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Álgebra Moderna I: Órbita de $x$ y tipos de acciones

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Tomemos un grupo $G$ y $X$ un $G$-conjunto. A lo largo de esta entrada consideraremos la relación de equivalencia en $X$ inducida por esta acción y que fue definida en la entrada anterior de la siguiente manera:

$x\sim y$ si y sólo si $g\cdot x = y$ para algún $g\in G$.

Continuemos entonces con esta idea, comenzando por definir las clases de equivalencia inducidas por esa relación.

Después, definiremos nuevos tipos de acciones, por ejemplo, ¿qué pasa si la relación sólo induce una clase de equivalencia? o ¿qué sucede con el conjunto de objetos que dejan fijo a los elementos de $G$?

Órbita de un elemento de $X$

Dada la importancia de esta manera de relacionar a los elementos de un grupo de acuerdo a una acción, daremos un nombre a sus clases de equivalencia.

Definición. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Para cada $x\in X$, la órbita de $x$ es
\begin{align*}
\mathcal{O}(x) = \{g\cdot x | g \in G\},
\end{align*}

es decir, todos los objetos que podemos obtener haciendo actuar a $G$ sobre $x$.

Observación. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Tenemos que $\mathcal{O}(x)$ es la clase de equivalencia de $x$ con respecto a la relación inducida por la acción de $G$ en $X$.

Demostración.

Sea $x\in G$. Sabemos que la clase de equivalencia de $x$, denotada por $[x]$, se define como:
\begin{align*}
[ x ] &= \{y\in X |x\sim y\} &\text{Definición de clase de equivalencia} \\
&= \{y\in X|\exists g\in G \text{ con }g\cdot x = y\} &\text{Definición de la relación }\sim\\
&= \{g\cdot x| g\in G\} = \mathcal{O}(x) &\text{Definición de órbita.}
\end{align*}

$\blacksquare$

De cursos anteriores sabemos que la colección de clases de equivalencia inducidas por una relación es una partición del conjunto. El siguiente teorema se da como consecuencia de las propiedades de una partición.

Teorema. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Entonces

  1. $\mathcal{O}(x) \neq \emptyset $ para toda $x\in X$.
  2. Sean $x,y\in X$. Si $\mathcal{O}(x)\cap \mathcal{O}(y)\neq \emptyset$, entonces $\mathcal{O}(x) = \mathcal{O}(y)$.
  3. $\displaystyle X = \bigcup_{x\in X}\mathcal{O}(x)$.

Este teorema sólo enlista las propiedades de una partición en el caso particular en el que estamos trabajando, por lo que no hay nada nuevo que demostrar.

Una acción transitiva

Las órbitas están determinadas por varios factores: el conjunto $X$, el grupo $G$ y la acción de $G$ en $X$. En algunos casos existe una única órbita.

Definición. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Si $\mathcal{O}(x) = X$ para alguna $x\in X$, decimos que la acción es transitiva.

Esta definición nos dice que podemos obtener cualesquier elemento de $X$ haciendo actuar algún elemento del grupo en el objeto $x$.

Ejemplos de acciones transitivas

Ejemplo 1. Dado $G$ un grupo, $X=G$ definimos la acción de $G$ en sí mismo mediante la operación de $G$, es decir $a\cdot x = a x$ para todas $a\in G$, $x\in X.$

Consideremos cualquier $x\in X$. Sea $y\in X$. Siempre tenemos una manera de obtener $y$ a través de $x$:
\begin{align*}
y = y(x^{-1}x) = (yx^{-1})x = (yx^{-1})\cdot &x \in \mathcal{O}(x). \\
\text{Entonces } &y \in \mathcal{O}(x).
\end{align*}

Por lo tanto $\mathcal{O}(x) = X$ y así la acción es transitiva.

Ejemplo 2. Sean $G$ un grupo, $H\leq G$, $X = \{gH | g\in G\}$. Definimos $a\cdot (gH) = agH$ para todas $a,g\in G.$

Consideremos cualquier $gH \in X.$ Sea $tH \in X$ con $t\in G.$ Podemos reescribir al representante como:
\begin{align*}
t H &= t(g^{-1}g) H = (tg^{-1})gH \\
&= (tg^{-1})\cdot gH \in \mathcal{O}(gH).
\end{align*}

Por lo tanto $\mathcal{O}(gH) = X$. Así, la acción es transitiva.

Ejemplo 3. Sea $G = D_{2n}$ el grupo diédrico, $X = \{1,2,\cdots, n\}$ los distintos vértices del polígono regular de $n$ lados.

La acción que ya habíamos trabajado: dados $g\in G$, $i\in X$ definimos $g\cdot i = g(i)$.

Dada $a\in G$ la rotación $\frac{2\pi}{n}$ y $1\in X$, tenemos que
\begin{align*}
\text{id}\cdot 1 &= 1, \\
a\cdot 1 = a(1) &= 2,\\
a^2 \cdot 1 = a^2(1) &= 3, \\
&\vdots \\
a^{n-1} \cdot 1 = a^{n-1} (1) &= n.
\end{align*}

Entonces $X = \{1,2,\cdots,n\}\subseteq \mathcal{O}(1) \subseteq X$. Así, $\mathcal{O}(1) = X$. Por lo tanto la acción es transitiva.

Ejemplo 4. Ahora veamos un ejemplo nuevo.

Sea $G$ un grupo, $X= G$. Dados $a\in G$, $x\in X$ definimos
\begin{align*}
a\cdot x &= a x a^{-1}.
\end{align*}

Demostremos que es una acción:
\begin{align*}
e\cdot x &= exe^{-1} = x &\forall x\in X.\\
a\cdot(b\cdot x) &= a(b\cdot x)a^{-1} = a(bxb^{-1})a^{-1} = (ab)x(ab)^{-1}& \text{Asociando diferente}\\
&= (ab)\cdot x &\forall a,b\in G, \forall x\in X.
\end{align*}

Así, $G$ actúa en sí mismo por conjugación.

Dado $x\in X$,
\begin{align*}
\mathcal{O}(x) = \{g\cdot x | g\in G\} = \{gxg^{-1}| g\in G\}
\end{align*}
que son todos los conjugados de $x$.

En este caso, la acción no siempre es transitiva: Si $ G\neq \{e\}$ consideremos $x\in G\setminus\{e\}.$ Si $e\in \mathcal{O}(x)$ entonces $e = g\cdot x = gxg^{-1}$ para algún $g\in G$ y entonces $e = x$, esto es una contradicción porque $x\in G\setminus\{e\}$. Así, $\mathcal{O}(x)\neq X$ y la acción no es transitiva.

Más definiciones de acciones

En toda acción el neutro del grupo actúa de forma trivial en todos los elementos del conjunto pero puede ser que existan otros elementos del grupo con esa propiedad. Si no es el caso decimos que la acción es fiel:

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Decimos que la acción es fiel si $g\cdot x = x$, con $g\in G$, para todo $x\in X$, implica que $g=e.$

Consideremos ahora los elementos del grupo que fijan a algún elemento específico del conjunto:

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X$. El estabilizador de $x$ es
\begin{align*}
G_x = \{g\in G | g\cdot x = x\}.
\end{align*}

Es decir, la colección de todos los elementos de $G$ que dejan fijo a $x$.

Ejemplos de acción fiel y estabilizador

Ejemplo 1. Sea $G$ un grupo, $X = G$ y $g\cdot x = gx$ para todo $g,x \in G.$

Si $g\in G$ es tal que $g\cdot x = x$ para toda $x\in X$, entonces $gx = x$ para toda $x\in X$, en particular $g = ge = e.$

Así $g=e$ y la acción es fiel.

Dado $x\in X$,
\begin{align*}
G_x = \{g\in G | g\cdot x = x\} = \{g\in X| gx = x\}.
\end{align*}

Pero si $gx = x$,por cancelación $g=e$. Así $G_x = \{e\}$ para toda $x\in X,$ de modo que los estabilizadores son triviales.

Ejemplo 2. Sean $G$ grupo, $H$ subgrupo de $G$, $X = \{xH | x\in G\}$ con $g\cdot(xH) = gx H$ para toda $g,x\in G.$

Si $g\in G$ es tal que $g\cdot (xH) = xH$ para toda $x\in G$, entonces
\begin{align*}
gxH &= xH &\forall x\in G\\
\Rightarrow \, x^{-1} g x &\in H & \forall x\in G\\
\Rightarrow \, g&\in xHx^{-1} & \forall x\in G.
\end{align*}

Si $H\unlhd G$ esto se cumple para toda $g\in H$. Por lo tanto la acción no necesariamente es fiel.

Ahora, dada una clase lateral $xH \in X$.
\begin{align*}
G_{xH} &= \{g\in G | g\cdot (xH) = xH\}\\
&= \{g\in G| gxH = xH\}\\
&= \{g\in G | x^{-1}gx\in H\} \\
&= \{g\in G | g\in xHx^{-1}\}\\
&= xHx^{-1}.
\end{align*}

Así $G_{xH} = xHx^{-1}$ para toda $x\in G.$

Ejemplo 3. Sean $G = D_{2n}$ el grupo diédrico, $X = \{1,2,\cdots, n\}$ los distintos vértices del polígono regular de $n$ lados.

Dados $g\in G, i \in X$ definimos $g\cdot i = g(i)$.

Si $g\in G$ es tal que $g\cdot i = i$ para toda $i \in X$, entonces $g(i) = i$ para toda $i\in X$. Así, $g$ sería una transformación lineal en el plano, que fija a los vértices $1$ y $2,$ los cuales forman una base del plano. Por lo tanto $g = \text{id}$ y la acción es fiel.

Dado $i\in X$,
\begin{align*}
G_i &= \{g \in G | g\cdot i = i\}\\
&= \{g\in G | g(i) = i\}\\
&= \{\text{id},r_i\}
\end{align*}
con $r_i$ la reflexión con respecto a la recta que pasa por $(0,0)$ y $i.$

Por último, veremos una observación.

Ilustración de lo que sucede con $r_i$ de $D_{2(n)}.$ Usamos $D_{2(4)}$ representado con un cuadrado y $D_{2(8)}$ representado con un octágono. En el dibujo, $r_1$ mantiene fijo a 1 y 3, y $r_3$ mantiene fijo a 3 y 7.

Observación. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X$. $G_x$ es un subgrupo de $G$.

Demostración.
Sean $G$ grupo, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X.$

El neutro de $G$ siempre está en el estabilizador porque:
\begin{align*}
e\cdot x = x \quad \forall x\in X,
\end{align*}

entonces $e\in G_x.$

Si $a,b\in G_x$, entonces $(ab)\cdot x = a\cdot (b\cdot x) = a\cdot x = x = x$. Así, $ab\in G_x$. Es decir, el estabilizador es cerrado bajo producto.

Finalmente si $a\in G_x$, $a\cdot x = x$, entonces $a^{-1}\cdot x = a^{-1}\cdot (a\cdot x) = (a^{-1}a)\cdot x = e\cdot x = x$, así $a^{-1} \in G_x$.

Por lo tanto $G_x \leq G$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. En cada uno de los incisos del ejercicio 1 de la entrada de acciones, en donde haya una acción, describe cómo son las órbitas y determina si se trata de una acción transitiva.
  2. Considera el conjunto $X = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y el grupo $G = \left< a \right>$ con $a\in S_8$. Define $a^{i}\cdot j = a^{i}(j)$ para cada $a^{i} \in G$ y cada $j\in X$.
    • Verifica que es una acción de $G$ en $X$.
    • Si $a = (2 \; 4 \; 1 \; 7 \; 8)$ describe las órbitas y determina si se trata de una acción transitiva.
    • Si $a = (6 \; 1 \; 5 \; 8)(3 \; 4)$ describe órbitas y determina si se trata de una acción transitiva.
  3. Sea $G$ un grupo y $X$ un $G$-conjunto. Si la acción de transitiva prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
    • $\mathcal{O}(x) = X$ para todo $x\in X$.
    • Para cada $x,y \in X$ existe $g\in G$ tal que $g\cdot x = y$.
  4. Considera el grupo diédrico $D_{2n}$ actuando sobre sí mismo con conjugación.
    • Determina si la acción es fiel.
    • Encuentra el estabilizador de $a$, con $a$ la rotación de $\frac{2\pi}{n}$, y el de $b$ con $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
  5. Sea $G$ un grupo y $X$ un $G$-conjunto.
    • Determina si el hecho de que exista $x\in G$ tal que $G_x = \{e\}$ implica que la acción es fiel.
    • Determina si el hecho de que la acción sea fiel implica que exista $x\in G$ tal que $G_x=\{e\}$.

Más adelante…

Continuaremos estudiando las propiedades de las órbitas, en particular, el orden de las órbitas, ¿cómo se relaciona éste con el orden del grupo $G$? Daremos respuesta a ello en la siguiente entrada.

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Álgebra Moderna I: Tercer Teorema de Isomorfía

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Alguna vez te haz preguntado: ¿qué ocurre con un cociente de cocientes? Comencemos con un ejemplo para crear intuición.

Digamos que queremos que el siguiente cociente tenga sentido:
\begin{align*}
(G/K) \Big/ (H/T).
\end{align*}
Para ello, necesitamos que $K\unlhd G$, $T\unlhd H$ y además $H/T \unlhd G/K$. Lo último nos indica en particular que $H/T$ debe ser un subconjunto de $ G/K$. Como los elementos de $H/T$ son de la forma $hT$con $h\in H$ y los de $G/K$ de la forma $gK$ con $g\in G$, para que $H/T\subseteq G/K$ necesitamos primero que las clases se formen con respecto al mismo subgrupo, es decir requerimos que $T=K$. Además, todo $h\in H$ debería ser elemento de $G$, por lo que $H\subseteq G.$

Volvamos a escribir el cociente ahora con $T=K$,
\begin{align*}
(G/K) \Big/ (H/K).
\end{align*}
También actualicemos las necesidades:

  1. $K\unlhd G$,
  2. $K\unlhd H$ y
  3. $H/K\unlhd G/K$ con $H\subseteq G.$

Notemos que $K \subseteq H \subseteq G$ y la primera condición, $K \unlhd G$, nos da la segunda, $K\unlhd H$. También podemos pedir que $H\unlhd G$ y de esto obtendríamos la tercera necesidad, $H/K\unlhd G/K$. Además, al pedir que $H\unlhd G$ podríamos considerar al cociente $G/H$.

En esta entrada, demostraremos el Tercer Teorema de Isomorfía, el cual nos respalda en afirmar, bajo las condiciones ya establecidas, que
\begin{align*}
G/H \cong (G/K) \Big/ (H/K).
\end{align*}

De esto podemos concluir que, cuando se tiene un cocientes de cocientes existe una manera de reducirlo ya que es isomorfo a un cociente más sencillo.

Enunciado del Teorema

Comenzaremos enunciando y demostrando el teorema. Como ya dijimos en la entrada del Primer Teorema de Isomorfía, aquí volveremos a usarlo para probar el Tercero.

Diagrama de retícula que representa que $H\unlhd G$ y $K\unlhd G$.

Teorema. (Tercer Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K\leq H$. Entonces $H/K \unlhd G/K$ y
\begin{align*}
(G/K)\, \Big/\, (H/K) \cong G/H.
\end{align*}

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H\unlhd G$, $K\unlhd G$ con $K \leq H$.
Como $K\unlhd G$, al conjugar elementos de $K$ con cualquier elemento de $G,$ obtenemos elementos de $K$. En particular, si conjugamos elementos de $K$ con cualquier elemento de $H,$ obtenemos elementos de $K$. Así obtenemos que $K\unlhd H$.

Ahora, usaremos el Primer Teorema de Isomorfía para probar el isomorfismo buscado, para ello bastaría definir una $\varphi$ tal que $\text{Núc } \varphi = H/K$ y $\text{Im }\varphi = G/H$.

Sea $\varphi: G/K \to G/H$ con $\varphi(gK) = gH$ para toda $g\in G$.

Primero, veamos que $\varphi$ está bien definida.
Tomemos $a,b \in G$.
\begin{align*}
aK = bK &\Rightarrow b^{-1}a \in K \\
&\Rightarrow b^{-1}a\in H &\text{Porque } K \subseteq H\\
&\Rightarrow aH = bH.
\end{align*}
Esto nos dice que debido a la contención $K\subseteq H$, dos clases que son iguales con respecto a $K$, seguirán siendo iguales con respecto a $H$. Así, $\varphi$ está bien definida.

Ahora veamos que $\varphi$ es un homomorfismo. Sean $a,b\in G$
\begin{align*}
\varphi(aKbK) = \varphi(abK) = ab H = aHbH = \varphi(aK)\varphi(bK)
\end{align*}
entonces $\varphi$ es un homomorfismo.

Ahora sí, comencemos a analizar su núcleo:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{gK\in G/K \,:\, \varphi(gK) = e_{G/H}\} & \text{Definición de núcleo} \\ &= \{gK\in G/K \,:\, gH = H \} &\text{Definición de $\varphi$ y neutro del cociente}\\
&= \{gK \in G/K \,:\, g\in H\} & gH = H \Leftrightarrow g\in H \\
&= H/K
\end{align*}

Así, $\text{Núc }\varphi =H/K$ y en consecuencia $H/K \unlhd G/K.$

Veamos ahora que $\varphi$ es suprayectiva.
Sea $x\in G/H$, $x = gH$ con $g\in G$. Por definición de $\varphi$ tenemos,
\begin{align*}
x = gH = \varphi(gK) \in \text{Im }\varphi.
\end{align*}
Como siempre sucede que $\text{Im }\varphi \subseteq G/H$. Entonces $\text{Im }\varphi = G/H$.

Por el Primer Teorema de Isomorfía:
\begin{align*}
(G/K)\,\Big/\, \text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi
\end{align*}
entonces, de acuerdo a lo que analizamos,
\begin{align*}
(G/K)\,\Big/\, (H/K) \cong G/H.
\end{align*}

$\blacksquare$

Ejemplo

Veamos ahora un ejemplo del Tercer Teorema de Isomorfía.

Tomemos $G = (\r, +), H= (\z, +)$. Consideremos $n\in\z$ y $K = \left< n\right> = n\z$.

Diagrama que representa $\left< n\right>\unlhd \r$ y $\z \unlhd \r$.

Sabemos que $\z\unlhd\r$ y que $\left< n\right>\unlhd \r$ ya que $\r$ es abeliano.
Por el 3er Teorema de Isomorfía,
\begin{align*}
(\r/\left<n\right>)\,\Big/\, (\z/\left< n\right>) \cong \r/\z.
\end{align*}

Veamos cómo es $\z / \left<n\right>$. Sea $\varphi:\z\to\z_n$ con $\varphi(m) = \bar{m}$ para todo $m\in\z$. Por lo que tenemos estudiado de Álgebra Superior II, sabemos que $\varphi$ es un epimorfismo con $\text{Núc }\varphi = \left<n\right>$ y por el 1er Teorema de Isomorfía
\begin{align*}
\z/\left<n\right> \cong \z_n.
\end{align*}

Analicemos ahora el cociente $\r/\left<n\right>$. Sea $\psi:\r \to \mathbb{C}^*$ con $\psi(x) = e^{\frac{2\pi ix}{n}}$ para toda $x\in \r$. Tenemos que $\psi$ es un homomorfismo con
\begin{align*}
\text{Núc }\psi &= \{x\in \r : \psi(x) = 1\} = \{x\in\r : e^{\frac{2\pi ix}{n}} = 1\}\\
&= \{nk : k\in\z\} = \left< n\right>.\\
\text{Im }\psi &= \{\psi(x) : x\in \r\} = \{e^{\frac{2\pi ix}{n}}: x\in \r\}\\
&=\{z \in \mathbb{C}:|z|=1\} = \s^1.
\end{align*}
Por el 1er Teorema de Isomorfía aplicado a $\psi$ obtenemos que $\r/\left<n\right> \cong \s^1$.

Por último, veamos cómo es $\r/\z$. Sea $F:\r\to\mathbb{C}^*$ con $F(x) = e^{2\pi ix}$ para toda $x\in\r$. Tenemos que $F$ es un homomorfismo con
\begin{align*}
\text{Núc }F &= \{x\in\r : F(x) = 1\} = \{x\in\r : e^{2\pi ix} = 1\}\\
&= \{x : x\in\z\} = \z\\
\text{Im }F &= \{F(x) : x\in\r\} = \{e^{2\pi ix}: x\in \r\}\\
&= \{z\in\mathbb{C} : |z| = 1\} = \s^1.
\end{align*}

Así, $\r/\z \cong \s^1$ por el 1er Teorema de Isomorfía.

Recapitulando, hemos visto que
\begin{align*}
\s^1 &\cong \r/\left<n\right> \\
\z_n &\cong \z/\left<n\right>.
\end{align*}

Entonces, retomando el cociente con el que iniciamos:
\begin{align*}
(\r/\left<n\right>) \,\Big/\, (\z/\left<n\right>) \cong \r/\z \cong \s^1.
\end{align*}

donde $\s^1\cong \r/\left<n\right>$ y $\z_n\cong \z/\left<n\right>.$ Entonces, un cociente de $\s^1$ módulo un subgrupo suyo no trivial (que es isomorfo a $\z_n$), resulta ser isomorfo a $\s^1$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K$ un subgrupo de $H$. Describe cómo son en general los elementos del cociente $(G/K)/(H/K)$.
  2. Sea $\z_{12}$, considera sus subgrupos $H = \langle\bar{2}\rangle$ y $K = \langle\bar{4}\rangle$.
    • Determina en este caso qué pasa al aplicar el Tercer Teorema de Isomorfía.
    • Describe cómo son los cocientes $\z_{12}/K$ y $H/K$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar.

Más adelante…

Ya vamos 3/4 de los teoremas. ¡Qué emoción! En la próxima entrada veremos el más largo de los Teoremas de Isomorfía.

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Álgebra Moderna I: Paridad de una permutación

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

4 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior descubrimos que toda permutación se puede factorizar en producto de transposiciones. Mas aún, el polinomio de Vandermonde nos permite saber que, aunque hayan varias factorizaciones, en realidad, todas siempre tienen una cantidad par (o un cantidad impar) de transposiciones. Con esto, podemos definir el signo de una permutación. La secuencia que se seguirá para abordar el signo de una permutación es la presentada en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, es decir se usarán los resultados de la entrada previa de acuerdo al enfoque de Herstein, para introducir la función signo y probar que es multiplicativa, y con ello obtener la fórmula del signo que aparece en el libro de Rotman (todos estos libros son los que se mencionan en la bibliografía).

Ya teniendo una noción de la paridad de una permutación podemos jugar con las consecuencias: podemos deducir qué pasa si multiplicamos dos permutación con la misma paridad, qué sucede cuando tienen distinta paridad y además, como es raro en los cursos de matemáticas… ¡podemos agrupar por paridad! En esta entrada, descubrimos que el conjunto de transposiciones con signo par, es en realidad un grupo con $\frac{n!}{2}$ elementos. Este conjunto es llamado el grupo alternante.

¿Pares o impares?

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha$ es par si $\alpha = \text{id}$ o si $\alpha$ es un producto de un número par de transposiciones. Por otro lado, $\alpha$ es impar si es un producto de un número impar de transposiciones.

La función signo es $sgn: S_n \to \{+1, -1\}$ definida como
\begin{align*}
sgn \; \alpha = \begin{cases} +1 & \text{si } \alpha \text{ es par} \\
-1 & \text{si } \alpha \text{ es impar}
\end{cases}
\end{align*}

Observación. Sean $\alpha = \tau_{1} \cdots \tau_r \in S_n$, con $\tau_{1}, \cdots, \tau_r$ transposiciones. Entonces $sgn\;\alpha = (-1)^r$.

Demostración.
La definición nos asegura que $sgn\;\alpha = +1$ si y sólo si $r$ es par.

$\blacksquare$

Proposición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Entonces $$sgn \;(\alpha \, \beta) = sgn\, \alpha \; sgn \, \beta.$$

Esto nos dice que la función signo ($sgn$) es multiplicativa. Esto lo hace más sencilla de trabajar.

Demostración.

Esto es bastante fácil de demostrar, para usar lo que vimos tenemos que expresar a estas permutaciones como producto de transposiciones.

Sean $\alpha, \beta \in S_n$, con $\alpha = \tau_{1} \cdots \tau_r$, $\beta = \rho_1 \cdots \rho_t$. Donde, $\tau_1, \cdots, \tau_r, \rho_{1}, \cdots, \rho_t$ son transposiciones.

Si calculamos el signo del producto $\alpha\,\beta$ y usando la observación anterior, obtenemos lo siguiente:
\begin{align*}
sgn(\alpha \, \beta) &= sgn(\tau_1 \cdots \tau_r \, \rho_1 \cdots \rho_t) \\
& = (-1)^{r+t} & \text{Observación anterior}\\
& = (-1)^r \, (-1)^t & \text{Propiedades de las potencias}\\
& = sgn\, \alpha \; sgn\, \beta &\text{Observación anterior}
\end{align*}

Esto es precisamente lo que queríamos probar.

$\blacksquare$

Podemos concluir que para calcular el signo de un producto, basta entender el signo de cada uno de los factores.

Calculando el signo de una permutación

Seguiremos puliendo la idea que nos dio la proposición anterior hasta llegar a una fórmula para sacar el signo de una permutación. Pero por ahora, veamos qué sucede con los $r$-ciclos.

Lema. Sea $\sigma = (i_1 \cdots i_r) \in S_n$ un $r$-ciclo. Entonces $sgn\, \sigma = (-1)^{r-1}$.

Demostración.
Recordemos que en la entrada anterior vimos que podemos ver a $\sigma$ como producto de transposiciones:
\begin{align*}
\sigma &= (i_1 \cdots i_r) = (i_1\,i_r) \cdots (i_1 \, i_2).
\end{align*}
Intuitivamente, estamos intercambiando a $i_1$ con los elementos que le siguen, esto nos da $r-1$ transposiciones. Por lo tanto, $\sigma$ es un producto de $r-1$ transposiciones. De acuerdo con la observación, podemos concluir que $sgn \, \sigma = (-1)^{r-1}$.

$\blacksquare$

Estamos listos para enunciar y probar  la fórmula del signo que aparece en el libro de Rotman que se menciona en la bibliografía, y que resulta muy útil para calcular el signo de una permutación.

Teorema. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha = \beta_1 \cdots \beta_t$ una factorización completa de $\alpha$. Entonces $sgn\,\alpha = (-1)^{n-t}$, donde $t$ es la cantidad de factores que tiene la factorización completa de $\alpha$.

Demostración.
Como el signo es multiplicativo,
\begin{align*}
sgn\,\alpha = \prod_{i=1}^t sgn\,\beta_i.
\end{align*}
Estamos tomando una factorización completa de $\alpha$, entonces todos los $\beta_i$ son ciclos disjuntos. Así que su signo está dado por la longitud del ciclo (de acuerdo al lema dado):
\begin{align*}
sgn\,\beta_i = (-1)^{\text{long}\,\beta_i-1} \qquad \forall i\in\{1,\dots,t\}.
\end{align*}
Juntando ambas ecuaciones y sumando los $t$ exponentes obtenemos las siguientes igualdades
\begin{align*}
sgn\,\alpha &= \prod_{i = 1}^{t} sgn \,\beta_i & \text{Proposición}
\\&= \prod_{i = 1}^t (-1)^{\text{long}\,\beta_i – 1} &\text{Lema}\\
& = (-1)^{\left(\sum_{i = 1}^t \text{long}\,\beta_i \right) -\;\large{ t}} = (-1)^{n-t}. &\text{Leyes de exponentes}
\end{align*}

Como la factorización es completa, la siguiente igualdad se cumple: $$\sum_{i = 1}^t \text{long}\,\beta_i = n.$$

Por lo tanto $sgn\,\alpha = (-1)^{n-t}$.

$\blacksquare$

Esta forma resulta útil porque ya no necesito descomponer una permutación en producto de transposiciones, nos basta con encontrar una factorización completa. Veamos esto con un ejemplo.

Ejemplo.
Consideremos $\alpha \in S_{10}$ como
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 4 & 7 & 5 & 1 & 8 & 3 & 9 & 6 & 10
\end{pmatrix}.
\end{align*}

También podemos escribirla como $\alpha = (1\;2\;4\;5)(3\;7)(6\;8\;9)(10)$. Esto nos muestra que $\alpha$ es una factorización completa con 4 factores.

Entonces, de acuerdo con el teorema que acabamos de probar, $$sgn\,\alpha = (-1)^{10-4} = (-1)^6 = +1.$$

Por otro lado podemos sacar una factorización de $\alpha$ en transposiciones: $\alpha = (1 \; 5)(1 \; 4)(1 \; 2)(3 \; 7)(6 \; 9)(6 \; 8)$ que tiene 6 transposiciones. Entonces, efectivamente $\alpha$ es un producto de un número par de transposiciones.

Hora de Agrupar

Hemos visto que la función $sgn$ es una función mutliplicativa. Esto nos da como consecuencia que al multiplicar dos permutaciones con la misma paridad, te da como resultado una permutación par. En caso contrario, el resultado es impar. Ahora nos fijaremos solamente en las permutaciones pares.

Definición. El grupo alternante para $n$ elementos está definido como

$$A_n = \{\alpha \in S_n | sgn \, \alpha = +1\}.$$

Observación. $A_n$ efectivamente es un subgrupo de $S_n$.

Demostración.
Si $\alpha = \text{id}$, por definición del signo, $sgn\,\text{id} = +1$. Así, $\text{id}\in A_n$.

Sean $\alpha, \beta \in A_n$.
Como la función signo es multiplicativa:
\begin{align*}
sgn\,\alpha\beta = sgn \, \alpha \; sgn \, \beta = (+1)(+1) = +1.
\end{align*}
Así, $\alpha\beta \in A_n$. Es decir, $A_n$ es cerrada bajo el producto.

Por último, sea $\alpha \in A_n$.

Por un lado, usando la propiedad multiplicativa del signo obtenemos:
\begin{align*}
sgn\,(\alpha\alpha^{-1}) = sgn \, \alpha \; sgn \, \alpha^{-1} = (+1)\, sgn\, \alpha^{-1}.
\end{align*}

Por otro lado, como $\alpha \,\alpha^{-1} = \text{id}$, tenemos:
\begin{align*}
sgn\,(\alpha\,\alpha^{-1}) = sgn\, \text{id} = +1.
\end{align*}

Por lo tanto $sgn\,(\alpha\, \alpha^{-1}) = +1$, así $\alpha^{-1} \in A_n$. Es decir, $A_n$ es cerrada bajo inversos.

Por lo tanto $A_n$ es un subgrupo de $S_n$.

$\blacksquare$

El siguiente resultado nos muestra que el grupo alternante $A_n$ «parte en dos» a las permutaciones, es decir, la mitad de permutaciones son pares.

Proposición. Sea $n>1$, entonces $|A_n| = \frac{n!}{2}$.

Demostración. Podemos ver a $S_n$ como la unión de las permutaciones pares e impares, esto se expresa así $$S_n = A_n \cup (S_n\setminus A_n).$$
Pero, podemos dar una biyección definida como $\phi: A_n \to S_n\setminus A_n$, definida como $\phi \, \alpha = (1\;2)\alpha$.

Entonces, $|A_n| = \# S_n \setminus A_n$.

Así, como dijimos que

$n! = |S_n| = |A_n| + \# S_n\setminus A_n = 2 |A_n|$.

Por lo tanto $|A_n| = \frac{n!}{2}$.

Notación. Para denotar la cardinalidad u orden de un conjunto $A$, usamos dos notaciones:
\begin{align*}
|A| \to & \;\text{Si $A$ es un grupo.}\\
\# A \to & \;\text{Si $A$ no es un grupo (o si no sabemos si $A$ es un grupo o no).}
\end{align*}

Tarea moral

  1. Considera el elemento $\alpha \in S_{12}$ como
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10&11&12\\
    2 & 11&4& 1 & 8 &12& 3 & 6 & 9 & 5 & 7 & 10
    \end{pmatrix}
    \end{align*}
    1. Encuentra $\alpha^{-1}$, el signo de $\alpha$ y el de $\alpha^{-1}$.
    2. En general, ¿qué pasará con el signo de una permutación y de su inversa?
  2. Sea $\alpha$ un $r$ ciclo en $S_n$. ¿Podemos determinar el signo de $\alpha$ a partir de la paridad de $r$?
  3. Dada $\alpha \in S_n$ decimos que los números $i,j \in \{1,2,\dots,n\}$ forman una inversión si $i<j$ pero $\alpha(i) > \alpha(j)$. ¿Qué relación existe entre la paridad y el número de inversiones de $\alpha$?
  4. Encuentra todos los elementos de $A_4$.

Más adelante…

Esta entrada nos sirvió para construir los cimientos, es importante que lo tengamos claro antes de avanzar. En la siguiente entrada definiremos el producto de $S$ con $T$, veremos en qué situaciones el producto de los subconjuntos conmuta, cuándo se cumple que $ST$ es un subgrupo de $G$. Esto nos ayudará para definir las clases laterales. Más adelante, estas clases nos ayudarán a definir una nueva relación de equivalencia.

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Álgebra Moderna I: Palabras.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

En la entrada anterior tomamos un grupo $G$ y un subconjunto $X \subseteq G$ y, logramos encontrar al menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Este conjunto resultó ser la intersección de todos los subgrupos contenidos en $G$ que, a su vez, contienen a $X$. Recordemos que se llama el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota

\begin{align*}
\left< X\right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H.
\end{align*}

Sin embargo, esto no nos dice mucho sobre los elementos de $X$. Ilustremos un poco lo que tenemos. Tomemos un grupo $G$, un subconjunto $X \subseteq G$ y al generado $ \left<X\right> \subset G$. Entonces, si tomamos $x_1,x_2,x_3 \in X$, sabemos que todas las potencias de esos elementos están en el generado de $X$. Es decir, para todas $q,r,s \in \z$, $x_1^q, x_2^r, x_3^s \in \left<X\right>$. Más aún, las diferentes multiplicaciones de esos elementos también están en $\left<X\right>$, por ejemplo, si consideramos $x_1^1, x_3^{-2}, x_2^{3}$ y $x_1^{-4}$, el elemento

\begin{align}\label{palabra}
x_1^{-4} x_3^{-2} x_1^1 x_2^{3}
\end{align}

está en $\left<X\right>$, por ser una multiplicación de elementos del subgrupo. Entonces, en el generado de $X$ estarán todos los elementos de $X$, las potencias de esos elementos y todas las multiplicaciones entre dichas potencias.

Al elemento \eqref{palabra} la llamamos una palabra en $X$ y es lo que estudiaremos en esta entrada. Además, las palabras nos permiten dar descripción del subgrupo generado. Esta idea es análoga a la que se estudia en álgebra lineal cuando se describe al subespacio generado por un conjunto como una colección de combinaciones lineales de vectores. Sin embargo, en el caso de subgrupos, esta descripción no es igual a la de álgebra lineal porque hay que recordar que un grupo en general no es abeliano. Esto influye en qué tanto se pueda simplificar una palabra.

Nuestra primera aproximación a las palabras

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Una palabra en $X$ es, o bien el neutro $e$, o bien un elemento de la forma

$x_1^{\alpha_1}, \dots, x_n^{\alpha_n}$

con $n \in \n^+$, $x_1,\dots, x_n\in X, \alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$.

Notación. Denotamos por $W_X$ al conjunto de todas las palabras en $X$.

Ejemplos

  1. Sea $G = D_{2(4)}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un cuadrado centrado en el origen. Sea $a$ la rotación de $\pi/2$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    $ba^3 b a^{-1} b^{-4} a$ es una palabra en $\{a, b\}$.
    En este caso, la palabra sí se puede simplificar como:
    \begin{align*}
    b a^3 b a^{-1}b^{-4} a &= ba^3ba^{-1} e a \\
    & = b a^3 b a^{-1} a \\
    & = ba^3 b
    \end{align*}
    Para la primera igualdad, recordemos que $b$ es la rotación por $\pi/2$, entonces al aplicar esa rotación $4$ veces, el cuadrado recupera su estado inicial, así por eso $ b^{4} = e$ y de forma análoga como $b^{-1}$ es la rotación por $-\pi/2$ se tiene que $b^{4} = e$.

    Notación. Usaremos la notación $D_{2(4)}$ para denotar las simetrías del cuadrado (que tiene 4 vértices), este grupo diédrico tiene 8 elementos. Otros autores pueden escribir simplemente $D_8$, pero esto se puede confundir con el grupo de las simetrías de un octágono. De forma más general el grupo diédrico de un polígono de $n$ lados es el grupo de simetrías de un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen, con la operación de composición. Lo denotatemos por $D_{2n}$ y tendrá $2n$ elementos.
  2. Consideremos el conjunto $ \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$. Este conjunto es llamado el grupo de los cuaterniones o cuaternios y se suele denotar por $Q$ o $Q_8$ porque tiene 8 elementos.
    Las operaciones en el conjunto se definen como:
    \begin{align*}
    1 a &= a 1 = a &\forall a \in Q \\
    (-1) a &= a (-1) = -a & \forall a \in Q
    \end{align*}
    Además, las multiplicaciones no son conmutativas y están definidas así:
    $\begin{align*}
    ij &= k, \quad &jk = i, \quad &ki =j, \\
    ji &= -k, \quad &kj = -i, \quad &ik=-j, \\
    i^2 &= j^2 = k^2 = -1.
    \end{align*}$

    Una palabra en $\{j\}$ es $j^5j^{-2} j^{3} j^{-4}$, resolviendo las potencias podemos concluir que esta palabra es igual a $-1$ (verificarlo quedará como ejercicio). Podemos ahora considerar el conjunto de todas las palabras formadas con el elemento $j$, es decir el conjunto de palabras en $\{j\}$. Se puede ver que:
    \begin{align*}
    W_{\{j\}} = \{j,-1,-j, +1\}.
    \end{align*}

    También podemos considerar el conjunto de palabras formadas con los elementos $j$ y $k$, es decir el conjunto de palabras en $\{j,k\}$. En este caso se tiene que:
    \begin{align*}
    W_{\{j,k\}} = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}=Q.
    \end{align*}

Palabras y el subgrupo generado por $X$

Lema. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. $W_X$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$.

Demostración.
Caso 1, cuando $X = \emptyset$.
En este caso, $W_X = \{e\} \leq G$ y $X = \emptyset \subset \{e\} = W_X$.

Caso 2, cuando $X \neq \emptyset$.
P.D. $W_X \leq G$.
Por definición $e \in W_X$.
Sean $a, b \in W_X$, entonces

\begin{align*}
a &= x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} & \alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta_1, \dots, \beta_m \in \z \\
b &= y_1^{\beta_1} \dots y_m^{\beta_m} & x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m \in X\\
&& n,m \in \n^+
\end{align*}

Entonces, podemos tomar $ab^{-1}$ y verificar quién es

\begin{align*}
a b^{-1} &= (a_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n})(y_1 \dots y_m^{\beta_m})^{-1} \\
& = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n}y_m^{-\beta} \dots y_1^{-\beta_1} \in W_X.
\end{align*}

Por lo tanto $W_X \leq G$.

P.D. $X \subseteq W_X$.
Sea $x \in X$,
\begin{align*}
x = x^1 \in W_X.
\end{align*}

Por lo tanto $X \subseteq W_X$.

En ambos casos $W_X$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$.

$\blacksquare$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Entonces

$\left< X \right> = W_X$.

Demostración.
$\subseteq)$ Por el lema anterior, $W_X \in \{H \leq G : X \subseteq H\}$. Entonces, por nuestra definición del subgrupo generado,
\begin{align*}
\left< X \right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq W_X.
\end{align*}

$\supseteq)$ Sea $a \in W_X$, entonces $a = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$ con, $n \in \n^+$, $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$ y $x_1, \dots, x_n \in X$.

Como cada $x_i \in X$, con $i \in \{1,..,n\}$, y $X \subseteq \left< X \right>$, entonces $x_i\in\left< X \right>$ para toda $i \in \{1, \dots ,n\}$.
Como el generado es un subgrupo de $G$, obtenemos que $x_i^{\alpha_i} \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$. Usando nuevamente que el generado es un subgrupo de $G$ tenemos que $a = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} \in \left<X\right>$.

Por lo tanto, $\left< X \right> = W_X$.

$\blacksquare$

¿Quién es el orden de un producto?

Ya hemos hablado del orden de un elemento. Si tenemos un grupo $G$ y $a, b \in G$ y sabemos quién es $o(a)$ y $o(b)$, ¿podemos saber cómo es $o(ab)$? En algunos casos podemos respuesta a esta pregunta dando una explicación más precisa de cómo es el orden de un producto en términos del orden de sus factores. El siguiente resultado aparece en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto mencionado en la bibliografía, Teorema 3.3.12:

Teorema. Sea $G$ un grupo y $a, b \in G$.
Si $a$ y $b$ son de orden finito, sus ordenes son primos relativos y $ab = ba$, entonces

\begin{align*}
o(ab) &= o(a) o(b) \\
\text{y } \left< a,b \right> &= \left<ab\right>.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ de orden finito con $n = o(a)$, $m = o(b)$. Supongamos que $(n,m) = 1$ y $ab = ba$.

P.D. $o(ab) = nm$.
Entonces

\begin{align*}
(ab)^{nm} & = a^{nm} b^{nm} & \text{ porque } ab = ba \\
& = (a^n)^m(b^m)^n & \text{ propiedades de los exponentes}\\
& = e^m e^n \\
& = e
\end{align*}

Ya teniendo que $(ab)^{nm} = e$, tenemos que ver que $nm$ es el menor exponente positivo tal que al elevar $ab$ a ese exponente nos da el neutro, o bien ver que divide a cualquier otro $k$ tal que $(ab)^k = e$. Procedamos de acuerdo a la segunda opción.

Sea $k\in\z$ tal que $(ab)^k = e$, y como $ab=ba$ esto implica que $a^k b^k = e$. Despejando, obtenemos $a^k = b^{-k}$.

Así $(a^k)^m = (b^{-k})^m = (b^m)^{-k} = e^{-k} = e$ (porque $o(b) = m$), es decir $a^{km} = e$. Dado que $o(a) = n$, entonces $n|km$ y como $(n,m) = 1$ entonces $n|k$.

Si consideramos ahora $(a^k)^n = (b^{-k})^n$ y seguimos un argumento análogo obtenemos que $m|k$.

Como $n|k$ y $m|k$ y $(n,m) = 1$, entonces $nm|k$.
Por lo tanto $o(ab) = nm$.

P.D. $\left< a,b \right> = \left< ab \right>$.
Como toda palabra en $\{ab\}$ es una palabra en $\{a, b\}$ entonces
\begin{align*}
\left< ab \right> \subseteq \left< a, b \right>.
\end{align*}

Por otro lado, como $ab = ba$, toda palabra en $\{a,b\}$ se reduce a una de la forma $a^{i}b^{j}$ con $i, j \in \z$, y como $o(a) = n$, $o(b) = m$, la expresión $a^{i}b^{j}$ se puede reducir aún más a una expresión de la forma $a^{i}b^{i}$ con $0 \leq i < n$ y $0 \leq j < m$.

Entonces $\left< a, b \right> = \{a^{i}b^{j}: 0 \leq i < n, 0 \leq j < m\}$. Luego, $|\left<a, b\right>| \leq nm$.
Pero $\left< ab \right> \subseteq \left<a,b\right>$, entonces $|\left< ab \right>| \leq |\left< a,b \right>|$.
Así,

\begin{align*}
nm = o(ab) = |\left< ab \right>| &\leq |\left< a,b \right>| \leq nm. \\
\end{align*}

Por lo tanto $\left<ab\right> = \left< a, b \right>$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. En el grupo de los cuaternios definido anteriormente, verifica que $j^5j^{-2}j^3j^{-4} = -1$.
  2. Considera $Q$, el grupo de cuaternios. Reduce la siguiente palabra a uno de los elementos $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$,
    $$\begin{align*}
    j^7k(-i)jki^2jk^{-6}
    \end{align*}$$
  3. Sea $D_{2n} = \{\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b\}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un polígono regular de $n$ lados, con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    1. Identifica geométricamente quiénes son $\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b$.
    2. Determina quién es el elemento $bab$ y, de modo más general, quién es el elemento $ba^{i}b$ para toda $i\in\z$.
    3. Determina quién es el elemento $ba^i$ para toda $i\in\z$.
  4. Considera el grupo simétrico $S_5$, $\alpha$ la permutación que manda $1$ en $2$, $2$ en $3$ y $3$ en $1$, fija a $4$ y a $5$, y $\beta$ la permutación que intercambia $4$ y $5$.
    1. Encuentra $\beta \alpha$ y $\alpha \beta$.
    2. Encuentra el orden de $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ y $\beta\alpha$.
  5. Por último, te invitamos a que veas este video que habla sobre las aplicaciones tecnológicas del grupo de los cuaternios. El video está en inglés, pero tiene subtítulos en español.

Más adelante…

¡Felicidades por acabar la Unidad 1! Ya entiendes las bases de este curso, trata de recordarlas porque las estaremos usando implícitamente.
En la siguiente unidad estaremos viendo Permutaciones y Grupo Cociente, para no adelantar mucho, sólo diremos que ambas estructuras son grupos muy importantes en el álgebra y nuestros objetos de estudio en la siguiente unidad.

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Álgebra Moderna I: Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por $ X $

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

Ya vimos qué es un grupo cíclico. Ahora nos preguntamos si, teniendo $G$ un grupo cíclico y tomando cualquier subgrupo $H \subseteq G$ ¿será cierto que $H$ también es cíclico?

Ilustremos esto con un ejemplo. Consideremos $\z$ con la suma, en este caso $\z = \left<1\right>$,

$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$.

Entre posibles subgrupos podemos encontrar:

$\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots$
$\dots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \dots$

es decir $\left<2\right>$ y $\left<3\right>$ respectivamente. Pero también podemos observar que tanto $2$ como $3$ son la mínima potencia de $1$ que aparece en sus respectivos generados. Es decir, aunque el $1$ no esté en un subgrupo cíclico de $\z$, el subgrupo será generado por la mínima potencia de $1$ que sí sea elemento del subgrupo. En esta entrada, comenzaremos probando este resultado.

En la segunda parte de esta entrada regresaremos a la problemática inicial planteada en la entrada Orden de un elemento y grupo cíclico. Si tenemos un subconjunto $X \subseteq G$, con $G$ un grupo, ¿cuál es el mínimo subgrupo $H$ de $G$ tal que $H$ contenga a $X$?

Podemos estar de acuerdo en que es posible que $X$ esté contenido en más de un subgrupo, podemos considerar la familia de subgrupos de $G$ que contienen a $X$. A estos subgrupos los denotaremos como $H_i$ con $i \in I$. Como $X\subseteq H_i$ para toda $i$, sabemos que $\displaystyle X \subseteq \bigcap_{i \in I}H_i$ y éste resultará ser el menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Esto será lo que desarrollaremos en la segunda parte de la entrada.

Los subgrupos de un grupo cíclico, son cíclicos.

Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico, es cíclico.

Demostración.
Sea $G$ un grupo cíclico, $H \leq G$.
Como $G$ es cíclico, entonces $G = \left< a \right>$ para algún $a \in G$.

Para ver que $H$ es cíclico tenemos que proponer un generador de $H$, este generador tiene que ser una potencia de $a$, porque $H \subseteq G$ y $G$ es cíclico. Por lo que dijimos en la introducción, elegiremos la potencia de $a$ con el menor exponente positivo, que esté en $H$. Pero, para ello, tenemos que asegurarnos primero que en $H$ existen potencias de $a$ con exponentes positivos. Así, consideraremos dos casos.

Si $H = \{e\} = \left< e \right>$ que es cíclico.

Si $H \neq \{e\}$, sea $h \in H\setminus\{e\}$. Entonces como $H \leq G$, $h \in G = \left<a\right>$. Así $h = a^k$ para algún $k \in \z$ y como $h \neq e$ entonces $k \neq 0$.

Tenemos que $h^{-1} = a^{-k} \in H$ pues $H$ es subgrupo.

Así $a^k$, $a^{-k} \in H$ (con $k \in \z \setminus\{0\}$), entonces no importa si $k$ es positivo o negativo, siempre habrá un elemento en $H$ que se obtiene elevando $a$ a un entero positivo, es decir,

$\{n \in \z^+ | a^n \in H\} \neq \emptyset$.

Sea $m = \text{mín } \{n \in \z^+|a^n\in H\}$.
P.D. $H = \left< a^m \right>$

$\supseteq]$
Por la elección de $m$, $a^m \in H$ y como $H$ es un subgrupo entonces $\left< a^m \right> \subseteq H$.

$\subseteq]$
Sea $h \in H$. Como $H \leq G = \left<a\right>$, entonces $h = a^k$ para algún $k \in \z$.

Por el algoritmo de la división existen $q,r \in \z$ tales que $k = mq+r$ con $0 \leq r < m$.
Entonces $h = a^k = a^{mq+r} = (a^m)^q a^r$. Esto implica que

$(a^m)^{-q}h = a^r.$

Pero $a^m \in H$, $h \in H$ y $H$ es subgrupo, entonces $a^r = (a^m)^{-q}h \in H$ con $0 \leq r < m$. Para no contradecir la elección de $m$ concluimos que $r=0$.

Así $h = a^{mq} = (a^m)^q \in \left< a^m \right>$.
Por lo tanto $H = \left< a^m \right>$ y $H$ es cíclico.

$\blacksquare$

El menor subgrupo que contiene a cualquier subconjunto $X$

Teorema. La intersección de una familia no vacía de subgrupos de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$.

Cuando decimos familia no vacía nos referimos a que haya al menos un grupo en la familia, con el fin de que haya al menos un grupo a intersecar. Ésta es una condición que se pide para que a nivel conjuntista no haya problemas con la intersección.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $\{H_i | i \in I\}$ una familia de subgrupos de $G$.
P.D. $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.

Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $e \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $\displaystyle e \in \bigcap_{i \in I} H_i$.

Sea $\displaystyle a, b \in \bigcap_{i \in I}$. Tenemos que $a,b \in H_i$ para toda $i \in I$.
Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $ab^{-1} \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $a b^{-1} \in \displaystyle \bigcap_{i \in I}H_i$.

Por lo tanto $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.

$\blacksquare$

Corolario. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. Existe un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que estará contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $X$ subconjunto de $G$.
$G$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y entonces la familia $\{H \leq G | X \subseteq H\}$ es no vacía. Entonces sí existen subgrupos de $G$ que contienen a $X$.

Consideremos $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$. Por el teorema anterior esta intersección es un subgrupo de $G$ y por construcción $X \subseteq \displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$.

Ahora, si $\hat{H}$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$, entonces $\hat{H} \in \{H \leq G | X \subseteq H \}$, y al ser uno de los intersecandos, obtenemos

$\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq \hat{H}$.

Así, $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que está contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$

$\blacksquare$

El subgrupo de $G$ generado por $X$

Para concluir esta entrada, daremos una definición que resume lo visto.

Definición. Sea $G$ un grupo y $X$ un subgrupo de $G$. El conjunto

\begin{align*}
\bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H
\end{align*}

es el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota por $\left< X \right>$.

Decimos que $X$ genera a $G$ si $\left< X \right> = G$.

Observación. Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces

\begin{align*} \left< \{a\} \right> = \left< a \right>. \end{align*}

Demostración. Se quedará como tarea moral.

Notación. Para $a_1,\dots, a_n \in G$, el subgrupo $\left< \{a_1,\dots, a_n\}\right>$ se denota por $\left< a_1, \dots, a_n \right>$.

Tarea moral

  1. Sea $G$ un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos, entonces $G$ es cíclico. Demuestra este enunciado o encuentra un contraejemplo.
  2. Considera a los enteros con la suma. Describe a los subgrupos:
    1. $\left<\{10, 15\}\right>$ (se denota por $\left<10,15\right>$).
    2. $\left<\{9, 20\}\right>$ (se denota por $\left<9,20\right>$).
  3. Demuestra la última observación: Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces $\left< \{a\} \right> = \left< a \right>$. Sugerencia: Usa la doble contención y el teorema anterior.

Más adelante…

Ya estudiamos a los elementos de la forma $a^k$ con $a \in G$, $k \in \z$ y $G$ un grupo. En la siguiente entrada combinaremos varios elementos de esa forma. Estudiaremos qué son y algunas propiedades de las llamadas palabras. Además, la siguiente entrada es la última de esta unidad, ¡sigue avanzando! ya casi acabas.

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