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Álgebra Lineal I: Más ejemplos de reducción gaussiana

Por Ayax Calderón

2 respuestas

Introducción

En esta entrada veremos varios ejemplos que nos ayudarán a comprender que la reducción gaussiana es una herramienta muy poderosa a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Problemas resueltos

Problema 1. Implementa el algoritmo de reducción gaussiana en la matriz
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 1 & 2\\
1 & 1 & 0 & 2 & 1\\
-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
\end{align*}

Solución. Para este problema usaremos la siguiente notación para indicar las operaciones elementales que estamos efectuando :

  • $R_i \leftrightarrow R_j$ para intercambiar el renglón $i$ con el renglón $j$.
  • $kR_i$ para multiplicar el renglón $i$ por el escalar $k$.
  • $R_i + kR_j$ para sumarle $k$ veces el renglón $j$ al renglón $i$.


\begin{align*}
A=&\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 1 & 2\\
1 & 1 & 0 & 2 & 1\\
-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\\
R_1 \leftrightarrow R_2
& \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1 & 1 & 2\\
-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\\
R_4 – R_1
&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1 & 1 & 2\\
-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\
R_3 + 3R_1
&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1 & 1 & 2\\
0 & 4 & 1 & 6 & 5\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\
\frac{1}{2}R_2
& \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2 & 1\\
0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\
0 & 4 & 1 & 6 & 5\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\
R_3 – 4R_2
&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2 & 1\\
0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\
0 & 0 & -1 & 4 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
R_1 – R_2
& \begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\
0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\
0 & 0 & -1 & 4 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\
-1\cdot R_3
&\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\
0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\
0 & 0 & 1 & -4 & -1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\
R_4 – R_3
& \begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\
0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\
0 & 0 & 1 & -4 & -1\\
0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\\
R_2 – \frac{1}{2} R_3
& \begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\
0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & 1 & -4 & -1\\
0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix} \\
R_1 + \frac{1}{2}R_3
& \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & 1 & -4 & -1\\
0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{1}{3} R_4
&\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & 1 & -4 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\\
R_3 + 4R_4
& \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix} \\
R_2 – \frac{5}{2}R_4
& \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3}\\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix} \\
R_1 + \frac{1}{2}R_4
& \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{3}\\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3}\\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\\
=&A_{red}
\end{align*}

$\triangle$

Problema 2. Resuelve el siguiente sistema homogéneo.
\begin{align*}
\begin{cases}
x+2y-3z &=0\\
2x+5y+2z &=0\\
3x-y-4z &=0
\end{cases}
\end{align*}

Solución. La matriz asociada al sistema anterior es
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3\\
2 & 5 & 2\\
3 & -1 & -4
\end{pmatrix}
\end{align*}
Para resolver el sistema $AX=0$ nos bastará con encontrar $A_{red}$, pues el sistema $A_{red}X=0$ es equivalente al sistema $AX=0$.
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3\\
2 & 5 & 2\\
3 & -1 & -4
\end{pmatrix}\\
R_2 -2R_1
&\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3\\
0 & 1 & 8\\
3 & -1 & -4
\end{pmatrix}\\
R_3 – 3R_1
&\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3\\
0 & 1 & 8\\
0 & -7 & 5
\end{pmatrix}\\
R_1 – 2R_2
&\begin{pmatrix}
1 & 0 & -19\\
0 & 1 & 8\\
0 & -7 & 5
\end{pmatrix}\\
R_3 + 7R_2
&\begin{pmatrix}
1 & 0 & -19\\
0 & 1 & 8\\
0 & 0 & 61
\end{pmatrix}\\
R_2 – \frac{8}{61}R_3
&\begin{pmatrix}
1 & 0 & -19\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 61
\end{pmatrix}\\
R_1 + \frac{19}{61}R_3
&\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 61
\end{pmatrix}\\
\frac{1}{61}R_3
&\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=A_{red}
\end{align*}

De lo anterior se sigue que para resolver el sistema $AX=0$ basta con resolver el sistema
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Pero este sistema es el sistema

\begin{align*}
\begin{cases} x = 0\\ y = 0 \\ z = 0. \end{cases}
\end{align*}

De esta forma, $x=y=z=0$ es la (única) solución al sistema original.

$\triangle$

Problema 3. Determina las soluciones fundamentales del sistema homogéneo $AX=0$, donde $A$ es la matriz
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & 0\\
-2 & 4 & 0 & 2\\
-1 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Solución. Sea $AX=0$ el sistema
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & 0\\
-2 & 4 & 0 & 2\\
-1 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0 \end{pmatrix}
\end{align*}

Para este problema nuevamente nos interesa llevar la matriz asociada al sistema a su forma escalonada reducida.

Aunque es muy importante saber cómo se hacen estos procedimientos, es cierto que también existen herramientas que nos ayudan a hacer estos cálculos de manera más rápida. En esta ocasión usaremos una calculadora de forma reducida escalonada disponible en línea, la cual nos indica que la forma escalonada reducida de la matriz $A$ es
\begin{align*}
A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{align*}

De esta forma, el sistema del problema es equivalente al sistema $A_{red}X=0$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0 \end{pmatrix}
\end{align*}
Las variables pivote son $x$ y $z$. Las variables libres son $y$ y $w$.

Como se mencionó en una entrada anterior, para encontrar las soluciones fundamentales hay que expresar a las variables pivote en términos de las variables libres. En el sistema anterior podemos notar que
\begin{align*}
\begin{cases}
x =2y+w\\
z=-w.
\end{cases}
\end{align*}
por lo que
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
w
\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}
2y+w\\
y\\
-w\\
w
\end{pmatrix}\\
&=y\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} + w \begin{pmatrix}
1\\
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
siendo los vectores columna de la última igualdad las soluciones fundamentales del sistema $AX=0$, es decir que con estas soluciones se pueden generar todas las demás.

$\triangle$

Hasta ahora hemos visto ejemplos de reducción gaussiana de matrices de tamaño muy concreto y entradas muy concretas. Sin embargo, otra habilidad importante es aprender a usar reducción gaussiana en una matriz de tamaño arbitrario, con algunas entradas específicas. Veamos un ejemplo de cómo hacer esto.

Problema 4. Sea $n>2$ un número entero. Resuelve en números reales el sistema
\begin{align*}
x_2=\frac{x_1+x_3}{2}, x_3= \hspace{2mm} \frac{x_2+x_4}{2}, \hspace{2mm} \dots , \hspace{2mm}, x_{n-1}=\frac{x_{n-2}+x_n}{2}.
\end{align*}

Solución. Este es un sistema lineal homogéneo de ecuaciones. Esto se puede verificar multiplicando cada ecuación por $2$ e igualándola a $0$. Por ejemplo, la primer ecuación se puede escribir como $x_1-2x_2+x_3=0$. Transformando el resto de las ecuaciones, obtenemos que el sistema se puede escribir en forma matricial como $AX=0$, donde$A$ es la matriz en $M_{n-2,n}(F)$ dada por
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
& \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots &\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 &- 2 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Esta matriz se ve algo intimidante, pero igual se le puede aplicar reducción gaussiana. Hagamos esto.

Afortunadamente, en cada fila ya tenemos un pivote y están «escalonados». Basta con hacer transvecciones para asegurar que en cada columna de un pivote, el pivote es la única entrada no cero. Haremos los primeros pasos para encontrar un patrón de qué va sucediendo.

En el primer paso, sumamos dos veces la fila $2$ a la primer fila. Al hacer esto obtenemos:

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
& \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots &\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 &- 2 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Con esto la segunda columna ya queda lista. El el siguiente paso, multiplicamos por 3 (y 2) la tercer fila y se lo sumamos a la primera fila (y segunda, respectivamente). Obtenemos:

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -4 & 3 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -3 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
& \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots &\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 &- 2 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Para el siguiente paso, ahora hay que multiplicar por 4 (3, 2) la cuarta fila y sumárselo a la primera (segunda, tercera, respectivamente), y obtenemos:

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -5 & 4 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 3 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 2 &\cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
& \vdots & & \vdots & & & \ddots & & \vdots &\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 &- 2 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}

El patrón es ahora claro. Conforme arreglamos la columna $j$, luego la columna $j+1$ tiene a los números $-(j+1), -j, \ldots, -3, -2$ y la columna $j+2$ tiene a los números $j,j-1,j-2,\ldots,1,-2,1$. Esto puede demostrarse formalmente por inducción. Al arreglar la columna $n-2$, la matriz queda en la siguiente forma escalonada reducida:

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -(n-1) & n-2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -(n-2) & n-3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -(n-3) & n-4 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -(n-4) & n-5 \\
& \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots &\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -3 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -2 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Estamos listos para resolver el sistema asociado. Las variables libres son $x_{n-1}$ y $x_n$, que podemos darles valores arbitrarios $a$ y $b$. Las variables pivote son todas las demás, y de acuerdo a la forma de la matriz anterior, están dadas por

\begin{align*}
x_1&=(n-1)a – (n-2) b\\
x_2&=(n-2)a – (n-3) b\\
x_3&=(n-3)a – (n-4) b\\
&\vdots\\
x_{n-2}&=2a- b.
\end{align*}

Esto determina todas las soluciones.

$\triangle$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida

Por Ayax Calderón

2 respuestas

Introducción

En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Para cuáles números reales $a$ se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.

\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2y &=1\\
4x+8y &=a.
\end{cases}
\end{align*}

Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por $4$ vemos que

\begin{align*}
4x+8y=4
\end{align*}

De lo anterior se sigue que el único número real $a$ para el cuál el sistema es consistente es $a=4$, pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.

Cuando $a=4$, tenemos entonces una única ecuación $x+2y=1$. Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de $y$ arbitrariamente como un número real $r$. Una vez fijado $y$, obtenemos que $x=1-2y=1-2r$. Así, el conjunto de soluciones es $$\{(1-2r,r): r \in \mathbb{R}\}.$$

$\triangle$

Problema 2. Encuentra todos $a,b\in\mathbb{R}$ para los cuales los sistemas

\begin{align*}
\begin{cases}
2x + 3y &=-2\\
x – 2y &=6
\end{cases}
\end{align*}
y
\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2ay &=3\\
-x – y &=b
\end{cases}
\end{align*}
son equivalentes.

Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos $x$:
\begin{align*}
x=6+2y.
\end{align*}
Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene
\begin{align*}
2(6+2y)+3y&=-2\\
12+7y&=-2\\
7y&=-14\\
y&=-2.
\end{align*}
Luego sustituimos el valor de $y$ para encontrar $x$
\begin{align*}
x&=6+2y\\
&=6+2(-2)\\
&=2.
\end{align*}
Ahora, para encontrar los valores de $a$ y $b$, sustituimos los valores de $x$ y $y$ que encontramos en el primer sistema y de esta forma garantizamos que ambos sistemas tendrán el mismo conjunto de soluciones, es decir, son equivalentes.
\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2ay &=3\\
-x – y &=b
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
2 + 2a(-2) &=3\\
-2 – (-2) &=b
\end{cases}
\end{align*}
De la segunda ecuación es inmediato que $b=0$.
Por otro lado, despejando $a$ de la primera ecuación se tiene
\begin{align*}
2-4a&=3\\
-4a&=1\\
a&=-\frac{1}{4}
\end{align*}
Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando
\begin{align*}
a=-\frac{1}{4}, \hspace{4mm} b=0.
\end{align*}

$\triangle$

Más ejemplos de forma escalonada reducida

Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.

Ejemplo 1. La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3 & 1\\
1 & 0 & 2 & 2\\
3 & 1 & 7 & 0\\
1 & 2 & 4 & -1\end{pmatrix}
\end{align*}
no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}
sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.

$\triangle$

Ejemplo 2. La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & -5 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}
no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a $1$.


En cambio
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
\end{align*}
sí está en forma escalonada reducida.

$\triangle$

Ejemplo 3. La matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ sí está en forma escalonada reducida.

$\triangle$

Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de transpuesta de matriz y matrices de bloque

Por Ayax Calderón

4 respuestas

Introducción

En esta entrada ejercitaremos los conceptos de matriz transpuesta y matriz de bloque mediante ejercicios resueltos. Además, para los últimos tres problemas definiremos un concepto que aunque no se estudia a fondo en este curso, aparece en muchas áreas de las matemáticas y de la física: el de producto tensorial.

Problemas resueltos

Problema 1. Sea $A\in M_n(\mathbb{R}$) una matriz con una única entrada distinta de cero en cada renglón y columna, dicha entrada es igual a $1$ ó $-1$. Demuestra que $A$ es una matriz ortogonal.

Solución. Sea $A=[a_{ij}]$. Queremos ver que $A^{-1}=$ $^tA $. Sean $i,j\in \{1, 2, \dots , n\}$. Entonces la entrada $(i,j)$-ésima de $A \ ^t A$ es

\begin{align*}
(A\ {^tA})_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}a_{jk}.
\end{align*}

Supongamos que $a_{ik}a_{jk}$ es distinto de cero para algún $k\in \{1,2,\dots n\}$, por tanto $a_{ik}$ y $a_{jk}$ son distintos de cero.
Si sucediera que $i\neq j$, entonces $A$ tiene al menos dos entradas distintas de cero en la columna $k$, pero esto es imposible. Así, si $i\neq j$, entonces $a_{ik}a_{jk}=0$ para todo $k\in\{1,2,\dots n\}$ y por consiguiente la $(i,j)-$ésima entrada de $A\ ^tA$ es 0.

Por otro lado, si $i=j$, entonces
\begin{align*}
(A\ ^tA)_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}^2.
\end{align*}

Como por hipótesis se tiene que todas las entradas del $i$-ésimo renglón de $A$ son todas $0$ salvo una que es $1$ ó $-1$, entonces $\displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}^2=1$ y así $(A\ ^tA)_{ij}=1$ cuando $i=j$. Concluimos que $A\ ^tA=I_n$.
Mediante un argumento análogo se ve que $^tA A = I_n.$

$\square$

Problema 2. a) Sea $A\in M_n(\mathbb{R})$ una matriz tal que $^tA \cdot A =O_n$. Demuestra que $A=O_n$.
b) ¿El inciso a) seguirá siendo cierto si reemplazamos $\mathbb{R}$ por $\mathbb{C}$?

Solución. a) Sea $A=[A_{ij}]$. Por la regla del producto de matrices se tiene que la $(i,i)$-ésima entrada de $^tA\cdot A$ es

\begin{align*}
(^tA\cdot A )_{ii} &= \displaystyle\sum_{k=1}^n (^tA)_{ik}A_{ki} \\ &=
\displaystyle\sum_{k=1}^n A_{ki}^2.
\end{align*}

Como $^tA\cdot A=O_n$, concluimos que para toda $i\in\{1,2,\dots,n\}$ se tiene que

\begin{align*}
\displaystyle\sum_{k=1}^n A_{ki}^2=0.
\end{align*}

Como cada $A_{ki}$ es un número real, al elevarlo al cuadrado obtenemos números no negativos. De lo anterior se sigue que $A_{ki}=0$ para toda $k\in \{1,2\dots ,n\}$. Como la $i$ fue tomada de manera arbitraria, concluimos que $A=O_n.$
b) El resultado no necesariamente es cierto si cambiamos el campo de los reales por el campo de los complejos. Busquemos una matriz simétrica $A\in M_2(\mathbb{C})$ tal que $^tA\cdot A= O_2$, pero como $A$ es simétrica, lo anterior solamente es $A^2=O_2$ y además se puede escribir como

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
a & b\\
b & d\end{pmatrix}
\end{align*}

para algunos números complejos $a,b$ y $d$. Ahora

\begin{align*}
A^2 &= \begin{pmatrix}
a & b\\
b & d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
a & b\\
b & d\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
a^2 +b^2 & b(a+d)\\
b(a+d) & b^2+ d^2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Así que buscamos números complejos $a,b,d$ con al menos uno de ellos distinto de cero y tales que

\begin{align*}
a^2+b^2=0, \hspace{2mm} b(a+d)=0, \hspace{2mm} b^2+d^2=0.
\end{align*}

Basta con asegurar que $a+d=0$ y $a^2+b^2=0$, para lo cual tomamos $a=i, b=1, d=-i$ .

$\square$

Producto tensorial

A continuación definiremos el producto tensorial. Es importante mencionar que esto es meramente para ejemplificar la teoría que se ha visto hasta ahora, por lo que no se profundizará en este tema.

Si $A=[a_{ij}]\in M_{m_1,n_1}(F)$ y $B\in M_{m_2,n_2}(F)$ son matrices, entonces definimos el producto de Kronecker o producto tensorial de $A$ y $B$ como la matriz de bloque $A\otimes B\in M_{m_1m_2,n_1n_2}(F)$ definida por

\begin{align*}
A\otimes B = \begin{pmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \dots & a_{1,n_1}B\\
a_{21}B & a_{22}B & \dots & a_{2,n_1}B\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{m_1,1}B & a_{m_1,2}B & \dots & a_{m_1,n_1}B \end{pmatrix}.
\end{align*}

Problema 1. Calcula el producto tensorial de las matrices

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \hspace{4mm} B=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Solución. Usamos directamente la definición de producto tensorial

\begin{align*}
A\otimes B=\begin{pmatrix}
0 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix} & 1 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}\\
1\cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}\\
0\cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix} & 1\cdot \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & -1\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}

\begin{align*}
= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}
\end{align*}

$\triangle$

Problema 2. ¿El producto tensorial es conmutativo?

Solución. En general, el producto tensorial, no es conmutativo. Sean $A$ y $B$ como en el problema anterior. Entonces

\begin{align*}
B\otimes A = \begin{pmatrix}
2\cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\end{pmatrix} & 1\cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
1\cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\end{pmatrix} & -1\cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{align*}

\begin{align*}
=\begin{pmatrix}
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Comparando con lo obtenido en el problema anterior, ser verifica que el producto tensorial no es conmutativo.

$\triangle$

Problema 3. Verifica que $I_m\otimes I_n = I_{mn}.$

Solución. Por definición sabemos que $I_m\otimes I_n\in M_{mn}(F)$. Ahora veamos que

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1\cdot I_n & 0\cdot I_n & \dots & 0\cdot I_n\\
0\cdot I_n & 1 \cdot I_n & \dots & 0\cdot I_n\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0\cdot I_n & 0\cdot I_n & \dots & 1\cdot I_n\end{pmatrix}
= I_{mn}.
\end{align*}

$\triangle$

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Álgebra Lineal I: Sistemas de ecuaciones lineales y sistemas homogéneos asociados

Por Julio Sampietro

2 respuestas

Introducción

En esta sección damos un primer acercamiento al concepto de sistemas de ecuaciones lineales. Este es un concepto de fundamental importancia en muchas áreas de las matemáticas, como las ecuaciones diferenciales o incluso la geometría algebraica.

Los sistemas de ecuaciones lineales nos son familiares. Desde la educación secundaria se aprende a resolver ecuaciones «de $2\times 2$», y más adelante «de $3\times 3$». Estos sistemas también aparecen en cursos de la licenciatura, como geometría analítica. Sin embargo, es en un curso de álgebra lineal que se estudian con toda generalidad. Las herramientas de esta área de las matemáticas permiten determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y, en caso de que sí, ver cómo se ven todas las soluciones.

Como veremos a continuación, un sistema de ecuaciones lineales se puede ver en términos de matrices. Esta conexión es fundamental. La información acerca de una matriz nos permite obtener información acerca del sistema de ecuaciones lineales asociado. A la vez, la información sobre un espacio o matriz se puede determinar a partir de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal en variables $x_1, \dots, x_n$ es una ecuación de la forma

\begin{align*}
a_1 x_1 + \dots +a_n x_n =b,
\end{align*}

donde $a_1, \dots, a_n, b\in F$ son escalares dados y $n$ es un entero positivo. Las incógnitas $x_1,\dots, x_n$ suponen ser elementos de $F$.

Un sistema de ecuaciones lineales en las variables $x_1, \dots, x_n$ es una familia de ecuaciones lineales, usualmente escrito como

\begin{align*}
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +a_{1n} x_n = b_1\\
a_{21} x_1 +a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n = b_2\\
\quad \vdots\\
a_{m1} x_1+a_{m2} x_2+\dots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}.
\end{align*}

Aquí de nuevo los $a_{ij}$ y los $b_i$ son escalares dados. Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en describir todos los posibles valores que pueden tener $x_1,\ldots,x_n$ de modo que todas las ecuaciones anteriores se satisfagan simultáneamente.

La notación que usamos no es mera coincidencia y nos permite describir de manera mucho más concisa el sistema: Si $X$ es un vector columna con entradas $x_1, \dots, x_n$, $A$ es la matriz en $M_{m,n}(F)$ con entradas $[a_{ij}]$ y $b$ es un vector columna en $F^m$ con entradas $b_1, \dots, b_m$ entonces el sistema se reescribe como

\begin{align*}
AX=b.
\end{align*}

Puedes verificar esto usando la definición de $A$ como transformación lineal y comparando los vectores en ambos lados de la igualdad entrada a entrada. Resolver el sistema se traduce entonces a responder cómo son todos los vectores $X$ en $F^n$ que satisfacen la igualdad anterior.

Ejemplo. A continuación tenemos un sistema de ecuaciones en tres variables (o incógnitas) $x_1$, $x_2$ y $x_3$:

\begin{align*}
\begin{cases}
3x_1-2x_2+7x_3&=5\\
4x_1+3x_3&=7\\
2x_1+x_2-7x_3&=-1\\
-x_1+3x_2&=8
\end{cases}.
\end{align*}

Si tomamos al vector $b=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -1 \\8 \end{pmatrix}$ en $\mathbb{R}^4$, al vector de incógnitas $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ y a la matriz $$A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 7\\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -7 \\ -1 & 3 & 0\end{pmatrix},$$ entonces el sistema de ecuaciones lineales consiste exactamente en determinar aquellos vectores $X$ en $\mathbb{R}^3$ tales que $$AX=b.$$

$\triangle$

También podríamos describir nuestro sistema en términos solo de vectores. Recordando un resultado visto en la entrada de producto de matrices, si $C_1, \dots, C_n$ son las columnas de $A$, vistos como vectores columna en $F^{m}$, el sistema es equivalente a

\begin{align*}
x_1 C_1+x_2 C_2 +\dots +x_n C_n=b.
\end{align*}

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

Hay un tipo de sistemas de ecuaciones lineales muy especiales: aquellos en los que $b=0$. Son tan importantes, que tienen un nombre especial.

Definición.

  1. El sistema de ecuaciones lineales $AX=b$ se dice homogéneo si $b=0$ (es decir si $b_1= b_2=\dots= b_m=0$).
  2. Dado un sistema $AX=b$, el sistema lineal homogéneo asociado es el sistema $AX=0$.

Así, un sistema es homogéneo si es de la forma $AX=0$ para alguna matriz $A$.

Ejemplo. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\begin{align*}
\begin{cases}
2x+3y-z&=-1\\
5x+8z&=0\\
-x+y&=1.
\end{cases}
\end{align*}

Este es un sistema de ecuaciones que en representación matricial se ve así:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 5 & 0 & 8 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Como el vector en el lado derecho de la igualdad no es el vector cero, entonces este no es un sistema homogéneo. Sin embargo, tiene asociado el siguiente sistema lineal homogéneo:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 5 & 0 & 8 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Para la resolución de sistemas lineales en general, el sistema homogéneo asociado juega un papel crucial gracias al siguiente resultado, que nos dice esencialmente que para resolver un sistema $AX=b$ basta con encontrar un vector solución $X_0$ y resolver el sistema homogéneo asociado.

Proposición. (Principio de superposición) Sea $A\in M_{m,n}(F)$ y $b\in F^{m}$. Sea $\mathcal{S}\subset F^{n}$ el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado $AX=0$. Si el sistema $AX=b$ tiene una solución $X_0$, entonces el conjunto de soluciones del sistema $AX=b$ no es más que

\begin{align*}
X_0+\mathcal{S}= \lbrace X_0 +s\mid s\in \mathcal{S} \rbrace.
\end{align*}

Demostración: Por hipótesis, $AX_0=b$. Ahora al sustituir, $AX=b$ si y sólo si $AX=A X_0$, o bien $A(X-X_0)=0$. Es decir, un vector $X$ es solución de $AX=b$ si y sólo si $X-X_0$ es solución de $AY=0$, de otra manera, si y sólo si $X-X_0\in \mathcal{S}$. Pero esto último es equivalente a decir que existe $s\in \mathcal{S}$ tal que $X-X_0=s$, luego $X= X_0 +s\in X_0 +\mathcal{S}$. Esto prueba el resultado.

$\square$

Consistencia de sistemas lineales

Definición. Un sistema lineal es dicho consistente si tiene al menos una solución. Se le llama inconsistente si no es consistente (es decir, si no existe una solución).

Presentamos una última definición para esta entrada.

Definición.

  1. Dos sistemas lineales se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones
  2. Sean $A$ y $B$ dos matrices del mismo tamaño. Si los sistemas $AX=0$ y $BX=0$ son equivalentes, escribiremos $A\sim B$.

Ejemplo. Un ejemplo clásico de un sistema inconsistente es

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1=0\\
x_1=1
\end{cases}
\end{align*}

o bien

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1 -2x_2=1\\
2 x_2-x_1=0
\end{cases}.
\end{align*}

$\triangle$

Observación. Observamos que todo sistema homogéneo siempre es consistente, ya que el vector cero (cuyas coordenadas son todas cero) satisface el sistema. A esta solución la conocemos como solución trivial. Se sigue de la proposición que un sistema consistente $AX=b$ tiene una única solución si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene como única solución la solución trival.

Más adelante

El principio de superposición dice que para entender las soluciones de los sistemas lineales de la forma $AX=b$, basta con entender a los homogéneos, es decir, los de la forma $AX=0$.

Nuestro siguiente paso será ver cómo podemos entender las soluciones de los sistemas lineales homogéneos. Para ello, tenemos que hablar de los sistemas que corresponden a matrices en forma escalonada reducida. La ventaja de estos sistemas es que sus soluciones son muy fáciles de entender, y para cualquier sistema de ecuaciones $AX=0$, hay uno de la forma $A_{red}X=0$, con $A_{red}$ una matriz escalonada reducida, y equivalente a $A$.

Más adelante, ya que tengamos a nuestra disposición herramientas de determinantes, hablaremos de otra forma en la que se pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer.

Tarea moral

  • Muestra que el sistema \begin{align*}
    \begin{cases}
    x_1 -2x_2=1\\
    2 x_2-x_1=0
    \end{cases}.
    \end{align*}
    es inconsistente. Para ello, puedes proceder por contradicción, suponiendo que existe una solución.
  • Rescribe el primer ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales en términos de vectores.
  • Sea $b$ un vector en $F^n$ y $I_n$ la matriz identidad en $M_n(F)$. ¿Cómo se ve de manera explícita el sistema de ecuaciones $(2I_n)X=b$? ¿Cuáles son todas sus soluciones?
  • Sean $A,B$ matrices de tamaño $n\times n$ tales que el sistema $ABX=0$ solo tiene como solución la solución trivial. Demuestre que el sistema $BX=0$ también tiene como única solución a la solución trivial.
  • Sea $A\in M_2(\mathbb{C})$ y considere el sistema homogéneo $AX=0$. Demuestre que son equivalentes:
    1. El sistema tiene una única solución, la solución trivial.
    2. $A$ es invertible.

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Álgebra Lineal I: Matrices de bloques

Por Julio Sampietro

2 respuestas

Introducción

En esta entrada definimos el concepto de submatriz y estudiamos las llamadas matrices de bloques que esencialmente son matrices grandes obtenidas por matrices más pequeñas (esto tendrá sentido después de algunos ejemplos). Las matrices de bloque aparecen frecuentemente en muchas áreas y permiten realizar cálculos que podrían ser bastante complicados de otra manera.

Dentro de este curso, nos encontraremos con las matrices de bloque cuando hablemos de solución de ecuaciones lineales y de encontrar inversas de matrices usando el método de reducción gaussiana.

Definición de matrices de bloques

Definición. Una submatriz de una matriz $A\in M_{m,n}(F)$ es una matriz que se obtiene al quitar filas y/o columnas de $A$.

Notamos que $A$ es submatriz de si misma. Una matriz puede partirse en submatrices marcando líneas verticales u horizontales en la matriz. Llamamos a una matriz de este estilo una matriz de bloques y a las submatrices marcadas las llamamos bloques.

Unos ejemplos de matrices de bloques:

\begin{align*}
\left( \begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 3\\
0& 5 & 6\\
0 & 0&9
\end{array}\right)
,\hspace{2mm} \left( \begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 1 \\ \hline 2 & 5 & -3\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\ \hline 5 & 16 & 2 & 0\\ 17 & 19 & -5 & 3\\ 117 & 0 & 0 & 11\end{array}\right). \end{align*}

Como mencionamos en la introducción, podemos ver a una matriz de bloques como una ‘matriz de matrices’: una matriz de bloques en $M_{m,n}(F)$ típica se ve como

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\
A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk}
\end{pmatrix},
\end{align*}

en donde cada submatriz $A_{ij}$ es una matriz de tamaño $m_i\times n_j$ para algunos enteros positivos $m_1,\dots, m_l$ y $n_1,\dots, n_k$ tales que $m_1+\dots +m_l=m$ y $n_1+\dots+n_k=n$. La matriz tiene entonces $l$ filas de bloques y $k$ columnas de bloques.

Si $l=k$, llamamos a los bloques $A_{11}, \dots, A_{kk}$ los bloques diagonales y decimos que $A$ es diagonal por bloques si todos los bloques aparte de los diagonales son la matriz cero del tamaño correspondiente. Es decir, una matriz diagonal por bloques es de la forma

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} A_{11} & 0 &\dots & 0\\
0 & A_{21} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\
0 & 0 &\dots & A_{kk}.
\end{pmatrix}
\end{align*}

Observa que sólo estamos pidiendo que $k=l$, es decir, que haya la misma cantidad de filas de bloques y de columnas de bloques. Sin embargo, no es necesario que la matriz $A$ sea cuadrada para que sea diagonal por bloques.

Por más que la definición en abstracto pueda ocultar su sentido práctico, uno siempre reconoce una matriz diagonal por bloques cuando la ve.

Ejemplo. La matriz

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1& -1 & 0 & 0\\
0& 2 & 0 & 0\\
0&0 & 3 &0\\
0 & 0 & 15 & -2
\end{pmatrix}
\end{align*}

es diagonal por bloques, y los resaltamos con las líneas de división

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cc|cc}
1& -1 & 0 & 0\\
0& 2 & 0 & 0\\ \hline
0&0 & 3 &0\\
0 & 0 & 15 & -2
\end{array}\right).\end{align*}

La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0\\
0& 3 & 0 &0\\
0&0 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}

también es diagonal por bloques, aunque los bloques no necesariamente sean cuadrados. Resaltamos la lineas divisorias a continuación:

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cc|cc}
2& -1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & 0\\ \hline
0 & 0 & 0 &-2\\ 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right).\end{align*}

Los bloques diagonales son \begin{align*}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 8 & 3 \\2 & 3 \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*}\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

$\triangle$

Operaciones con matrices de bloques

Al ser ‘matrices de matrices’, las matrices de bloques se comportan adecuadamente con las operaciones de suma y producto de matrices que conocemos. Enunciamos esto con más detalle en la siguiente proposición que no demostraremos. Las demostraciones son directas pero tediosas.

Proposición.

  • Si
    \begin{align*}
    A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1k}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{l1} & B_{l2} & \dots & B_{lk} \end{pmatrix} \end{align*}
    son matrices de bloques con $A_{ij}$ y $B_{ij}$ del mismo tamaño para cada $i,j$ (es decir, la partición es igual) entonces
    \begin{align*}
    A+B=\begin{pmatrix} A_{11} +B_{11} & A_{12}+B_{12} & \dots & A_{1k}+B_{1k}\\ A_{21} +B_{21}& A_{22}+B_{22} & \dots & A_{2k}+B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1}+B_{l1} & A_{l2}+B_{l2} & \dots & A_{lk}+B_{lk} \end{pmatrix}
    \end{align*}
  • Si
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{k1} & B_{k2} & \dots & B_{kr} \end{pmatrix} \end{align*}
    son de tamaño $m\times n$ y $n\times p$ respectivamente tal que $A_{ij}$ es de tamaño $m_i \times n_j$y $B_{ij}$ de tamaño $n_i\times p_j$, entonces
    \begin{align*}
    AB=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1r}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{l1} & C_{l2} & \dots & C_{lr} \end{pmatrix}
    \end{align*}
    donde
    \begin{align*}
    C_{ij}=\sum_{u=1}^{k} A_{iu} B_{uj}.
    \end{align*}

Más adelante…

En unas cuantas entradas hablaremos del algoritmo de reducción gaussiana y lo usaremos para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices. Nos encontraremos con matrices de bloque muy específicas, por ejemplo, las que resultan de «pegarle» un vector columna a una matriz, por ejemplo

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cccc|c}
-3& -1 & 3 & -11 & 0\\
8 & 3 & 0 & 2 & -1\\
1 & -5 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right).\end{align*}

y las que resultan de «pegarle» la matriz identidad a una matriz cuadrada, por ejemplo

\begin{align*}
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
-3& -1 & 3 & 1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right).\end{align*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • ¿Cómo se portan las matrices de bloques respecto a la transposición?
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz $I_3$ para que quede como una matriz de bloques. Aquí hay algunas: \begin{align*}\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). \end{align*}
  • Demuestra que toda matriz diagonal puede verse como una matriz diagonal por bloques. Muestra que no toda matriz diagonal por bloques es una matriz diagonal.
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz $I_4$ para que quede como una matriz diagonal por bloques.
  • ¿Cómo es la inversa de una matriz diagonal por bloques?

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