MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En las entradas anteriores definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\ne q$?

En general $L^p⊈L^q$

A pesar de lo que la intuición podría sugerirnos, en general, dados $1\le p\le \mathrm{\infty }$ y $1\le q\le \mathrm{\infty }$ con $p\ne q$, NO se tiene ninguna contención:
$$L^p\subseteq L^q$$ Ni $$L^q\subseteq L^p.$$

Ejemplo. Consideremos funciones de la forma $$x\to \frac{1}{x^{\alpha }}$$
Es fácil verificar que $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }⟺\alpha >1$$ Y que $${\int }_0^1\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }⟺\alpha <1.$$ Entonces, dados $p,q\in [1,\mathrm{\infty })$ con $p<q$, podemos encontrar un número $\gamma >0$ tal que $$\gamma p<1<\gamma q.$$ Tomemos $f(x)=\frac{{\chi }_{[1,\mathrm{\infty })}(x)}{x^{\gamma }}$ y $g(x)=\frac{{\chi }_{(0,1)}(x)}{x^{\gamma }}$.
De modo que $${\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^p\mathrm{d}x={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\gamma p}}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty };{\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^q\mathrm{d}x={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\gamma q}}\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }.$$
Por lo que $f\in L^p(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^q(\mathbb{R})$. Similarmente
$${\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^p\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1}{x^{\gamma p}}\mathrm{d}x=\mathrm{\infty };{\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^q\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1}{x^{\gamma q}}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }.$$ Por lo que $g\in L^q(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^p(\mathbb{R})$.

Si bien en general $L^p⊈L^q$ cuando $p\ne q$, sí podemos dar una contención en el caso de que $\mu$ sea una medida finita.

Proposición. Si $\mu$ es una medida finita, y $s<r$, entonces $L^r(X)\subseteq L^s(X)$ con $${\Vert f\Vert }_s\le (\mu (X){)}^{\frac{r-s}{rs}}{\Vert f\Vert }_r$$

Demostración. Tomando $(p,q)=(\frac{r}{r-s},\frac{r}{s})$ en la desigualdad de Hölder se sigue:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_s^s& ={\int }_X|f{|}^s\mathrm{d}\mu \\ & ={\int }_{X}1\cdot |f{|}^s\mathrm{d}\mu \\ & \le {\left({\int }_{X}1\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{r-s}{r}}{({\int }_X(|f{|}^s{)}^{\frac{r}{s}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{s}{r}}\\ & =(\mu (X){)}^{\frac{r-s}{r}}{\Vert f\Vert }_r^s\end{array}$$

$$⟹{\Vert f\Vert }_s\le (\mu (X){)}^{\frac{r-s}{rs}}{\Vert f\Vert }_r$$
Como queríamos probar.

Interpolación de espacios $L^p$

También podemos decir algo sobre $L^p\cap L^r$ con $p\ne r$.

Proposición (Identidad de interpolación). Sean $1\le p<q<r\le \mathrm{\infty }$. Si $f\in L^p\cap L^r$, entonces $f\in L^q$. Además $${\Vert f\Vert }_q\le {\Vert f\Vert }_p^{\lambda }{\Vert f\Vert }_r^{1-\lambda }.$$

Donde $\lambda \in (0,1)$ es aquel número tal que $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda }{p}+\frac{(1-\lambda )}{r}.$$
Es decir $\lambda =\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}$. (En este caso, hacemos la convención $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$).

Demostración. Si $r=\mathrm{\infty }$, tenemos que $|f{|}^q\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{q-p}|f{|}^p$ y $\lambda =\frac{p}{q}$. Integrando, se sigue que:

$${\Vert f\Vert }_q={(\int |f{|}^q\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{q}}\le {(\int {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{q-p}|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{q}}={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{p}{q}}{\Vert f\Vert }_p^{\frac{p}{q}}={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\lambda }{\Vert f\Vert }_p^{\lambda }$$
Si $r<\mathrm{\infty }$, observemos que la pareja $\frac{p}{\lambda q},\frac{r}{(1-\lambda )q}$ son conjugados de Hölder pues: $$\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda )q}{r}=q(\frac{\lambda }{p}+\frac{(1-\lambda )}{r})=\frac{q}{q}=1.$$

Así que, aplicando la desigualdad de Hölder con tales conjugados:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_q^q& =\int |f{|}^q\mathrm{d}\mu \\ & =\int |f{|}^{\lambda q}|f{|}^{(1-\lambda )q}\mathrm{d}\mu \\ & \le {(\int (|f{|}^{\lambda q}{)}^{\frac{p}{\lambda q}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{\lambda q}{p}}{(\int (|f{|}^{(1-\lambda )q}{)}^{\frac{r}{(1-\lambda )q}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{(1-\lambda )q}{r}}\\ & ={(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{\lambda q}{p}}{(\int |f{|}^r\mathrm{d}\mu )}^{\frac{(1-\lambda )q}{r}}\\ & ={\Vert f\Vert }_q^{\lambda q}{\Vert f\Vert }_r^{(1-\lambda )q}\end{array}$$

Tomando raíces $q$-ésimas se sigue entonces:
$${\Vert f\Vert }_q\le {\Vert f\Vert }_q^{\lambda }{\Vert f\Vert }_r^{(1-\lambda )}.$$

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Anteriormente definimos los espacios $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty })$, definimos su norma y estudiamos algunas de sus propiedades analíticas más importantes. En esta entrada estudiaremos el concepto de supremo esencial y el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$. Bajo ciertas condiciones, este último espacio se puede pensar como «un caso límite» de los espacios $L^p$, y como veremos, comparten varias de sus propiedades. También le daremos significado a nuestra convención de que el dual de Hölder de 1 sea $\mathrm{\infty }$.

Durante toda la entrada $(X,\mathcal{M},\mu )$ denotará un espacio de medida arbitrario.

Definición. Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible (posiblemente definida en $\mu$-c.t.p. de $X$). Decimos que $f$ es esencialmente acotada si existe $M\in \mathbb{R}$ con $0\le M<\mathrm{\infty }$ tal que $$|f(x)|\le M$$ Para $\mu$-c.t.p. de $X$. O equivalentemente $$\mu (\{x||f(x)|>M\})=0.$$

Al igual que hicimos con los espacios $L^p$, identificaremos a las funciones que son iguales en $\mu$-c.t.p. de $X$, es decir, a lo largo de esta entrada cuando hablemos de alguna función $f$, nos referiremos implícitamente a la clase de equivalencia de funciones $\mathcal{M}$ medibles e iguales en c.t.p. a $f$.

Definición. El espacio $L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu )$ es la colección de (clases de equivalencia) de funciones $\mathcal{M}$-medibles y esencialmente acotadas en $X$, equipado con la norma:
$${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=inf\{M\in \mathbb{R}||f(x)|\le M\text{ en }\mu -c.t.p.\}.$$ Al número ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ le llamaremos el supremo esencial de $f$.

Cuando el espacio sobre el que estemos trabajando sea claro, denotaremos a $L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu )$ como $L^{\mathrm{\infty }}(X)$ o simplemente como $L^{\mathrm{\infty }}$.

No es trivial que ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$ es una norma sobre $L^{\mathrm{\infty }}$. Antes de probarlo, veamos una propiedad útil de ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$:

Proposición. Si $f\in L^{\mathrm{\infty }}$ $⟹$ $|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en $\mu$-c.t.p. $x\in X$.

Demostración. Por definición de ínfimo, podemos encontrar una sucesión $\{M_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que $$M_k⟶{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ Y $$|f(x)|\le M_k$$ Para todo $x\in X\setminus N_k$ con $\mu (N_k)=0$.

Ahora, definiendo $$N=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_k$$ Para todo $x\in X\setminus N$ tenemos que $$|f(x)|\le M_k\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$$ $$⟹|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Teorema. $(L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu ),{\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }})$ es un espacio normado.

Demostración. Es inmediato de la definición que ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\ge 0$ y ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0$ $⟺$ $|f(x)|\le 0$ en c.t.p. $x\in X$ $⟺$ $f=0$ (como clase de equivalencia).

Dadas $f,g\in L^{\mathrm{\infty }}$, por la proposición anterior $$|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }};|g(x)|\le {\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$. Por la desigualdad del triángulo se sigue entonces que $$|f(x)+g(x)|\le |f(x)|+|g(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}+{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$
En $\mu$-c.t.p. $x\in X$ $$⟹{\Vert f+g\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}+{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Como habíamos adelantado, el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$ comparte varias propiedades con los espacios $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty })$. Veamos algunas de ellas.

Teorema (Desigualdad de Hölder). Sean $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu )$ y $g\in L^q(X,\mathcal{M},\mu )$ con $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$ conjugados de Hölder (es decir, tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ si $p,q>1$ ó $p=1,q=\mathrm{\infty }$ ó $p=\mathrm{\infty },q=1$). Entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int |fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert f\Vert }_q$$

Demostración. El caso $p,q\in [1,\mathrm{\infty })$ ya lo probamos anteriormente. Basta suponer que $f\in L^1$ y $g\in L^{\mathrm{\infty }}$, de modo que $|g|\le {\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en c.t.p. $⟹$ $|fg|\le |f|{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en c.t.p. Por lo que: $$\int |fg|\mathrm{d}\mu \le (\int |f|\mathrm{d}\mu ){\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}={\Vert f\Vert }_1{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Proposición. $(L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu ),{\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }})$ es un espacio de Banach.

Demostración. Sea ${f_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión de Cauchy en $L^{\mathrm{\infty }}$. Redefiniendo cada una de las funciones $f_k$ en un conjunto de medida cero apropiado (¿Cuál?), podemos asumir sin pérdida de generalidad que:

• $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$ y $\mathrm{\forall }x\in X$ $$|f_k(x)|\le {\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$
• $\mathrm{\forall }k,j\in \mathbb{N}$ y $\mathrm{\forall }x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Como para cada $x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ En particular la sucesión ${f_k(x)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es de Cauchy (en $\mathbb{R}$) por lo que converge a un límite $f(x)$.

La función $f(x)$ está definida en cada punto y es medible al ser límite de funciones medibles. Veamos que de hecho $f_k⟶f$ en $L^{\mathrm{\infty }}$.

Como la sucesión $f_k$ es de Cauchy, en particular es acotada, por lo que $\mathrm{\exists }M>0$ tal que $${\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$$ Para todo $k$. En particular $|f_k(x)|\le {\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$ Para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $x\in X$ $$⟹|f(x)|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}|f_k(x)|\le M$$ $\mathrm{\forall }x\in X$ por lo que $f$ es (esencialmente) acotada: $f\in L^{\mathrm{\infty }}$.

Dado $\epsilon >0$, podemos encontrar un entero $N$ tal que $\mathrm{\forall }k,j>N$: $${\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon$$ $$⟹|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in X.$$ Fijando $k>N$ y haciendo tender $j\to \mathrm{\infty }$ concluimos: $$|f_k(x)-f(x)|\le \epsilon ,\mathrm{\forall }x\in X$$ $$⟹{\Vert f_k-f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \epsilon .$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $\epsilon >0$ concluimos que $f_k⟶f$ en $L^{\mathrm{\infty }}$.

El teorema a continuación es otra de las razones para justificar la notación ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$. Por conveniencia, dada una función $\mathcal{M}$ medible $f$ y $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ definamos:

$${\Vert f\Vert }_p=\{\begin{array}{ll}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}& \text{si }f\in L^p\\ \mathrm{\infty }& \text{si }f\notin L^p\end{array}$$

Teorema. Sea $f\in L^r(X,\mathcal{M},\mu )$ para algún $r<\mathrm{\infty }$. Entonces $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f\Vert }_p={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$

Nota. Aquí hay dos afirmaciones; que el límite existe y que es igual a ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

Demostración. Primero tomemos $t$ tal que: $$0\le t<{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$ Por definición de la norma ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$, el conjunto $$A=x\in X||f(x)|\ge t$$ Tiene medida positiva $$\mu (A)>0.$$ Ahora:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_p& ={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & \ge {\left({\int }_A|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & \ge {\left({\int }_A{t}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =(t^p\mu (A){)}^{\frac{1}{p}}\\ & =t(\mu (A){)}^{\frac{1}{p}}.\end{array}$$

Tenemos dos casos:

1. Si $0<\mu (A)<\mathrm{\infty }$ $⟹$ $\mu (A{)}^{\frac{1}{p}}⟶1$ cuando $p⟶\mathrm{\infty }$.
2. Si $\mu (A)=\mathrm{\infty }$ $⟹$ $\mu (A{)}^{\frac{1}{p}}=\mathrm{\infty }.$

Sin embargo, en ambos casos $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p\ge t.$$

Como $t$ era arbitrario, podemos concluir que $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p\ge {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Para la desigualdad opuesta, necesitaremos la hipótesis de que $f\in L^r$. Si $f=0$ (en c.t.p.) la desigualdad es inmediata así que supongamos que $f\ne 0$ (en c.t.p.).

Tenemos entonces $${\Vert f\Vert }_p^p={\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu ={\int }_X|f{|}^r|f{|}^{p-r}\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\int }_X|f{|}^r\mathrm{d}\mu ={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{p-r}{\Vert f\Vert }_r^r.$$
$$⟹{\Vert f\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{\frac{p-r}{p}}={\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}.$$
Como ${\Vert f\Vert }_r<\mathrm{\infty }$, entonces ${\Vert f\Vert }_p^{\frac{r}{p}}<\mathrm{\infty }$. Además ${\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}⟶1$ cuando $p⟶\mathrm{\infty }$. Así pues, tomando $lim sup$ en el estimado de arriba:

$$\begin{array}{rl}\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_p& \le \underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}\\ & \le \left(\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}\right)\left(\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}\right)\\ & =(1)\cdot ({\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }})\\ & ={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

Juntando los dos estimados establecidos hasta ahora tenemos que:

$$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p$$
Es decir, $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f\Vert }_p={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Más adelante…

Estudiaremos de varias formas la relación que existe entre $L^p$ y $L^q$ cuando $p\ne q$.

Tarea moral…

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada pasada definimos los espacios $L^p$ y vimos algunas de sus propiedades. Probamos que son espacios normados y algunas desigualdades relacionadas. En esta entrada probaremos otra propiedad analítica muy fuerte: Son espacios de Banach.

A modo de recordatorio:

Definición. Decimos que un espacio vectorial normado $(V,\Vert \cdot \Vert )$ es de Banach si es completo respecto a la métrica inducida por la norma: $d(u,v)=\Vert u-v\Vert$.

Antes de continura, veamos un Lema que simplificará los desarrollos más adelante:

Lema. Supongamos que $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq L^p$ y $f_k\ge 0$ $\mathrm{\forall }k$. Entonces: $${\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\Vert }_p\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p.$$

Demostración. Sea $$F_N=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k.$$

Por la desigualdad de Minkowski: $${\Vert F_N\Vert }_p\le \sum _{k=1}^N{\Vert f_k\Vert }_p\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p.$$

Entonces, por el teorema de la convergencia monótona y la continuidad de la función $x\to x^p$ se sigue:

$$\begin{array}{rl}{\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\Vert }_p& ={\left({\int }_X{\left|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & ={\left({\int }_X{\left|\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_N\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left({\int }_X{\left|F_N\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert F_N\Vert }_p\\ & \le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p\end{array}$$

Teorema (Riesz-Fischer). Sea $(X,\mathcal{M},\mu )$ un espacio de medida y $1\le p<\mathrm{\infty }$. Entonces $(L^p(X),{\Vert f\Vert }_p)$ es de Banach.

Demostración. Consideremos una sucesión de Cauchy $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ en $L^p$ (es decir, con la métrica $d(f,g)={\Vert f-g\Vert }_p$). Al ser de Cauchy, podemos encontrar recursivamente una subsucesión ${f_{k_r}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que: $${\Vert f_{k_{r+1}}-f_{k_r}\Vert }_p<\frac{1}{2^r}\mathrm{\forall }r\in \mathbb{N}.$$

Basta probar que la subsucesión ${f_{k_r}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge en $L^p$ (recuerda que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces toda la sucesión converge al mismo límite). Por simplicidad, reenumeremos los índices y supongamos que $\{f_{k_r}{\}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}=\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$.

Definamos $$F=|f_1|+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|.$$
Ésta es una función $\mathcal{M}$-medible al ser una serie de funciones medibles. Por el Lema anterior tenemos que:

$$\begin{array}{rl}{\Vert F\Vert }_p& \le {\Vert f_1\Vert }_p+{\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|\Vert }_p\\ & \le {\Vert f_1\Vert }_p+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_{j+1}-f_j\Vert }_p\\ & \le {\Vert f_1\Vert }_p+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^j}\\ & ={\Vert f_1\Vert }_p+1\\ & <\mathrm{\infty }\end{array}$$

De modo que $\int F^p\mathrm{d}\mu =\int |F{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$ es integrable, en particular $F^p<\mathrm{\infty }$ en c.t.p. O equivalentemente, que $F(x)<\mathrm{\infty }$ $\mathrm{\forall }x\in X\setminus N$ con $\mu (N)=0$.

Para cualquier $x\in X\setminus N$, $F(x)=|f_1(x)|+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|$ converge $⟹$ $f_1(x)+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))$ converge absolutamente. Como la $k$-ésima suma parcial de la serie (telescópica) anterior es:

$$f_1(x)+\sum _{j=1}^k(f_{j+1}(x)-f_j(x))=f_k(x)$$

Se sigue que $$f(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$

Existe para $x\in X\setminus N$. Definiendo $f=0$ sobre $N$, es fácil ver que la función es $\mathcal{M}$-medible. Como para cada $x\in X\setminus N$ (en particular, en c.t.p. de $X$).

$$f(x)=f_1(x)+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))$$ $$⟹|f(x)-f_k(x)|=|\sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))|\le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|$$

(Observa que este último estimado nos dice que para $x\in X\setminus N$, $|f(x)-f_k(x)|=\le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|⟶0$ cuando $k\to \mathrm{\infty }$ al tratarse de una serie convergente, es decir, que $f_k(x)⟶f(x)$ en c.t.p. $x\in X$. Debajo enunciamos este hecho como un corolario).

De manera que:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f-f_k\Vert }_p& \le {\Vert \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|\Vert }_p\\ & \le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_{j+1}-f_j\Vert }_p\\ & \le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{k-1}}\\ & =\frac{1}{2^{k-1}}<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Por un lado anterior, tenemos por un lado que $${\Vert f-f_k\Vert }_p<\mathrm{\infty }$$ $⟹$ $(f-f_k)\in L^p$. Luego $f=(f-f_k)+f_k\in L^p$. Además $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f-f_k\Vert }_p=0$$ Así que $f_k⟶f$ en $L^p$.

Corolario. Si una sucesión $f_k⟶f$ en $L^p$, entonces existe una subsucesión $f_{k_r}$ tal que $$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{k_r}(x)=f(x)$$
En c.t.p. $x\in X$.

El corolario anterior podría sugerir alguna relación entre la convergencia en $L^p$ y la convergencia en casi todo punto. Sin embargo, como veremos en los siguientes ejemplos, esto no es así:

Ejemplo. Consideremos $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda )$ los reales con la medida de Lebesgue. Definamos:

$$f_k=k^2{\chi }_{(0,\frac{1}{k})}.$$

Afirmamos que esta sucesión de funciones converge en c.t.p. pero no converge en $L^p$.

En primer lugar, notemos que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$:

$${\int }_{\mathbb{R}}|f_k{|}^p\mathrm{d}\lambda ={\int }_{\mathbb{R}}|k^2{\chi }_{(0,\frac{1}{k})}{|}^p\mathrm{d}\lambda =k^{2p}{\int }_0^{\frac{1}{k}}1\mathrm{d}\lambda =k^{2p}\left(\frac{1}{k}\right)=k^{2p-1}<\mathrm{\infty }.$$

Por lo que $f_k\in L^p$ con:

$${\Vert f_k\Vert }_p={\left({\int }_{\mathbb{R}}|f_k{|}^p\mathrm{d}\lambda \right)}^{\frac{1}{p}}=k^{2-\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$$

• Por un lado, es claro que $f_k⟶0$ puntualmente cuando $k\to \mathrm{\infty }$ (en particular converge en c.t.p. a 0).
• Si $f_k$ converge en $L^p$, su límite necesariamente debde ser 0 (en c.t.p.) por el corolario anterior, sin embargo, ${\Vert f-0\Vert }_p={\Vert f\Vert }_p=k^{2-\frac{1}{p}}⟶\mathrm{\infty }$ cuando $k\to \mathrm{\infty }$, de modo que la sucesión NO converge a ningún límite con la norma $L^p$.

Ejemplo. Consideremos ahora la medida de Lebesgue restringida en el intervalo $[0,1]$, ${\lambda }_{|[0,1]}$. Para cada $k\in \mathbb{N}$ definamos: $$f_{2^k+j}=k{\chi }_{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]},j=0,1,\dots ,2^k-1.$$

[Figura]

Entonces para cada $p\in [1,\mathrm{\infty })$ $${\Vert f_{2^k+j}\Vert }_p={\left({\int }_0^1{k}^p{\chi }_{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]}\mathrm{d}\lambda \right)}^{\frac{1}{p}}={\left(k^p\left(\frac{1}{2^k}\right)\right)}^{\frac{1}{p}}=k\cdot 2^{-\frac{k}{p}}⟶0.$$
Cuando $k⟶\mathrm{\infty }$.

• Entonces, tenemos por un lado que $f_{2^k+j}\in L^p$ $\mathrm{\forall }p\in [1,\mathrm{\infty })$ y además $f_{2^k+j}⟶0$ en $L^p$.
• Sin embargo, para cualquier $x\in [0,1]$, la sucesión ${f_m(x)}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ diverge, pues para cualquier $N>0$, podemos encontrar $m=2^k+j>N$ tal que $x\in [\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]$ $⟹$ $f_{2^k+j}(x)=k$ pero también algún $m^{\prime }=2^k+i$ tal que $x\notin [\frac{i}{2^k},\frac{i+1}{2^k}]$ $⟹$ $f_{2^k+j}(x)=0$, por lo que $$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_j=\mathrm{\infty }\ne 0=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_j.$$ Así que la sucesión NO converge en casi todo punto.

Ejemplo. Una sucesión en $L^{p_1}\cap L^{p_2}$ puede converger en $L^{p_1}$ pero no en $L^{p_2}$. Consideremos nuevamente $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda )$ y definamos:

$$f_k=k^{-1}{\chi }_{(k,2k)}.$$

De manera que $${\Vert f_k\Vert }_p={({\int }_{\mathbb{R}}(k^{-1}{\chi }_{(k,2k)}{)}^p)}^{\frac{1}{p}}=k^{-1}(k{)}^{\frac{1}{p}}=k^{-1+\frac{1}{p}}.$$

Por tanto $f_k\in L^p$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $p\in [1,\mathrm{\infty })$. Sin embargo

• $f_k⟶0$ en $L^p$ si $1<p<\mathrm{\infty }$, pues ${\Vert f_k\Vert }_p=k^{-1+\frac{1}{p}}⟶0$.
• ${\Vert f_k\Vert }_1=1$ $\mathrm{\forall }k$, por lo que $f_k$ no converge a 0 en $L^1$.

Más adelante…

Introduciremos el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$. Un espacio importante que se puede pensar como «un caso límite de los espacios $L^p$».

Tarea moral…