Sean
Donde
En el siguiente enlace puedes observar que se cumple esta ley. Puedes mover los vectores
Por Mariana Perez
Sean
Donde
En el siguiente enlace puedes observar que se cumple esta ley. Puedes mover los vectores
Por Mariana Perez
Consideremos el paralelogramo cuyos vértices son los puntos
Sea
Este paralelogramo es un conjunto convexo y también simétrico respecto al origen, es decir que
Además es cerrado,
Es acotado con la norma Euclidiana (un conjunto es acotado si está contenido en una bola).
Entonces, nos preguntamos si ¿existe una norma
Para que la frontera sea la «circunferencia unitaria» debe suceder que si
Para que sea norma se debe complir que
y además debe cumplir que
Analicemos que:
si
Entonces ¿cuál es la regla de correspondencia que a cada
Sea
Caso «fácil»: si
Caso «menos fácil»: si
Pregunta auxiliar ¿cuáles son las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del paralelogramo?
Tenemos que las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales son:
Recta I:
Recta II:
Comenzamos analizando el caso «fácil»:
CASO «punto en la Recta I»: si
entonces
por lo tanto
Ejemplo:
CASO «punto en la Recta II»: si
entonces
por lo que
Ejemplo:
Análogamente se estudia el CASO III
y el CASO IV, cuando
Ejemplo:
Ahora, analizamos el caso «menos fácil»:
CASO «punto en la Región I»: si
Afirmación:
Sea
Consideramos 4 posibilidades, dadas por la ubicación del punto en algunas de las cuatro partes en las que queda dividido el plano, según las rectas
Veamos que sucede cuando el punto está en las regiones «I» y «IV». Los dos casos restantes son análogos.
Cuando
Observación: como
Luego
Por lo tanto,
Cuando
Ahora
Luego
por lo que
Hemos propuesto
Afirmación:
Por último probamos que satisface la desigualdad del triángulo, es decir que se cumple que:
Sean
Entonces
Por demostrar
Si el máximo es
Si el máximo es
Por lo anterior queda probado que
Por Mariana Perez
En
En el siguiente enlace puedes ver una animación de esta norma para valores de
https://www.geogebra.org/classic/qcb2u6ku
Tal vez te preguntes, qué sucede con los valores de
Por Lizbeth Fernández Villegas
En la entrada anterior trabajamos con la ecuación diferencial
Primeramente, veamos un concepto.
Definición. Función localmente Lipschitz continua en la segunda variable. Sea
diremos que
Sea
Plan para resolverla con el teorema de punto fijo de Banach: Propondremos un espacio métrico completo
Sean
Sea
Considera
donde
Si
Como buscamos que esta solución sea punto fijo de una contracción
Nota que
Si
Si
De ambos casos podemos concluir que
Sean
Si
Si
Por lo tanto, la distancia entre
Sea
Lo que hemos visto en esta entrada demuestra el siguiente:
Teorema. Picard-Lindelöf. Sea
tiene una única solución en el intervalo
Si
Definición. Función localmente Lipschitz continua en la segunda variable. Sea
diremos que
Teorema. Picard-Lindelöf. Sea
tiene una única solución en el intervalo
En este caso el espacio completo donde podemos encontrar la solución es
Donde
Pasaremos a la siguiente sección de esta asignatura con temas de compacidad. Aunque ya se han usado algunos resultados para el caso del espacio métrico euclidiano, mostraremos cómo el concepto puede generalizarse en otros espacios a partir de la topología que la métrica induce en ellos.
Por Gabriela Hernández Aguilar
Al hablar de conjuntos infinitos, resulta natural pensar que entre cualesquiera dos de ellos debería existir una manera de «emparejar» sus elementos, es decir, establecer una biyección entre tales conjuntos, ya que, al fin y al cabo, ambos contienen infinitos elementos. Esta idea puede deberse a que, cuando uno piensa en conjuntos infinitos, lo primero que viene a la mente es el conjunto de los números naturales o el de los enteros, los cuales están ordenados de una manera bastante agradable y nos resulta «fácil» ubicarlos en una recta, como si fueran números colocados sobre una cinta métrica infinita.
Sin embargo, no todos los conjuntos infinitos poseen un orden tan agradable como el de estos dos conjuntos, y muchos de ellos presentan propiedades considerablemente diferentes. Por ejemplo, algunos conjuntos infinitos pueden no tener un buen orden como el de los naturales, o quizás exista tal orden pero nos resulte extremadamente difícil de identificar.
El teorema de Cantor demuestra que, efectivamente, la idea de que se pueden emparejar los elementos de cualesquiera dos conjuntos infinitos es incorrecta. Un ejemplo específico es el conjunto de los números naturales
Esta entrada está dedicada precisamente a esta cuestión: exhibir conjuntos infinitos con «diferentes tamaños», específicamente, conjuntos que no sean numerables, es decir, que no sean equipotentes con
Por el teorema de Cantor sabemos que para cada conjunto
Comenzaremos proporcionando ejemplos que involucran conceptos que hemos visto en la entrada anterior.
Ejemplo.
El conjunto de sucesiones en
Demostración.
En la entrada anterior probamos que para cada
Si
Lo anterior nos permite asociar a cada elemento de
Ahora bien, para cada
Para dar una función inyectiva de
Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein concluimos que
Al contrario de los conjuntos finitos, existen ejemplos de conjuntos infinitos que poseen subconjuntos propios equipotentes a ellos mismos, es decir, existe una biyección entre el subconjunto propio y el conjunto original. Un ejemplo de lo anterior es el conjunto de los números naturales, pues cualquier subconjunto propio de
Ejemplo.
El conjunto
Demostración.
Para demostrar la equipotencia de este ejemplo vamos a exhibir una biyección entre tales conjuntos. Para ello haremos lo siguiente, si
Lo anterior nos permite establecer una función entre
Resta probar la sobreyectividad. Consideremos
Como lo mencionamos previamente, ahora contamos con un ejemplo de un conjunto infinito no numerable que posee un subconjunto propio equipotente a él, específicamente
Definición. Un conjunto
Que un conjunto sea infinito según Dedekind implica que dicho conjunto es infinito. Y ya que contamos con algunos ejemplos de conjuntos infinitos que también son infinitos según Dedekind, surge de manera natural la pregunta: ¿todo conjunto infinito es infinito según Dedekind? Dicha cuestión no la podemos responder con lo que hemos visto hasta ahora y es por eso que la dejaremos para más adelante.
Una consecuencia inmediata del último ejemplo es el siguiente corolario.
Corolario. Sean
Demostración.
Dado que
Denotemos
A partir de la definición anterior tenemos que
Ahora para mostrar que
Luego,
Ahora, sean
Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein concluimos que
Observemos que el corolario muestra que existen una infinidad de subcojuntos propios de
Ejemplo.
El conjunto
Demostración.
Dado que
Consideremos al conjunto de números primos
Como un ejercicio para esta entrada dejaremos el siguiente ejemplo.
Ejemplo.
Para finalizar con esta serie de ejemplos de conjuntos no numerables y equipotentes a
Para lo que sigue vamos a suponer que ya conocemos todas las propiedades básicas del conjunto de números reales, y si no se conocen dichas propiedades o lo que es un número real, puedes consultar cualquier libro introductorio a la teoría de conjuntos como el de Hernández1, o también puedes consultarlo en un libro de cálculo como el de Spivak2.
Además de lo dicho en el párrafo precedente, estaremos haciendo un abuso de notación escribiendo las contenciones
Dicho lo anterior tenemos la siguiente proposición.
Proposición. El intervalo abierto
Demostración.
Definamos
Lo primero que se debe observar es que la función
Veamos ahora que
Caso 1.
Caso 2.
Caso 3.
Veamos ahora que
Por lo tanto
Una consecuencia de la proposición anterior es el siguiente corolario.
Corolario. El intervalo
Demostración.
Dado que
Si bien la demostración del corolario anterior fue muy rápida y utilizamos el importante teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, siempre resulta interesante determinar una biyección explícita, y precisamente en el caso del corolario anterior lo podemos hacer.
Definamos
La función anterior resulta ser una biyección entre
Caso 1.
Caso 2.
Caso 3.
Caso 4.
Luego,
Los cuatro casos anteriores muestran que
Veamos ahora que
Si
Para exhibir la biyección entre
Proposición. Sea
Demostración.
Como lo mostrarás en los ejercicios de esta sección, basta mostrar que para cada
Sea pues
Si
Comprobar que esta función es biyectiva es análogo a como lo hicimos con la función biyectiva que exhibimos entre los intervalos
Supongamos ahora que
Nuevamente, comprobar que esta función es biyectiva es similar a lo que hemos hecho. Esto nos permite concluir que
La proposición precedente muestra además que todo conjunto que contenga un conjunto numerable es infinito segun Dedekind, pues si tomamos
Para culminar la entrada mostraremos que
Teorema.
Demostración.
Primero vamos a mostrar la siguiente afirmación: para cada
Sea pues
Para
Supongamos que el resultado es válido para algún
Definida de esa manera la función
Luego, dado que
entonces
Luego, en particular,
Sabemos que
Por lo tanto, para cada
Estamos entonces en condiciones de definir una función
Ahora vamos a definir una función inyectiva de
Si la función
Dado que el número real
Veamos que
Algo que será de utilidad para probar esto último es la desigualdad
Ahora sí, veamos que
Dado que las sucesiones de números racionales
Sea
Luego,
y en consecuencia,
Así, la función
Concluimos la entrada con el siguiente corolario, cuya prueba es consecuencia del teorema anterior y el hecho que
Corolario.
En la siguiente entrada introduciremos uno de los axiomas más relevantes de la teoría de conjuntos, el axioma de elección. Dicho axioma nos permitirá responder algunas de las interrogantes que quedaron abiertas en secciones anteriores y, además, veremos algunas de sus sorpredentes consuecuencias.