Recordemos el teorema del valor medio para funciones de $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
Suponga que $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ es derivable en $(a,b)$ y continua en $[a,b]$ entonces existe $c\in(a,b)$ tal que $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
En esta sección se presenta el caso en la versión para funciones de $\mathbb{R}^{n}$ en $\mathbb{R}$. De esta manera el caso general se ve de la siguiente manera:
Teorema. Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida en el conjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^{n}$. Si $x_{0},y_{0} \in A$ se pide que el conjunto $A$ sea tal que $[x_0,y_0]={x_{0}+t(y_{0}-x_{0})~|~t\in[0,1]}\subset A$. Sea $u$ un vector unitario en la dirección del vector $y_{0}-x_{0}$. Si la función $f$ es continua en los puntos del segmento $[x_0,y_0]$ y tiene derivadas direccionales en la dirección del vector $u$ en los puntos del segmento $(x_0,y_0)$, entonces existe $\theta$ , $0<\theta<1$ tal que $f(x_0+hu)-f(x_0)=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}(x_0+\theta hu)h$ donde $h=|y_0-x_0|$.
Una consecuencia del teorema anterior es el teorema Teorema. Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida en el conjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^{n}$. Si las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}~~\forall i=1,..,n}$ son continuas en $x_{0}\in A$ entonces f es diferenciable en $x_{0}\in A$ Vamos a dar una idea de la demostración para el caso n=2
Teorema del Valor Medio para Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$
Teorema. Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida en el conjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^{2}$. Si $x_{0},y_{0} \in A$ se pide que el conjunto $A$ sea tal que $[x_0,y_0]={x_{0}+t(y_{0}-x_{0})~|~t\in[0,1]}\subset A$. Sea $u$ un vector unitario en la dirección del vector $y_{0}-x_{0}$. Si la función $f$ es continua en los puntos del segmento $[x_0,y_0]$ y tiene derivadas direccionales en la dirección del vector $u$ en los puntos del segmento $(x_0,y_0)$, entonces existe $\theta$ \, $0<\theta<1$ tal que $f(x_0+hu)-f(x_0)=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}(x_0+\theta hu)h$ donde $h=|y_0-x_0|$.
Demostración. Considere la función $\phi:[0,h]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\phi(t)=f(x_0+tu)$ ciertamente la función $\phi$ es continua en $[0,h]$ pues $f$ lo es en $[x_0,y_0]$. Ademas
de modo que para $t \in (0,h)$, $\phi'(t)$ existe y es la derivada direccional de $f$ en $x_0+tu \in (x_0,y_0)$ en la dirección del vector $u$. Aplicando entonces el teorema del valor medio a la función $\phi$, concluimos que existe un múmero $\theta \in (0,1)$ que da $\phi(h)-\phi(0)=\phi'(\theta h)h$\ es decir de modo que $$f(x_0+hu)-f(x_0)=\frac{\partial f}{\partial u}(x_0+\theta hu)h$$
Ahora para la verisón del teorema 3
Teorema 5. Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida en el conjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^{n}$. Si las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x},~~\frac{\partial f}{\partial y}}$ son continuas en $(x_{0},y_{0})\in A$ entonces f es diferenciable en $(x_{0},y_{0}\in A$
Demostración. Vamos a probar que $$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$donde $$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$
para ello tenemos que $$r(h_{1},h_{2})=f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))-f(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}$$ sumando un cero adecuado $$r(h_{1},h_{2})=f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}+\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}-f(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}$$ trabajaremos
$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}$$Considerando la función $\varphi(x)=f(x,y_{0}+h_{2})$ por lo tanto tenemos que $$\varphi'(x)=\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{\varphi(x+h_{1})-\varphi(x)}{h_{1}}=\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{f(x+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x,y_{0}+h_{2})}{h_{1}}$$ este limite existe y nos dice que $\varphi$ es es continua en este caso en el intervalo $[x_{0},x_{0}+h_{1}]$. Por lo tanto aplicando el TVM en dicho intervalo se obtiene $$\varphi(x_{0}+h_{1})-\varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0}+\theta_{1} h_{1})h_{1}~p.a.~\theta_{1}\in(0,1)$$ es decir $$f((x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})h_{1}$$ Analogamente
$$\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}-f(x_{0},y_{0})$$Considerando la función $\varphi(y)=f(x_{0},y)$ por lo tanto tenemos que $$\varphi'(y)=\lim_{h_{2}\rightarrow0}\frac{\varphi(x_{0},y_{0}+h_{2})-\varphi(y_{0}+h_{2})}{h_{2}}=\lim_{h_{2}\rightarrow0}\frac{f(x_{0},y_{0}+h_{2})-f(y_{0}+h_{2})}{h_{2}}$$ este limite existe y nos dice que $\varphi$ es es continua en este caso en el intervalo $[y_{0},y_{0}+h_{2}]$. Por lo tanto aplicando el TVM en dicho intervalo se obtiene $$\varphi(y_{0}+h_{2})-\varphi(y_{0})=\varphi'(y_{0}+\theta_{2} h_{2})h_{2}~p.a.~\theta_{2}\in(0,1)$$ es decir $$f((x_{0},y_{0}+h_{2})-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0})}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})h_{2}$$
es decir $$r(h_{1},h_{2})=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\right)h_{1}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\right)h_{2}$$ por lo tanto $$\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\right)\frac{h_{1}}{|(h_{1},h_{2})|}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\right)\frac{h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|}$$ ahora bien si $\displaystyle{|(h_{1},h_{2})|\rightarrow(0,0)}$ se tiene $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\right)\rightarrow0$$ y $$\frac{h_{1}}{|(h_{1},h_{2})|}<1$$ Analogamente $$\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\right)\rightarrow0$$ y $$\frac{h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|}<1$$ en consecuencia $$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$por lo tanto f es diferenciable en $(x_{0},y_{0})$
Bienvenido al curso de Geometría Analítica I. A través de esta serie de entradas cubriremos el temario oficial del programa de la materia tal y como se requiere en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Esto incluye desarrollar no sólo habilidades para ejecutar procedimientos («hacer cuentitas»), sino también aquellas que nos permitan deducir los resultados que obtendremos a través de razonamientos lógicos («demostrar»).
Pre-requisitos del curso
En la mayoría de las entradas seguiremos un flujo matemático, en el cual escribiremos definiciones, proposiciones, ejemplos, teoremas y otro tipo de enunciados matemáticos. Siempre que digamos que algo sucede, es importante argumentar o justificar por qué es esto, es decir, que demos una demostración. Las demostraciones nos ayudarán a justificar que ciertos procedimientos (para encontrar distancias, ángulos, etc.) son válidos.
Para entender un poco más al respecto, te recomendamos leer las siguientes dos entradas, o incluso llevar a la par un curso de Álgebra Superior I:
Además de estos pre-requisitos de pensamiento lógico, también es importante que recuerdes algunos de los conceptos fundamentales de geometría (punto, línea, segmento, triángulo, distancia, etc.). Si bien todo lo construiremos «desde cero», el recordar estos conceptos te ayudará mucho en la intuición de por qué ciertas cosas las definimos como lo haremos, y por qué ciertos enunciados que planteamos «deben ser ciertos».
Finalmente, también supondremos que sabes manejar a buen nivel las operaciones y propiedades en $\mathbb{R}$, los números reales. Por ejemplo, que la suma es conmutativa ($a+b=b+a$), que se distribuye con el producto ($a(b+c)=ab+ac$), etc. Si bien en otros cursos se definen a los reales con toda formalidad, para este curso sólo será importante que sepas hacer estas operaciones.
La idea fundamental
La geometría se trata de figuras, de ver, de medir. El álgebra se trata de sumar, de operar, de comparar. La idea clave que subyace a la geometría analítica, como la veremos en este curso, es la siguiente:
La geometría y el álgebra son complementarias e inseparables, ninguna con más importancia sobre la otra. Podemos entender al álgebra a partir de la geometría, y viceversa.
Un ejemplo muy sencillo que se ve desde la educación básica es que la suma de reales se corresponde con «pegar segmentos». Si en la recta real tenemos un segmento de longitud $a$ y le pegamos un segmento de longitud $b$, entonces el segmento que se obtiene tiene longitud $a+b$. Si bien es obvio, cuando estemos estableciendo los fundamentos tendremos que preguntarnos, ¿por qué pasa? ¿qué es pegar segmentos?
Nuestro objetivo será entender a profundidad muchas de estas equivalencias.
Interactivos
En este curso procuraremos incluir interactivos para que explores las ideas que vayamos introduciendo. Si bien un interactivo no reemplaza a una demostración, lo cierto es que sí ayuda muchísimo a ver más casos en los cuales una proposición o teorema se cumple. Nuestros interactivos están hechos en GeoGebra y necesitarás tener activado JavaScript en tu navegador.
En el siguiente interactivo puedes mover los puntos $A$, $B$ y $C$. Observa como la suma de dos segmentos siempre es igual al tercero. ¿Qué pasa si $B$ «se pasa de $C$»? ¿Cuál segmento es la suma de los otros dos?
Te recomendamos fuertemente que dediques por lo menos un rato a jugar con los interactivos: intenta ver qué se puede mover, qué no, qué cosas piensas que suceden siempre y para cuales crees que haya ejemplos que fallen.
Más adelante…
En esta entrada platicamos de cómo son las notas del curso en general. Platicamos de pre-requisitos y de la idea fundamental que subyace al curso. A partir de la siguiente entrada comenzaremos con el tratamiento teórico de la materia. Hablaremos de dos visiones de geometría: la sintética y la analítica. Veremos un primer resultado que nos dice que, en realidad, ambas están muy relacionadas entre sí.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Escribe en una hoja de papel o en un documento digital qué significan para ti los siguientes términos: punto, línea, círculo, plano, semiplano, elipse, intersección, alineado, longitud, ángulo, dirección, vector. ¿En cuáles de estas palabras tuviste que usar las otras? ¿En cuáles no? Más adelante formalizaremos cada una de estas.
Si aprendes a manejar GeoGebra por tu cuenta, podrás hacer interactivos tú mismo. Si te interesa esto, revisa el siguiente curso de GeoGebra.
¿Cómo le harías para a cada punto del plano asociarle una pareja de números reales? ¿Cómo le harías para a cada pareja de números reales asociarle un punto en el plano?
Si la suma de números corresponde a pegar segmentos, ¿a qué corresponde la multiplicación de números?
Ya hablamos de qué es la forma canónica y la forma estándar de un problema lineal. Como platicamos, esto nos permitirá llevar los problemas que nos interesan a ciertas formas especiales a las que podremos aplicarles algunos métodos más adelante. Lo que haremos ahora es comenzar a pensar en qué quiere decir resolver un problema lineal. Para ello, recordaremos de distintos tipos de soluciones que los problemas lineales pueden tener.
Tipos de soluciones y región de factibilidad
En esta sección recordaremos los conceptos de soluciones factibles, soluciones básicas factibles (degeneradas y no degeneradas) y de región de factibilidad.
Supongamos que tenemos un problema de programación lineal en su forma canónica:
\begin{align*} Max \quad z &= c\cdot x\\ s.a.&\\ Ax &\leq b\\ x &\geq 0,\\ \end{align*}
donde usamos la misma notación que en la entrada anterior, pero donde tomaremos $l$ variables de decisión. En particular, $x,c$ son vectores en $\mathbb{R}^l$, $b$ es un vector en $\mathbb{R}^m$ y $A$ es una matriz de entradas reales de $m\times l$. Recuerda que en la expresión anterior entendemos $0$ como el vector en $\mathbb{R}^l$ con entradas todas iguales a cero.
Este problema también tiene una forma estándar, en donde transformamos las desigualdades en igualdades introduciendo variables de sobra y de holgura. \begin{align*} Max \quad z &= c\cdot x\\ s.a.&\\ A’x’ &=b\\ x’ &\geq 0,\\ \end{align*}
en donde en hemos agregado $n-l$ variables de holgura al vector $x$, para obtener un vector $x’$ en $\mathbb{R}^n$, así como $n-l$ columnas a $A$ para volverla una matriz en de $m\times n$, para agregar los coeficientes de las variables de holgura que hacen que se de la igualdad.
Como recordatorio, tenemos las siguientes definiciones para los tipos de soluciones del problema lineal.
Definición. Una solución factible al problema lineal en forma canónica dado anteriormente es un vector columna $x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_l \end{pmatrix}$ que satisface las restricciones $Ax\leq b$ y $x\geq 0$. Esto se corresponde con una solución $x’$ al problema en forma estándar que satisface $A’x’= b$ y $x’\geq 0$.
Definición. La región de factibilidad del problema lineal en forma canónica es el conjunto de todas las soluciones factibles.
De entre las soluciones factibles, hay algunas que son un poco más sencillas, en el sentido de que varias de sus entradas son iguales a cero pensadas como soluciones del problema en forma estándar. En las siguientes definiciones suponemos que el rango de la matriz $A’$ es exactamente igual a $m$.
Definición. Una solución básica factible es una solución factible $x$ correspondiente a una solución $x’$ del problema en forma estándar con no más de $m$ componentes positivas. En otras palabras, $x’$ tiene al menos $n-m$ entradas iguales a cero.
Definición. Una solución básica factible no degenerada es una solución factible $x$ correspondiente a una solución $x’$ del problema en forma estándar con exactamente $m$ componentes positivas. En otras palabras, $x’$ tiene exactamente $n-m$ entradas iguales a cero.
Definición. Una solución básica factible degenerada es una solución factible $x$ correspondiente a uan solución $x’$ del problema en forma estándar con menos de $m$ componentes positivas. En otras palabras, $x’$ tiene más de $n-m$ entradas iguales a cero.
La importancia de las soluciones básicas factibles y no degeneradas es que cumplen las siguientes:
Se puede mostrar que si un problema de programación lineal tiene óptimo, entonces dicho óptimo se alcanza para alguna solución básica factible y no degenerada.
Las soluciones básicas factibles y no degeneradas se pueden encontrar resolviendo sistemas de ecuaciones.
Geométricamente, las soluciones básicas factibles y no degeneradas están en vértices de la región de factibilidad.
A continuación explicaremos algunos de estos puntos con un ejemplo detallado, que te ayudará a entender la intuición detrás de estas definiciones y de su importancia.
Ejemplos de región de factibilidad y tipos de solución
Consideremos el siguiente problema de programación lineal:
Antes de comenzar a estudiar la región de factibilidad, debemos verificar que está en forma canónica. En efecto, todo está en orden: el problema es de maximización, las desigualdades son $\leq$ y a las variables de decisión se les pide ser no negativas.
La región de factibilidad es el conjunto de todos los $(x_1,x_2)$ (en el plano $\mathbb{R}^2$) que cumplen las restricciones del problema, es decir, $2x_1 + x_2 \leq 4$, $x_1 + 2x_2 \leq 5$, $x_1\geq 0$ y $x_2\geq 0$. Para entender esto mejor, lo podemos pensar en cuatro regiones:
Región 1: La región $x_1\geq 0$, que queda a la derecha del eje $y$.
Región 2: La región $x_2\geq 0$, que queda arriba del eje $x$.
Región 3: La región $2x_1 + x_2 \leq 4$, que queda debajo de la recta $2x_1+x_2=4$.
Región 4: La región $x_1+2x_2\leq 5$, que queda por debajo de la recta $x_1+2x_2=5$.
Como queremos que $(x_1,x_2)$ satisfaga todas las restricciones simultáneamente, necesitamos que esté en la intersección de todas las regiones. Así, la región de factibilidad es en la que se intersectan todas estas regiones que acabamos de dibujar. Al sobreponerlas, obtenemos la región encerrada en la siguiente figura:
Si gustas, puedes también explorar el interactivo de GeoGebra en donde se han coloreado los complementos de las regiones para más claridad. Puedes usar el cursor para mover la figura y las herramientas de lupa para hacer acercamientos y alejamientos.
La intuición que debemos tener ahora es que el máximo de la función objetivo $2x_1+3x_2$ se tiene que alcanzar en alguno de los vértices del cuadrilátero que es la región factible. A grandes rasgos, estos vértices serán las soluciones básicas factibles y no degeneradas. Veamos dónde el álgebra nos dice esto.
Para ello, pensemos al problema en su forma estándar, tomando variables de holgura $s_1$ y $s_2$. Las restricciones que tienen las cuatro variables en conjunto son las siguientes.
La matriz $A’$ es $\begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, que puedes verificar que tiene rango $2$. Las soluciones básicas y no degeneradas corresponden a tener en ese sistema de ecuaciones exactamente $m=2$ variables positivas, de manera que necesitamos hacer exactamente $n-m=4-2=2$ de estas variables iguales a cero. Al hacer esto, podemos resolver para las $m=2$ variables restantes. Por ejemplo, si establecemos $x_1 = 0$ y $x_2 = 0$, las ecuaciones se convierten en
que tiene solución única $(x_1,x_2,s_1,s_2)=(0,0,4,5)$. Así, la solución básica del problema en forma canónica es $(x_1,x_2)=(0,0)$. Hay que recordar dar la solución básica ya sólo para las variables originales, es decir, las del problema en forma canónica.
Esta solución corresponde al punto $C$ del interactivo de GeoGebra. Se puede determinar otra solución básica fijando $s_1 = 0$ y $s_2 = 0$, donde el sistema sería ahora
y tras resolver las dos ecuaciones, la solución básica que se obtiene es $(x_1,x_2)=(1,2)$, que es el punto $A$ del interactivo de GeoGebra.
Podemos seguir haciendo esto. Si consideramos todas las posibilidades en las que dos variables son cero y resolvemos las ecuaciones resultantes, eso nos dará puntos $(x_1,x_2)$ en el plano. La solución óptima es la solución básica factible (punto de esquina) con el mejor valor objetivo.
En este ejemplo tenemos $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6$ formas de volver dos de las $n$ variables iguales a cero. Ya para las variables $x_1$ y $x_2$, los puntos que obtenemos son los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ que son vértices de la región de factibilidad. Los puntos $E$ y $F$ del interactivo también son puntos básicos y no degenerados (son las otras dos intersecciones de las rectas que dibujamos), pero como no satisfacen la condición de factibilidad del problema, entonces no los podemos considerar y por lo tanto no son candidatos a dar el valor óptimo.
La siguiente tabla muestra todas las soluciones básicas y no básicas de este ejemplo:
Variables no básicas (cero)
Variables básicas
Solución para $(x_1,x_2)$
Punto de esquina asociado
¿Factible?
Valor objetivo z
$(x_1, s_1)$
$(s_1, s_2)$
$(0, 0)$
C
Sí
0
$(x_1, s_1)$
$(x_2, s_2)$
$(0, 4)$
E
No
___
$(x_1, s_2)$
$(x_2, s_1)$
$(0, 2.5)$
D
Sí
7.5
$(x_2, s_1)$
$(x_1, s_2)$
$(2, 0)$
B
Sí
4
$(x_2, s_2)$
$(x_1, s_1)$
$(5, 0)$
F
No
___
$(s_1, s_2)$
$(x_1, x_2)$
$(1, 2)$
A
Sí
8 (óptimo)
Más adelante…
Notemos que a medida que el tamaño del problema se incrementa, enumerar todos los puntos esquina se volverá una tarea que tomaría mucho tiempo. Por ejemplo, si tuviéramos $20$ variables (ya con las de holgura) y $10$ restricciones, es necesario resolver considerar $\binom{20}{10}=184756$ formas de crear ecuaciones de $10\times 10$, y resolver cada una de ellas. Aunque esto es finito, son demasiadas operaciones. Y este en la práctica incluso es un ejemplo pequeño, ya que en la vida real hay problemas lineales que pueden incluir miles de variables y restricciones.
Por ello, se vuelve cruciar encontrar un método que atenúe esta carga computacional en forma drástica, que permita investigar sólo un subconjunto de todas las posibles soluciones factibles básicas no degeneradas (vértices de la región de factibilidad), pero que garantice encontrar el óptimo. Una idea intuitiva que debería servir es comenzar en un vértice y «avanzar en una dirección que mejore la función objetivo». Esto precisamente es la intuición detrás del método simplex, que repasaremos a continuación.
Tarea moral
Considera el siguiente problema lineal en su forma canónica:
Sigue los pasos descritos arriba para encontrar todas sus soluciones básicas factibles y no degeneradas. Usa ello para encontrar el óptimo del problema.
Actualiza las restricciones en el interactivo de GeoGebra que se compartió en la entrada para visualizar este problema y confirmar tus cuentas del ejercicio anterior. Para ello, deberás ir al apartado «Álgebra» del interactivo y modificar los objetos $a$ y $b$.
Considera un problema de optimización lineal en dos variables $x$ y $y$, en forma canónica y con $m$ restricciones (desigualdades), además de las restricciones $x\geq 0$ y $y\geq 0$. Explica por qué la región de factibilidad siempre es un polígono con a lo más $m+2$ lados, y por qué entonces basta evaluar la función objetivo en a lo más $m+2$ puntos para encontrar su máximo.
¿Cómo se vería la región de factibilidad de un problema de optimización lineal de maximización que no tenga máximo? Explica todas las posibilidades y da ejemplos.
Intenta usar las ideas de esta entrada para resolver los problemas de optimización lineal clásicos que hemos descrito en entradas anteriores.
Las proporciones nos permiten comparar partes de un todo y entender las relaciones cuantitativas entre diferentes elementos. Las concentraciones son esenciales para comprender cómo interactúan los compuestos en soluciones, lo cual es crucial para procesos biológicos como la difusión de nutrientes, el transporte de gases y la regulación de los ecosistemas.
2.1. Representación de fracciones en forma decimal y porcentual
Las fracciones, decimales y porcentajes son tres formas diferentes de representar una parte de un todo. Estos tres conceptos se utilizan en biología para representar datos relacionados con concentraciones, proporciones de especies en una población, etc.
Fracciones: es una forma de representar una parte de una unidad. Se representa como $\frac{a}{b}$, donde a es la parte y b es el todo, por ejemplo, $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, etc.
Decimales: un número decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de 10, y se utiliza la notación posicional para expresar las fracciones de manera más sencilla. Los números decimales pueden clasificarse en tres tipos:
Decimales exactos: son aquellos que tienen un número finito de dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, $0.5 = \frac{1}{2} o 0.75 = \frac{3}{4}.$
Decimales periódicos: son los que, después del punto decimal, tiene una cola infinita de decimales en un patrón fijo, este patrón se denomina período. Por ejemplo, el número $0.\overline{3}$, que es igual a $\frac{1}{3}$, tiene un período de 3. Otro ejemplo es $0.\overline{142857}$ que es equivalente a $\frac{1}{7}.$
Decimales no periódicos: son aquellos que no repiten ningún patrón y tienen una secuencia infinita de dígitos después del punto decimal. Un ejemplo de este tipo de decimal es $\pi = 3.14159265358979…$, que continúa sin repetirse y sin un patrón predecible. Los decimales no periódicos corresponden a números irracionales.
Porcentajes: es una forma de expresar un número como una fracción de 100, es decir, una fracción multiplicada por 100, por ejemplo $\frac{1}{2} = 0.5 = 50 %$.
Ejemplo. Si se tiene una solución con 25 gramos de sal disueltos en 500 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de sal en porcentaje?
Paso 1- Se calcula la fracción de sal: $\frac{25}{500} = \frac{1}{20} = 0.05$.
Paso 2- Para convertirlo a porcentaje, se multiplica por 100: 0.05 × 100 = 5 %.
Esto significa que la solución tiene una concentración del 5 % de sal.
Ejercicio. Si se tiene una solución con 10 gramos de azúcar disueltos en 250 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de azúcar en porcentaje?
2.2. Aplicaciones: concentraciones (salinidad, CO2 atmosférico), preparación de soluciones
Las concentraciones son importantes para entender muchos procesos biológicos, por ejemplo para medir la cantidad de alguna sustancia en un medio. Se pueden expresar de diferentes formas, como la concentración molar, la fracción molar, la molalidad, entre otras; esto es fundamental en áreas como la biología celular, la ecología (concentración de gases como CO2 en la atmósfera) o la farmacología (concentración de medicamentos en sangre).
Concentración molar (M)
La molaridad (M) es una medida de concentración que expresa la cantidad de moles de soluto por litro de solución. Un mol es una unidad utilizada en química para expresar una cantidad específica de partículas como átomos, moléculas o iones. Un mol contiene aproximadamente $6.022 \times 10^{23}$ partículas, un número conocido como el número de Avogadro. La concentración molar se define matemáticamente de la siguiente manera:
$M = \frac{\text{moles de soluto}}{\text{volumen de solución en litros}}$
Ejemplo. Si se disuelve 1 mol de NaCl (sal común) en 1 L de agua, entonces la solución tendrá una concentración de 1 M.
Concentración en porcentaje (porcentaje en masa)
A veces se utilizan porcentajes para expresar la concentración de una solución en términos de la masa de soluto respecto a la masa total de la solución, y se calcula de la siguiente manera:
$\text{Porcentaje en masa} = \left( \frac{\text{masa de soluto}}{\text{masa de solución}} \right) \times 100$
Ejemplo. Si se tienen 10 g de sal disueltos en 90 g de agua, ¿cuál sería la concentración en porcentaje?
Se refiere a la cantidad de sal disuelta en agua. Es un concepto de importante uso por ejemplo en los ecosistemas marinos, para medir la salinidad y entender el equilibrio de especies acuáticas. Se puede expresar como partes por mil (ppt), que equivale a la masa de sal disuelta en mil partes de agua.
Ejemplo. En el océano, la salinidad promedio es de aproximadamente 35 ppt, por lo tanto, en cada litro de agua hay 35 gramos de sales disueltas.
Ejercicio. Si se tienen 200 mL de agua y se añaden 10 g de sal, ¿cuál será la concentración de sal en la solución?
Concentración de CO2
Para la biología ambiental, medir la concentración atmosférica de dióxido de carbono, CO2, es esencial para estudiar el cambio climático y su impacto sobre los ecosistemas. Se expresa en partes por millón (ppm), esto indica cuántas moléculas de CO₂ hay por cada millón de moléculas de aire.
Ejercicio. Si la concentración de CO2 en la atmósfera es de 400 ppm (partes por millón), esto significa que en un millón de partes de aire, 400 partes son de CO2. Si se tiene 1 litro de aire, ¿cuántos mililitros de CO2 hay en ese volumen?
Ejercicio. En un ambiente cerrado, la concentración de oxígeno es del 21 %. Si hay 50 litros de aire, ¿cuántos litros de oxígeno hay en total?
2.3. Conversión entre porcentajes, fracciones y cantidades absolutas
La conversión entre fracciones, porcentajes y cantidades absolutas es frecuente cuando se trabaja con datos biológicos como concentraciones en soluciones, porcentajes de población o mediciones de otros parámetros biológicos, por dar algunos ejemplos.
Conversión de fracción a porcentaje
Para convertir una fracción a porcentaje, se debe encontrar una fracción equivalente cuyo denominador sea 100, ya que buscamos la cantidad n de cada 100, es decir, el tanto por ciento. Basta con multiplicar la fracción por 100. Otra opción puede ser convertir primero la fracción a número decimal realizando la división, y luego multiplicar por 100.
Ejemplo. Si una población tiene $\frac{1}{5}$ de individuos infectados por una enfermedad, ¿a qué porcentaje de la población equivale?
o bien $\frac{1}{5} = 0.2 \Rightarrow 0.2 \times 100 = 20$.
Entonces $\frac{1}{5}$ de individuos equivale al 20 % de la población.
Ejercicio. Si en un grupo de 40 estudiantes, 10 han completado su tarea. ¿Qué porcentaje de estudiantes ha completado su tarea?
Ejercicio:
Si en una población de 200 árboles, 60 son de especies invasoras. ¿Qué porcentaje de los árboles corresponde a los no nativos?
Conversión de porcentaje a fracción
Para convertir un porcentaje a fracción se debe dividir entre 100 para obtener la fracción decimal que luego se simplificará.
Ejemplo. Si el 30% de una solución es NaCl (sal), ¿qué fracción representa esta concentración?
$30 % = \frac{30}{100}$, luego se simplifica la fracción dividiendo tanto el numerador como el denominador entre su máximo común divisor (MCD), en este caso es 10:
$\frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
Por lo tanto, 30% equivale a $\frac{3}{10}$.
Ejercicio. Si el 40% de una población de bacterias está infectada, ¿qué fracción representa el porcentaje de bacterias infectadas?
Conversión de un porcentaje a cantidad absoluta
A veces es útil o necesario convertir un porcentaje a una cantidad absoluta, por ejemplo de una sustancia en una solución o población. Esto es particularmente útil cuando se manejan concentraciones en una solución o porcentajes en una muestra biológica. Para convertir un porcentaje a cantidad absoluta, se puede encontrar su expresión en fracción decimal y luego multiplicar por el total.
Ejemplo. Si se tiene una solución de 500 mL y la concentración de sal es del 10 %, ¿de cuánto sería la cantidad de sal en la solución?
Ejercicio. Si un ecosistema tiene 1000 g de carbono y el 20 % está almacenado en las raíces de las plantas, ¿cuántos gramos de carbono están almacenados en las raíces?
Ejercicio. Si en un ecosistema con 5000 g de nitrógeno, el 15 % está presente en el suelo, ¿cuántos gramos de nitrógeno hay en el suelo?
Conversión de cantidad absoluta a porcentaje
Si tienes una cantidad conocida de una sustancia en una solución y quieres expresar su concentración en porcentaje, puedes usar la fórmula:
$\text{Porcentaje} = \left( \frac{\text{cantidad de soluto}}{\text{cantidad total de la solución}} \right) \times 100$
Ejemplo. Si en un recipiente con 500 g de una solución hay 125 g de azúcar, ¿qué porcentaje de la solución es azúcar?
$\frac{125}{500} \times 100 = 25$, por lo tanto, 25 % de la solución es azúcar.
Ejercicio. Si en una solución de 600 g, 150 g corresponden a sal, ¿qué porcentaje de la solución es sal?
Conversión de fracción a cantidad absoluta
Para convertir una fracción a cantidad absoluta, se multiplica el total por la fracción.
Ejemplo. Si en una muestra de 200 g de agua, $\frac{3}{4}$ es agua dulce, ¿cuántos gramos de agua dulce hay?
Para convertir una fracción a cantidad absoluta, multiplicamos el total (200 g) por la fracción:
$200 \times \frac{3}{4} = 150$, por lo tanto, 150 g de la muestra corresponden a agua dulce.
Ejercicio. En una solución de 1000 g de sangre, $\frac{2}{5}$ es plasma. ¿Cuántos gramos de plasma hay en la muestra?
Evaluación. Proporciones, concentraciones y soluciones
Representación de fracciones, decimales y porcentajes
Ejercicio 1. En un estudio ecológico, se observa que de un total de 1000 árboles en un bosque, 300 son de una especie invasora. ¿Qué porcentaje de los árboles del bosque son de especies invasoras?
Ejercicio 2. En una población de 1200 bacterias, 0.75 de ellas están infectadas por una enfermedad. ¿Qué fracción representa la población infectada?
Ejercicio 3. Si una solución tiene 50 gramos de azúcar disueltos en 200 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de azúcar en porcentaje?
Ejercicio 4. En un ecosistema marino, la salinidad promedio es de 35 ppt. ¿Cuántos gramos de sal hay disueltos en 2 litros de agua?
Aplicaciones de las concentraciones
Ejercicio 5. Una solución acuosa contiene 2 moles de NaCl (sal común) disueltos en 1 litro de agua. ¿Cuál es la concentración molar de la solución?
Ejercicio 6. En un laboratorio, se preparó una solución disolviendo 15 gramos de glucosa (C₆H₁₂O₆) en 150 ml de agua. Si la densidad del agua es aproximadamente 1 g/ml, ¿cuál es la concentración de glucosa en porcentaje en masa?
Ejercicio 7. La concentración de CO₂ en la atmósfera es de 400 ppm. Si tomamos una muestra de aire de 2 metros cúbicos (2000 litros), ¿cuántos litros de CO₂ están presentes en esa muestra?
Ejercicio 8. En un ecosistema terrestre, se sabe que el 20 % del nitrógeno en el suelo está presente como amoníaco (NH₃). Si en total hay 3000 g de nitrógeno en el suelo, ¿cuántos gramos de nitrógeno están presentes como amoníaco?
Conversión entre porcentajes, fracciones y cantidades absolutas
Ejercicio 9. Si el 15 % de una población de 2000 insectos está infectada por un virus, ¿cuántos insectos están infectados?
Ejercicio 10. En un ecosistema acuático, el 40 % del oxígeno en el agua es consumido por organismos acuáticos. Si hay 5000 litros de agua en un estanque, ¿cuántos litros de oxígeno son consumidos por los organismos?
Ejercicio 11. Si en una solución de 300 mL de agua, el 10 % está compuesto por sales minerales, ¿cuál es la cantidad absoluta de sales en la solución?
Ejercicio 12. Un investigador mide que en un ecosistema existen 100 g de carbono. Si el 25 % de ese carbono está almacenado en las raíces de las plantas, ¿cuántos gramos de carbono están almacenados en las raíces?
Conversiones de fracción a cantidad absoluta y viceversa
Ejercicio 13. Si en una solución de 400 g de agua, $\frac{2}{5}$ de ella es agua dulce, ¿cuántos gramos de agua dulce hay en la solución?
Ejercicio 14. En un ecosistema forestal, la fracción de árboles jóvenes es $\frac{3}{8}$. Si hay un total de 1600 árboles en el bosque, ¿cuántos árboles son jóvenes?
Ejercicio 15. En un laboratorio de biología, se prepara una solución con 250 g de una sustancia en 1250 g de agua. ¿Cuál es la concentración de la sustancia en porcentaje?
Ejercicio 16. Una solución tiene una concentración de 5 % de NaCl en masa. Si la masa total de la solución es 400 g, ¿cuántos gramos de NaCl hay en la solución?
Problemas contextualizados
Ejercicio 17. En un ecosistema marino, la salinidad es de 40 ppt. Si se tiene 500 litros de agua de mar, ¿cuántos gramos de sal hay disueltos en esa cantidad de agua?
Ejercicio 18. Un experimento muestra que el 30 % del oxígeno en una muestra de aire está en forma de ozono (O₃). Si hay 2000 mL de aire, ¿cuántos mililitros de ozono hay en la muestra?
Ejercicio 19. En una plantación de árboles, el 40 % de los árboles son de una especie nativa y el resto son de especies no nativas. Si hay 1200 árboles en total, ¿cuántos árboles son no nativos? Si además, del 40 % de árboles de especies nativas, 15 % son especies en peligro de extinción, ¿a qué porcentaje del total representa esa cantidad?
Ejercicio 20. Si en un ecosistema hay 5 toneladas de carbono, y el 40 % de ese carbono se encuentra almacenado en los organismos del ecosistema, ¿cuántas toneladas de carbono están almacenadas en los organismos?
Aplicaciones de conversión entre unidades
Ejercicio 21. La concentración de dióxido de carbono (CO₂) en un ambiente cerrado es de 500 ppm. Si el volumen total de aire es 10 m³ (10 000 L), ¿cuántos mililitros de CO₂ están presentes en el ambiente?
Ejercicio 22. En un experimento de difusión, se encontró que el 25 % de las partículas de un gas están dispersas en una zona de 400 mL. ¿Cuántos mililitros de gas están dispersos en esa zona?
3. Relaciones morfométricas y alometría: funciones potenciales
3.1 Alometría: tamaño y forma en biología
La alometría estudia cómo las proporciones de las diferentes partes de un organismo cambian a medida que el tamaño total del individuo varía. Según Reiss, “ la alometría es cualquier estudio de tamaño y sus consecuencias.” (Reiss, p. 1). Es útil para analizar el crecimiento y la relación entre distintas características físicas de los organismos, como la relación entre la altura y el peso en animales o plantas, es muy importante en estudios de ecología, y evolución.
Modelo matemático La fórmula básica para representar una relación alométrica es:
$y = ax^b$
donde, y es la variable dependiente (por ejemplo, el peso de un órgano), x es la variable independiente (por ejemplo, el tamaño del individuo), a es una constante que depende del sistema biológico que estamos estudiando, b es el exponente alométrico que nos dice cómo cambia la relación entre las dos variables.
Por ejemplo, supongamos que estamos midiendo el volumen x y la masa y de diferentes especies de mamíferos. Sea la ecuación
$y = 0.1 \cdot x^{3/4}$,
podemos interpretar que, aunque el volumen crece más rápidamente que la masa, la masa no aumenta de manera proporcional al volumen debido a la eficiencia metabólica y estructural de los animales más grandes. Es decir, en esta ecuación, el exponente $\frac{3}{4}$ es el que marca la relación entre la masa y y el volumen x del individuo. Si analizamos esto, vemos que la relación no es directamente proporcional porque el exponente no es 1. Si fuera y = ax, esto significaría que la masa aumenta de manera proporcional al volumen; en otras palabras, si el volumen se duplicara, la masa también se duplicaría. Pero en este caso, como el exponente es una fracción de la unidad, la masa aumenta menos que proporcionalmente al volumen.
Además es importante cuestionarse ¿por qué la masa no aumenta proporcionalmente al volumen?Esto se puede deber a:
Eficiencia metabólica
En el capítulo dos, Reiss plantea que los organismos más grandes pueden tener una mayor proporción de tejido menos activo metabólicamente, por lo que, aunque en términos absolutos un animal grande tenga una tasa metabólica mayor que uno pequeño, su tasa metabólica por unidad de masa es menor (Reiss, p. 7). Esto se debe a que, aunque los animales grandes tienen más células y órganos, el aumento en tamaño no implica que todas las funciones metabólicas (como la digestión, la circulación o el transporte de oxígeno) aumenten al mismo ritmo. La masa no aumenta tan rápidamente como el volumen.
Estructura
A medida que un animal se hace más grande, su estructura también cambia. Las proporciones de diferentes partes de su cuerpo se ajustan para soportar el aumento de tamaño. Por ejemplo, los huesos de un animal grande deben ser más gruesos para sostener más peso, pero no crecen al mismo ritmo que el volumen. Esta adecuación en su estructura también explica por qué la masa no crece proporcionalmente al volumen.
Thompson plantea que existe un límite definido para la posible magnitud de un animal que vive bajo la acción directa de la gravedad. El elefante, por ejemplo, al observar las dimensiones de los huesos de sus extremidades se pueden ver signos de una tendencia al grosor desproporcionado. Menciona que “a medida que el tamaño de un animal aumenta, sus miembros tienden a volverse más gruesos y cortos, y todo el esqueleto se vuelve más voluminoso y pesado. Los huesos constituyen alrededor del 8% del cuerpo de un ratón, 13 o 14% de un ganso o perro, y 17 o 18% del cuerpo de un hombre.» (Thompson, p. 26-28).
Ahora supongamos que tenemos una planta cuyo tamaño en altura x se relaciona con su tasa de crecimiento medida como el aumento en su peso y. Si esta relación estuviera definida por:
$y = 0.5 \cdot x^{1.2}$,
podríamos predecir que, a medida que la planta crece, su tasa de crecimiento también aumenta, pero a un ritmo ligeramente mayor que su aumento en tamaño. Al tener un exponente mayor que 1, su tasa de crecimiento y aumentará más rápidamente que el tamaño de la planta x. Es decir, cuando la planta crece más en altura, no solo aumentará en tamaño, sino que la cantidad de recursos metabólicos (como nutrientes, agua, luz solar) que puede captar y procesar la planta, también crece a un ritmo mayor. Esto podría deberse a que las plantas más grandes tienen una mayor capacidad para realizar fotosíntesis y, por lo tanto, pueden aumentar su masa a una tasa más alta que su simple crecimiento en tamaño.
Ejemplo 1.
Sea un elefante adulto de 3.3 metros de altura y 6000 kilogramos de masa. Supongamos que queremos modelar la relación entre el peso de la masa (y) y la altura (x) de dicho elefante utilizando un modelo alométrico de la forma: $y = a \cdot x^b$
donde:
y es el peso del elefante en kilogramos,
x es la altura del elefante en metros,
a es una constante específica para esta relación,
b es el exponente alométrico, que refleja cómo varía el peso con respecto a la altura.
Nota importante: el valor del exponente b para especies grandes, como los elefantes, generalmente se obtiene a través de estudios empíricos. En muchos mamíferos grandes, el exponente alométrico b suele estar en el rango de 2.5 a 3. Este valor se ha observado en estudios alométricos realizados por biólogos que modelan la relación entre el tamaño y el peso de diferentes especies de mamíferos. Por ejemplo, estudios de alometría en elefantes africanos (Loxodonta africana) (Reiss, 1989) han encontrado que el exponente b se encuentra cerca de 2.7.
Usamos los valores de los datos conocidos para encontrar la constante a en la ecuación alométrica. Sabemos que: x = 3.3 m (altura), y = 6000 kg (peso), y suponemos que b = 2.7. Sustituyendo en la ecuación: $y = a \cdot x^b \Rightarrow 6000 = a \cdot (3.3)^{2.7}$. Resolvemos para a: $a = \frac{6000}{38.3} \approx 156.5$.
De manera que la ecuación que describe la relación buscada es: $y = 156.5 \cdot x^{2.7}$.
Podemos decir que este modelo muestra que el peso del elefante africano aumenta a un ritmo mucho más rápido que la altura. Esto es consistente con la idea de que los animales más grandes necesitan estructuras corporales más robustas para sostener su tamaño. La constante a refleja la escala de la relación para esta especie en particular, y el exponente b = 2.7 indica que, por cada unidad de aumento en la altura, el peso aumenta de manera más que proporcional.
Ejemplo 2.
Sea una planta de maíz de 2.5 metros de altura y 5 kilogramos de masa. Supongamos que queremos modelar la relación entre el peso de la masa(y) y la altura de la planta (x), utilizando un modelo alométrico de la forma: $y = a \cdot x^b$
donde:
y es el peso de la planta en kilogramos,
x es la altura de la planta en metros,
a es una constante específica para esta relación,
b es el exponente alométrico.
Nota importante: para las plantas, el valor del exponente b generalmente se encuentra en el rango de 1.1 a 1.3. Este valor depende de cómo el crecimiento de la biomasa se ve influenciado por factores como la capacidad de la planta para realizar fotosíntesis, la disponibilidad de recursos y las condiciones ambientales. En estudios de alometría para el maíz, se ha observado que el exponente b está alrededor de 1.2.
Usamos los valores de los datos conocidos para encontrar la constante a. Sabemos que: x = 2.5 m (altura), y = 5 kg (peso), y suponemos que b = 1.2. Sustituyendo en la ecuación: $y = a \cdot x^b \Rightarrow 5 = a \cdot (2.5)^{1.2}$ Ahora resolvemos para a: $a = \frac{5}{3.16} \approx 1.58$.
Por lo que la ecuación que describe la relación que buscamos es: $y = 1.58 \cdot x^{1.2}$.
Podemos observar que este modelo muestra que, a medida que la planta de maíz crece en altura, su peso aumenta a un ritmo mayor. Esto tiene sentido, ya que las plantas más altas tienen más capacidad para captar luz solar, agua y nutrientes, lo que les permite incrementar su masa de manera más rápida a medida que crecen.
Ejercicio 1.
Sea una planta de agave de 1.8 metros de altura y 25 kilogramos de masa. Modela la relación entre el peso de la masa(y) y la altura de la planta (x), utilizando un modelo alométrico de la forma: $y = a \cdot x^b$. Considera un exponente alométrico b = 1.2.
3.2 Propiedades de las potencias y los logaritmos Las potencias y los logaritmos son funciones matemáticas y herramientas importantes para estudios biológicos, especialmente en el análisis de relaciones exponenciales entre variables. Estas relaciones pueden aparecer en modelos de crecimiento, distribución de recursos, y escalas de tamaño en organismos vivos. A través de las propiedades de las potencias y la transformación logarítmica, podemos simplificar la resolución de ecuaciones complejas, además de visualizar relaciones no lineales de manera más clara.
Potencias
Las potencias son funciones matemáticas de la forma $x^a$, donde a es un exponente. Estas funciones forman una familia de curvas, cuya forma cambia dependiendo del valor de a. A continuación se puede observar gráficamente esta familia de curvas para algunos valores de a:
Estas propiedades nos permiten simplificar expresiones algebraicas complejas y que resulte más sencillo operar con ellas. Al transformar las potencias, podemos estudiar cómo las variables se afectan entre sí.
Ejercicios
$x^2 \cdot x^5$
$x^6 \cdot x^3$
$\left(x^2\right)^4$
$\left(x^5\right)^3$
$\frac{x^8}{x^2}$
$\frac{x^9}{x^4}$
Logaritmos
Los logaritmos son el proceso inverso de la potenciación. Mientras que la potenciación nos permite elevar una base a un exponente, el logaritmo nos permite encontrar el exponente al que debemos elevar una base para obtener un determinado valor. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, porque $10^3 = 1000$.
A continuación se puede observar gráficamente las familias de curvas de las funciones inversas para algunos valores de a:
Transformación logarítmica
Si tenemos una ecuación de una función exponencial de la forma $y = ax^b$, podemos aplicar logaritmos de base 10 o natural para obtener una relación lineal:
De esta forma, los datos pueden ser graficados en un sistema de coordenadas log-log, y la pendiente de la recta resultante será igual al valor de b.
Ejemplo 1. Ajuste logarítmico de datos alométricos
Dado un conjunto de datos con las variables de masa corporal y y altura x a lo largo del desarrollo de una especie, al aplicar logaritmos a ambos valores, se podrían graficar estos valores y ver si los datos siguen una línea recta. Si la relación es alométrica, la pendiente de esa línea corresponderá al exponente b.
Sea el siguiente conjunto de datos sobre la masa corporal (kg) y altura (cm) de un ciervo a lo largo de su desarrollo: (50, 3.5), (80, 12), (90, 25), (100, 40), (110, 60), (120, 80).
El primer paso es aplicar el logaritmo en base 10 a ambos valores:
x (altura en cm)
y (masa en kg)
log(x)
log(y)
50
3.5
1.698970004
0.5440680444
80
12
1.903089987
1.079181246
90
25
1.954242509
1.397940009
100
40
2
1.602059991
110
60
2.041392685
1.77815125
120
80
2.079181246
1.903089987
Al graficar los dos conjuntos de datos, obtenemos las gráficas:
Ejemplo 2. Cálculo de la pendiente de una relación alométrica
Para calcular la pendiente de la recta logarítmica obtenida (continuando con la información del ejemplo anterior) usamos la fórmula de la pendiente $b = \frac{(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)}$, donde $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ son dos puntos transformados.
Tomamos un par de puntos (1.698970004, 0.5440680444) y (1.903089987, 1.079181246):
Ejercicio 1. Transformación logarítmica de una ecuación alométrica Dada la ecuación $y = 0.5 \cdot x^{2.1}$, realiza su transformación logarítmica.
Ejercicio 2. Ajuste logarítmico de datos alométricos Dado el siguiente conjunto de puntos (x, y): (1, 2), (2, 8), (4, 32), (8, 128), (16, 512), esboza la curva que representan. Luego realiza su transformación logarítmica y encuentra el lugar geométrico que describen los nuevos datos.
Ejercicio 3. Cálculo de la pendiente de una relación alométrica En un estudio sobre la relación entre la masa corporal y la altura de una especie de mamífero terrestre, se ha observado que estas dos variables siguen una relación alométrica. Se te proporcionan los siguientes datos para una muestra de 6 individuos:
Individuo
x (altura en cm)
y (masa en kg)
1
33
2.5
2
51.5
7
3
58
12.5
4
69
18
5
83
24.5
6
92
32
Grafica los puntos y encuentra la curva alométrica.
Transforma los valores de altura x y masa y de cada individuo aplicando logaritmos de base 10 (puedes usar una hoja de cálculo para tener resultados más precisos).
Grafica los puntos transformados en un sistema de coordenadas log-log.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos transformados, que representará el valor del exponente b en la ecuación alométrica (puedes usar la fórmula de la pendiente $b = \frac{(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)}$.
3.3 Transformación de datos y ajuste de curvas alométricas
Transformación de datos
Como se mencionó anteriormente, cuando los datos de un experimento no siguen una relación lineal directa, podemos transformarlos para hacer que sigan una tendencia más fácil de analizar. En biología, esto ocurre comúnmente cuando estamos trabajando con relaciones exponenciales.
Para transformar los datos, se puede aplicar el logaritmo de cada uno de los valores. Este proceso es útil cuando tenemos datos que siguen una ley del tipo $y = ax^b$, ya que al aplicar el logaritmo, transformamos la relación en una forma lineal:
$\log(y) = \log(a) + b \log(x)$
Esta transformación convierte la relación no lineal en una recta, la cual podemos analizar utilizando métodos estadísticos.
Ajuste de curvas alométricas
El ajuste de curvas implica encontrar el valor de a y b que mejor describen la relación entre las variables y y x. Para hacer esto, se puede usar el método de mínimos cuadrados que es una técnica utilizada para encontrar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos minimizando la suma de las diferencias cuadradas entre los valores observados y los valores predichos por la recta. La recta se describe con la ecuación $Y=mX+c$, donde m es la pendiente de la recta y c es la intersección o el valor de Y cuando X = 0.
La intención del método es encontrar la recta que minimice la suma de las diferencias cuadradas entre los valores observados (los puntos reales en el gráfico) y los valores predichos por la recta. No podemos esperar que todos los puntos encajen en la recta, sin embargo, se busca encontrar la mejor aproximación posible.
Para encontrar esta recta debemos considerar la siguiente fórmula para encontrar la pendiente m:
$x_i$ y $y_i$ son los valores individuales de los datos transformados de x e y,
$\bar{x}$ y $\bar{y}$ son las medias de $\log(x)$ y $\log(y)$, respectivamente.
La fórmula propuesta es una expresión estándar derivada de los principios del ajuste de curvas mediante el método de mínimos cuadrados, y nos da el valor de la pendiente de la recta que mejor aproxima los datos transformados.
Una vez que hemos calculado la pendiente m, podemos calcular la intersección c, que es el valor de $\log(y)$ cuando $\log(x) = 0$. Para calcular c, utilizamos la siguiente fórmula:
$c = \frac{\sum y_i – m \cdot \sum x_i}{n},$
donde:
$\sum y_i$ es la suma de los valores de $\log(y)$,
$\sum x_i$ es la suma de los valores de$\log(x)$,
m es la pendiente que hemos calculado previamente,
n es el número total de puntos de datos.
Ésta fórmula proviene de la ecuación general de la recta $Y = mX + c$, evaluada en los puntos medios de los valores de X e Y. Esta fórmula garantiza que la recta pase por el promedio de los puntos transformados.
Ejemplo 1. Ajuste de datos alométricos con el método de mínimos cuadrados
Supongamos que se tiene un conjunto de datos de peso y y tamaño x de diferentes individuos que cumple con una relación alométrica. Los datos obtenidos son:
(x, y) = (2, 10), (4, 16), (8, 40), (16, 100)
Queremos encontrar la ecuación $y = a x^b$ utilizando el método de mínimos cuadrados.
• Paso 1: Transformación logarítmica de los datos
Como estamos trabajando con una relación alométrica del tipo $y = ax^b$, aplicamos logaritmos en base 10 a ambos valores de x e y:
• Paso 2: Ajuste de la recta usando mínimos cuadrados
Ahora que tenemos los puntos transformados, ajustamos una recta $Y = mX + c$, donde $Y = \log(y) y X = \log(x)$. Para ello, usamos la siguiente fórmula para calcular la pendiente m:
Para obtener la ecuación original $y = a \cdot x^b$ a partir de los datos obtenidos, sabemos que b = m = 1.13 y $\log(a) = c = 0.6010$.
Por lo tanto, $a = 10^{0.6010} \approx 4.0$.
Así que la ecuación alométrica que buscamos es:
$y = 4 \cdot x^{1.13}$.
Ejercicio 1. Supongamos que estamos estudiando la relación entre la altura x (cm) y el peso y (kg) de pumas macho en una zona montañosa de México. Los datos obtenidos para cuatro individuos son los siguientes:
Encuentra la ecuación $y = a \cdot x^b$ que mejor describa la relación alométrica utilizando el método de mínimos cuadrados.
3.4 Otras funciones potenciales en biología: el metabolismo y las leyes de Kleiber y Rubner
Ley de Kleiber
La ley de Kleiber establece que la tasa metabólica M (generalmente en calorías o kilocalorías por día, dependiendo de la unidad utilizada) de los organismos es proporcional a su masa corporal (en kilogramos) W elevada a la ¾. Esta ley se puede expresar como:
$M = a \cdot W^{3/4}$,
Por ejemplo, en mamíferos, la constante a suele tener un valor cercano a 70; en especies más pequeñas, la constante a se ajusta a través de experimentos y observaciones directas de cómo el organismo a estudiar consuma energía según su masa.
En la relación que propone Kleiber se observa que, aunque los animales más grandes tienen una mayor tasa metabólica, no es proporcional al tamaño de su masa. Esto se debe a factores como la eficiencia del metabolismo en organismos más grandes como se ha mencionado antes.
Concepto clave: Organismos más grandes tienen una tasa metabólica mayor, pero no proporcionalmente mayor que su masa.
Ejemplo 1. Cálculo de la tasa metabólica de un animal
Supongamos que un animal tiene una masa de 500 kg y constante a = 70, entonces usando la ley de Kleiber, podemos calcular su tasa metabólica como:
La ley de Rubner establece que la tasa metabólica M de un organismo es proporcional a su superficie corporal A, con la fórmula: $M = k \cdot A^{2/3}$, donde k es una constante que se determina experimentalmente y depende de la forma del animal y de cómo se distribuye su masa en relación con su superficie. Cada especie tiene un valor único de k basado en su morfología y distribución corporal; los animales más grandes tienen un valor más pequeño de k, mientras que los animales más pequeños, tendrán un valor de k más grande, ya que su forma está más adaptada a perder calor rápidamente.
La ley de Rubner es más adecuada para animales más pequeños, ya que el área superficial juega un papel fundamental en el intercambio de calor y energía con el ambiente. En este caso, a medida que el animal es más pequeño, su área superficial en relación con el volumen es mayor, lo que hace que pierda calor más rápidamente.
Concepto clave: En organismos pequeños, la superficie corporal es un factor crucial para determinar la tasa metabólica.
Ejemplo 2. Comparación entre la ley de Kleiber y Rubner
Supongamos que se intenta comparar la tasa metabólica de un ratón y un elefante utilizando ambas leyes, se espera observar cómo la ley de Kleiber proporciona una tasa metabólica más ajustada para organismos grandes, mientras que la ley de Rubner describe mejor la tasa metabólica de los animales pequeños, donde el área superficial es más determinante.
Ley de Kleiber
Sea 0.03 kg la masa del ratón y 5000 kg la del elefante. Supongamos a = 70 para el ratón y a = 80 para el elefante.
Como se puede ver, el elefante tiene una tasa metabólica mucho mayor.
Ley de Rubner
Ahora, si utilizamos la ley de Rubner, necesitaríamos conocer el área superficial de ambos animales. La superficie corporal A de un organismo puede aproximarse utilizando la fórmula:
$A = k \cdot W^{2/3}$
Sabemos que k se determina empíricamente con base en la morfología y distribución corporal del individuo estudiado; para este caso, supongamos k = 10 para el ratón y k = 5 para el elefante.
$\Rightarrow M = b \cdot 1462^{2/3} \approx 70 \cdot 1462^{2/3} \approx 70 \cdot 128.81 \approx 9017.02 \, \text{kcal/día}$
Para concluir, se observa que la Ley de Kleiber es más apropiada para animales grandes, donde la tasa metabólica está vinculada a la masa corporal, mientras que la Ley de Rubner se ajusta mejor a animales pequeños, donde la superficie corporal es el factor principal en el metabolismo.
Entonces el $det \, {f \, }’ (\vec{a}) = e^{2x_0} \, > \, 0$ para todo $(x_0, y_0)$.
Por lo que, $f$ cumple las hipótesis del teorema de la función inversa, $det \, {f \, }’ (\vec{a}) \neq 0$.
Existen abiertos $\mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^2$ y $\mathcal{V} \subseteq \mathbb{R}^2$ tales que $\vec{a} \in \mathcal{U}$, $f(\vec{a}) \in \mathcal{V}$.
Entonces $f \Big|_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{V}$ es invertible, existe la inversa localmente, y la inversa es derivable $\big( {f\, }^{-1}\big)’ (b) = \Big( {f\, }’ \big( {f\, }^{-1} (b) \big) \Big)^{-1}$.
La condición de que $det \, {f\, }’ (\vec{a}) \neq 0 $ garantiza que la diferencial de $f$ en $\vec{a}$ sea un transformación lineal invertible.
Entonces, ¿cuál es la imagen de una recta horizontal $y = y_0$ bajo $f$?
$f (x, y_0) = e^x (\cos y_0, \sin y_0)$ con $x$ variable y $ y = y_0$ fija. Entonces $(\cos y_0, \sin y_0)$ es un vector constante. Y $e^x \in (0, \infty)$.
Ahora, ¿cuál es la imagen de una recta vertical $x = x_0$?
Es decir, $x = x_0$ fija, y $y$ variable. Entonces
$f (x_0, y) = e^{x_0} ( \cos y, \sin y)$, donde $e^{x_0}$ es constante, y $( \cos y, \sin y)$ es un vector unitario variable.
En la siguiente animación puedes modificar los valores de $x_0$ y $y_0$ para observar la imagen respectiva de las rectas horizontales y verticales que se analizaron anteriormente.
$d f_a : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ es tal que los vectores tangentes a curvas que pasan por $a$, $\longrightarrow$ vectores tangentes a curvas que pasan por $f (a)$
$f (x, y) = \big( u (x, y), v (x, y) \big) = \Big( e^x \cos y, e^x \sin y \Big)$ cumple las hipótesis del teorema de la función inversa en todos los puntos $a = (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$.
El teorema nos garantiza que existe una inversa local, es decir, una vecindad $\mathcal{U}$ que contiene a $a$ y una vecindad $\mathcal{V}$ que contiene a $f (a)$ tal que $f \big|_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{V}$ es biyectiva e invertible tiene inversa local $f^{-1} : \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{U}$.
Tomemos $a = (0, 0)$ y $f (a) = (1, 0)$.
Para describir con detalle la inversa local de la que nos habla el teorema necesitamos saber cuales son los abiertos $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$, y la regla de correspondencia $x = p (u, v)$ y $y = q (u, v)$.
$u = e^x \cos y$
$v = e^x \sin y$
Entonces
$u^2 + v^2 = e^{2x} {\cos}^2 y + e^{2x} {\sin}^2 y = e^{2x}$
$ln (u^2 + v^2) = ln (e^{2x}) = 2x$
$\textcolor{blue}{x = \dfrac{ln (u^2 + v^2)}{2}}$ siempre que $\textcolor{blue}{(u, v) \neq (0, 0)}$
Una función $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ cuya imagen es un toro.
Toro: superficie de revolución que se obtiene al girar un círculo de radio $ b > 0 $ alrededor de un eje que está fuera del círculo pero en el mismo plano.
Plano $XZ$
Circunferencia de radio $b$, con centro $(a, 0)$, donde $a < b$, queremos una función que vaya del plano $\theta \varphi$ al toro $XYZ$.
$f (\theta, \varphi) = \begin{pmatrix} (a + b \cos \varphi) \cos \theta \\ \\ (a + b \cos \varphi ) \sin \theta \\ \\ b \sin \varphi \end{pmatrix}$
Donde los vectores tangentes $f_{\theta} $ y $f_{\varphi}$ son:
