.
Ahora que conocemos estas propiedades podemos establecer una más que se puede deducir de las anteriores. Basándonos en el caso general de la imagen anterior podemos decir lo siguiente.
Si $y(x)$ es una solución dentro de la región $U_{1}$, entonces está acotada por arriba con el punto crítico $c_{1}$, esto es, $\forall$ $x$ en el intervalo $$y(x) < c_{1}$$ Esto indica que la curva solución $y(x)$ debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio $y(x) = c_{1}$ a medida que $x \rightarrow \infty$ o $x \rightarrow -\infty$. Por otro lado, una solución $y(x)$ que este en la región $U_{2}$ está acotada por abajo con $c_{1}$ y arriba con $c_{2}$, esto es, $\forall$ $x$ en el intervalo $$c_{1} < y(x) < c_{2}$$ Entonces la curva solución $y(x)$ debe tender a las gráficas de las soluciones de equilibrio $y(x) = c_{1}$ y $y(x) = c_{2}$ conforme $x \rightarrow \infty$ en una y $x \rightarrow -\infty$ en la otra. Finalmente, si la solución está en la region $U_{3}$ entonces está acotada por abajo con $c_{2}$, es decir, $\forall$ $x$ $$y(x) > c_{2}$$ En este caso la grafica $y(x)$ debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio $y(x) = c_{2}$ conforme $x \rightarrow \infty$ o $x \rightarrow -\infty$.
Veamos la importancia de estas propiedades en un ejemplo.
Modelo logístico de la población
En esta entrada ya estudiamos como ejemplo la ecuación logística (\ref{3}), usemos los resultados obtenidos para resolver de manera cualitativa el problema del modelo logístico de la población visto en la entrada anterior. El modelo que establecimos fue
$$\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P \label{4} \tag{4}$$
Este modelo corresponde a una ecuación diferencial autónoma.
$$\dfrac{dP}{dt} = f(P) \label{5} \tag{5}$$
así que las curvas solución las podemos describir con la teoría que hemos construido en esta entrada.
El problema que analizábamos era el crecimiento de la población en función de su entorno y los recursos limitados a los que están sujetos. Resolvamos la ecuación diferencial de manera cualitativa aplicando lo que hemos aprendido hasta ahora e interpretemos los resultados.
Comencemos por determinar las soluciones de equilibrio y los puntos críticos, para ello igualemos la ecuación a cero.
$$\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P = 0$$
Esta relación se satisface si
$$kP = 0 \hspace{1cm} o \hspace{1cm} 1 -\dfrac{P}{N} = 0$$
Es decir, si $P = 0$ o $P = N$. Por lo tanto, los puntos críticos son $c_{1} = 0$ y $c_{2} = N$, mientras que las soluciones de equilibrio son $P(t) = 0$ y $P(t) = N$.
Coloquemos los puntos críticos sobre la línea fase.
Puntos críticos en la línea fase.
Los puntos críticos definen tres intervalos para $P$, estos son
$$(-\infty, 0), \hspace{1cm} (0, N) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} (N, \infty)$$
Sin embargo, como se trata de un problema real es claro que no tiene sentido que la variable población $P(t)$ sea negativa (no hay individuos negativos), así mismo no hay tiempos negativos por lo que $t > 0$, por lo tanto en este problema sólo consideraremos los intervalos $(0, N)$ y $(N, \infty)$ para $P$, así como $0 < t < \infty$.
Del caso general (\ref{3}) deducimos que en el intervalo $(0, N)$ las pendientes son positivas, así que la función $P(t)$ será creciente en dicho intervalo y en $(N, \infty)$ las pendientes son negativas, por tanto la función $P(t)$ será decreciente. La línea fase final queda de la siguiente manera.
Línea fase del modelo logístico.
Un ejemplo de como se ve el campo de pendientes, las soluciones de equilibrio y algunas curvas solución de la ecuación logística (\ref{4}) se muestra en la siguiente figura.
Campo de pendientes de la ecuación logística (4) para valores particulares de $k$ y $N$.
De este gráfico notamos que las curvas solución cumplen con las hipótesis que establecimos al plantear el modelo, dichas hipótesis eran
Si la población es pequeña $(P(t) < N)$, la tasa de crecimiento de la población es proporcional a su tamaño.
Si la población es demasiado grande para ser soportada por su entorno y recursos $(P(t) > N)$, la población disminuirá, en este caso la tasa de crecimiento será negativa.
Las soluciones de equilibrio $P(t) = 0$ y $P(t) = N$ tienen sentido, pues si la población es cero permanecerá en cero indefinidamente y si la población es exactamente la asociada con la capacidad de soporte, entonces no crecerá ni disminuirá.
Es así que a partir de la línea fase y el campo de pendientes de una ecuación diferencial autónoma podemos esbozar varias curvas solución con distintas condiciones iniciales. En este ejemplo la única información que necesitamos es el hecho de que $P = 0$ y $P = N$ son soluciones de equilibrio, $P(t)$ crece si $0 < P < N$ y disminuye si $P > N$ o $P < 0$. Los valores exactos de $P(t)$ en cualquier tiempo dado $t$ dependerán de los valores $P(0)$, $k$ y $N$.
$\square$
Clasificación de puntos de equilibrio
Como vimos, alrededor de un punto crítico las soluciones pueden tener distintos comportamientos. Básicamente hay tres tipos de comportamiento que $y(x)$ puede tener alrededor de un punto crítico y en base a estos comportamientos podemos clasificarlos.
Supongamos que $y(x) = y_{0}$ es una solución de equilibrio de la ecuación diferencial autónoma (\ref{1}), los tres tipos de comportamiento que $y(x)$ puede tener alrededor del punto crítico $y_{0}$ son:
Caso 1: Por arriba de $y_{0}$ la función $y(x)$ es decreciente y por debajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente, en este caso decimos que el punto crítico es un atractor.
$y_{0}$ es un atractor.
Caso 2: Por arriba de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente y por debajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es decreciente, en este caso decimos que el punto crítico es un repulsor.
$y_{0}$ es un repulsor.
Caso 3: Tanto por arriba y por abajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente o decreciente, en este caso decimos que el punto crítico es un nodo o punto semiestable.
$y_{0}$ es un nodo o punto semiestable.
En resumen, sea $y(x)$ solución de una ecuación diferencial autónoma (\ref{1}).
Si $f(y_{0}) = 0$, entonces $y_{0}$ es un punto crítico y $y(x) = y_{0}$ es la solución de equilibrio para toda $x$.
Si $f(y_{0}) > 0$, entonces $y(x)$ es creciente para toda $x$ y $y(x) \rightarrow \infty$, cuando $x$ incrementa, o bien $y(x)$ tiende al primer punto de equilibrio mayor que $y_{0}$.
Si $f(y_{0}) < 0$, entonces $y(x)$ es decreciente para toda $x$ y $y(x) \rightarrow -\infty$, cuando $x$ incrementa, o bien $y(x)$ tiende al primer punto de equilibrio menor que $y_{0}$.
Importante mencionar que esto también es valido para $x$ negativas. Cuando $x$ decrece podemos encontrar resultados similares.
Si $f(y_{0}) > 0$, entonces $y(x) \rightarrow -\infty$ o al siguiente punto de equilibrio menor conforme $x$ aumenta en valores negativos.
Si $f(y_{0}) < 0$, entonces $y(x) \rightarrow \infty$ o al siguiente punto de equilibrio mayor conforme $x$ aumenta en valores negativos.
Un caso especial
Consideremos la ecuación diferencial autónoma
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -y}$$
Intentemos esbozar la línea fase. Por definición, los puntos críticos son los valores para los que $f(y) = 0$, sin embargo en este caso $f(y)$ no puede ser cero.
Notemos que si $y > 1$, entonces $f(y) < 0$ y si $y < 1$, entonces $f(y) > 0$, pero si $y = 1$, $f(y)$ no esta definida. En este caso decimos que la línea fase tiene un agujero en $y =1$ y lo denotamos como un circulo vacío.
Agujero en la línea fase.
Las soluciones $y(x)$ de la ecuación tienden hacia $y = 1$ cuando $x$ aumenta.
Concluyamos esta entrada con el enunciado de un teorema importante.
Teorema de linearización
Existe un teorema conocido como teorema de linearización que nos ayuda a determinar el tipo de puntos críticos de una ecuación diferencial autónoma (\ref{1}), de acuerdo al comportamiento que tiene la función $f(y)$. El enunciado de este teorema es el siguiente.
Teorema: Sea $y_{0}$ un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (\ref{1}), donde $f$ es una función continua y diferenciable, entonces:
Si $f^{\prime}(y_{0}) < 0$, entonces $y_{0}$ es un atractor.
Si $f^{\prime}(y_{0}) > 0$, entonces $y_{0}$ es repulsor.
Si $f^{\prime}(y_{0}) = 0$ o si $f^{\prime}(y_{0})$ no existe, entonces no podemos concluir nada sobre $y_{0}$.
La demostración a este teorema la podemos encontrar en la sección de videos.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Para las siguientes ecuaciones diferenciales, esbozar las líneas fase y clasificar a los puntos críticos como atractores, repulsores o nodos según sea el caso.
$\dfrac{dy}{dx} = 3y(1 -y)$
$\dfrac{dv}{du} = \dfrac{1}{v -2}$
$\dfrac{dy}{dt} = \cos(y)$
$\dfrac{dw}{dt} = w^{2} -6w -16$
Para cada condición inicial dada, describir cualitativamente el comportamiento a largo plazo de las soluciones de la ecuación diferencial
$\dfrac{dy}{dx} = y^{2} -4y + 2$
con condición inicial
$y(0) = 0$
$y(0) = 10$
$y(3) = 1$
Más adelante…
En estas dos últimas entradas hemos estudiado a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden desde una perspectiva cualitativa, esto nos ha permitido esbozar las curvas solución y encontrar propiedades interesantes sin siquiera conocer la forma explicita de la solución. En particular, las ecuaciones diferenciales autónomas presentan propiedades interesantes que son útiles para analizar modelos que describen algún fenómeno real.
Ha llegado el momento de estudiar los distintos métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Comenzaremos con un método sencillo que funciona sólo para ecuaciones diferenciales lineales.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En la entrada anterior desarrollamos un par de técnicas geométricas para conocer las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden de la forma $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$. En esta ocasión nos enfocaremos en una familia de ecuaciones en particular, que tienen la forma $\frac{dy}{dt}=f(y)$, las cuales llamaremos ecuaciones autónomas. Para conocer sus soluciones de manera geométrica, haremos uso de sus soluciones de equilibrio y su línea fase. Por supuesto definiremos estos conceptos y mediante herramientas de cálculo diferencial podremos hacer un esbozo de las soluciones a dicha ecuación diferencial.
Vamos a comenzar.
Esbozo de las soluciones a una ecuación autónoma mediante el trazo de la línea fase y sus soluciones de equilibrio
En este video definimos a las ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden y sus soluciones de equilibrio. Posteriormente, dibujamos la línea fase asociada a la ecuación y con ayuda de esta hacemos un esbozo de las soluciones a la ecuación en el plano $t-y$.
Clasificación de las soluciones de equilibrio
Una vez que conocemos cómo dibujar las soluciones de una ecuación autónoma a partir de su línea fase, clasificamos sus soluciones de equilibrio en tres tipos, según el comportamiento de soluciones cercanas en el plano $t-y$.
Finalizamos con un teorema que nos permitirá conocer el tipo de solución de equilibrio de una ecuación autónoma, mediante el signo de la derivada de la función $f(y)$ evaluada en la solución de equilibrio.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Encuentra las soluciones de equilibrio y dibuja la línea fase de la ecuación $\frac{dy}{dt}=y^{3}-y^{2}$.
Considera la ecuación autónoma $\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1-y}$. Encuentra sus soluciones de equilibrio (si las tiene) y dibuja la línea fase. Con la información obtenida, analiza cuál es el comportamiento de las soluciones a la ecuación. ¿Cómo crees que se ven las soluciones en el plano $t-y$?
¿Cómo dibujarías las soluciones a la ecuación $\frac{dy}{dt}=f(y)$ si $f$ tiene la siguiente gráfica? Hint: Recuerda los criterios de los signos de las derivadas de primer orden en un punto que nos ayudan a ver cuándo la función es creciente o decreciente en dicho punto.
Gráfica de $f$. Elaboración propia.
Da ejemplos donde $\frac{dy}{dt}=f(y)$, $y_{0}$ es solución de equilibrio de la ecuación diferencial, $f'(y_{0})=0$ y $y_{0}$ sea atractor, repulsor o nodo.
Clasifica las soluciones de equilibrio del tercer ejercicio.
Más adelante
Ahora que hemos visto varias técnicas para encontrar las soluciones a una ecuación de primer orden, al menos de manera geométrica, nos enfocaremos en la parte analítica de las soluciones.
En el próximo video nos enfocaremos en las ecuaciones lineales homogéneas, y la técnica para resolverlas.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
